精品解析：浙江杭州市2026-2027学年第一学期高三年级教学质量检测数学试题卷

2026学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！ 3．考试结束，只需上交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的运算可得，再由复数的几何意义求复数的模可得. 【详解】因为，所以， 即，所以. 2. 设随机变量，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以正态分布密度曲线的对称轴为， 已知，根据正态分布的对称性， 可得，解得． 3. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质，并代入函数解析式进行求解即可. 【详解】已知函数为奇函数，则 4. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，又， 所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即． 5. 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得, 又曲线在点处的切线方程为, 所以,可得. 6. 中国数学家、菲尔兹奖获得者邓煜曾对玻尔兹曼熵进行深入研究，在一定条件下，系统的熵随时间的变化规律为，其中为平衡态熵，为初始熵，为分子碰撞频率，为自然对数的底数．设，当增大时，系统的熵（ ） A. 减小，且减速越来越慢 B. 减小，且减速越来越快 C. 增大，且增速越来越快 D. 增大，且增速越来越慢 【答案】D 【解析】 【详解】， 由题，，， ，指数函数是增函数，且，故恒成立， 即，函数单调递增； 又随着增大而减小，故随着增大而减小，即函数的图象切线斜率越来越小，即增速越来越慢. 7. 如图，，，是曲线与的三个相邻的交点．若的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用和差化积求出两曲线交点横坐标，得到三个相邻交点，算出三角形底边长；再求出交点纵坐标之差作为三角形的高，结合面积公式建立关于的方程，即可求解. 【详解】根据题意，，则，即. 若，则两曲线完全重合，不满足题意，因此只有，所以，解得. 三个相邻交点，，对应的坐标依次取连续整数，，，则，，， 所以三角形底边的长度. 把，代入，得，， 则三角形的高. 又，即，即， 所以，解得，所以的最小值为. 8. 已知圆，，，直线被，，截得的弦长分别为，，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线距离和弦长公式写出三条弦长，代入，换元解方程，最后检验即可。 【详解】根据题意，圆的圆心为，圆的圆心为，圆的圆心为，且三个圆的半径均为. 当时，，不满足，所以； 当时，各圆的圆心到直线的距离依次为，，， 此时，同理，， 又，所以，化简得. 令，则可得，即， 两边取平方，得，即, 两边再取平方，整理得，解得或， 因为，所以，所以. 检验：，且此时满足. 故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为研究光照时间（单位：h）与某植物产量y（单位：）之间的关系，现收集一组数据并计算得：平均光照时间为10 h，植物平均产量为，经验回归方程为，则（ ） A. B. 变量x和y正相关 C. 光照时间每增加1 h，植物产量约增加 D. 当x时，y的预测值为7 【答案】ABC 【解析】 【详解】由题意可知：样本中心为，将其代入中可得，故A正确， 对于B,由于经验回归方程的斜率为0.5，故x和y正相关，光照时间每增加1 h，植物产量约增加,BC正确， 对于D, 当x时，,y的预测值为5.7,D错误. 10. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，则（ ） A. 的最小值为 B. 存在点，使得 C. 若，则直线与有两个交点 D. 若点在轴上，则 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，利用直线参数方程结合韦达定理与焦点弦长公式，求出弦长关于斜率倒数的二次函数最小值，选项B，通过证明向量恒非负，得出两线夹角最大为直角，从而排除钝角可能，选项C，由向量垂直条件得出点坐标后，推导发现直线斜率恰好等于抛物线在点处的切线斜率，证明其为仅有一个交点的切线，选项D，确定点坐标后，利用韦达定理推导证明直线和的斜率互为相反数，从而得出两直线关于轴对称且角度相等. 【详解】由题意得，准线，，设直线， 联立得，设， 则，则， 且恒成立， 对于A，， 因为，所以当时即直线垂直于轴时，取最小值，故A正确， 对于B，因为P在C的准线上，故设点， 所以， 则， 由上知， 则， 因为，所以，则， 可知，故B错误， 对于C，若，则，由上知此时，即， 此时点，则， 由上知， 则， 因为，且点在抛物线上，即， 所以， 则， 设过点的切线方程为，由题意得存在且， 则，代入整理得， 则有，即， 即，结合，所以， 代入得，即，解得， 故此时直线为抛物线的切线，只有1个交点，故C错误， 对于D，由题意得，所以为轴，， 则 ， 将和代入分子得， 所以，即，所以直线和关于轴对称， 所以，故D正确. 11. 若存在实数和，使得对，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，的最小值为 D. 当时，的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】方法一：设，取最接近的整数，则，结合上述结论，寻找靠近最高点的整数倍角，再结合正弦函数的值域判断各选项.方法二：利用单位圆等分点与抽屉原理判断各选项. 【详解】方法一：寻找靠近最高点的整数倍角 先证一个简单结论：设，取最接近的整数，则. 注：相邻整数的距离为 1，任意实数到某个整数的距离不超过，因而上述整数一定存在，不要求与的比值为有理数. A项：，且，故，A正确. B项：当时，由上述结论，存在整数，使. 故时不可能有，B错误. C项：当时，正弦值循环取，故. 取，所有正弦值均为，故的最小值为，C正确. D项：记，则. 若，则存在整数，使，矛盾. 若，令，则，且对任意整数，. 取最接近的整数，得，矛盾，故. 当时，所有正弦值循环取，均不超过，因而的最小值为，D正确. 方法二：单位圆等分点与抽屉原理 将对应到单位圆上，正弦值就是相应点的纵坐标. A项：单位圆上任一点的纵坐标均不小于，故，A正确. B项：时得到正六边形的六个顶点.相邻顶点的圆心角为，最高点到某个顶点的圆心角不超过， 故至少一个顶点的纵坐标不小于，B错误. C项：时得到正方形的四个顶点.最高点到某个顶点的圆心角不超过，故最大纵坐标不小于. 取时四个顶点的纵坐标均为，等号成立，C正确. D项：仍记，先分清圆上出现的点的个数. 若，其中为互质正整数，则恰有个不同的点. 当时，这些点等分单位圆，必有一个点到最高点的圆心角不超过，其纵坐标不小于，不符合题意. 注：当取时，除以的余数互不相同，因而恰为.这说明所得点确为单位圆的 q 等分点. 若为无理数，则前五个点互不相同.将单位圆按四个象限分成四段，每段包括起点而不包括终点. 由抽屉原理，其中两个点落在同一段，它们的角度差可写成.其中为整数且. 因而所有角对应的点，也都在原来得到的点中. 取最接近的整数，则，仍不符合题意. 故只能有，且，从而. 取，圆上三点为，最大纵坐标为.因而最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量，，满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由向量的数量积的运算性质计算可得. 【详解】因为单位向量，，满足，所以， 因此，因为， 所以，即. 13. 已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用双曲线定义结合余弦定理计算作答. 【详解】令双曲线C的半焦距为c，即，又，，则， 中，，由余弦定理得， 即，整理得， 所以C的离心率． 故答案为： 14. 已知e是自然对数的底数，若集合恰有4个子集，则满足条件的整数a的个数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】将问题转化为存在唯一的非零整数使得，，求导得函数的单调性，结合函数的图象即可求解. 【详解】由于恰好有4个子集，所以该集合中有2个元素， 因此存在两个整数满足， 令，则，故在，上单调递增， 当时，，，，， 故作出的大致图象如下： 由于时，成立，因此存在两个整数满足， 转化为存在唯一的非零整数使得或， 结合， 若时，此时可取，满足， 可取1满足，不满足题意， 当时，此时可取，满足，不满足题意， 当时，此时可取1,2，满足，不满足题意， 当满足，此时只有满足，故整数可为3,4,5,6，共4个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，根据三角形面积公式结合正弦定理进行求解即可； （2）根据（1）可知，再根据余弦的差角公式可求得：，进而根据余弦和角公式及诱导公式求得，最后根据平方关系求得的值即可求解三角形面积. 【小问1详解】 根据正弦定理，可得：， 又，解得：， 【小问2详解】 由（1）可知，又因为，所以可得：. 从而， 即有， 又因为，所以． 又因为，所以． 16. 已知数列的前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）记，，证明：当时，． 【答案】（1） （2）由（1）知，则， ， ， 当时，要证明，需得到， 由二项式定理有，， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用与的关系，将已知的递推式转为的递推关系，进而求出的通项公式； （2）利用等比数列求和及的通项公式，分别求出与的表达式，对比寻找放缩关系来证明不等式. 【小问1详解】 由题，，， ， 当时，； 当时，， ，化简得：， 所以，即（也成立）， 所以. 【小问2详解】 略 17. 已知，设集合． （1）若，求； （2）若，且．证明： （ⅰ）； （ⅱ）（为自然对数的底数）． 【答案】（1） （2）（i）由题知点是函数与的图象的交点， 所以，且． 由，故， 由，两边取自然对数得．① 由及换底公式得：，所以．② 由①②得． （ii）令，则，当时，． 易得在上单调递减，在上单调递增． 由（i）知，不妨设． 令，,则, 所以单调递减，所以 所以，所以， 又因为，，且在上单调递增． 所以，所以，证毕． 【解析】 【分析】（1）根据指数式转化为对数式求解即可； （2）（ⅰ）由点是函数与的图象的交点，可得且，转化为自然对数式后可得证；（ⅱ）令，利用导数求出单调区间，可得的单调性，据此得证. 【小问1详解】 由题知，且，所以． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 18. 已知椭圆的离心率为，过坐标原点的直线交于，两点，且的最大值为4． （1）求的方程； （2）设点在第一象限，作轴，垂足为，连结并延长交于点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记外接圆面积为，外接圆面积为，求的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设直线的斜率为，则，， 所以． 又， 所以，所以． （ⅱ）8 【解析】 【分析】（1）根据离心率及椭圆长轴长求解即可； （2）（ⅰ）求出的斜率，利用求证；（ⅱ）设直线方程，联立椭圆方程，分别求出，可化为，利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题知的最大值为，即， 又，所以，所以， 所以． 【小问2详解】 设，，则，． （ⅰ）略 （ii）设直线的方程为， 联立，解得， 所以 直线的方程为． 由，得， 则，即， 所以， 所以， （当且仅当时等号成立） 设外接圆半径为，外接圆半径为， 则，， 所以，即的最小值为8． 19. 一个圆形项链有颗珠子，每颗为红色或蓝色．若任意将这串项链分割成段，每段连续颗珠子，各段中红色珠子的个数互不相同，那么称这串项链为好分链，正整数对为分链数对． （1）现有甲乙两串项链，如图所示，表示红色，表示蓝色．请判断它们是否为好分链（给出判断即可，不必说明理由）； （2）证明：对任意给定的，是分链数对； （3）对给定的，求所有的正整数，使得是分链数对． 【答案】（1）甲是−好分链，乙不是−好分链． （2）对任意一段颗珠子，红珠子的数量只可能为中的某一个数字，所以最多只能产生段，每段颗珠子，且各段中红色珠子数均互不相同． 可以构造如下−好分链： 用表示从左到右的第i颗珠子， 这串项链共有n种分段方式． 方式：从开始，各段R的个数为，，，，； 方式：从开始，各段R的个数为，，，，； 方式：从开始，各段R的个数为，，，，； …… 方式：从开始，各段R的个数为，，，，1； 可以逐一验证无论将该串项链怎么分成段连续的n颗珠子，各段红色珠子数分别为，互不相同． 因此，可由这颗珠子构造出−好分链， 所以是分链数对． （3）的取值可以是，． 【解析】 【分析】（1）按好分链定义检查：把圆链分成四段，每段三颗，看是否两两不同，据此可完成判断； （2）由题设可得红珠数的可能性为，共种，构造一条由全蓝，一红，两红，……，红等珠链段构成的项链，证明该项链可从任意位置分成段，且每段红珠数为的每个排列即可完成证明； （3）由题设结合反证法可得，再由（2）去掉末尾连续的段，可得到 好分链，据此可得答案. 【小问1详解】 甲是−好分链，乙不是−好分链. 理由如下：甲串项链有颗红色珠子，颗蓝色珠子，刚好可以分成段，一段颗蓝色珠子，一段颗红色珠子颗蓝色珠子，一段颗红色珠子颗蓝色珠子，一段颗红色珠子，符合好分链定义，因此甲是−好分链； 乙串项链有颗红色珠子，颗蓝色珠子，若可以分成段，使每段中红色珠子的个数互不相同，至少需要颗红色珠子，显然红色珠子不够，因此乙不是−好分链. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于任意一段颗珠子，红珠子的数量只可能分别为中的某一个，共有种情况． 因此若，则段的颗珠子必有两段及以上有相同的红色珠子个数，不符合题意．因此． 由（2）知，可构造出“−好分链”，若去掉这个“−好分链”的第段，类似（2）可证剩余的为“−好分链”； 类似地，去掉其第段和第段（后面两段），剩余的为“−好分链”； …… 如此一直下去，去掉后面连续的n段，剩余的为“−好分链”． 所以的取值可以是，． 【点睛】本题关键为读懂题干中的定义，并巧妙构造一条由全蓝，一红，两红，……，红等珠链段构成的项链，为此可先考虑较小时的情况，再类比推广到较大的情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！ 3．考试结束，只需上交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设随机变量，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 中国数学家、菲尔兹奖获得者邓煜曾对玻尔兹曼熵进行深入研究，在一定条件下，系统的熵随时间的变化规律为，其中为平衡态熵，为初始熵，为分子碰撞频率，为自然对数的底数．设，当增大时，系统的熵（ ） A. 减小，且减速越来越慢 B. 减小，且减速越来越快 C. 增大，且增速越来越快 D. 增大，且增速越来越慢 7. 如图，，，是曲线与的三个相邻的交点．若的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，，，直线被，，截得的弦长分别为，，．若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为研究光照时间（单位：h）与某植物产量y（单位：）之间的关系，现收集一组数据并计算得：平均光照时间为10 h，植物平均产量为，经验回归方程为，则（ ） A. B. 变量x和y正相关 C. 光照时间每增加1 h，植物产量约增加 D. 当x时，y的预测值为7 10. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，则（ ） A. 的最小值为 B. 存在点，使得 C. 若，则直线与有两个交点 D. 若点在轴上，则 11. 若存在实数和，使得对，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，的最小值为 D. 当时，的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量，，满足，则________． 13. 已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为____________． 14. 已知e是自然对数的底数，若集合恰有4个子集，则满足条件的整数a的个数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为． （1）求； （2）若，，求的面积． 16. 已知数列的前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）记，，证明：当时，． 17. 已知，设集合． （1）若，求； （2）若，且．证明： （ⅰ）； （ⅱ）（为自然对数的底数）． 18. 已知椭圆的离心率为，过坐标原点的直线交于，两点，且的最大值为4． （1）求的方程； （2）设点在第一象限，作轴，垂足为，连结并延长交于点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记外接圆面积为，外接圆面积为，求的最小值． 19. 一个圆形项链有颗珠子，每颗为红色或蓝色．若任意将这串项链分割成段，每段连续颗珠子，各段中红色珠子的个数互不相同，那么称这串项链为好分链，正整数对为分链数对． （1）现有甲乙两串项链，如图所示，表示红色，表示蓝色．请判断它们是否为好分链（给出判断即可，不必说明理由）； （2）证明：对任意给定的，是分链数对； （3）对给定的，求所有的正整数，使得是分链数对． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $