第29章圆单元提优检测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

2026-2027学年人教版九年级数学上圆单元提优检测试卷 （满分：100分 时间：80分钟） 一、选择题（每题3分，共12分） 1．如图是一个在建隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，M是中弦的中点，经过圆心交于点，且，，则的半径为（　　）． A．5 B．6.5 C．7.5 D．8 2．如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB=CD=8，则OP的长为（    ） A． B． C．4 D．2 3．如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 4．阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿基米德折弦定理．如图2，已知为的直径，为一条弦，点M是上的点，于点D，延长交弦于点E，连接，若，，则的长为(    ) A． B． C． D． 二、填空题（每题4分，共44分） 5．如图，在半径为5的中，弦，，垂足为点，则的长为__________．    6．如图，是的弦，长为8，是上一个动点（不与、重合），过点作于点，于点，则的长为________． 7．如图，CD是的直径，E为上一点，，A为DC延长线上一点，AE交于点B，且，则的度数为__________． 8．如图，将⊙O沿弦折叠，恰经过圆O，若，则阴影部分的面积为_________． 9．如图，在中，是直径，弦，垂足为E，若，，则的半径为____． 10．如图，MN是⊙O的弦，正方形OABC的顶点B、C在MN上，且点B是CM的中点．若正方形OABC的边长为7，则MN的长为___． 11．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，∠A=70°，则∠BOC=_____度． 12．在⊙O中，直径AB=8，∠ABC=30°，点H在弦BC上，弦PQ⊥OH于点H．当点P在上移动时，PQ长的最大值为__． 13．如图，在长方形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 _____． 14．如图，直线l经过的圆心O，且与交于A、B两点，点C在上，且，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与相交于另一点Q，如果，则______． 15．如图，在中，，，，是以点为圆心，4为半径的圆上一点，连接，为的中点，则线段长度的最大值为_____ 三、解答题（共44分） 16．（4分）如图，在中，，，以点C为圆心、为半径的圆交于点D，求弦所对圆心角的度数． 17．（5分）如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交圆弧于点，并且，，求的半径． (1)填空：设这个圆的半径为，则_____．（用含的代数式表示） (2)列出方程，并求出问题的解．    18．（5分）如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D恰落在上，连接并延长交于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 19．（6分）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径的圆与交于点，与交于点，连接，． (1)求的度数． (2)若，，求的长． 20．（6分）已知：如图， ，在射线上顺次截取cm，cm，以为直径作交射线 于 、 两点． (1)求圆心到的距离； (2)求弦的长． 21．（6分）如图所示，的直径AB和弦CD相交于点E，且点B是的中点，连接BD、BF、EF． (1)求证：； (2)连接OD，已知，，，求CD的长． 22．（6分）如图，点A、B、C是上的三点，． （1）求证：平分． （2）过点O作于点E，交于点P．若，，求的长． 23．（6分）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版九年级数学上圆单元提优检测试卷 （满分：100分 时间：80分钟） 一、选择题（每题3分，共12分） 1．如图是一个在建隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，M是中弦的中点，经过圆心交于点，且，，则的半径为（　　）． A．5 B．6.5 C．7.5 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的运用，理解垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦所在的弧是解答关键． 连接，根据垂径定理得到，，再勾股定理得到来求解． 【详解】解：连接， ∵是中弦的中点，， ，． 设的半径为， 则， ． ， 即：， 解得：， 即的半径为． 故选：A． 2．如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB=CD=8，则OP的长为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC，根据垂径定理得出BM=AM=4，DN=CN=4，根据勾股定理求出OM和ON，证明四边形OMPN是正方形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC． ∴AM=BM=4，CN=DN=4， ∵OA=OC=2， ∴OM=， ON=， ∴OM=ON， ∵AB⊥CD， ∴∠OMP=∠ONP=∠MPN=90°， ∴四边形OMPN是矩形， ∵OM=ON， ∴四边形OMPN是正方形， ∴OP=OM=2， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【答案】C 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理求出的长度，从而确定点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆，最后根据点与圆的位置关系求出的最小值． 【详解】解：取的中点，连接，， 为的中点，为的中点 ， 为的中位线 ， ， 的半径为，即 ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上 ， ，为的中点， ， 当点在线段上时，取得最小值， 的最小值为． 4．阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿基米德折弦定理．如图2，已知为的直径，为一条弦，点M是上的点，于点D，延长交弦于点E，连接，若，，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，设交圆于点F，连接，可得，，从而可得，利用相似三角形的性质列式可求的长度，从而可求得的长度． 【详解】解：延长，设交圆于点F，连接，如图， ∵为的直径，于点D， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理及三角形相似的判定和性质，解题的关键是准确做出辅助线，得出三角形相似． 二、填空题（每题4分，共44分） 5．如图，在半径为5的中，弦，，垂足为点，则的长为__________．    【答案】4 【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP＝AB，利用勾股定理得到答案． 【详解】连接OA， ∵AB⊥OP， ∴AP＝AB＝×6＝3，∠APO＝90°，又OA＝5， ∴OP＝＝＝4， 故答案为：4.    【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键． 6．如图，是的弦，长为8，是上一个动点（不与、重合），过点作于点，于点，则的长为________． 【答案】4 【分析】先利用垂径定理可得，，再根据三角形中位线定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，三角形形的中位线定理，得到是的中位线是解题的关键． 7．如图，CD是的直径，E为上一点，，A为DC延长线上一点，AE交于点B，且，则的度数为__________． 【答案】16° 【分析】连接OB，根据，可得，设∠A=x，则∠AOB=x，列方程求出ｘ的值即可． 【详解】连接OB 设∠A=x，则∠AOB=x 即∠A的度数为16° 故答案为：16°． 【点睛】本题考查了圆的角度问题，掌握等边对等角、三角形外角定理是解题的关键． 8．如图，将⊙O沿弦折叠，恰经过圆O，若，则阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，交劣弧于点，由题意易得，则有，然后根据特殊三角函数值及扇形面积公式可进行求解阴影部分的面积． 【详解】解：过点作于点，交劣弧于点，如图所示： 由题意可得：， ∴， ， ， ∴弓形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 故答案为：． 9．如图，在中，是直径，弦，垂足为E，若，，则的半径为____． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，解直角三角形等知识，熟练掌握圆周角定理，由垂径定理求出是解决问题的关键．连接，由圆周角定理得出，根据垂径定理求出，解直角三角形求解即可． 【详解】解：连接，如图所示， 是直径，， ，， ， ， 在中，， ∴， ∴的半径为， 故答案为：2． 10．如图，MN是⊙O的弦，正方形OABC的顶点B、C在MN上，且点B是CM的中点．若正方形OABC的边长为7，则MN的长为___． 【答案】28 【详解】试题分析：∵四边形OABC是边长为7的正方形，∴BC=7，∠OCB=90°．∴OC⊥MN． ∴由垂径定理得：MN=2CM． ∵点B是CM的中点，∴CM=2BC．∴MN=4BC=4×7=28． 11．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，∠A=70°，则∠BOC=_____度． 【答案】125 【详解】解：过O作OM⊥AB，ON⊥AC，OP⊥BC，垂足分别为M，N，P ∵∠A=70°,∠B+∠C=180∘−∠A=110° ∵O在△ABC三边上截得的弦长相等， ∴OM=ON=OP， ∴O是∠B，∠C平分线的交点 ∴∠BOC=180°−12(∠B+∠C)=180°−12×110°=125°. 故答案为：125° 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系, 三角形内角和定理, 角平分线的性质，解题的关键是掌握它们的性质和定理. 12．在⊙O中，直径AB=8，∠ABC=30°，点H在弦BC上，弦PQ⊥OH于点H．当点P在上移动时，PQ长的最大值为__． 【答案】4 【详解】试题解析：连接OP，当OH⊥BC时，PQ长的最大. 此时 在中, ∵PQ⊥OH， 故答案为 点睛：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧. 13．如图，在长方形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 _____． 【答案】 【分析】本题考查动点最值，轴对称性质、三角形三边关系、勾股定理等知识点，解决问题的关键是根据三角形的三边关系确定线段的最小值情况．连接、，利用勾股定理得到，由三角形三边关系可知当、、三点共线时， 线段的值最小， 由对称性质可知，最后根据最小值情况求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 长方形中，，， ， 由三角形三边关系可知，即， 由对称性质可知， 当、、三点共线时， 线段的值最小， 的最小值为． 故答案为：． 14．如图，直线l经过的圆心O，且与交于A、B两点，点C在上，且，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与相交于另一点Q，如果，则______． 【答案】、、． 【分析】点P是直线l上的一个动点，因而分点P在线段AO上，点P在AO延长线上，点P在OA的延长线上这三种情况进行讨论求解即可． 【详解】当P在线段OA上如图， 在△QOC中，OC=OQ， ∴∠OQC=∠OCP， 在△OPQ中，QP=QO， ∴∠QOP=∠QPO， 又∵∠AOC=20°， ∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+20°， 在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°， 即（∠OCP+20°）+（∠OCP+20°）+∠OCP=180°， 整理得，3∠OCP=140°， ∴∠OCP=． ②当P在线段OA的延长线上如图 ∵OC=OQ， ∴∠OQP=∠OCQ=∠COP+∠OPQ=20°+∠OPQ， ∵OQ=PQ， ∴∠OPQ=∠QOP， 在△OQP中，20°+∠OPQ+∠OPQ+∠OPQ=180°③， 则∠OPQ=， ∴∠OCP=180°-20°-=； 当P在线段OA的反向延长线上如图， ∵OQ=PQ， ∴∠QPO=∠QOP， ∵OC=OQ， ∴∠OCP=∠OQC=∠QPO+∠QOP=2∠QPO， ∵∠AOC=20°， ∴∠OCP+∠QPO=20°， ∴3∠QPO=20°， ∴∠QPO=， ∴∠OCP=2∠QPO=． 故答案为、、． 【点睛】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质,三角形外角性质，先假设存在并进行分类讨论是进行解题的关键． 15．如图，在中，，，，是以点为圆心，4为半径的圆上一点，连接，为的中点，则线段长度的最大值为_____ 【答案】7 【分析】作的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，然后在中根据三边关系即可求解．本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：作的中点，连接、，， 在中，， 是斜边上的中点， ， 是的中点，是的中点， ， 在中，，即， 最大值为7． 故答案为：7． 三、解答题（共44分） 16．（4分）如图，在中，，，以点C为圆心、为半径的圆交于点D，求弦所对圆心角的度数． 【答案】 【分析】由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（5分）如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交圆弧于点，并且，，求的半径．    (1)填空：设这个圆的半径为，则_____．（用含的代数式表示） (2)列出方程，并求出问题的解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】连接，利用垂径定理求解，利用勾股定理建立方程求解半径即可得到答案． 【详解】（1）连接，    ∵是弦的中点，且经过圆心， ∴，且， 在Rt中， ∵的半径为，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴， ∴ 整理得，， 解得：． 【点睛】此题考查了垂径定理及勾股定理的应用，掌握利用垂径定理构建直角三角形是解题的关键． 18．（5分）如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D恰落在上，连接并延长交于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由旋转可得，即可得的度数，且可得，再由直径所对的圆周角为，可得，由此可得的度数，再求出的度数，由此可证． （2）设，根据，得出，则，即可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 将弦绕点顺时针旋转得到， ，且， ，． 是的直径， ． ， ． ， 即． （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 19．（6分）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径的圆与交于点，与交于点，连接，． (1)求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)的长为5． 【分析】（1）如图，连接，根据题意得到，，根据等腰三角形的定义得到，则，即可求解； （2）根据题意可证，得到，即，由此解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， 又， ， ， ， ． （2）解：，     ， ， ， 整理得， 解得或（舍去）， 的长为5． 20．（6分）已知：如图， ，在射线上顺次截取cm，cm，以为直径作交射线 于 、 两点． (1)求圆心到的距离； (2)求弦的长． 【答案】(1)4cm (2)6cm 【分析】（1）过点作于，如图，根据含度的直角三角形三边的关系求出即可； （2）连接，如图，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出 即可． 【详解】（1）解：过点作于，如图， ， ， ， 在中，， ， 即圆心到的距离为4cm； （2）解：连接，如图， ， ， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形、垂径定理、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 21．（6分）如图所示，的直径AB和弦CD相交于点E，且点B是的中点，连接BD、BF、EF． (1)求证：； (2)连接OD，已知，，，求CD的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由B是的中点，可得，，，由则可证明； （2）由题意易得圆的半径与，过O作于G，由垂径定理得，由直角三角形中角的性质可得，再由勾股定理即可求得的长，从而求得的长． 【详解】（1）证明：∵B是的中点． ∴， ∴， ∴，， ∵在和中，， ∴（SAS）． （2）解：∵，， ∴． ∵AB是的直径， ∴，． 过O作于G，则， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查了弧、弦、圆周角间的关系，垂径定理，勾股定理、直角三角形中角的性质，全等三角形的判定等知识，运用弧、弦、圆周角间的关系及作弦的垂线从而运用垂径定理是解题的关键． 22．（6分）如图，点A、B、C是上的三点，． （1）求证：平分． （2）过点O作于点E，交于点P．若，，求的长． 【答案】答案见解析. 【分析】（1）用平行线及角平分线的性质证明AC平分∠OAB． （2）利用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】证明：∵AB∥OC， ∴∠C=∠BAC． ∵OA=OC， ∴∠C=∠OAC． ∴∠BAC=∠OAC． 即AC平分∠OAB． 解：∵OE⊥AB， ∴AE=BE=． 又∵∠AOE=30°，∠PEA=90°， ∴∠OAE=60°． ∴∠EAP= ∠OAE=30°， ∴PE=AE×tan30°=， 即PE的长是 ． 【点睛】本题利用的是平行线，角平分线的性质结合直角三角形的性质利用勾股定理解答，有一定的综合性． 23．（6分）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 【答案】(1)点A在圆上，点B在圆外，点M在圆内 (2) 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，，在圆外，，在圆上，，在圆内判断是解题关键． （1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较与半径的大小关系即可得出答案； （2）利用分界点当A、B、M三点中至少有一点在内时，以及当至少有一点在外时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵在中，，的中点为点M， ∴，， ∵以点C为圆心，3为半径作， ∴，则点A在圆上，，则点M在圆内，，则点B在圆外； （2）解：以点C为圆心作，使A、B、M三点中至少有一点在内时，， 当至少有一点在外时，， 故的半径r的取值范围为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $