精品解析：广东珠海市文园中学2026-2027学年九年级上学期数学期中试卷

珠海市文园中学（集团）2026－2027年度第一学期期中考试九年级数学试卷 说明：本试卷共6页，答题卷共4页，满分120分，考试时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 下列各式是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】抓住一元二次方程的整式性与二次项系数非零的关键条件判断各选项． 【详解】解：A选项，不是等式，不是方程，不符合． B选项，只含一个未知数，是整式方程，且最高次数为2，二次项系数不为0，符合要求． C选项，未明确，当时不是二次方程，不符合． D选项，分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合． 2. 抛物线与抛物线具有的相同的性质是（　　） A. 开口向上 B. 开口向下 C. 有最高点 D. 对称轴是y轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上；时，开口向下． 根据二次函数的性质分析即可． 【详解】抛物线的开口向上，对称轴为轴，有最低点； 抛物线开口向下，对称轴为轴，有最高点； 故抛物线与相同的性质是对称轴都是轴， 故选：D． 3. 已知反比例函数的图象如图所示，点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，逐一判断即可． 【详解】解：由图可得，点在第一象限，且在反比例函数的图象的下方， 对于反比例函数，当时，，当时，， A、∵点的横坐标为，纵坐标为， ∴点在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； B、∵点的横坐标为，纵坐标为， ∴点在反比例函数的图象上方，故选项不符合题意； C、∵点的横坐标为，纵坐标为， ∴点在反比例函数的图象下方，故选项符合题意； D、∵点的横坐标为，纵坐标为， ∴点在反比例函数的图象上方，故选项不符合题意． 4. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是． 5. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据“上加下减，左加右减”的平移规律作答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，得， 再向上平移2个单位，得． 故选：B． 6. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法即可解答． 【详解】∵ 移项得 提取公因式得 ∴或 解得． 7. 若、、三点都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把的值分别代入到函数解析式求出的值，再比较即可求解． 【详解】解：把代入，得， 把代入，得， 把代入，得， ∵， ∴． 8. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、根的情况，利用一元二次方程的定义和判别式判断根的情况是解题的关键．根据一元二次方程的定义得到，再利用根的判别式，解出不等式组即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的几何意义，过点作轴于点，根据的几何意义可得，，根据菱形的性质以及三角形的面积可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵轴． ∴四边形是矩形 ∴ ∵菱形，对角线轴 ∴ ∵菱形的面积为， ∴ 故选：D． 10. 已知二次函数的图象如图，则下列结论： （1） （2）方程一定有两个不相等的实数根 （3）随的增大而增大 （4）一次函数的图象一定不过第二象限，其中正确的有（ ） A. （2）（3） B. （1）（2） C. （3）（4） D. （1）（4） 【答案】B 【解析】 【分析】先判断a，b，c的符号，当时，，可判断（1）；再结合二次函数与一元二次方程的关系可判断（2）；根据二次函数的性质与图象可判断（3）；判断出，可判断（4）． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴的右侧，与x轴交于点， ∴， ∴，抛物线与x轴另一个交点在点的右侧， ∴当时，， ∴，故（1）正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故（2）正确； 在对称轴的右侧，随的增大而增大，故（3）错误； ∵，， ∴， ∵， ∴一次函数的图象一定过第二象限，故（4）错误； 则其中正确的有（1）（2）． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线．已知抛物线方程为顶点式，可直接得出对称轴． 【详解】解：抛物线是顶点式形式，其中，，， 因此对称轴是直线． 故答案为． 12. 若关于的一元二次方程两个根分别为，，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：对于方程 则． 13. 某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给x个好友，收到链接的每个好友又转发给x个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用－传播问题．个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 14. 劳动教育课上，徐老师带领九（1）班同学对甲、乙、丙、丁四类小麦种子的发芽情况进行统计（种子培养环境相同）．如图，表示甲、乙、丙、丁四类种子的发芽率y与该类种子用于实验的数量x的情况，其中乙、丁在反比例函数图象上，则四类种子中，发芽数量最多的是________类种子．（填“甲”“乙”“丙”“丁”） 【答案】丙 【解析】 【分析】发芽数量实验数量发芽率，由反比例函数的性质并结合图象分析即可得出结果． 【详解】解：发芽数量实验数量发芽率， 由图象可得，乙、丁在同一反比例函数图象上，根据反比例函数的性质可得为定值，故乙、丁的发芽数量相等， 甲点在反比例函数图象的下方，丙点在反比例函数图象的上方，则， ∴四类种子中，发芽数量最多的是丙种子． 15. 对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示： 1 根据二次函数图象的相关性质可知：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两个二次函数的对称轴均为轴的性质，先根据函数值相等的点关于对称轴对称求出的值，再根据对称性得到和时的函数值相等，建立与的关系，最后代入计算所求代数式的值即可得解． 【详解】解：∵ 二次函数的对称轴为直线， 当和时，该函数的函数值均为， ∴ 这两个点关于对称轴对称，即， ∴ 解得 ∵ 二次函数的对称轴也为直线， ∴ 当和时，该函数的函数值相等， ∵ 当时，的函数值为， ∵ 当（即）时，的函数值为 ∴ ， ∴ 整理得， ∴ ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】因式分解法解方程即可. 【详解】解：， ， 或， 解得. 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）根据图象，请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数表达式：，反比例函数表达式： （2）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可求一次函数、反比例函数的表达式； （2）联立与，解得交点横坐标分别为和，当直线位于双曲线上方时，满足不等式，根据图象可得解集范围． 【小问1详解】 解：把点代入一次函数得：， 解得， ∴一次函数的表达式为， 把点代入得：， 解得， ∴点的坐标为， 把点代入得， 解得， ∴反比例函数的表达式 ． 【小问2详解】 联立与，得， 即， 整理得， 即， 解得交点横坐标分别为和， 由图象可知，当直线位于双曲线上方时，满足不等式， ∴观察图象可得，满足条件的x的取值范围是：或， 即关于的不等式的解集为或． 18. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究，建立了如图2所示的平面直角坐标系．水火箭发射后落在水平地面处 ．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点的水平距离的几组关系数据如下表所示： 水平距离 竖直高度 （1）根据上表，谐求出该抛物线的解析式，并直接写出该抛物线的顶点坐标． （2）请计算当水火箭飞行至离发射点的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【答案】（1）该抛物线的解析式为，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）依据题意可得，抛物线的对称轴是直线，故抛物线的顶点为，从而可设抛物线为，又抛物线过，求出即可得解； （2）依据题意，结合（1），当时，代入计算即可得解； 解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线的顶点为， ∴设抛物线为， 又∵抛物线过， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴该抛物线的解析式为，顶点坐标为； 【小问2详解】 由题意，结合（1）知：， ∴当时，， ∴水火箭距离地面的竖直高度为． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）如果你是该商场经理，你将如何决策？使商场平均每天能获得最大盈利是多少？ 【答案】（1）每件衬衫应降价元 （2）每件衬衫应降价元，商场平均每天能获得最大盈利，为元 【解析】 【分析】（1）设每件衬衫降价x元，根据题意列出一元二次方程，求解检验即可； （2）设每件衬衫降价m元，商场平均每天能获得盈利元，根据题意可得，再根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设每件衬衫降价x元，则平均每天可售出件， ， 解得，， 尽快减少库存， ， 答：每件衬衫应降价元； 【小问2详解】 解：设每件衬衫降价m元，商场平均每天能获得盈利元， ， ， 当时，取得最大值，为（元）， 答：每件衬衫应降价元，商场平均每天能获得最大盈利，为元． 20. 阅读材料，根据以下材料解决问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根． （1）应用探究：已知实数，满足：，且，求的值； （2）思维拓展：已知实数，满足：，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据材料给出的一元二次方程根与系数的关系计算即可； （2）将第二个方程变形为，再根据材料给出的一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【小问1详解】 解：∵实数、满足，，且， ∴、是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：将变形得， ∵，且， ∴、是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，的面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点作轴交直线于点，作轴于点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． （1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案； （2）设，则，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题． 【小问1详解】 解：过点作轴于点， 对于一次函数， 当时，， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴， 当时，， ∴， 将点代入反比例函数， 得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，解得或， 经检验，或都是原分式方程的根， 当时，， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 经检验，得或都是原分式方程的根， ∵点在直线下方的反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知二次函数的图象（如图1），当时，函数有最小值，且它的图象经过点． （1）求该函数解析式； （2）如图2，若一次函数与二次函数的图象相交于点、（点在点左侧），试求的面积； （3）如图3，已知轴上存在一点，二次函数图象上存在一点，与点构成以点为直角顶点的等腰直角，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3），， 【解析】 【分析】（１）二次函数表达式设为顶点式，再代入，解出值即可求出函数表达式． （２）联立方程组，解出点、点、点的坐标，利用坐标三角形面积求出的面积． （３）设点的坐标为，点的坐标为，过点作轴于点，证得，利用全等三角形对应边相等得出，再将点纵坐标代入二次函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：∵当时，函数有最小值， ∴抛物线对称轴为直线，抛物线的顶点为， 即设二次函数为， ∵它的图象经过点， ∴把代入函数得， 解得， ∴二次函数解析式为， 即； 【小问2详解】 ∵一次函数与二次函数的图象相交， ∴联立方程组得， 整理得， 即， 解得，， 当时，， 当时，， ∵点在点左侧， ∴，， 设一次函数与轴的交点为点，则点坐标为， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 设点的坐标为，点的坐标为，过点作轴于点， ∵点在轴上， ∴． 在等腰直角中，，， ∵， 在中， ∴， 在和中有， ∴， ∴． 由此可知，即， 当时，代入二次函数解析式得： ， 整理得， 即， 解得，， ∴此时点的坐标为或； 当时，代入二次函数解析式得： ， 整理得， 即， 解得， ∴此时点的坐标为， 综上可得，满足条件的点的坐标为，，． 23. 【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 （1）如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 （2）如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 （3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）当是等腰三角形时，的值为或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得点的坐标为，结合平移可得点的坐标为，进一步求解即可； （2）表示平移个单位长度后，点的坐标为，点的坐标为．可得，再进一步求解即可； （3）利用矩形的性质求解．当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，此时点与点重合，③当时，设，再进一步结合反比例函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解： 四边形是矩形，，， ∴，， 点的坐标为． 由平移得：点的坐标为． 把代入，得， 该双曲线的解析式为：． 【小问2详解】 解：平移个单位长度后，点的坐标为， 边平移后所在的直线为，， 点的坐标为． 点、在图象上， ， 解得：， 点的坐标为． 【小问3详解】 解：如图3，四边形是矩形， ． 当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， 由平移可得：，． ． 点、在图象上， ． 解得． ②当时，此时点与点重合， ，． 点、在图象上， ， 解得． ③当时，设． 由平移可得，， ， ， 解得， ． 点、在图象上， ． 解得． ， 这与题意不符，舍去． 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市文园中学（集团）2026－2027年度第一学期期中考试九年级数学试卷 说明：本试卷共6页，答题卷共4页，满分120分，考试时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 下列各式是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线与抛物线具有的相同的性质是（　　） A. 开口向上 B. 开口向下 C. 有最高点 D. 对称轴是y轴 3. 已知反比例函数的图象如图所示，点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 7. 若、、三点都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图，则下列结论： （1） （2）方程一定有两个不相等的实数根 （3）随的增大而增大 （4）一次函数的图象一定不过第二象限，其中正确的有（ ） A. （2）（3） B. （1）（2） C. （3）（4） D. （1）（4） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线的对称轴是直线______． 12. 若关于的一元二次方程两个根分别为，，则的值是_________． 13. 某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给x个好友，收到链接的每个好友又转发给x个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为__________． 14. 劳动教育课上，徐老师带领九（1）班同学对甲、乙、丙、丁四类小麦种子的发芽情况进行统计（种子培养环境相同）．如图，表示甲、乙、丙、丁四类种子的发芽率y与该类种子用于实验的数量x的情况，其中乙、丁在反比例函数图象上，则四类种子中，发芽数量最多的是________类种子．（填“甲”“乙”“丙”“丁”） 15. 对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示： 1 根据二次函数图象的相关性质可知：________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：； 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）根据图象，请直接写出关于的不等式的解集． 18. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究，建立了如图2所示的平面直角坐标系．水火箭发射后落在水平地面处 ．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点的水平距离的几组关系数据如下表所示： 水平距离 竖直高度 （1）根据上表，谐求出该抛物线的解析式，并直接写出该抛物线的顶点坐标． （2）请计算当水火箭飞行至离发射点的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）如果你是该商场经理，你将如何决策？使商场平均每天能获得最大盈利是多少？ 20. 阅读材料，根据以下材料解决问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根． （1）应用探究：已知实数，满足：，且，求的值； （2）思维拓展：已知实数，满足：，，且，求的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，的面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点作轴交直线于点，作轴于点，若，求点的坐标． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知二次函数的图象（如图1），当时，函数有最小值，且它的图象经过点． （1）求该函数解析式； （2）如图2，若一次函数与二次函数的图象相交于点、（点在点左侧），试求的面积； （3）如图3，已知轴上存在一点，二次函数图象上存在一点，与点构成以点为直角顶点的等腰直角，请直接写出点的坐标． 23. 【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 （1）如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 （2）如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 （3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $