广西壮族自治区来宾市金秀瑶族自治县民族高中2026-2027学年高三上学期11月期中测试数学试题

2027届高三上学期期中测试（数学) (满分150分时间120分钟) 一、单选题（共40分) 1.(5分)不等式x2-x-2<0的解集是() A.{x-2<x<2} B.{x|x<-2或x>2} C.{x-1<x< D.{x|x<-1或x>1} 2.(5分)样本数据7,9,5,6,12的上四分位数为() A.5 B.6 C.7 D.9 3.(5分)已知集合A={-2,0,1,2,4,B={xx3=x,则A∩B=() A.{-1,0} B.{-2,2,4 C.{0,1} D.{-1,0, 4.(5分)设全集U={1,0,12},集合M={0,2},则，M=() A.{-1,0,1} B.{1,2} C.{-1,0} D.{1,1} 5.(5分)已知函数f)=2+2x-3血x,则了)的单调递减区间是( ) A.(-3,1) B.(0,1) C.(-0,-3)U0,+0) D.L,+∞) 6.(5分)将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A,B两盆花卉均摆放在C花卉的同一侧，则不同的摆放 种数为() A.360 B.480 C.600 D.720 7.(5分)已知数列{a}中，a=1,a=3a1+4（n∈N且n≥2)，则数列{a}通项公式a为() A.3-1 B.3+1-8 C.3”-2 D.3” 8。(5分）已知，尽分别为双借线号芳-口>06~0的左、有焦点，O为坐标原点，点D是双市 线上位于第二象限的点.直线B与双曲线交于另一点A,2OB=,2AB=-B瓦，则双曲线的离心 率为() A.√3 B.2W5 C.v1 D.6 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分 9.(6分)函数f()=3x-hx的零点所在区间是(） A.(0,1) B.1,2) 试卷第1页（共3页） C.(2,3) D.(3,+0) 0.(6分)已知复数21，则以下说法正确的是（) A49 B.复数z是方程5x2+4x+1=0的一个根 C.z的共轭复数z=-421 55 D.在复平面内与z对应的点在第二象限 11.(6分)已知函数fn(x)=sin2x-cos2"x(n∈N),则下列说法正确的是：(). A.f(x)为偶函数且(x)和5(x)为同一函数 B.neN,f(x)的值域均为[-l,1] C.无)在红，任+严ke2上有且仅有1个极值点 2’2 D.π为fm(x)的一个周期且为最小正周期 三、填空题（共15分） 12.(5分)若函数f(x)= 1og3x,x>0 16,x≤0 13.(5分)函数f(x)=√3-log2(2x+4)的定义域为 14（8分》已知圆数/国=e+ac:a(a0,若对任意们x[引，了创se-2恒成 立，则实数a的取值范围是一· 四、解答题（共77分） 15.(13分)已知圆C过点A(11),B(2,0),且圆心C在直线x-2y=0上. (1)求圆C的方程： (2)若倾斜角为45°的直线l与圆C交于D,E两点，且CD⊥CE,求直线l的方程. 16.(15分)己知{a}是公差不为0的等差数列，44=10，且4，a3,4成等比数列. (1)求数列a}的通项公式： (2)设b=2,求数列{a.+b,}的前n项和S 17.(15分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=√5 acos B. (1)求角B的大小： 试卷第2页（共3页） (2)若a=2,b=√3，求△ABC的面积 18.(17分)如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，MBIIAN,NA=AB=2, BM=4,CN=23 B M N (1)证明：DN/平面BCM; (2)求直线AC与平面CDM所成角的正弦值； CE (3)在线段CM上是否存在一点E,使得平面BEN与平面BMN的夹角的正切值为√2，若存在求出 CM 的值，若不存在，请说明理由。 x2,y2 9.47分)如图，随圆CGa>A>0的张精长为8磁圆C: -=1(4>b2>0)的长 轴长为4，C,的长轴为C1的短轴，且这两个椭圆的离心率相等. (1)求C1,C2的方程. (2)设B,B分别为C的上、下顶点，P为C1上异于B,B的任意一点，过点P作PO1y轴，垂足为 Q,线段PQ与C交于点H,证明：H为△PRB的垂心. (3)设乃(，)为C1上一点，过点作y轴的垂线交C2于点9，过点9作x轴的垂线交C1于点？；过点 乃作y轴的垂线交C2于点马，过点马作x轴的垂线交C1于点乃；·依此类推，得到Q,乃，Q, P4,Q,,·已知P,O(n∈N)均位于第一象限，设(x,yn),若=1，证明： 到+片na 试卷第3页（共3页） 《2027届高三上学期期中测试（数学）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D B B C A BD ACD 题号 11 答案 ABD 1.A 【详解】当x≥0时，原不等式等价于x2-x-2<0,解得-1<x<2,所以0≤x<2: 当x<0时，原不等式等价于x2+x-2<0,解得-2<x<1,所以-2<x<0. 综上所述，原不等式的解集为{x-2<x<2} 2.D 【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列为：5,6,7,9,12. 数据总个数n=5 上四分位数即第75百分位数，按照百分位数的计算规则， 计算第75百分位数的位置：i=5×75%=3.75. 因为i不是整数，所以取大于i的最小整数4 即第75百分位数为排列后的第4个数据，该数据为9. 所以该样本数据的上四分位数为9. 3.C 【详解】由x3=x,得x=0或1或-1，所以B={0,1,-1}.又A={-2,0,1,2,4,所以A∩B={0,1}. 4.D 【分析】直接由补集的定义即可求解， 【详解】若全集U={-1,0,1,2},集合M={0,2},则CwM={-1,1} 故选：D 5.B 【详解】该函数的定义域为全体正实数， )-+2x-3hx→f()=x+23-任+3-）. 当(x)<0时，解得-3<x<1,而x>0,所以0<x<1, 因此函数f(x)的单调递减区间是(0,1) 6.B 【分析】对C花卉的位置进行分类讨论即可解决 【详解】分类讨论的方法解决如图中的6个位置， 答案第1页（共11页） ①当C在位置1时，不同的摆法有A=120种： ②当C在位置2时，不同的摆法有CA4=72种： ③当C在位置3时，不同的摆法有AA+AA=48种； 由对称性知C在4、5、6位置时摆放的种数和C在3、2.1时相同， 故摆放种数有2×(120+72+48)=480. 故选：B. 123456 7.C 【分析】先构造新数列{，+2}，可知为等比数列，再求等比数列通项公式，进而求出数列{a}通项公式 即可 【详解】由于4=3a-1+4,两边同时加上2，得到4+2=3a-1+6=3(a-1+2). 因为4=1，所以4+2=3，可知数列{4+2}是等比数列，首项为3，且公比为3 等比数列{a+2}的通项4=3”-2. 故选：C. 8.A m=√2+2b2-a 【分析】设B=m,BF=n,根据双曲线定义和勾股定理解得 n=va +2b2+a 计算出4=2， A=2a+号，再次在△AB中利用勾股定理得m=2a1+4d,最后整理成关于a,c的齐次方程计算即可， 【详解】设B=,BF=n,n>m, m2+n2=4c2 m=√a+2b2-a 因为2OB=引，则∠FBE=90°，则 n-=2a,解得 c2=a2+b2 n=va +2b2+a 又因为4-H=2a,2=B丽，则4为B3的中点，所以41-号， 则A=2a+分，在直角三角形ABR中，A=AB+BR引， 即a+-(份+m,化筒得r=2m4松， 答案第2页（共11页） m=匠+5-“代入上式得2a-+2a匠+2亦=0， 将 n=va +2"+a 则2x-(c2-2)+2aa+2(c2-)=0, 化简得13a-14a2c2+c4=0,两边同除a4得13-14e2+e4=0, 解得e2=13或1（舍去），则e=13 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分利用双曲线定义和勾股定理表示出相关线段之间关键，最后转 化为齐次方程，解出即可. 9.BD 【分析】先借助导数确定函数∫(x)的单调性及单调区间，再分别求出f),f(2),f(3),f(⑤的值，根据零 点存在性定理判断即可. 【详解】因为→0时，四→+，f0-}0,@-号2--h2月)<0， f3)=1-n3<0,f(⑥=2-m6>0, 所以f1)f(2)<0,f(3):f(6<0. 所以由零点存在性定理可知，函数f(x)在(1,2)，(3，+o)上存在零点， 故选：BD 10.ACD 【分析】根据复数的除法运算求出复数z,根据复数的模的计算公式即可判断A;求出方程 5x2+4x+1=0的复数根，即可判断B:根据共轭复数的定义即可判断C;根据复数的几何意义即可判断 D 2i 2i(1+2i)4,2 【详解】由2120-2)0+20-5+号1， 6+4_25,故A正确； 所以=2525 5 由5x2+4x+1=0, 解得= 所以复数z不是方程5x2+4x+1=0的一个根，故B错误： 答案第3页（共11页） 2的共轭复数2=-42 55 ,故C正确： (42 在复平面内与z对应的点为 55 在第二象限，故D正确 故选：ACD 11.ABD 【分析】对于A,根据奇偶函数定义去求证f(-x)=f(x)以及结合平方差公式、sinx+cos2x=1求证 5(x)=(x)即可得解；对于B,令sinx=t∈[0,1]得f(x)=8n(t)=t”-(1-t)(n∈N),结合导数求得 g0单调递增，再结合f(⊙)=-11)=1即可得解；对于C,由t=sim'x=1-c2“在 (k∈Z)上关于x单调结合(x)在[0,1]内关于t单调可得f() x单调无极值点得解；对于D,由t=5mx=1-cs2“的最小正周期为π结合大()在[0,1]内关于t单调得 2 解。 【详解】对于A,方()=sin(x)-cos"(x)=[sin(←x)订-[cos”(←x)订 =sin2"x-cos2"x=f (x)(nEN), 且5(x)=sin4x-cos4x=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)=sinx-cos2x=f(x),故A正确： 对于B,令sin2x=t∈[o,1],所以f(x)=gn(t)=t-(1-t)(neN), g'(t)=t-1+n1-t)”>0(n∈N,所以g(t)单调递增，f(0)=-1,f)=1, 所以(x)e[-1,1],故B正确： 对于C,t=sim2x=1-cos2 在 m(k+1)π 22 (k∈Z)上关于x单调， 2 而n(x)=8n(t)=t”-(1-t)”(n∈N)在[0,1]内关于t单调， 故f(x)=sin2x-cos2"x(neN)在 m(k+1)π 2’2 (k∈Z)上关于x单调，无极值点，故C错误： 对于D,t=simx=1-cos2的最小正周期为元，而f()=8,0=t-1-1)(eN)在[0,1]内关于t单 2 调，所以(x)的最小正周期为兀，故D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点睛：求大(x)性质问愿，关键是令1=im'x=1cos2得 2 答案第4页（共11页） f(K)=g.0)=1-1-+6eN),从而利用t=sim'x=L上cs2关于x的单调性和周期性等性质结合 2 (x)=8n(t)=t”-(1-t)(neN)关于t的单调性去解决(x)性质问题 28 【分析】利用对数与指数运算结合分段函数的性质计算即可. 【详1易)e,1，所以小6名 13.(-2,2] 【分析】根据函数形式可得关于x的不等式组，求出其解后可得定义域. 2x+4>0 【详解】 3-1g(2x+4)≥0'故-2<x≤2，故定义域为(-2,2]， 故答案为：(2,2] 14.(0,4] 【分析】求导，利用导数分析可知)在匹 2'2 内单调递增，结合恒成立问题可得 se产-2，构定8（国）=。-x>0,求导判断其单调性，根据单调性解不等式即可 e-a 【详解】由题意可得：f"(x)=aeax-asinx=a(eax-sinx), 因为a>0,则有： 若xe0,2 则ax≥0，可得e≥1≥sinx,则f'(x)=a(e“-simx)≥0： 则ea>0,sinx<0,可得f'(x)=a(e-sinx)>0, 综上所述，了()20，可知f()在25 π兀 内单调递增， 则fx)≤f 2/e3 2a, 若对任意的x [到，c产-2r恒成立，则e5ase-2 构建8(x)=e-x,x>0,则g'(x)=e-1>0, 可知8(x)在(0，+0)内单调递增， 由e-a5e-2m可得g 2 28(2m, 又2>0，Ca>0,则5a≤2π，解得0<a≤4， 答案第5页（共11页） 所以实数α的取值范围是(0,4] 15.(1)(x-2)+(y-1)-1 (2)x-y=0或x-y-2=0 【分析】(1)根据圆心C在直线x-2y=0上，设C(2t,t),设圆C半径为r,根据CA=CB=r求解： (2)设直线l的方程为x-y+b=0,根据△CDE是等腰直角三角形求出DE=√2，利用 2=2F-G求尚d9,再限据a-2大出6 √5 【详解】(1)圆心C在直线x-2y=0上，设C(2t,t),设圆C半径为r,则CA=CB=r, (2t-1)+(t-1)=(2t-2)+tP,化简展开得2t=2,解得t=1, C(2,1),半径r=CA=V(2-12+(1-1)2=1,圆C的方程为：(x-2}+(y-12=1. (2) D D 直线1的倾斜角为45°，直线l的斜率k=1,设直线1的方程为x-y+b=0, CD⊥CE,则△CDE是等腰直角三角形，DE=V+1=√2， 由弦长公式得Dg=2P-d-2-d=V2,解得d=5, 2 圆心C(2)到直线1的距离：d=2-1+A_1+6_ ,解得b=0或b=-2, √2√22 直线l的方程为x-y=0或x-y-2=0. 16.(1)a.=2n+2 16(4”-1 (2)Sn=2+3n+ 3 【分析】(1)利用基本量法得到，由4，a3,4,成等比数列，得到4=2d,再结合4+3d=10,得到 d=2,4=4,于是a.=4+(n-1)d=2n+2: (2)利用分组求和，分别得到等差数列{a}的前项和为R,等比数列b}的前n项和为Tn,最终得到 答案第6页（共11页） 16(4”-1) S.=R+T=n+3n+ 3 【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d, 因为4，a3,4,成等比数列，所以G=44, 即(a+2d)=a(a+6d),又因为d≠0，所以4=2d, 又44=10，所以4+3d=10,结合4=2d, 解得d=2,4=4, 所以4=4+(n-1)d=2n+2. (2)由(1)得b,=28=22m+2, 所以4=24=16，当n≥2时， 么=22+2 6122m4, 故b,}是首项为16，公比为4的等比数列. 设等差数列{a}的前n项和为R,等比数列b}的前n项和为Tn, 由分组求和得Sn=R+Tn. R=m(a+a）_m4+2n+2）=+3n, 2 2 61-q™）161-4"）16(4"-1) L=- 1-q -3 3 16(4”-1 所以S=R+Tn=n+3n+ 3 1n.o号 2)3 2 【分析】(I)由正弦定理将条件化为角的关系，化简求得tanB,可求角B的大小： (2)结合(1)，利用余弦定理可求得c,进而利用三角形面积公式可求△ABC的面积. 【详解】(1)bsin4=√3 acosB,由正弦定理得sin BsinA=√3 sinAcosB, :在△ABC中，sinA≠0,0<B<π， tanB-V3,B=亚 3 答案第7页（共11页） （2)由1)得B-骨由余弦定理得csB=口+公-号 2ac 又因为a=2,6=5,所以4+c-3-,解得c=1, 2×2c2 所以aMBC的面积为oc sin B=×2x1x5-5 2 2 22 18.(I)因为ABCD是正方形，所以ADI/BC,ADE平面BCM,BCC平面BCM,AD∥平面BCM, 同理ANI∥平面BCM,又BC∩BM=B,AD,ANc平面ADN, 所以平面ADN∥平面BCM,又DNc平面ADN,所以DNW平面BCM. (20 5 3)存在， CE 1 CM3 【分析】(1)证明线面平行，进而得面面平行，即可根据性质求证， (2)(3)建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解。 【详解】(1)略 (2)因为正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直， 平面ABCDO平面ABMN=AB,BCC平面ABCD,所以BC⊥平面ABMN,故BC⊥BN, 又因为A=AB=BC=2,CN=2√3，所以BN=2√2， 因为BN2=AB+AN,所以AB⊥AN,故AB⊥BM,故AB,BM,BC两两垂直， 如下图建立空间直角坐标系： D M 则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,0,2),D(2,0,2),M(0,4,0),N(2,2,0),AC=（-2,0,2) CD=(2,0,0),CM=(0,4,-2), CD.2=0 2x=0 设平面CDM的法向量为m=(x,y,z),则 ,即 CM.m=0’4y-2z=0' 设y=1,则x=0,z=2,m=(0,1,2),设直线AC与平面CDM所成角为6， AC.m 则sin6=cos.AC,m 410 AC-m2W2x√5-51 答案第8页（共11页） 即直线AC与平面CDM所成角的正弦值为0 (3)若在线段CM上存在一点E,使得平面BEN与平面BMN的夹角的正切值为√2， 设CE=2CM,(0≤1≤1)，因为CM=(0,4,-2),所以E(0,4元，2-2)， 设平面BEN的一个法向量为i=(x,%,),因为BN=(2,2,0),BE=(0,4入，2-2)， (距n=0'所以 BN.=0 2x+2%=0 4,+(2-2)。=0'令=21，则h=-1,0=1-元， 故i=(1-元，元-1,2)，l=V1-2)2+(亿-1+42=V62-4+2, 由(1)得BC⊥平面ABMN,故平面ABMN的一个法向量为BC=(O,0,2), 设平面BEN与平面ABMN的夹角为a, BC.n 42 2元 则cosa=cosBC, BC,M2W62-42+2V62-4元+2 根据题意得tand=√2，因为a∈0，气 所以cosa=3 3 2 5 即 √622-4元+2 3 ,又20，故元 故在线段CM上存在一点E,使得平面BEN与平面BN的夹角的正切值为√5， 此时CE1 CM3 9,①)C的方程为6+￥1：G的方程为” -+x2=1 4 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)由长轴长得4=4，C2长轴为C1短轴得b=4=2,离心率相等求b2=1,写出方程： (2)设Px,y,),代入C得x=16-4:联立y=,与C,得H,y,),计算斜率乘积为-1即得证； 4 3)由几何关系导出=4，求和得4m↑：利用x2≥1+nx放缩，相加得证 【详解】(1)由题意可知24=8,2b=2a2=4,解得4=4，b,=42=2, 则C的方程为是+少=1. 164 则公=1，所以C的方程为 -+x2=1. 答案第9页（共11页） (2) B B2 设PKp,)≠0)，由三+生=1，得=16-4， 164 将y=p代入+=1，得=1-奖= 416 易知P,H在轴同倒，所以x=手则4（子小 则640+2.-2.4房-_40-4-1， xxpx号16-4明 则BH⊥PB.又BB2⊥PH,所以H为△PBB,的垂心. (3) P Po O 将v=代入号+-1，用=1-兰，a菩】 将=孚代入后子，将产 即见。-会即以a4后-4). 416 又-43学0，所以数别号为等比数列，故父-4-46，即y=436。 11 5'516>4n- 所以2y=4n-3x1616”=4n- 1,1 1 Γ5 i=1 16 设)=1-n,则).令f)>0,得1，令)0，得0<1 则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增，所以f(x)≥f(1)=0,即x≥1+lnx, 1 答案第10页（共11页） 则*h行方}=-h流=-h面， 改2+)n片nm。 答案第11页（共11页）