精品解析：河南省南阳市方城县部分高中2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l经过，两点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由直线经过，两点， 可得直线的斜率为． 2. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求得正确答案. 【详解】根据椭圆的定义可知， 所以. 故选：C 3. 已知圆的方程为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的一般式方程满足的条件列不等式求解即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 4. 两条直线与之间的距离是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线与平行，两直线间的距离为 . 5. 直线过定点（ ） A. B. (1,1) C. D. (1,-1) 【答案】B 【解析】 【分析】通过分离直线方程中的参数，令参数的系数与剩余常数项同时为0，求解方程组得到定点坐标. 【详解】由整理得：. 所以直线经过的定点坐标满足，解得. 所以定点坐标为 6. 已知点为抛物线的焦点，为的准线，为上一点，过作的垂线，垂足为M．若，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线定义及已知条件知△为等边三角形，进而可求. 【详解】由抛物线的定义知：，又 为等边三角形，， 因为抛物线方程为：，则. 故，故 故选：D. 7. 已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合条件可得，即可求解. 【详解】由题意知到的距离， 要使圆上仅有个点到的距离为1，则，解得， 故选：A. 8. 如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用光线反射原理可知点关于直线的对称点与点关于直线的对称点以及重心三点共线，通过斜率相等列方程求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 由，得，，. 直线的方程：. 三角形重心坐标：，即. 设，则，. 点关于（轴）的对称点. 设点关于直线的对称点为， 根据对称性质： 由第一式得， 代入第二式：，所以. 由光线反射原理，三点共线，斜率相等：，，， 交叉相乘：， 因为，得，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线不能构成三角形，则的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分，过与的交点三种情况讨论即可. 【详解】因为直线不能构成三角形， 所以存在，过与的交点三种情况， 当时，有，解得； 当时，有，解得； 当过与的交点，则联立，解得，代入，得，解得； 综上：或或. 故选：ABD. 10. 已知点P在圆上，点Q在圆上，则（ ） A. 两圆相交 B. 圆与x轴相切 C. 的取值范围为 D. 面积的最大值为6 【答案】AB 【解析】 【分析】由方程可知各圆圆心和半径.对于A：求得，即可判断两圆位置关系；对于B：可得圆心到x轴的距离，可知圆与x轴相切；对于C：根据圆的性质分析判断；对于D：可得点到直线的距离最大值为，即可得面积最值. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径. 对于选项A：因为，即， 所以两圆相交，故A正确； 对于选项B：因为圆心到x轴的距离， 所以圆与x轴相切，故B正确； 对于选项C：由圆的性质可得，且， 所以的取值范围为，故C错误； 对于选项D：由圆的性质可知点到直线的距离最大值为， 所以面积的最大值为，故D错误； 故选：AB. 11. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，若存在点，使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 外接圆的面积的最小值为 C. 轴与的内切圆的公共点为定点 D. 设点是的内心，则直线，的斜率之比为常数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形的性质及双曲线的定义列式求得离心率判断A；设的外接圆的半径为，利用正弦定理及正弦函数的性质可得的最小值，即可求解外接圆的面积的最小值判断B；设点是的内心，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，，由双曲线的定义及切线长性质求得，即可判断C；由点是双曲线的右顶点，点在直线上，可求直线，的斜率之比为为常数，即可判断D. 【详解】因为点为双曲线右支上一点，所以，且. 若为等腰直角三角形，则只能是，. 由，得，即. 对于A，因为离心率，所以，所以A正确； 对于B，设的外接圆的半径为，则，即. 当，即时，半径取得最小值， 的外接圆的面积取到最小值，所以B错误； 对于C，如图，设点是的内心，过点分别作，，的垂线， 垂足分别为，，，由双曲线的定义及切线长性质知， ，故，所以， 则的坐标为，为定点，故C正确； 对于D，由上知点是双曲线的右顶点，点在直线上.设，， 则直线，的斜率之比为，为常数.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆C的短轴长是焦距的倍，则C的离心率为_________ 【答案】 ##0.5 【解析】 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则，得，，所以，故离心率为. 13. 已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C右支上的两点.若，点在直线PQ上，则的周长为_______ 【答案】 36 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，结合右焦点的性质求出的值，进而计算的周长。 【详解】对于双曲线，由标准方程可知，，因此，。 由此可得双曲线的左焦点的坐标为，右焦点坐标为，即题目中的点为双曲线的右焦点。 由于为双曲线右支上的两点，有，. 将上述两式相加，可得 由于点在直线上，且为双曲线右支内部的点，过的直线与右支交于两点时，位于线段上，因此. 可得， 因此的周长为. 14. 已知圆,点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为,若两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】设出两条切线后，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程，根据两点在两条切线上且纵坐标已知，写出两点的横坐标，作差后结合韦达定理求出最值. 【详解】 易知直线的斜率均不可能为0，故可设直线与直线的方程分别为：,又与圆相切， 所以即.易知为该方程的两个解, 所以 , 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点是. （1）求边上的中线所在的直线方程； （2）求边上的高所在的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式得到中点的坐标，然后得到，由点斜式写出中线所在直线的方程； （2）由所在直线的斜率求得高所在直线斜率，由点斜式写出高所在直线的方程. 【小问1详解】 因为， 所以的中点的坐标为. 又. 所以边上的中线所在的直线方程为， 即. 【小问2详解】 因为， 所以. 设边上的高所在的直线的斜率为， 所以，得. 所以边上的高所在的直线方程为， 即. 16. 已知椭圆C：的长轴长为16，短轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点是椭圆C上任意一点，，若点M满足，求点M的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由椭圆C的长轴长为16，短轴长为4，得出，， 得，， 则，， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设M的坐标为，则， 由已知，，得， 因为，所以， 则有， 因为是椭圆C上一点，所以有，代入得 ， 化简得. 17. 已知圆过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于点，，求的最小值及此时的值． 【答案】（1） （2）的最小值为， 【解析】 【分析】（1）由圆的性质可得，圆心在的垂直平分线上，联立和可得圆心的坐标，进而求 出，可得圆的方程； （2）由（1）知圆心，半径为2，易得直线过定点，分析可得要使最小，直线必与垂直，进而求 解即可. 【小问1详解】 由题意，得直线的斜率为，且的中点为， 所以的垂直平分线所在的直线斜率为1， 故的垂直平分线所在的直线方程为． 由，得，故圆心的坐标为， 又， 所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）知圆心，半径为2， 因为直线的方程为，即， 令，解得，故直线过定点． 又，故点在圆内， 要使最小，直线必与垂直，而直线的斜率等于， 所以直线的斜率为，则，即， 此时的最小值为． 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． （1）求的方程； （2）若线段的中点坐标为，求直线的方程； （3）若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 【答案】（1）的方程为； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意列关于的不等式组求出即可求解； （2）由点差法求出直线斜率即可由点斜式求解； （3）联立直线方程与双曲线方程求出韦达定理，由韦达定理结合弦长公式求出弦长，再由点到直线距离和面积求出参数k即可由数量积坐标运算分析计算求解. 【小问1详解】 由题可得，所以的方程为； 【小问2详解】 设，则， 所以， 所以直线的方程为即； 【小问3详解】 由（1）得， 当直线斜率不存在时，直线，代入双曲线方程得， 此时的面积为，不符合， 所以直线斜率存在，设直线， 联立得， 则，所以， 所以， 又点M到直线的距离为， 所以（舍去）或， 则，， 所以． 19. 已知抛物线的焦点为F，点F在直线上，过点F且与x轴垂直的直线交C于A，B两点. （1）求抛物线C的方程； （2）过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点（异于A，B)，且M，A位于x轴同一侧，直线AM与直线BN相交于点G，过点G作圆E：的两条切线，切点分别为P，Q. ①O是原点，试判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由； ②求的最小值. 【答案】（1） （2）①是，定值为；②的最小值为. 【解析】 【分析】（1）由焦点在直线上，可知，于是抛物线方程为； （2）①设直线方程，联立后利用韦达定理可得； ②由直线方程联立得点G的坐标为，利用平面几何知识可得当平行于轴时，有最小值. 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 代入直线方程，可得，解得. 所以抛物线C的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）可知，不妨设， 设过焦点的直线为， 与抛物线方程联立可得 ，即. 设，由韦达定理可知， . 所以， 所以为定值. ②由图可知，在轴同侧，且. 直线方程为，化简可得. 同理直线方程为. 联立直线方程与直线方程可得 ，解得. 结合，可得，. 又因为，所以将上述结果代入直线方程，可得 ，解得 于是点G的坐标为. 所以如下图所示，点G在直线上运动， 设圆圆心为， 显然当平行于轴时，有最小值. 此时，，解得. 所以. 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l经过，两点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 3. 已知圆的方程为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 两条直线与之间的距离是（ ） A. 5 B. C. D. 5. 直线过定点（ ） A. B. (1,1) C. D. (1,-1) 6. 已知点为抛物线的焦点，为的准线，为上一点，过作的垂线，垂足为M．若，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 6 7. 已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线不能构成三角形，则的取值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点P在圆上，点Q在圆上，则（ ） A. 两圆相交 B. 圆与x轴相切 C. 的取值范围为 D. 面积的最大值为6 11. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，若存在点，使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 外接圆的面积的最小值为 C. 轴与的内切圆的公共点为定点 D. 设点是的内心，则直线，的斜率之比为常数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆C的短轴长是焦距的倍，则C的离心率为_________ 13. 已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C右支上的两点.若，点在直线PQ上，则的周长为_______ 14. 已知圆,点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为,若两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点是. （1）求边上的中线所在的直线方程； （2）求边上的高所在的直线方程. 16. 已知椭圆C：的长轴长为16，短轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点是椭圆C上任意一点，，若点M满足，求点M的轨迹方程． 17. 已知圆过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于点，，求的最小值及此时的值． 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． （1）求的方程； （2）若线段的中点坐标为，求直线的方程； （3）若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 19. 已知抛物线的焦点为F，点F在直线上，过点F且与x轴垂直的直线交C于A，B两点. （1）求抛物线C的方程； （2）过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点（异于A，B)，且M，A位于x轴同一侧，直线AM与直线BN相交于点G，过点G作圆E：的两条切线，切点分别为P，Q. ①O是原点，试判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由； ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $