第七单元 探索乐园（单元测试卷·提升卷）-2026-2027学年五年级上册数学冀教版

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 保密★启用前 第七单元 探索乐园（单元测试卷·提升卷） （试卷总分：100分+10分；建议用时：60分钟） 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在试卷规定的位置。 2．必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案正确填写在规定的位置上。 3．考试结束后将试卷交回。 一、静心填空，落笔得分（每空2分，共26分） 1．如图，在研究图形的密铺时，通过观察可以发现，图形公共顶点处各个角的度数之和是( )°时一定可以密铺。 2．27个零件里有1个是次品（次品轻一些），假如用天平称，至少称( )次能保证找出次品。 3．15个同样的玻璃球，有一个球是质量稍轻的次品，用天平至少称( )次可以保证找到这个次品玻璃球。 4．有8枚纪念币，编号为①～⑧，其中有6枚是正品，另有2枚是次品，略轻一些。笑笑用天平称了3次，结果如下图。 2枚次品纪念币分别是( )和( )（填序号）。 5．某工艺品作坊制出7对（每对2只）相同的漆制耳饰，其中一只耳饰的质量较轻，用天平称重保证能找出这只轻的耳饰时，若首次天平两端各放7只，至少还需称重( )次；若首次天平两端各放2对，至少还需称重( )次；若首次天平两端各放1对，至少还需称重( )次。 6．为了美化校园环境，学校要对教室的地面铺地砖，通过筛选得到四种图案，可以密铺的是( )。 7．如图是由相同的正六边形拼成的花砖地板，利用的是正六边形可以( )的原理。图中圈起来的拼接处形成的内角和正好是( )度。 8．一些外表相同的铜扣中有一枚铜扣质量略轻，把这些铜扣分成3份，用天平称了3次后，就把质量略轻的那枚铜扣找出来了，这些铜扣最少有( )枚，最多有( )枚。 二、深思细选，择优而定（将正确答案的序号填在括号里，每题2分，共16分） 9．下面关于密铺的说法不正确的是（    ）。 A．三角形可以密铺 B．平行四边形可以密铺 C．正五边形可以密铺 D．梯形可以密铺 10．下面图案是由一种图形密铺形成的是（    ）。 A． B． C． D． 11．有8袋糖果，外观一样，只有1袋质量不足，剩余的7袋质量相同，至少称（    ）次能保证找出这袋糖果。 A．1 B．2 C．3 D．4 12．乾隆皇帝一生喜爱玉器，在留下的诗作中赞美玉器之美的就有几百首。下面是10件玉器的质检过程，其中1件是次品（不知轻重），次品是（    ）号玉器。 A．② B．⑤ C．⑥ D．⑦ 13．16个零件里有一个是次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称（    ）次能保证找到次品。 A．2 B．3 C．4 D．5 14．做完实验一定不要忘记整理实验器材。李老师课后验收同学们使用的9套砝码盒时，发现有一个砝码忘记收进盒子里，如果用一个天平称，至少称（    ）次能找到这盒比较轻的砝码盒。 A．2 B．3 C．4 D．5 15．6个乒乓球中有1个是次品（次品重一些）。根据下图找次品的过程，可以推断出次品一定是（    ）号。 A．③ B．④ C．⑤ D．⑥ 16．如图，若干全等正五边形排成圆环形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（    ）。 A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 三、慧眼识真，明辨对错（对的打“√”，错的打“×”（每题1分，共5分） 17．平面图形变换位置后都可以密铺成美丽的图案。( ) 18．有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其它的水略重一些。假如用天平称，至少称4次能保证找出这瓶盐水。( ) 19．用天平找次品时，已知待测物品中有一个次品（次品轻一些），要保证3次测出次品，待测物品可能是10~27个。( ) 20．有6个羽毛球（外观完全相同），其中5个质量相等，另外1个次品略重一些，至少称2次就一定能找出这个次品羽毛球。( ) 21．圆不能单独密铺，三角形能单独密铺。( ) 四、缜密思辨，规范解题（共48分） 22．有4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问至少用天平称几次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重？（8分） 23．有12袋方便面，其中11袋的质量相同，另外1袋缺5克。用天平称，至少称几次能保证找出这袋质量小的方便面？（8分） 24．有25盒果脯，其中一盒多了2个，因此稍重了一些。现在只有一架没有砝码的天平。（8分） （1）称1次 把这盒稍重的果脯找出来。（填“有可能”或“不可能”） （2）如果称2次， 保证把这盒稍重的果脯找出来。（填“能”或“不能”） （3）至少称几次可以保证把这盒稍重的果脯找出来？请简单写出称的过程。 25．一箱巧克力有50盒，其中有49盒质量相同，另有1盒质量稍轻一些，利用无砝码的天平称，至少称几次才能保证找出这盒巧克力？（8分） 26．永春老醋是全国四大名醋之一。质监部门对某企业生产的永春老醋进行质量抽测，在抽测的21瓶永春老醋中有1瓶不合格（质量稍轻一些）。（8分） （1）至少称几次能保证将这瓶不合格产品找出来？ （2）如果在天平的左右两边各放10瓶永春老醋，只称1次有可能称出来吗？为什么？ 27．有36盒同一种规格的饼干，其中有一盒稍重一些。如果用天平称，至少称几次才能保证找到这盒饼干？请写出简要的过程。（8分） 五、附加题（共10分） 28．有两堆零件，第一堆比第二堆多一个零件，这两堆零件中各有一个次品（次品比正品重一些），现在用天平分别找这两堆零件中的次品，第一堆零件需要称5次，才能保证找出次品；第二堆零件需要称4次，才能保证找出次品，你知道这两堆零件分别有多少个吗？ 第1页 共4页 　　　　　　　　　　　　 ◎ 　　　　 　　　　　　　　 第2页 共4页 第1页 共4页 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 第七单元 探索乐园（单元测试卷·提升卷） （试卷总分：100分+10分；建议用时：60分钟） 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在试卷规定的位置。 2．必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案正确填写在规定的位置上。 3．考试结束后将试卷交回。 一、静心填空，落笔得分（每空2分，共26分） 1．如图，在研究图形的密铺时，通过观察可以发现，图形公共顶点处各个角的度数之和是( )°时一定可以密铺。 【答案】360 【分析】密铺的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的密铺。密铺要求在公共顶点处，所有角的度数相加等于一个周角360°，这样才能不留空隙、不重叠。 【详解】正三角形：60°×6＝360° 正方形：90°×4＝360° 正六边形：120°×3＝360° 所以图形公共顶点处各个角的度数之和是360°时一定可以密铺。 2．27个零件里有1个是次品（次品轻一些），假如用天平称，至少称( )次能保证找出次品。 【答案】3 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀地分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】第一次，把个零件平均分成三份，每份个，把其中两份放到天平秤上称，如果天平不平衡，次品在较轻的个中，如果天平平衡，次品就在另外个中； 第二次把含有次品的个零件平均分成三份，每份个，把其中两份放到天平秤上称，如果天平不平衡，次品在较轻的个中，如果天平平衡，次品就在另外个中； 第三次把含有次品的个零件放到天平秤上称，较轻的一个即为次品。 所以至少称次能保证找出次品。 3．15个同样的玻璃球，有一个球是质量稍轻的次品，用天平至少称( )次可以保证找到这个次品玻璃球。 【答案】3 【分析】利用三分法每次尽可能把待检测零件平均分成三份，每次称量后把次品的所在范围缩小到最小，从而得到保证找出次品的最少称量次数。 【详解】第一次称量缩小范围： 把15个零件平均分成3份，每份5个。将其中两份分别放在天平左右两侧。 若天平两侧高度不同，次品在位置更高更轻的那5个零件中；若天平两侧高度相同，次品在没有放在天平上的剩余5个零件中，第一次称量结束后，可以确定次品一定在某5个零件里。 第二次称量缩小范围： 把包含次品的这5个零件分成3份，分别是2个、2个、1个。将两份2个的零件分别放在天平左右两侧，若天平两侧高度相同，剩下没放上天平的那1个就是次品，这种情况2次就找到了，但我们需要考虑最坏情况来保证一定能找到次品；若天平两侧高度不同，次品在位置更高更轻的那2个零件中。 第二次称量结束后，最坏情况下次品范围缩小到2个零件里。 第三次称量确定次品： 把剩下的2个零件分别放在天平左右两侧，位置更高更轻的那一侧的零件，就是我们要找的次品。所以最少需要3次。 4．有8枚纪念币，编号为①～⑧，其中有6枚是正品，另有2枚是次品，略轻一些。笑笑用天平称了3次，结果如下图。 2枚次品纪念币分别是( )和( )（填序号）。 【答案】 ② ⑦ 【分析】用天平找次品，因为次品略轻，所以次品在天平翘起的一端，据此通过第一次和第二次确定次品的范围，再结合第三次，确定2枚次品纪念币。 【详解】观察用天平称的3次结果，第一次，①②翘起，说明①②较轻，①②中有一个是次品；第二次，⑦⑧翘起，说明⑦⑧较轻，⑦⑧中有一个是次品；第三次，天平平衡，说明左右两侧各有1个次品，通过前两次称，可知次品在①②⑦⑧中，第三次的左侧有①⑦，右侧有②，说明右侧的②是次品，则①不是次品，左侧的⑦是次品，所以2枚次品纪念币分别是②和⑦。 5．某工艺品作坊制出7对（每对2只）相同的漆制耳饰，其中一只耳饰的质量较轻，用天平称重保证能找出这只轻的耳饰时，若首次天平两端各放7只，至少还需称重( )次；若首次天平两端各放2对，至少还需称重( )次；若首次天平两端各放1对，至少还需称重( )次。 【答案】 2 2 3 【分析】天平平衡则轻耳饰在未放上天平的耳饰中，天平不平衡则轻耳饰在翘起一端的耳饰中，据此确定剩余待排查的耳饰数量。 对于排查次品问题，每次称重最多可将待排查物品分为3组，通过天平的平衡、左轻、右轻三种结果，把次品范围缩小到其中1组，利用该规律推导每次称重后剩余待排查数量的最小上限。 对应三种首次称重的场景，分别计算首次称重后剩余待排查耳饰数量，再逐步推导每次称重后可缩小的范围，直到剩余待排查数量为1。 【详解】若首次天平两端各放7只，至少还需称重2次；若首次天平两端各放2对，至少还需称重2次；若首次天平两端各放1对，至少还需称重3次。 6．为了美化校园环境，学校要对教室的地面铺地砖，通过筛选得到四种图案，可以密铺的是( )。 【答案】①②④ 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。 能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合，据此解答即可。 【详解】根据分析可知： 正三角形的每个内角是60°，能整除360°，可以密铺。 正方形的每个内角是90°，能整除360°，可以密铺。 正五边形的每个内角是108°，不能整除360°，不可以密铺。 正六边形的每个内角是120°，能整除360°，可以密铺。 综上可知，可以密铺的是①②④。 7．如图是由相同的正六边形拼成的花砖地板，利用的是正六边形可以( )的原理。图中圈起来的拼接处形成的内角和正好是( )度。 【答案】 密铺 360 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合；长方形、四边形、三角形、正六边形等都具备这一特点，据此解答即可。 【详解】由相同的正六边形拼成的花砖地板，利用正六边形可以密铺的原理。圈起来的拼接处形成的内角和正好是360度。 8．一些外表相同的铜扣中有一枚铜扣质量略轻，把这些铜扣分成3份，用天平称了3次后，就把质量略轻的那枚铜扣找出来了，这些铜扣最少有( )枚，最多有( )枚。 【答案】 10 27 【分析】利用天平称重找次品时，为了保证用最少的次数找出次品，需将物品尽量平均分成三组（若不能均分，使各组数量相差不超过1）。称量次数与待测物品数量的关系是：称n次最多能从3n个物品中找出1个次品，最少能从3n－1＋1个物品中找出1个次品。 【详解】3－1＝2（次） 最少：32＋1＝9＋1＝10（枚） 最多：33＝27（枚） 二、深思细选，择优而定（将正确答案的序号填在括号里，每题2分，共16分） 9．下面关于密铺的说法不正确的是（    ）。 A．三角形可以密铺 B．平行四边形可以密铺 C．正五边形可以密铺 D．梯形可以密铺 【答案】C 【分析】密铺是指图形之间没有空隙，也不重叠。判断一种图形能否密铺，关键看拼接点处的角的度数之和是否为。三角形和四边形的内角和分别是和，均能满足密铺条件；而正五边形的内角无法凑成，不能密铺。 【详解】A．任意三角形的内角和是，在拼接点处，个角的度数之和为，所以三角形可以密铺，此选项正确； B．平行四边形属于四边形，四边形的内角和是，在拼接点处，个角的度数之和为，所以平行四边形可以密铺，此选项正确； C．正五边形的每个内角是，不能得到整数商，即在拼接点处无法凑成，所以正五边形不可以密铺，此选项错误； D．梯形属于四边形，四边形的内角和是，在拼接点处，个角的度数之和为，所以梯形可以密铺，此选项正确。 10．下面图案是由一种图形密铺形成的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据密铺的意义，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺。逐项分析。 【详解】A．五角星之间有空隙，无法密铺； B．心形之间有空隙，无法密铺； C．是由完全相同的三角形拼接而成，没有空隙也没有重叠，属于单一图形形成的密铺； D．圆形之间有空隙，无法密铺。 11．有8袋糖果，外观一样，只有1袋质量不足，剩余的7袋质量相同，至少称（    ）次能保证找出这袋糖果。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】把8袋糖果分成3份：3袋、3袋、2袋，通过称一次得出质量不足所在的一份；再将质量不足的一份分成3份或2份，重复第一次操作，找出质量不足的一袋糖果。 【详解】第一次：把8袋糖果分成3份：3袋、3袋、2袋，把两个3袋放在天平的两端称重，如果平衡，质量不足的在2袋的一份中，如果不平衡，质量不足的在较轻的3袋中； 第二次：如果在2袋中，把这2袋分别放在天平的两端称重，质量较轻的1袋即为质量不足的；如果在3袋中，取其中2袋称重，若平衡，则剩下的1袋为质量不足的，如不平衡，则较轻的1袋为质量不足的。 综上，至少称2次能保证找出这袋糖果。 12．乾隆皇帝一生喜爱玉器，在留下的诗作中赞美玉器之美的就有几百首。下面是10件玉器的质检过程，其中1件是次品（不知轻重），次品是（    ）号玉器。 A．② B．⑤ C．⑥ D．⑦ 【答案】C 【分析】b天平没有倾斜，说明两边同样重，则该天平上的玉器都不是次品，从而确定c的一边是合格品，因为另一边重，说明次品要重一些，再对比a，同时出现在a和c的重的一边的玉器即为次品。 【详解】先看图b：天平两边平衡，说明③、④、⑤和⑧、⑨、⑩全是重量正常的合格玉器，c的左边是合格玉器③、④、⑤，次品在②、⑥、⑦中，并且次品要重；a中重的一边是④、⑤、⑥、而④、⑤是合格品，所以次品是⑥。 13．16个零件里有一个是次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称（    ）次能保证找到次品。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】找次品遵循“三分法、尽量均分”的优化策略，每次称量尽可能缩小次品所在的范围，用最少的次数保证找到次品。 【详解】第1次：把16个零件分成数量为5、5、6的三组，将两份5个的分别放在天平两端：若天平平衡，次品在6个的那组；若不平衡，次品在较重的5个的那组。 第2次：若次品在5个的组中，分成2、2、1三组，称量两份2个的：若平衡，剩下的1个就是次品；若不平衡，次品在较重的2个的组中。若次品在6个的组中，分成2、2、2三组，称量其中两份：若平衡，次品在剩下的2个的组中；若不平衡，次品在较重的2个的组中。 第3次：将含有次品的2个零件放在天平两端，较重的就是次品。 综上所得，至少称3次能够保证找到次品。 14．做完实验一定不要忘记整理实验器材。李老师课后验收同学们使用的9套砝码盒时，发现有一个砝码忘记收进盒子里，如果用一个天平称，至少称（    ）次能找到这盒比较轻的砝码盒。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】将物品尽量平均分成三份，利用天平称量后的平衡、倾斜情况缩小次品所在范围，重复分组称量的操作，从而确定找出较轻砝码盒的最少称量次数。 【详解】把9套砝码平均分成3份，每份3套，分组为（3，3，3）。 第一次称量：天平左右托盘各放3套砝码。 若天平平衡，较轻的砝码盒在剩余未称的3套中；若天平不平衡，较轻的砝码盒在天平上扬一侧的3套中。 第二次称量：从含有次品的3套砝码中，任意取出2套放在天平两端。 若天平平衡，剩下未称的1套就是较轻的砝码盒；若天平不平衡，天平上扬一侧的这套就是目标砝码盒。 综上，至少称2次就能找到。 15．6个乒乓球中有1个是次品（次品重一些）。根据下图找次品的过程，可以推断出次品一定是（    ）号。 A．③ B．④ C．⑤ D．⑥ 【答案】D 【分析】根据题意，次品重一些，根据图1可知，④⑤⑥重些，所以次品在④⑤⑥之中；由图2可知，④＝⑤，说明④和⑤是正品，则⑥是次品，据此解答。 【详解】根据分析可知，次品一定是六号。 16．如图，若干全等正五边形排成圆环形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（    ）。 A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 【答案】C 【分析】正五边形的内角和＝（5－2）×180°，所以每个内角＝（5－2）×180°÷5。图中3个正五边形在圆心O处各占一个108°的角，圆周角为360°，剩下的角＝360°－108°×3。用360°÷剩下的角，求围成一周共需的正五边形个数；再减去已有的3个，求还需要的个数。 【详解】正五边形的内角和： 每个正五边形的内角： 如下图，延长相邻正五边形的两条边交于O点，O点周围已有3个108°的角。 剩下的圆心角： 围成一周需要的正五边形个数： （个） 还需要的正五边形个数： （个） 三、慧眼识真，明辨对错（对的打“√”，错的打“×”（每题1分，共5分） 17．平面图形变换位置后都可以密铺成美丽的图案。( ) 【答案】× 【分析】密铺需要图形能够无空隙、不重叠地铺满平面。并非所有平面图形变换位置后都能满足这一条件，例如圆形和正五边形无法单独密铺。 【详解】密铺要求图形的内角能整除360°，且拼接处无空隙。例如，正五边形每个内角为108°，360°无法被108°整除，因此无法密铺，圆形在变换位置后仍存在空隙，也无法密铺。原题说法错误。 故答案为：× 18．有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其它的水略重一些。假如用天平称，至少称4次能保证找出这瓶盐水。( ) 【答案】√ 【分析】根据找次品问题的解题策略，将物品尽可能均分三组（9、9、10），先称9瓶的两组，若平衡，盐水在第三组；若不平衡，盐水在重的组，最终通过天平平衡与否逐步缩小盐水所在范围，直至确定盐水。 【详解】第一次将28瓶分成9瓶、9瓶、10瓶，先称9瓶的两组：若平衡，盐水在第三组10瓶中；若不平衡，在较重的9瓶中；第二次将较重的9瓶分成3、3、3，称3瓶的两组：若平衡，盐水在第三组（将范围缩小至3瓶），若不平衡，在较重的3瓶中（将范围缩小至3瓶）；或者将含有盐水的10瓶分成3、3、4，称3瓶的两组：若平衡，盐水在第三组（将范围缩小至4瓶），若不平衡，在较重的3瓶中（将范围缩小至3瓶）；第三次将较重的3瓶分成1、1、1，称前两组：若平衡，盐水在第三组（将范围缩小至1瓶）；若不平衡，较重的1瓶是盐水；或者将含有盐水的4瓶分成1、1、2，称前两组：若平衡，盐水在第三组（将范围缩小至2瓶）；若不平衡，较重的1瓶是盐水；第四次将含有盐水的2瓶分成1、1，较重的1瓶是盐水；因此至少称4次能保证找出这瓶盐水。 故答案为：√ 19．用天平找次品时，已知待测物品中有一个次品（次品轻一些），要保证3次测出次品，待测物品可能是10~27个。( ) 【答案】√ 【分析】用天平找次品，把物品尽量平均分成3份来称，能最快找出次品。 保证1次测出次品时，物品最多3个（分成1、1、1）。 保证2次测出次品时，物品最多9个（第一次分成3、3、3，称一次确定在哪3个里，第二次分成1、1、1）。 保证3次测出次品时，第一次把物品分成9、9、9来称，确定在哪9个里；第二次把9个分成3、3、3，确定在哪3个里；第三次把3个分成1、1、1找出次品。所以物品最多27个，最少10个（因为9个及以下2次就能测出，所以10个开始需要3次）。 【详解】题目中说待测物品可能是10－27个，符合上述通过分组称量得出的规律，所以该说法正确。 故答案为：√ 20．有6个羽毛球（外观完全相同），其中5个质量相等，另外1个次品略重一些，至少称2次就一定能找出这个次品羽毛球。( ) 【答案】√ 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将6个羽毛球分成（2，2，2），取其中两组各2个称量。无论平衡不平衡，都可确定次品在其中2个；将2个分成（1、1），再称一次即可确定次品，共2次，所以原题说法正确。 故答案为：√ 21．圆不能单独密铺，三角形能单独密铺。( ) 【答案】√ 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重叠，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。任何弧线图形不能单独密铺；判断图形能否单独进行密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除360度或被360度整除；所以除正三角形、正四边形和正六边形外，其他正多边形都不可以单独密铺；所有三角形和四边形都可以单独密铺。 【详解】由分析可知，三角形可以单独密铺；圆是由一条封闭的曲线围成的，圆与圆之间有间隙，因此圆不能密铺。所以原题干说法正确。 故答案为：√ 四、缜密思辨，规范解题（共48分） 22．有4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问至少用天平称几次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重？（8分） 【答案】2次 【分析】本题的目的是弄清楚伪币比真币轻还是重，但在称时我们还是可以使用三分法来分物品，把4枚硬币分为（1，1，2）先称数量相同的两份，再根据情况称剩下的一份（方法不唯一）。 【详解】 把4枚硬币分为（1，1，2），第一次称前两份：若天平平衡，说明这两枚都是真币，把这两枚放在天平一端，剩下一份（有伪币）放在另一端称第二次：若伪币这端更轻说明伪币比真币轻，反之则更重。 若天平不平衡，说明这两枚中有一枚是假币，剩下的一份为真币，分别放在天平两端称第二次：若伪币这端更轻说明伪币比真币轻，反之则更重。（方法不唯一） 答：至少用天平称2次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重。 23．有12袋方便面，其中11袋的质量相同，另外1袋缺5克。用天平称，至少称几次能保证找出这袋质量小的方便面？（8分） 【答案】.3次 【分析】把12袋方便面平均分成3份，即（4，4，4）；第一次称，天平两边各放4袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的4袋中；如果天平平衡，次品在剩下的4袋中；把有次品的4袋方便面分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1袋，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一袋；如果天平平衡，次品在剩下的2袋中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的2袋方便面分成（1，1），第三次称，天平两边各放1袋，次品就是较轻的那一袋。所以至少称3次能保证找出这袋质量小的方便面。 【详解】 答：用天平称，至少称3次能保证找出这袋质量小的方便面。 24．有25盒果脯，其中一盒多了2个，因此稍重了一些。现在只有一架没有砝码的天平。（8分） （1）称1次 把这盒稍重的果脯找出来。（填“有可能”或“不可能”） （2）如果称2次， 保证把这盒稍重的果脯找出来。（填“能”或“不能”） （3）至少称几次可以保证把这盒稍重的果脯找出来？请简单写出称的过程。 【答案】（1）有可能 （2）不能 （3）3次； 将25盒果脯分成3份：8，8，9；第一次称重，在天平两边各放8盒，手里留9盒； ①如果天平平衡，则次品在手里，将手里的9盒分为3，3，3，在天平两边各放3盒，手里留3盒。 a.如果天平平衡，则次品在手里3盒中，将手里的3盒分为1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，就可以鉴别出次品； b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中。 接下来，将这3盒分成三份：1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品； ②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的8盒中，将这8盒分为3，3，2，在天平两边各放3盒，手里留2盒。 a.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中， 接下来，将这3盒分成三份：1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品； b.如果天平平衡，则次品在手中的2盒中。 接下来，将这2盒在天平两边各放1盒，称重第三次就可以鉴别出次品。 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。 【详解】（1）称1次有可能把这盒稍重的果脯找出来。将25盒果脯分成3份：12，12，1，第一次称重，在天平两边各放12盒，手里留1盒，正好天平平衡。 （2）如果称2次，不能保证把这盒稍重的果脯找出来。 （3）过程略 答：至少称3次可以保证把这盒稍重的果脯找出来。 25．一箱巧克力有50盒，其中有49盒质量相同，另有1盒质量稍轻一些，利用无砝码的天平称，至少称几次才能保证找出这盒巧克力？（8分） 【答案】4次 【分析】找次品中，可将50盒巧克力，分为24、24、2盒共3份，在天平上称相同数量的，如果平衡则将剩余两个分别放在天平两端，则天平上升的一端为质量稍轻的1盒；如果第一次称天平不平衡，则较轻的在向上的一端的24盒中，将之分为8、8、8三份，重复操作三次可得出答案。 【详解】至少需要称量4次； 过程：将50盒分成3份：24、24、2；第一次称重，在天平两边各放24个，手里留2个； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的2盒分别在天平两边各放1个，次品在上升的天平托盘中； （2）如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的24盒中，将这24盒分为：8、8、8三份，将任意两份放在天平两端。 a.如果天平平衡，将剩余8盒分成：3、3、2，再将3盒和3盒分别放在天平两端；若平衡将剩余2个分成：1、1，天平上升的一端为较轻的1盒；不平衡则将天平上升一端的3盒分成：1、1、1，任取两盒分别放在天平两端，若平衡则次品是剩下那一盒，若不平衡则是天平向上的一盒。 故至少称4次能保证找出次品。 【点睛】本题主要考查的是找次品的应用，解题的关键是熟练掌握找次品的方法，进而得出答案。 26．永春老醋是全国四大名醋之一。质监部门对某企业生产的永春老醋进行质量抽测，在抽测的21瓶永春老醋中有1瓶不合格（质量稍轻一些）。（8分） （1）至少称几次能保证将这瓶不合格产品找出来？ （2）如果在天平的左右两边各放10瓶永春老醋，只称1次有可能称出来吗？为什么？ 【答案】（1）3次 （2）有可能。因为如果在天平的左右两边各放10瓶，天平正好平衡，则剩下的1瓶就是不合格产品。 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】（1）将21瓶分成（7、7、7），称（7、7），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中7瓶；将7瓶分成（2、2、3），称（2、2），只考虑最不利的情况，平衡，次品在3瓶中；将3瓶分成（1、1、1），称（1、1），再称1次即可确定次品，共3次。 （2）有可能。因为如果在天平的左右两边各放10瓶，天平正好平衡，则剩下的1瓶就是不合格产品。 【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。 27．有36盒同一种规格的饼干，其中有一盒稍重一些。如果用天平称，至少称几次才能保证找到这盒饼干？请写出简要的过程。（8分） 【答案】4次（过程见详解） 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找出次品为止，据此解答。 【详解】第一次，把36盒饼干分成3份（12，12，12），任意取出12盒饼干的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较重的那盒饼干在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续； 第二次，取较重的一份12盒平均分成3份（4，4，4），取4盒饼干的两份分别放在天平的两侧，若天平平衡，较重的那盒饼干在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续； 第三次，取较重的一份4盒，平均分成2份（2，2），分别放在天平的两侧，天平不平衡，较重一端是略重的那盒饼干； 第四次，取较重的一份两盒分成2份（1，1），分别放在天平两侧，较重一端是略重的那盒饼干。 所以用天平至少称4次才能保证找出这盒饼干。 答：至少称4次才能保证找到这盒饼干。 【点睛】解答本题的关键是将所给物品进行合理分组，逐次称量，即可找出次品。 五、附加题（共10分） 28．有两堆零件，第一堆比第二堆多一个零件，这两堆零件中各有一个次品（次品比正品重一些），现在用天平分别找这两堆零件中的次品，第一堆零件需要称5次，才能保证找出次品；第二堆零件需要称4次，才能保证找出次品，你知道这两堆零件分别有多少个吗？ 【答案】82个；81个 【分析】因为需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间，所以第一堆零件需要称5次，则第一堆零件的个数在82个与243个之间；第二堆零件需要称4次，则第二堆零件的个数在28个与81个之间，又知第一堆比第二堆多一个零件，所以第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 【详解】第一堆零件需要称5次。 ＝9×9＋1 ＝81＋1 ＝82（个） ＝9×9×3 ＝81×3 ＝243（个） 第一堆零件的个数在82个与243个之间； 第二堆零件需要称4次。 （个） ＝9×9 ＝81（个） 则第二堆零件的个数在28个与81个之间，又知第一堆比第二堆多一个零件，所以第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 答：第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 【点睛】此题是灵活考查利用天平找次品的规律，是需要识记的内容。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 第七单元 探索乐园（单元测试卷·提升卷） （试卷总分：100分+10分；建议用时：60分钟） 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在试卷规定的位置。 2．必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案正确填写在规定的位置上。 3．考试结束后将试卷交回。 一、静心填空，落笔得分（每空2分，共26分） 1．如图，在研究图形的密铺时，通过观察可以发现，图形公共顶点处各个角的度数之和是( )°时一定可以密铺。 2．27个零件里有1个是次品（次品轻一些），假如用天平称，至少称( )次能保证找出次品。 3．15个同样的玻璃球，有一个球是质量稍轻的次品，用天平至少称( )次可以保证找到这个次品玻璃球。 4．有8枚纪念币，编号为①～⑧，其中有6枚是正品，另有2枚是次品，略轻一些。笑笑用天平称了3次，结果如下图。 2枚次品纪念币分别是( )和( )（填序号）。 5．某工艺品作坊制出7对（每对2只）相同的漆制耳饰，其中一只耳饰的质量较轻，用天平称重保证能找出这只轻的耳饰时，若首次天平两端各放7只，至少还需称重( )次；若首次天平两端各放2对，至少还需称重( )次；若首次天平两端各放1对，至少还需称重( )次。 6．为了美化校园环境，学校要对教室的地面铺地砖，通过筛选得到四种图案，可以密铺的是( )。 7．如图是由相同的正六边形拼成的花砖地板，利用的是正六边形可以( )的原理。图中圈起来的拼接处形成的内角和正好是( )度。 8．一些外表相同的铜扣中有一枚铜扣质量略轻，把这些铜扣分成3份，用天平称了3次后，就把质量略轻的那枚铜扣找出来了，这些铜扣最少有( )枚，最多有( )枚。 二、深思细选，择优而定（将正确答案的序号填在括号里，每题2分，共16分） 9．下面关于密铺的说法不正确的是（    ）。 A．三角形可以密铺 B．平行四边形可以密铺 C．正五边形可以密铺 D．梯形可以密铺 10．下面图案是由一种图形密铺形成的是（    ）。 A． B． C． D． 11．有8袋糖果，外观一样，只有1袋质量不足，剩余的7袋质量相同，至少称（    ）次能保证找出这袋糖果。 A．1 B．2 C．3 D．4 12．乾隆皇帝一生喜爱玉器，在留下的诗作中赞美玉器之美的就有几百首。下面是10件玉器的质检过程，其中1件是次品（不知轻重），次品是（    ）号玉器。 A．② B．⑤ C．⑥ D．⑦ 13．16个零件里有一个是次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称（    ）次能保证找到次品。 A．2 B．3 C．4 D．5 14．做完实验一定不要忘记整理实验器材。李老师课后验收同学们使用的9套砝码盒时，发现有一个砝码忘记收进盒子里，如果用一个天平称，至少称（    ）次能找到这盒比较轻的砝码盒。 A．2 B．3 C．4 D．5 15．6个乒乓球中有1个是次品（次品重一些）。根据下图找次品的过程，可以推断出次品一定是（    ）号。 A．③ B．④ C．⑤ D．⑥ 16．如图，若干全等正五边形排成圆环形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（    ）。 A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 三、慧眼识真，明辨对错（对的打“√”，错的打“×”（每题1分，共5分） 17．平面图形变换位置后都可以密铺成美丽的图案。( ) 18．有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其它的水略重一些。假如用天平称，至少称4次能保证找出这瓶盐水。( ) 19．用天平找次品时，已知待测物品中有一个次品（次品轻一些），要保证3次测出次品，待测物品可能是10~27个。( ) 20．有6个羽毛球（外观完全相同），其中5个质量相等，另外1个次品略重一些，至少称2次就一定能找出这个次品羽毛球。( ) 21．圆不能单独密铺，三角形能单独密铺。( ) 四、缜密思辨，规范解题（共48分） 22．有4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问至少用天平称几次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重？（8分） 23．有12袋方便面，其中11袋的质量相同，另外1袋缺5克。用天平称，至少称几次能保证找出这袋质量小的方便面？（8分） 24．有25盒果脯，其中一盒多了2个，因此稍重了一些。现在只有一架没有砝码的天平。（8分） （1）称1次 把这盒稍重的果脯找出来。（填“有可能”或“不可能”） （2）如果称2次， 保证把这盒稍重的果脯找出来。（填“能”或“不能”） （3）至少称几次可以保证把这盒稍重的果脯找出来？请简单写出称的过程。 25．一箱巧克力有50盒，其中有49盒质量相同，另有1盒质量稍轻一些，利用无砝码的天平称，至少称几次才能保证找出这盒巧克力？（8分） 26．永春老醋是全国四大名醋之一。质监部门对某企业生产的永春老醋进行质量抽测，在抽测的21瓶永春老醋中有1瓶不合格（质量稍轻一些）。（8分） （1）至少称几次能保证将这瓶不合格产品找出来？ （2）如果在天平的左右两边各放10瓶永春老醋，只称1次有可能称出来吗？为什么？ 27．有36盒同一种规格的饼干，其中有一盒稍重一些。如果用天平称，至少称几次才能保证找到这盒饼干？请写出简要的过程。（8分） 五、附加题（共10分） 28．有两堆零件，第一堆比第二堆多一个零件，这两堆零件中各有一个次品（次品比正品重一些），现在用天平分别找这两堆零件中的次品，第一堆零件需要称5次，才能保证找出次品；第二堆零件需要称4次，才能保证找出次品，你知道这两堆零件分别有多少个吗？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $O 保密★启用前 第七单元探索乐园（单元测试卷·提升卷) （试卷总分：100分+10分：建议用时：60分钟) 注意事项： 1.答题前，填写好自已的姓名、班级、考号等信息，请写在试卷规定的位置。 : 2.必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案正确填写在规定的位置上。 : 3.考试结束后将试卷交回。 : 一、静心填空，落笔得分（每空2分，共26分) 1.如图，在研究图形的密铺时，通过观察可以发现，图形公共顶点处各个角的度数之和是( )时一定可 以密铺。 : 9090° 1209 6086or 90 T90° 三角形 正方形 六边形 O 2.27个零件里有1个是次品（次品轻一些），假如用天平称， 至少称( )次能保证找出次品。 ·: 3.15个同样的玻璃球，有一个球是质量稍轻的次品，用天平至少称( )次可以保证找到这个次品玻璃球。 4.有8枚纪念币，编号为①~⑧，其中有6枚是正品，另有2枚是次品，略轻一些。笑笑用天平称了3次， : 结果如下图。 ①② ⑦⑧ ③④ ⑤⑥ ①③⑦ ②④⑥ 2枚次品纪念币分别是( )和( )(填序号)。 5.某工艺品作坊制出7对（每对2只）相同的漆制耳饰，其中一只耳饰的质量较轻，用天平称重保证能找出 O 这只轻的耳饰时，若首次天平两端各放7只，至少还需称重( )次；若首次天平两端各放2对，至少还需 称重( )次；若首次天平两端各放1对，至少还需称重( )次。 6.为了美化校园环境，学校要对教室的地面铺地砖，通过筛选得到四种图案，可以密铺的是( )c : 2 7. 如图是由相同的正六边形拼成的花砖地板，利用的是正六边形可以( )的原理。图中圈起来的拼接 : : 第1页共6页 可学科网·学易金卷慨概德：就限美是禁 处形成的内角和正好是( )度。 8.一些外表相同的铜扣中有一枚铜扣质量略轻，把这些铜扣分成3份，用天平称了3次后，就把质量略轻的 那枚铜扣找出来了，这些铜扣最少有( )枚，最多有( )枚。 二、深思细选，择优而定（将正确答案的序号填在括号里，每题2分，共16分） 9.下面关于密铺的说法不正确的是()。 A.三角形可以密铺 B.平行四边形可以密铺 C.正五边形可以密铺 D.梯形可以密铺 10.下面图案是由一种图形密铺形成的是（)。 A 11,有8袋糖果，外观一样，只有1袋质量不足，剩余的7袋质量相同，至少称()次能保证找出这袋糖 果。 A.1 B.2 C.3 D.4 12.乾隆皇帝一生喜爱玉器，在留下的诗作中赞美玉器之美的就有几百首。下面是10件玉器的质检过程，其 中1件是次品（不知轻重），次品是()号玉器。 ①②③ ④⑤⑥ ③④⑤ ⑧⑨⑩ ③④⑤ ②⑥⑦ 图a 图b 图c A.② B.⑤ C.⑥ D.⑦ 13.16个零件里有一个是次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称()次能保证找到次品。 A.2 B.3 C.4 D.5 14.做完实验一定不要忘记整理实验器材。李老师课后验收同学们使用的9套砝码盒时，发现有一个砝码忘 记收进盒子里，如果用一个天平称，至少称()次能找到这盒比较轻的砝码盒。 A.2 B.3 C.4 D.5 第2页共6页 西学科网·学易金卷：想是品 15.6个乒乓球中有1个是次品（次品重一些）。根据下图找次品的过程，可以推断出次品一定是()号。 23.有12袋方便面，其中11袋的质量相同，另外1袋缺5克。用天平称，至少称几次能保证找出这袋质量 ①②③ 小的方便面？(8分) ④⑤⑥ A.③ B.④ C.⑤ D.⑥ 16.如图，若干全等正五边形排成圆环形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样 的正五边形()。 ※ O A.10个 B.9个 C.7个 D.6个 24.有25盒果脯，其中一盒多了2个，因此稍重了一些。现在只有一架没有砝码的天平。(8分) 三、慧眼识真，明辨对错（对的打“√”，错的打“×”（每题1分，共5分） (1)称1次把这盒稍重的果脯找出来。（填“有可能”或“不可能”） 17.平面图形变换位置后都可以密铺成美丽的图案。() (2)如果称2次，_保证把这盒稍重的果脯找出来。（填“能”或“不能”） 18.有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其它的水略重一些。假如用天平称，至少称4次 (3)至少称几次可以保证把这盒稍重的果脯找出来？请简单写出称的过程。 能保证找出这瓶盐水。() 19.用天平找次品时，已知待测物品中有一个次品（次品轻一些），要保证3次测出次品，待测物品可能是 0 ※ 10-27个。(） 20.有6个羽毛球（外观完全相同），其中5个质量相等，另外1个次品略重一些，至少称2次就一定能找 出这个次品羽毛球。( 21.圆不能单独密铺，三角形能单独密铺。() 四、缜密思辨，规范解题（共48分) 25,一箱巧克力有50盒，其中有49盒质量相同，另有1盒质量稍轻一些，利用无砝码的天平称，至少称几 22.有4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币比 次才能保证找出这盒巧克力？(8分) 真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问至少用天平称几次，就能保证弄清楚伪币究竞更轻还是 10颗 重？(8分) 0 ※ 0 O 第3页共6页 第4页共6页 O 26.永春老醋是全国四大名醋之一。质监部门对某企业生产的永春老醋进行质量抽测，在抽测的21瓶永春老 醋中有1瓶不合格（质量稍轻一些)。(8分) (1)至少称几次能保证将这瓶不合格产品找出来？ 舒 .! 永春老 (2)如果在天平的左右两边各放10瓶永春老醋，只称1次有可能称出来吗？为什么？ 27.有36盒同一种规格的饼干，其中有一盒稍重一些。如果用天平称，至少称几次才能保证找到这盒饼干？ 蝶 然 请写出简要的过程。(8分) : 第5页共6页 可学科网·学易金卷做概卷：就限是着 五、附加题（共10分） 28.有两堆零件，第一堆比第二堆多一个零件，这两堆零件中各有一个次品（次品比正品重一些），现在用 天平分别找这两堆零件中的次品，第一堆零件需要称5次，才能保证找出次品；第二堆零件需要称4次，才 能保证找出次品，你知道这两堆零件分别有多少个吗？ 第6页共6硕