精品解析：上海市闵行区2026-2027学年上学期九年级数学 期中试题

2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷 （考试时间：100分钟 满分：150分） 一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. （为常数） C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需先化简各选项函数，结合二次项系数不为0、的最高次数为2的条件判断． 【详解】解：∵ 选项A中的最高次数为1，是一次函数， ∴ 不符合题意； ∵ 选项B中当时，函数为，是一次函数， ∴ 不符合题意； ∵ 选项C中，二次项系数为，最高次数为2，是二次函数， ∴ 符合题意； ∵ 选项D中，最高次数为1，是一次函数， ∴ 不符合题意． 2. 下列各选项中的两个图形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个矩形 D. 两个正方形 【答案】D 【解析】 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，缺一不可，据此逐一判断即可． 【详解】解：A． 两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不一定相似． B． 两个等腰三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不一定相似． C． 两个矩形，对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定相似． D． 两个正方形，对应角相等，对应边的比相等，一定相似． 3. 如图，已知直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例的基本定理，结合比例的合比性质逐一验证四个选项的比例式是否成立． 【详解】解：， ， 选项A、把等式两边同时加1，， 即， ，选项A正确； 选项B、，其中是三条平行线上的线段，不属于两条截线的对应线段，不满足平行线分线段成比例的规则，该式不成立，选项B错误； 选项C、，由定理可知， 显然，该式不成立，选项C错误； 选项D、，其中是三条平行线上的线段，不属于两条截线的对应线段，该式不成立，选项D错误． 4. 如图是二次函数的图像，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项． 【详解】解：抛物线开口向下，则，故A错误； 由图可知抛物线对称轴为直线，根据对称轴公式，可得； ∵， ∴，故B正确； 抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，当时函数值，因此，故C错误； 把代入函数解析式得，由图可知对应抛物线上的顶点在第一象限，函数值为正，即，故D错误． 5. 如果将抛物线向左平移10个单位，那么此抛物线与y轴的交点M在平移过程中的位置变化情况符合下列哪种情形（ ） A. 持续上升 B. 持续下降 C. 先上升再下降 D. 先下降再上升 【答案】D 【解析】 【分析】将轴交点的纵坐标表示为平移距离的函数，利用二次函数增减性判断位置变化． 【详解】解：设向左平移个单位（）， 平移后抛物线的解析式为， 令，得抛物线与轴交点的纵坐标， ∵该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，点下降， 当时，随的增大而增大，点上升． 即点的位置先下降再上升． 6. 我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米，要使像的长度变为原来的倍，下列操作正确的是（ ） A. 人向暗室后退2米 B. 人向暗室前进2米 C. 人向暗室后退4米 D. 人向暗室前进4米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意可得，则可得到小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，可求出操作前，操作后小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，， ∴小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离， ∵操作前小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米， ∴操作前； ∵操作后像的长度变为原来的倍， ∴操作后小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离， 当人向暗室后退2米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故A不符合题意； 当人向暗室前进2米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，满足题意，故B符合题意； 当人向暗室后退4米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故C不符合题意； 当人向暗室前进4米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故D不符合题意； 故选：B． 二．填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 7. 如果，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 8. 如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数满足， 移项解得． 9. 已知线段的长为，点是线段的黄金分割点，那么较长线段的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的概念得到，把代入计算即可． 【详解】解：∵线段的长为，点是线段的黄金分割点，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念，理解黄金分割点的概念是解题的关键． 10. 已知抛物线经过点和，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，结合该抛物线的对称轴位置，可直接建立两点横坐标的关系求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点和点的纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴两点横坐标的中点在对称轴上，即． 解得． 11. 若二次函数的图像有最高点，那么__________． 【答案】2 【解析】 【分析】结合二次函数的定义（自变量最高次数为2，二次项系数不为0）和图像有最高点即开口向下的性质，联立条件求解m的值． 【详解】解：∵该函数为二次函数， ∴x的最高次数为2，即， 解得或， ∵二次函数的图像有最高点， ∴抛物线开口向下，二次项系数小于0， 即，解得， ∴符合条件的m值为2． 12. 如图，点D、E分别在的边的延长线上，且． 若，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质，得到，然后根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，​ ∵，， ∴， 即， 解得：， ∴． 13. P是边上的任一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截，如果截得的三角形与相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．中，，，当点P是边上一个三等分点时（），过点P的的“相似线”最多有___________条． 【答案】4 【解析】 【分析】根据相似线的定义，可知截得的三角形与有一个公共角，分①公共角为时；②公共角为时；③公共角为时；三种情况进行讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当公共角为时，不存在； ②公共角为时，过点作，交于点D，如图所示： ∵，， ∴； 过点P作于点D，如图所示： ∵，， ∴； ③公共角为时， 连接，如图所示： ∵， ∴， 设，则， ， ∵点P是边上一个三等分点，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； 过点P作，交于点D，如图所示： ∵， ∴，， ∴； 综上分析可知，过点P的的“相似线”最多有4条． 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 14. 若抛物线与轴没有交点，那么的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线为二次函数，需满足二次项系数不为0，抛物线与轴无交点等价于对应一元二次方程无实数根，即判别式小于0，据此列不等式求解 【详解】解：∵该函数为抛物线， ∴二次项系数，即． ∵抛物线与轴没有交点， ∴当时，对应的一元二次方程无实数根， ∴判别式， 其中，，． 代入计算得 ． 令，即， 解不等式得， ∵时，，满足抛物线的二次项系数要求， ∴的取值范围为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的菱形与边长为3的菱形是位似图形，点是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则位似中心的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似，熟练掌握位似的性质，是解题的关键．过点作轴，轴，根据位似比等于相似比，得到，证明，求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵边长为1的菱形与边长为3的菱形是位似图形，点是位似中心， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， 过点作轴，轴， 则：轴，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 若抛物线（其中是常数）的对称轴是直线，当时，函数的最大值与最小值的差为9，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据对称轴公式确定抛物线的一次项系数，将解析式化为顶点式，结合开口方向，按区间与对称轴的位置关系分三类讨论，利用函数增减性和顶点性质表示出最大值与最小值的差，列方程求解并验证取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴由对称轴公式，得， ∴抛物线解析式，抛物线开口向上，顶点坐标为，即时函数取得最小值， 当区间在对称轴左侧，即，即时， 此时区间上的最大值为时的函数值，最小值为时的函数值， ∴最大值与最小值的差为， 令，解得，符合该情况的取值范围； 当区间在对称轴右侧，即时， 此时区间上的最大值为时的函数值，最小值为时的函数值， ∴最大值与最小值的差为， 令，解得，符合该情况的取值范围； 当区间跨对称轴，即，即时， ∵顶点在区间内部， ∴区间上的最小值为顶点处的函数值为， 最大值为区间端点中离对称轴更远的点的函数值，两个端点到对称轴的距离分别为，， 当，即时，，解得或，均不满足，舍去； 当，即时，，解得或，均不满足，舍去； 综上，的值为或． 三．简答题（本大题共7题，满分86分） 17. 如图，已知在中，点、分别在边、上，，若且． （1）求； （2）求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质，即可求解． （2）作的高，根据得出，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：因为 所以 因为，所以 所以 因为，所以 【小问2详解】 如图，作的高， 则 因为，所以 所以 18. 已知二次函数图像上部分点的坐标如下表所示： 0 1 0 m n 0 根据表中的信息回答以下问题： （1）该二次函数的对称轴是 ； （2）求该二次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由表格数据知，抛物线与轴交点为、，对于二次函数，若图像上两个点的纵坐标相等，则这两个点关于对称轴对称，对称轴是这两个点横坐标的平均值； （2）由待定系数法即可求解. 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为． 【小问2详解】 解：将点、、代入，得 解得： 所以，该二次函数的解析式为． 19. 如图，已知：在中，，点在边上，点在边上，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴ ∴ ∴ ，即 （2） 【解析】 【分析】（1）利用一线三等角模型证明，可得，进而由相似三角形性质得出结论； （2）证明，可得，由比例式计算即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴． 20. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】（1）15米； （2）当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； 【小问2详解】 解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 21. 如图，这是由大小相等的边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C、D都是格点，连接、交于点E，连接、． （1）证明：． （2）求的值．（如需作辅助线，请仅用无刻度直尺在给定网格中作图） 【答案】（1）证明：如图，连接， 由图可知，，，， ∴， ∴， 即． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先得出，，的长，再根据勾股定理的逆定理即可得证； （2）取格点，连接，，得出，根据相似三角形的性质即可得． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：如图，取格点，连接，， 由图可知，，，，且三点共线， ∴， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中是常数且）经过、两点． （1）求a、c的值； （2）如果将抛物线向左平移个单位，再向上平移单位，平移后新抛物线经过点， ①求该抛物线的表达式； ②若点P是该抛物线上一点，过点P的直线垂直于x轴，交直线于点Q． 设P点横坐标为m，线段的长度为d，求当d随m增大而减小时，d与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将点和代入计算即可； （2）①先得出，再得出平移后新抛物线的解析式，将点代入求出的值即可； ②先求出抛物线与直线的交点为点和，再分三种情况：、和，结合二次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入函数得：， 将点代入函数得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①由（1）可知，抛物线的解析式为，， ∵， ∴， ∴， ∴平移后新抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴该抛物线的表达式为． ②由题意得：，， 联立，解得或， 即抛物线与直线交于点和， 画出大致图形如下： （Ⅰ）当时，， 由二次函数的性质可知，在内，随的增大而减小，符合题意； （Ⅱ）当时，， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大，不符合题意，舍去； 当时，随的增大而减小，符合题意； （Ⅲ）当时，， 由二次函数的性质可知，在内，随的增大而增大，不符合题意，舍去； 综上，． 23. 已知，将绕点旋转得到，，，，旋转角为（ ），连接、． （1）如图1，求证：． （2）如图2，当点恰好落在边上，延长交边于点，连接、，求证：． （3）如图3，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交边于点，求的长． 【答案】（1）证明：由题意得 因为，， 所以 且 所以 （2） 证明：由题意得 又因为 所以 所以 即， 又因为 所以 所以 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得，则，结合，即可得证； （2）先证明，结合，得出，根据相似三角形的性质，即可得证； （3）先证明，求得，再证明，求得，进而求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：因为是的中线 所以 所以， 因为 所以 所以 又由是公共角 所以 所以 即 ，所以 因为 所以即 又由 所以 因为 所以 又由是公共角 所以 所以 即 ，所以 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷 （考试时间：100分钟 满分：150分） 一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. （为常数） C. D. 2. 下列各选项中的两个图形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个矩形 D. 两个正方形 3. 如图，已知直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是二次函数的图像，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果将抛物线向左平移10个单位，那么此抛物线与y轴的交点M在平移过程中的位置变化情况符合下列哪种情形（ ） A. 持续上升 B. 持续下降 C. 先上升再下降 D. 先下降再上升 6. 我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米，要使像的长度变为原来的倍，下列操作正确的是（ ） A. 人向暗室后退2米 B. 人向暗室前进2米 C. 人向暗室后退4米 D. 人向暗室前进4米 二．填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 7. 如果，那么的值是______． 8. 如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是__________． 9. 已知线段的长为，点是线段的黄金分割点，那么较长线段的长是_____． 10. 已知抛物线经过点和，那么__________． 11. 若二次函数的图像有最高点，那么__________． 12. 如图，点D、E分别在的边的延长线上，且． 若，，，则的长为__________． 13. P是边上的任一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截，如果截得的三角形与相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．中，，，当点P是边上一个三等分点时（），过点P的的“相似线”最多有___________条． 14. 若抛物线与轴没有交点，那么的取值范围是__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的菱形与边长为3的菱形是位似图形，点是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则位似中心的坐标为______． 16. 若抛物线（其中是常数）的对称轴是直线，当时，函数的最大值与最小值的差为9，则__________． 三．简答题（本大题共7题，满分86分） 17. 如图，已知在中，点、分别在边、上，，若且． （1）求； （2）求 18. 已知二次函数图像上部分点的坐标如下表所示： 0 1 0 m n 0 根据表中的信息回答以下问题： （1）该二次函数的对称轴是 ； （2）求该二次函数的表达式． 19. 如图，已知：在中，，点在边上，点在边上，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 21. 如图，这是由大小相等的边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C、D都是格点，连接、交于点E，连接、． （1）证明：． （2）求的值．（如需作辅助线，请仅用无刻度直尺在给定网格中作图） 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中是常数且）经过、两点． （1）求a、c的值； （2）如果将抛物线向左平移个单位，再向上平移单位，平移后新抛物线经过点， ①求该抛物线的表达式； ②若点P是该抛物线上一点，过点P的直线垂直于x轴，交直线于点Q． 设P点横坐标为m，线段的长度为d，求当d随m增大而减小时，d与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围． 23. 已知，将绕点旋转得到，，，，旋转角为（ ），连接、． （1）如图1，求证：． （2）如图2，当点恰好落在边上，延长交边于点，连接、，求证：． （3）如图3，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交边于点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $