广西南宁高新技术产业开发区桂鼎学校2024-2025学年高三上学期11月一轮复习阶段性检测数学试题

南宁桂鼎学校 2025 届高三年级一轮复习阶段性检测（阶段考） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D D B A C A AD BCD 题号 11 答案 BC 1．B 【分析】结合题意写出集合 M的所有可能的情况，即得答案. 【详解】由   1,3 1,2,3,4,5M  可知，集合 M中一定含有元素 1，3， 则 M可以是：            1,3 , 1,2,3 , 1,3,4 , 1,3,5 , 1,3,2,4 1,3,2,5 , 1,3,4,5 ，  1,2,3,4,5 ，共 8个， 故选：B 2．D 【分析】由复数除法化简复数，即可得对应的点求解. 【详解】由 4 i i z  可得         4 i i 4 i i 1 4i i i z          ， 故对应的点为  1, 4 ，位于第四象限， 故选：D 3．D 【分析】用“1”的代换后凑出定值，然后由基本不等式得最小值． 【详解】由题意 2 3 2 3 2 6 2 6( )( 2 ) 7 7 2 7 4 3x y x yx y y x y x y x y x             ， 当且仅当 2 6x y y x  ，即 2 3 3, 2 3x y    时等号成立， 故选：D． 4．D 【分析】根据任意角的三角函数的定义，求出 sin ，cos的值，然后求出 sin 2a的值即可． 【详解】解：因为角 的终边过点 (3, 4)P  ， | | 5OP  ， 由任意角的三角函数的定义，所以 4sin 5    ， 3cos 5   ； 所以 4 3sin 2 2 ( ) 5 5 2 24 5        . 故选：D 5．B 【分析】利用指对数函数的性质判断 , ,a b c的大小即可. 【详解】 0. 3 23 1 3log 0.2 0 0.2a c b       ， ∴a c b  . 故选：B 6．A 【分析】将 2 | 3| a b   两边同时平方，再结合数量积的运算律求出 a b  ，即可得解. 【详解】由 | | 1a   ， | | 3b   ， 2 | 3| a b   ， 得   2 22 4 4 4 3 4 3a b a b a b a b                 ，所以 1a b   ， 所以 1 3cos , 31 3 a ba b a b        . 故选：A. 7．C 【分析】根据每段上函数均为增函数且结合临界处函数值的大小可得关于 a的不等式组，求 出其解后可得 a的取值范围. 【详解】因为  f x 为R 上的增函数，故：   0 1 4 3 0 2 3 log 1 0a a a a         ， 解得 3 ,1 4 a     ， 故选：C. 8．A 【分析】根据正弦型函数的对称性有 π π 6 k    ， Zk ，结合已知确定的值. 【详解】由题设 2π π π 3 2 k   ， Zk ，则 π π 6 k    ， Zk ， 又 π π 2 2    ，故 π 6    . 故选：A 9．AD 【分析】对于 A，根据图象求得 2  求解判断；对于 B，由 5π 2 12 f        由  5π 2 π π Z , 6 k k     求解判断；利用三角函数的对称轴对 C选项进行判断，利用三角 函数的单调性对 D选项进行判断. 【详解】对于 A，因为 0  ，所以由图象知， 1 2π 11π 5π π 2 2 12 12 2 T       ，所以 2  ，A选项正确； 由图象知 2A  ，又因为 5π 5π2cos 2 2 12 12 f                ， 所以 5π2 12    5π 2 π π Z , 6 k k     即  π2 π Z 6 k k    ， 因为 π 2   ，所以 π 6   ，B错误； 对于 C，当 π 6 x   时， π 2π π( ) 2cos( ) 3 2 6 6 6 f        ， 则 π 6 x   不是 ( )f x 的对称轴，故 C错误； 对于 D， ( ) 2 (2 ) 6 πf x cos x  的单调增区间满足： 2 2 6 ππ kπ x kπ     ， Zk ， 即单调增区间为 7π π2 π, 2 π 6 6 k k       ， Zk ， 当 0k  时，增区间为 7π π, 6 6     ，所以 ( )f x 在区间 π π[ , ] 2 6   上单调递增，故 D正确. 故选：AD. 10．BCD 【分析】由椭圆方程得到 , ,a b c的值，根据离心率的定义可判断 A，根据椭圆的定义可判断 B， 根据勾股定理和椭圆的定义可得到 1 2 18PF PF  ，从而由三角形面积公式可判断 C，由对勾 函数可判断 D. 【详解】由椭圆方程可知， 5a  ， 3b  ， 2 2 4c a b   ， 所以椭圆的离心率 4 5 ce a   ，故 A错误； 由椭圆定义知 1 2 2 10PF PF a   ，故 B正确； 又 1 2 2 8F F c  ，因为 1 2 90FPF  ，所以 2 2 2 1 2 1 2 64PF PF F F   ，  2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 64 2 100PF PF PF PF PF PF PF PF       ， 解得： 1 2 18PF PF  ，所以 1 2F PF 的面积为 1 2 1 9 2 PF PF  ，故 C正确；   2 11 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 10 10 PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF                      因为 2 1 PFa c a c a c PF a c       ，即 2 1 1 9 9 PF PF   ， 设 2 1 1 ,9 9 PF t PF       ，由对勾函数的性质可得函数   1f t t t   在 1 ,1 9      上单调递减，在 1,9 上 单调递增，且  1 829 9 9 f f       ， 所以 2 1 max1 2 max 1 82 9 PF PF t PF PF t               ， 所以 1 2 max 1 1 1 82 102 10 9 9PF PF               ，故 D正确. 故选：BCD. 11．BC 【分析】根据方差的性质可判断 A；根据回归直线的含义判断 B；结合基本不等式判断 C； 根据百分位数的算法判断 D. 【详解】对于 A选项：样本数据 1 2 20, , ,x x x 的方差为 1， 则数据 1 2 203 5,3 5, ,3 5x x x   的方差为 23 1 9  ，所以 A选项错； B选项：经验回归方程为 1ˆ ˆ0.y x a  时，x系数为正，所以 y与 x正相关，所以 B选项对； C选项：随机变量 X 服从两点分布，设成功概率为  0 1p p  , 则     11 4 D X p p   ，当且仅当 1 2 p  时等号成立，C正确； D选项，数据1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10的50%分位数是 5 6 5.5 2   ，D错误， 故选：BC. 12． 1 7  【分析】将原式中的分子、分母同除以 cos ，再将 tan 2  代入即可. 【详解】 sin 3cos sin 3cos tan 3 1cos 2sin 3cos2sin 3cos 2 tan 3 7 cos                    . 故答案为： 1 7  13． 1 3 【分析】逐项求出值，然后得到数列周期，进而得出 2024a . 【详解】  1 1 1 2, 1 n n n aa n n a        N ， 1 2a  ，则求得 2 3a   ， 3 1 2 a   ， 4 1 3 a  ， 5 2a  L ， 因此数列的周期为 4，则 2024 4 1 3 a a  . 故答案为： 1 3 14． 10 【分析】由二项式系数和为 2n求出 n，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】依题意可得 2 32n  ，所以 5n  ， 则 5 2 1x x      展开式的通项为    52 10 31 5 51C 1 C r r rr r r rT x xx            ， { }0,1,2,3,4,5r Î ， 令10 3 1r  ，解得 3r  ，所以展开式中 x的系数为  3 351 C 10   . 故答案为： 10 15．(1)证明见解析， 12 1n a n   ； (2) 6 9n nS n   . 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列定义推理得证，再求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法计算即得. 【详解】（1）由 1 12 0n n n na a a a    ， 1 1 3 a  ，得 0na  ，则 1 12n n n na a a a   ，于是 1 1 1 2 n na a   ， 所以数列 1{ } na 是首项 1 1 3 a  ，公差为 2的等差数列， 1 3 2( 1) 2 1 n n n a      ，所以 1 2 1n a n   . （2）由（1）知 1 1 1 1 1( ) (2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n n a a n n n n        ， 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) 2 3 5 5 7 2 1 2 3 2 3 2 3 6 9n nS n n n n                . 16．(1) π 3 B  (2) 3 3,3 3  【分析】（1）利用正弦定理及三角变换公式可得 1sin 2 2 B  ，从而可求 B的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得 2 3 sin 6 a c A        ，结合A的范围可求其取值 范围，从而可求周长的取值范围. 【详解】（1）由 cos sin 2 Ba b A 及正弦定理得 sin cos sin sin 2 BA B A ， 故 sin cos 2sin cos sin 2 2 2 B B BA A ， 在 ABCV 中，0 A   ，0 B   ，所以 sin 0A ，cos 0 2 B  可得 1sin 2 2 B  ，而 0 2 2 B    ，故 2 6 B   即 3 B  . （2）由正弦定理的 32 2 sin sin sin 3 2 a c bR A C B      得 2sinc A ， 2sinb B ， 因为 3 B  ，则 2 3 A C   ， 2 3 C A  所以 22sin 2sin 3sin 3 cos 2 3 sin 3 6 a c A A A A A                   ， 因为 ABCV 为锐角三角形，则 , 6 2 A       ， 2, 6 3 3 A         ， 3sin ( ,1] 6 2 A       ，故 (3, 2 3]a c  ， 所以 ABCV 周长的取值范围 (3 3,3 3] . 17．(1)表格见解析； (2)根据 0.05  的独立性检验，不能认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联； (3)分布列见解析；   1E X  . 【分析】（1）由题意以及表格数据即可填写. （2）零假设 0 :H 该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关，根据列联表中的数据计算 2 ，再根据小概率值 0.05  作出判断即可. （3）先求随机变量 13, 3 X B       ，接着依次求各随机变量取值相应的概率即可得分布列，再 由二项分布的数学期望公式去计算即可得  E X . 【详解】（1）由题得列联表如下： 男 女 合计 了解 40 20 60 不了解 20 20 40 合计 60 40 100 （2）零假设 0 :H 该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关， 由（1）可得 2 2 100(40 20 20 20) 25 2.778 3.841 60 40 60 40 9           ， 则根据小概率值 0.05  的独立性检验，没有充分证据推断 0H 不成立， 即可以认为 0H 成立，故不能认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联. （3）由（1）可知抽取的 100名学生中了解该活动的学生男生和女生分别为 40人和 20人， 所以从了解该活动的学生中随机抽取 1人参加传统文化知识竞赛，抽取的是女生的概率为 20 1 40 20 3   ， 则由题意可知 0,1, 2,3X  ，且 13, 3 X B       ， 所以   3 0 3 1 80 C 1 3 27 P X         ，   2 1 3 1 1 12 41 C 1 3 3 27 9 P X           ，   2 2 3 1 1 6 22 C 1 3 3 27 9 P X                 ，   3 3 3 1 13 C 3 27 P X        ， 所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 8 27 4 9 2 9 1 27 所以随机变量 X 的数学期望为   13 1 3 E X np    . 18．(1)证明见解析； (2) 2 . 【分析】（1）由题意可得 BD AC ，PA  BD，由线面垂直的判断定理可得 BD 平面 PAC， 即可得证； （2）以D为原点，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：因为 ABCD是正方形， 所以 BD AC ， 又因为 PA 平面 ABCD，BD 平面 ABCD， 所以 PA  BD， , ,AC PA A AC PA  平面 PAC， 所以 BD 平面 PAC， 又因为 BD 平面 BDE， 所以平面 PAC 平面 BDE； （2）解：以D为原点，建立如图所示的空间坐标系： 因为 2PA AB  ， E为 PC中点， 所以 (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0), (2,2,0), (0,0,2), (1,1,1)A B D C P E ， 所以 ( 2, 2,0), ( 1,1,1), (2,0,0)BD BE AB        ， 设平面 BDE的法向量为 ( , , )n x y z  ， 则 2 2 0 0 n BD x y n BE x y z                ，取 1y  ， 则 (1,1, 0)n   ， 设点A到平面 BDE的距离为 d， 则 | | | | 2| | cos , | | 2 | | | | | | | | 2 d AB n AB nAB AB n AB AB n n                       . 19．(1) ey x  (2) 3( ) ef x  极小值 ，无极大值． (3) ( ,1] ． 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）先对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值； （3）令 2( ) e (1 ) lnx ag x a x x x x     ，由 (1) 0g  ，得 1e 0a a   ，再结合 1( ) e aq a a  的 单调性可求得 1a  ，然后再利用导数证明当 1a  时， ( ) 0g x  即可. 【详解】（1）当 2a   时， ( ) ln , ( ) ln , (e) 1, (e) 0f x x x x f x x f f      ， 故曲线 ( )y f x 在点 (e, (e))f 处的切线方程为 ey x  ． （2）当 1a  时， ( ) 2 ln ( 0)f x x x x x   ，则 ( ) 3 lnf x x   ， 令 ( ) 0f x  ，得 30 ex   ，令 ( ) 0f x  ，得 3ex  ， 所以 ( )f x 在  30,e 上单调递减，在  3e ,   上单调递增， 所以  3 3( ) e ef x f    极小值 ，无极大值． （3）令 2( ) e (1 ) lnx ag x a x x x x     ， 由 (1) 0g  得 1 1e (1 ) 1 e 0a aa a       ， 令 1( ) e aq a a  ，则 ( )q a 在R 上单调递减， 又 (1) 1 1 0q    ，故 1a  ． 下面证明当 1a  时， ( ) 0g x  ． 易知 2 1 2e (1 ) ln e 2 lnx a xa x x x x x x x x         ． 设 ( ) e 1xp x x   ，则 ( ) e 1xp x   ， 当 ( ,0)x  时， ( ) 0p x  ， 当 (0, )x  时， ( ) 0p x  ， 故 ( )p x 在 ( ,0) 上单调递减，在 (0, ) 上单调递增， 则 ( ) (0) 0p x p  ，即 e 1x x  设 ( ) ln 1( 0)t x x x x    ，则 1 1( ) 1 xt x x x     ， 当 (0,1)x 时， ( ) 0t x  ， 当 (1, )x  时， ( ) 0t x  ， 故 max( ) (1) 0t x t  ，则 ln 1 0x x   ，即 ln 1x x  ． 故 1 2 1e 2 ln e 2 ( ln ) 2 0x xx x x x x x x x x x x            ，则 ( ) 0g x  ． 故所求 a的取值范围是 ( ,1] ． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义及利用导数求函数极值、解决不等式恒成立 问题，第（3）问解题的关键构造函数 2( ) e (1 ) lnx ag x a x x x x     ，结合 (1) 0g  求出 a的 取值范围再证明，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 弟 1页/（共 4页） 弟 2页/（共 4页） 姓 名 ： 班 级 ： 考 号 ： 考 场 ： 座 号 ： 密 封 线 内 不 要 答 题 南宁桂鼎学校 2025 届高三年级一轮复习阶段性检测（阶段考） 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的，请把正确的选项填图在答题卡相应的位置上） 1．已知   1,3 1,2,3,4,5M  的集合 M的个数是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．复数 4 i i z  在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若正实数 . 2 1x y x y ， 且 则 2 3 y x  的最小值为（ ） A．2 B．3 2 2 C．5 2 6 D．7 4 3 4．已知角 a的终边过点  3, 4 ，则 sin 2a的值为（ ） A． 7 25 B． 24 25 C． 7 25  D． 24 25  5．已知 3log 0.2a  ， 0.23b  ， 30.2c  ，则（ ） A．a b c  B．a c b  C． c a b  D．b c a  6．已知向量 ,a b   满足， | | 1a   ， | | 3b   ， 2 | 3| a b   ，则 cos ,a b   （ ） A． 3 3 B． 3 2 C． 1 2 D． 3 2  7．已知函数 2 (4 3) 3 , 0 ( ) log (1 ), 0a x a x a x f x x x          （ 0a  且 1a  ）在R 上单调递增，则 a的取值范围是（ ） A． 1 3, 3 4      B． 30, 4      C． 3 ,1 4     D． 1 3, 3 4      8．已知函数    sin 2f x x   （ π π2 2   ）的图象关于 π 3 x  对称，则 （ ） A． π 6  B． π 6 C． π 3  D． π 3 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分） 9．函数 π( ) cos( )( 0, 0, ) 2 f x A x A        的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A． 2  B． π 3   C． π 6 x   是曲线 ( )y f x 的一条对称轴 D． ( )f x 在区间 π π, 2 6      上单调递增 10．已知椭圆 2 2 1 2: 1, ,25 9 x yC F F  分别为它的左右焦点，点 P是椭圆上的一个动点，下列结论中正 确的有（ ） A．椭圆离心率为 9 25 B． 1 2 10PF PF  C．若 1 2 90FPF  ，则 1 2F PF 的面积为9 D． 1 2 1 1 PF PF  最大值为 10 9 11．下列选项正确的是（ ） A．若样本数据 1 2 20, , ,x x x 的方差为 1，那么数据 1 2 203 5,3 5, ,3 5x x x   的方差为 2 B．经验回归方程为 1ˆ ˆ0.y x a  时， y与 x正相关 C．若随机变量 X 服从两点分布，那么  D X 最大值是 14 D．数据1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10的50%分位数是 5 三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知 tan 2  ，则 sin 3cos 2sin 3cos        13．已知数列 na 满足  1 1 1 2, 1 n n n aa n n a        N ，若 1 2a  ，则 2024a  . 14．已知展开式 2 1 nx x      的二项式系数之和为32，则该展开式中 x的系数为 . 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）已知数列 na 的首项为 1 1 3 a  ，且满足 1 12 0n n n na a a a    . (1)证明数列 1{ } na 为等差数列，并求 na 的通项公式； (2)求数列 1n na a  的前 n项和 nS . 16．（15 分）已知 ABCV 的内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，且 sin sin 2 A Ca b A  ． (1)求 B； (2)若 ABCV 为锐角三角形，且 3b  ，求 ABCV 周长的取值范围． 第 3页/共 4页 第 4页/共 4页 17．（15 分）中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于 2024 年 7 月 15 日至 18 日在 北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信， 发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新 形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举 办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了 100 人对该宣传活动的了解 情况进行问卷调查，统计结果如下： 男 女 合计 了解 20 不了解 20 40 合计 (1)将列联表补充完整； (2)根据 0.05  的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？ (3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取 3人参加传统文化知识竞赛. 记抽取的 3人中女生人数为 X，求随机变量 X的分布列和数学期望. 附：         2 2 ( )n ad bc a b c d a c b d       ，其中 n a b c d     2 0P k  0.100 0.050 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 10.828 18．（17 分）在四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD是正方形， 2PA AB  ，点 E是 棱 PC上一动点. (1)求证：平面 PAC 平面 BDE； (2)当 E为 PC中点时，求点A到平面 BDE的距离. 19．（17 分）已知函数    1 ln ,f x a x x x a   R ． (1)当 2a   时，求曲线 ( )y f x 在点 (e, (e))f 处的切线方程； (2)当 1a  时，求 ( )f x 的极值； (3)若 2( ) ex af x x  恒成立，求 a的取值范围．