精品解析：上海市第六十中学2026-2027学年高一第一学期11月期中测试数学试题

2026学年第一学期11月期中测试 高一年级数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一．填空题（本大题共12题，其中1-6每小题4分，7-12每小题5分，总分54分） 1. 用恰当的数学符号填空：_____． 【答案】 【解析】 【详解】不含有任何元素的集合叫空集，记作， 所以. 2. 若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】设出幂函数的解析式，利用给定点求出参数即得. 【详解】设幂函数的解析式为， 由幂函数的图象经过点，得，解得， 所以此幂函数的表达式为. 故答案为： 3. 已知集合，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合集合并集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合，，根据集合并集的概念与运算，可得. 故答案为：. 4. 陈述句“或”的否定形式为________． 【答案】“且” 【解析】 【分析】根据语句的否定方法可得答案. 【详解】陈述句“或”的否定形式为“且”. 故答案为：“且” 5. 函数（且）的图象恒过定点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【详解】由于， 当时，， 所以函数恒过定点. 6. 用有理数指数幂的形式来化简：_____． 【答案】 【解析】 【详解】原式. 7. 已知集合，则用列举法表示集合________. 【答案】 【解析】 【分析】当，，必然不是自然数，依次代入，验证是否是自然数，从而得到结果. 【详解】当时， ；当时， ；当时， ； 当时， ；当时， ；当时， . 所以. 故答案为： 8. 已知，且，则的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【分析】由基本不等式直接进行求解即可. 【详解】，且，则， 当且仅当，即，即时，等号成立. 的最小值是8. 故答案为：8 9. 心理学家有时用函数测定在时间（单位：min）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时表示在时间内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5 min内能够记忆20个单词，则的值约为_____．（结果保留四位小数） 【答案】0.0211 【解析】 【分析】由题可得，当时，；代入函数关系式，结合指对互化运算即可求解. 【详解】根据题意可得：，当时，； 代入可得：，解得：，则，. 10. 设，方程的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式等号的成立条件可求解. 【详解】因为， 又， 当且仅当时，等号成立， 解得， 所以方程的解集是， 故答案为：. 11. 已知，，则可用，表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先将化为对应对数式，再通过换底公式与对数运算性质拆解目标对数，再代入已知关系化简可得. 【详解】由，根据对数定义可得； 由，根据换底公式，得. 再根据换底公式 . 因此. 12. 若定义域为的函数满足：对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长，则m的最大值为______．（是自然对数的底） 【答案】 【解析】 【分析】不妨设三边的大小关系为：，利用函数的单调性，得出，，的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出的最大值即可. 【详解】在上严格增，所以 ，不妨设， 因为对任意能构成三角形三边长的实数，均有，， 也能构成三角形三边长，所以， 因为，所以， 因为对任意都成立，所以，所以，所以， 所以，所以m的最大值为． 故答案为：. 二．选择题（本大题共4题，其中13、14每小题4分，15、16每小题5分，总分18分） 13. 已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合充分条件和必要条件定义判断结论. 【详解】是奇数都是奇数， 所以能推出，但推不出， 所以是的充分非必要条件， 故选：A 14. 关于的不等式的解集是，那么（ ） A. B. -3 C. -2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知的解为，利用韦达定理求的值，进而代入即可得解. 【详解】由题意可知：的解为， 则，解得. 所以. 故选：D. 15. 已知正实数,,满足，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设，将转化为对数形式，对A直接进行对数运算可得；对B由换底公式与基本不等式可得；对C由不等式性质等价转化为，并结合对数函数的单调性可得；对D由不等式性质等价转化为，并结合基本不等式可得. 【详解】设，由为正实数可知， 则可得，，， 继而，，. 选项A：，故A正确； 选项B：因为，所以，， 因为且，由基本不等式， 所以，即成立，故B正确； 选项C：因为，，， 由函数在上单调递增，且， 则，即， 又因为为正实数，则可得，即，故C错误； 选项D：因为且， 由基本不等式，， 即，因为为正实数，所以，故D正确. 16. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题．以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数，有． ②等式条件：当且仅当时，等号成立． 例如：已知，由柯西不等式，可得． 现给出以下两个命题： ①若，则的最大值为 ②若，则的最大值为 则运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（ ） A. ①为真命题；②为真命题． B. ①为真命题；②为假命题． C. ①为假命题；②为真命题． D. ①为假命题；②为假命题． 【答案】A 【解析】 【分析】根据柯西不等式的形式及等号成立条件，分别验证两个命题的真假，再匹配对应选项. 【详解】对于①，由柯西不等式得， 因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以①为真命题； 对于②，因为，， 由柯西不等式得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 又，符合题意，所以②为真命题. 三．解答题（本大题共5题，其中17-19每题14分，20、21每题18分，总分78分） 17. 已知集合，集合． （1）求集合； （2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过移项通分将分式不等式转化为整式不等式，结合分母不为零的条件求解集合； （2）先化简绝对值不等式得到集合，再根据充分非必要条件的逻辑关系，将问题转化为是的真子集，列不等式求解的取值范围。  【小问1详解】 对不等式进行移项，得， 通分整理得，不等式等价于， 由，可得解集为，结合分母不为零的条件， 因此集合. 【小问2详解】 由，可得，因此.显然不是空集， 因为“”是“”的充分非必要条件， 因此集合是集合的真子集， ① 集合的左端点不大于集合的左端点，即，得； ② 集合的右端点不小于集合的右端点，即， 得. 因为区间长度为，区间长度为4，故两端等号不能同时成立， 综上，实数的取值范围为. 18. 已知幂函数在上单调递减． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据函数是幂函数，单调性计算求参即可. （2）根据单调性求不等式. 【小问1详解】 由幂函数在上单调递减， 可得，解得，所以． 【小问2详解】 由函数图象关于轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以的取值范围是． 19. 如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为． （1）设，试用表示，并写出的取值范围． （2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 【答案】（1）； （2）当时，S取得最小值，为2000. 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似，根据相似比得，再由及其范围列不等式求范围； （2）根据已知有，应用基本不等式求最小值，并确定取值条件，即可得. 【小问1详解】 依题意， 得，所以，即，得， 所以， 所以，解得； 综上 【小问2详解】 由， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故时，取得最小值，为2000. 20. 已知，函数． （1）当时，函数的图象与轴交于，两点，求； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）将代入得到具体的二次函数表达式，由二次函数图象与轴交点的横坐标即为一元二次方程的根，结合韦达定理得到和的值，利用立方和公式将化简为和的形式，代入计算即可； （2）先对不等式移项化简，整理为含参数的二次式大于的形式；对的取值分类讨论：当时，代入不等式直接验证是否恒成立；当时，根据二次函数的判别式，求解对应的的范围，最后合并不同情况的结果，得到的取值范围； （3）将转化为标准的一元二次不等式形式，并对不等式左边做因式分解；对的取值分类讨论：当时，直接求解；当时，先求出对应方程的两个根，再分和的情况，比较两个根的大小，根据一元二次不等式确定不等式的解集. 【小问1详解】 当时，. 的图象与x轴交于，两点， ，是一元二次方程的两根，则，. . 【小问2详解】 不等式恒成立，整理得. 当时， ，恒成立，符合题意； 当时，若，二次函数开口向下，一定存在小于零的部分，故不满足题意； 当时，若使恒成立，只需， 解得， 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 由，得，即，得. 当时，，解得； 当时，由，得，解得或； 当时，，则由，解得或； 当时， 当时，即时，由，解得； 当时，即，由，即，解得； 当时，即时，由，解得. 综上所述， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 21. 仔细阅读以下材料：【已知，，，求的最小值． 解：，当且仅当，即，时取得等号，则的最小值为． 另解：，当且仅当，即，时取得等号，则的最小值为．】 参考上述解法，求解下列问题． （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）已知，求的最小值，并写出此时的值； （3）已知、，，求的最小值． 【答案】（1）的最小值为； （2）的最小值为，此时； （3）的最小值为。 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，将所求式子乘以展开，构造出积为常数的两项，进而使用基本不等式求解； （2）采用“常数代换（拆项配凑）”技巧，将分子中的常数拆分为与相关项，凑出分母的形式，从而利用基本不等式求出最值. （3）先利用代入消元法将双变量化为单变量，再利用“乘常数”法凑配分母之和为定值，最后用基本不等式求解，并注意检验等号成立的条件. 【小问1详解】 因为，且， 所以， 由基本不等式可得：，当且仅当，即时，等号成立， 又因为且，此时，， 所以，故的最小值为. 【小问2详解】 由，则 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为18； 【小问3详解】 由，，则，即， 所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即，则时等号成立， 所以最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期11月期中测试 高一年级数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一．填空题（本大题共12题，其中1-6每小题4分，7-12每小题5分，总分54分） 1. 用恰当的数学符号填空：_____． 2. 若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式为______． 3. 已知集合，，则_____. 4. 陈述句“或”的否定形式为________． 5. 函数（且）的图象恒过定点的坐标为_____． 6. 用有理数指数幂的形式来化简：_____． 7. 已知集合，则用列举法表示集合________. 8. 已知，且，则的最小值是______. 9. 心理学家有时用函数测定在时间（单位：min）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时表示在时间内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5 min内能够记忆20个单词，则的值约为_____．（结果保留四位小数） 10. 设，方程的解集是__________． 11. 已知，，则可用，表示为_____． 12. 若定义域为的函数满足：对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长，则m的最大值为______．（是自然对数的底） 二．选择题（本大题共4题，其中13、14每小题4分，15、16每小题5分，总分18分） 13. 已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 关于的不等式的解集是，那么（ ） A. B. -3 C. -2 D. 15. 已知正实数,,满足，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. D. 16. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题．以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数，有． ②等式条件：当且仅当时，等号成立． 例如：已知，由柯西不等式，可得． 现给出以下两个命题： ①若，则的最大值为 ②若，则的最大值为 则运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（ ） A. ①为真命题；②为真命题． B. ①为真命题；②为假命题． C. ①为假命题；②为真命题． D. ①为假命题；②为假命题． 三．解答题（本大题共5题，其中17-19每题14分，20、21每题18分，总分78分） 17. 已知集合，集合． （1）求集合； （2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 18. 已知幂函数在上单调递减． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围． 19. 如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为． （1）设，试用表示，并写出的取值范围． （2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 20. 已知，函数． （1）当时，函数的图象与轴交于，两点，求； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集． 21. 仔细阅读以下材料：【已知，，，求的最小值． 解：，当且仅当，即，时取得等号，则的最小值为． 另解：，当且仅当，即，时取得等号，则的最小值为．】 参考上述解法，求解下列问题． （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）已知，求的最小值，并写出此时的值； （3）已知、，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $