精品解析：天津市南开中学2026-2027学年第一学期质量监测（一）高二数学试卷

南开中学2026—2027学年度第一学期质量监测（一） 高二数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷两部分，共150分．考试结束后，请将答题纸交回． 一．选择题（共60分，每题5分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线即的斜率为，则倾斜角为 2. 与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合圆的切线的性质求出圆的半径，根据圆的标准方程可得结论. 【详解】因为圆的圆心坐标为，且与轴相切，可知圆的半径， 所以圆的方程为，故选项B正确. 3. 已知直线：和直线：，若，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行求得，进而求两平行线间距离. 【详解】已知两直线：和直线：， 若，则，解得， 则直线：，即， 则与间的距离为. 4. 已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【详解】由两条直线垂直可得： ， 展开并整理得：   解得或， 充分性判断：若，则可取0或2，无法推出，故充分性不成立； 必要性判断：若，可推出，故必要性成立， 因此“”是“”的必要不充分条件. 5. 设点，，的周长为，则的顶点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到，根据椭圆的定义，可得点的轨迹是一条以为焦点的椭圆，即可得到答案. 【详解】由题意的周长为，，， 所以，所以， 可知点的轨迹是以为焦点，长轴长为除去长轴的两个端点的椭圆， 设椭圆方程为， 所以， 所以点的轨迹方程为. 6. 与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】B 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两类，结合直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径的条件求解即可. 【详解】已知圆的方程为，故圆心为，半径， ① 当直线不经过原点时，设其在两坐标轴上的截距均为（）， 则直线方程为，即， 由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，故  ， 化简得，解得（舍）或，此情况下共1条符合条件的直线； ② 当直线经过原点时，其在两坐标轴上的截距均为0，满足截距相等的条件，设直线方程为，即， 由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，故 ， 化简得，解得， 此情况下共2条符合条件的直线， 综上，符合要求的直线共有条. 7. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆：上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由圆，可得圆心，半径， 根据最短路径的对称转化规则，蚂蚁从出发经轴到圆上的最短路程， 等价于点关于轴的对称点到圆上点的最短距离， 由关于轴对称的点的坐标性质，得的对称点为， 根据两点间距离公式， ，  圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径， 因此最短路程为 8. 直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】直线即，恒过点， 因为直线与椭圆恒有公共点， 所以点在椭圆内或在椭圆上，则，得且， 则的取值范围是 9. 已知圆：与圆：相外切，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由两圆外切求出，再用基本不等式求出的最大值. 【详解】由题可得：：圆心，，：圆心，， 两圆外切：圆心距， ，化简得， 由基本不等式可得：， 当且仅当或时取等号， 所以的最大值为. 10. 已知点，是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，为坐标原点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将椭圆方程化为标准形式得，因此，即，， 两个焦点为，. 设点，由椭圆定义得，两边平方得：， 由两点间距离公式： ，， 两式相加得： ， 又，故， 代入式子： ， 整理得， 因此：. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点.直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量关系推导线段比例，结合椭圆的定义表示各线段长度，利用三角函数诱导公式推导直角三角形关系，最后结合勾股定理建立方程，求解离心率即可. 【详解】根据题意作图，已知椭圆，所以，则，. 由，得，由椭圆的定义可得，， 设，则，，，. 由，且， 所以，即， 所以，即为直角三角形，，则有为直角三角形， 所以，解得或（舍去）， 又，代入，整理得，所以离心率. 故选：C. 12. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列三个命题： ①点的轨迹关于轴对称； ②存在使得椭圆上满足条件的点仅有四个； ③的最小值为． 其中，所有正确命题的序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】先由椭圆的定义得点同时满足：到两个定点的距离之和为（），因此点的轨迹是椭圆：与新椭圆的交点，进而通过方程可判断对称性，通过解方程组可得四个交点，及计算的最小值. 【详解】由椭圆：，得. 根据椭圆的定义，椭圆上任意点满足， 又因为，可知点同时满足：到两个定点的距离之和为（）， 所以点又在以为焦点，以为长轴的新椭圆上， 因此点的轨迹是椭圆：与新椭圆的交点. 命题①：在两个椭圆的方程中，用替换后方程均不变， 所以两个椭圆方程对应的轨迹图形均关于轴对称， 因此它们的交点（即点的轨迹）关于轴对称，命题①正确； 命题②： 联立两个椭圆的方程，得，消去， 由第一个式子得，代入第二个式子， 整理得，， 因为，且，所以. 再代入得，即 解得， 因此对每一个共有四个交点，， ，， 因此存在使得椭圆上满足条件的点仅有四个，命题②正确； 命题③：由②知，， 所以 ， 因为，所以， 因此， 即当时，，所以命题③正确. 二．填空题（共40分，每题5分） 13. 已知：的圆心坐标为，半径为r，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】首先求圆心和半径，即可求解的值. 【详解】，圆心为，半径， 所以，则. 故答案为： 14. 直线过点，且斜率为，则直线在轴上的截距为________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线在轴上的截距为，由条件结合两点斜率公式列方程求即可. 【详解】设直线在轴上的截距为， 则直线经过点，又直线过点，且斜率为， 所以，所以， 所以直线在轴上的截距为. 15. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 16. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出曲线，考查直线与圆相切且切点在第四象限时的值、直线过点、时的值，以及直线过点时的值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】由，可得，即， 所以，曲线表示圆的下半圆， 作出曲线与直线如下图所示， 当直线与圆相切且切点在第四象限时， 且由几何关系可得，解得，此时，直线与曲线有1个公共点； 当直线过点时，，此时，直线与曲线有2个公共点； 当直线过点时，，此时，直线与曲线有1个公共点； 由上图可知，曲线与直线恰有个公共点时，的取值范围是． 故答案为：． 17. 已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，则取最大值时，点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：椭圆的左焦点为，右焦点为，根据椭圆的定义，，∴ ，由三角形的性质，知，当是延长线与椭圆的交点时，等号成立，故所求最大值为． 考点：椭圆的定义，三角形的性质． 18. 过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用点差法可求基本量的关系，再结合通径的长可求基本量，故可求焦半径的最大值.我们也可以联立直线方程和椭圆方程，从而可用基本量表示中点，从而得到基本量的一个关系式，同样结合通径长可取基本量，故可求焦半径的最大值. 【详解】法一：将代入椭圆的方程得，所以①， 设，，则， 两式相减得， 又，，所以②， 解①②得，所以， 所以上的点到焦点的距离的最大值为. 法二：将代入椭圆的方程得，所以①， 直线的方程是，即， 代入椭圆的方程并消去整理得， 则， 设，，则，即②， 解①②得，满足，所以， 所以上的点到焦点的距离的最大值为. 故答案为：. 19. 与大家阔别已久的温思黛同学为南开一百二十二周年校庆设计了一枚由数字“”，“”，“”抽象而成的徽章（如图）．在图中，圆的半径为，直线，分别与圆切于，两点，直线，，，依次平行且等间距，过点与圆相切的另一条直线与其切于点（点异于点），且与直线，分别交于，两点． （1）若，则________； （2）若以线段为直径的圆与圆相切，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先通过平行线分线段成比例可得平行线间的距离为，再通过解直角，，从而可得及相应的线段的比例；（2）先计算圆的半径，再由勾股定理得圆心距，再分两圆内切还是外切解得 【详解】设，四条平行线依次等间距；都是圆的切线， 所以两条切线之间距离是直径. 四条平行线，相邻间距相等，共个间隔：. （1）由向圆引两条切线，所以切线长相等， 因为相邻两条平行线之间的距离为，所以平行线在斜线上截得线段长. 因为，得，所以. 在直角中，， 所以切线长， 因为，即， 解得，. （2）设中点为，是小圆的圆心，小圆半径 ，， 由（1）知，所以， 又，所以两圆圆心距， 因为以线段为直径的圆与圆相切， 若圆与圆外切，则，即，解得； 若圆与圆内切，则，即，解得，不可能，舍去. 因此. 20. 已知直线与椭圆：交于，两点，为点关于轴的对称点，若的面积为，且点在椭圆上，则椭圆的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由点在椭圆上得到参数的第一个等量关系；再将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及点的对称关系，借助三角形面积的坐标公式构建第二个等量关系，通过解方程组求得. 【详解】 设，，则. 由点在椭圆上得. 联立，整理得. 则，. 将代入上式得 . 于是. 整理得，即. 令，联立方程组，解得. 故，满足，所以椭圆的方程为. 三．解答题（共50分） 21. 在长方体中，底面边长为2的正方形，侧棱，点，分别在棱和棱上，且 ， ． （1）求证：． （2）平面与平面夹角的余弦值． （3）直线与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图： 可得 , 所以，， 所以， 因此， 即. （2） （3） 【解析】 【分析】(1)以为原点，建立空间直角坐标系，求出和的坐标，通过计算两个向量的数量积即可判断垂直关系； (2)分别求出平面和平面的法向量，所以利用向量夹角公式计算法向量夹角的余弦值即可； (3)求出直线的方向向量和平面的法向量，再由线面角的向量公式代入计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知， 设 为平面的一个法向量， 则  ，令，得， 即, 又易知，则 ，， 设平面的法向量， 可得 ，令，得， 即， 设平面和平面的夹角为，， 可得， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 易知，则，， 设直线和平面的夹角， 因此, 即直线与平面夹角的正弦值为. 22. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）顶点的坐标； （2）求外接圆的方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）BH所在直线方程为，且BH是AC边上的高，故根据两直线垂直的关系，可以设AC所在直线的方程为，将点A代入，可解得m，再与CD方程联立，即可得C点坐标；（2）设点B和点D坐标，点B在BH上，点D在CD上，且直线CD和直线BH方程已知，将点坐标代入，可解得B点坐标，设外接圆的方程为．将A,B,C三点代入，解出D,E,F，即得外接圆方程． 【详解】（1）∵，的方程为，不妨设直线的方程为， 将代入得，解得， ∴直线的方程为， 联立直线，的方程，即， 解得点的坐标为； （2）设，则， ∵点在上，点在上， ∴，解得， 设外接圆的方程为． ∴，解得，，． ∴外接圆的方程为． 【点睛】本题通过求三角形的顶点考查两直线的位置关系，和求圆的一般方程，难度不大，有一定的综合性． 23. 已知椭圆：的离心率为，且长轴长为，点，分别为椭圆的左、右焦点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率存在且不为零的直线与椭圆交于，两点． （i）若，的斜率分别为，，当时，求弦的长； （ii）记线段的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率为可得，长轴长为可得，结合，于是可得椭圆的标准方程为； （2）（i）联立直线方程得到，再结合点在椭圆上，可得，再利用弦长公式可得, （ii）根据直线斜率关系可得，于是可得，于是可得四边形面积最小值为. 【小问1详解】 由椭圆离心率为可得，长轴长为可得， 结合，可知， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）设过点斜率存在且不为零的直线方程为， 所在直线的方程为. 联立两直线方程可得， 又因为点在椭圆上，所以， 所以直线方程为， 设， 联立椭圆方程， 由韦达定理，， 所以. （ii）由（i）可知，联立所在直线方程与椭圆方程 ， 所以由韦达定理， 结合在直线上，可得中点. 所以直线的方程为， 令，得，所以直线的斜率为. 所以，由弦长公式可得， 设，同理联立椭圆与直线方程 则. 所以四边形面积为， 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号. 所以四边形面积最小值为. 24. 已知椭圆经过点和点 （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线：，若点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求实数的值； （3）已知斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，，点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设椭圆方程为，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点关于直线的对称点为，再结合在椭圆上，可得； （3）设直线的方程为，，利用表示，再结合，可得，又因为，所以. 【小问1详解】 设椭圆方程为， 代入点和点坐标可得， ，所以椭圆方程为. 【小问2详解】 设点关于直线的对称点为， 则， 代入椭圆方程可得，化简得 解得或. 当时，点坐标为，与点重合，舍去. 当时，点坐标为. 综上所述，. 【小问3详解】 设直线的方程为，， 联立直线与椭圆方程， 由韦达定理， 直线过点和，其方程为， 代入椭圆方程可得， 化简得， 由韦达定理，所以. 又因为在椭圆上，所以， 所以分母为. 结合，所以. 同理可得， 因为三点共线，所以， ， 同理，所以， 于是有， 所以， 又因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开中学2026—2027学年度第一学期质量监测（一） 高二数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷两部分，共150分．考试结束后，请将答题纸交回． 一．选择题（共60分，每题5分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：和直线：，若，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 5. 设点，，的周长为，则的顶点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 7. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆：上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 8. 直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆：与圆：相外切，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，为坐标原点，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点.直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 12. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列三个命题： ①点的轨迹关于轴对称； ②存在使得椭圆上满足条件的点仅有四个； ③的最小值为． 其中，所有正确命题的序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ②③ 二．填空题（共40分，每题5分） 13. 已知：的圆心坐标为，半径为r，则________． 14. 直线过点，且斜率为，则直线在轴上的截距为________． 15. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 16. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为__________. 17. 已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，则取最大值时，点的坐标为___________． 18. 过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为__________. 19. 与大家阔别已久的温思黛同学为南开一百二十二周年校庆设计了一枚由数字“”，“”，“”抽象而成的徽章（如图）．在图中，圆的半径为，直线，分别与圆切于，两点，直线，，，依次平行且等间距，过点与圆相切的另一条直线与其切于点（点异于点），且与直线，分别交于，两点． （1）若，则________； （2）若以线段为直径的圆与圆相切，则________． 20. 已知直线与椭圆：交于，两点，为点关于轴的对称点，若的面积为，且点在椭圆上，则椭圆的方程为________． 三．解答题（共50分） 21. 在长方体中，底面边长为2的正方形，侧棱，点，分别在棱和棱上，且 ， ． （1）求证：． （2）平面与平面夹角的余弦值． （3）直线与平面夹角的正弦值． 22. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）顶点的坐标； （2）求外接圆的方程． 23. 已知椭圆：的离心率为，且长轴长为，点，分别为椭圆的左、右焦点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率存在且不为零的直线与椭圆交于，两点． （i）若，的斜率分别为，，当时，求弦的长； （ii）记线段的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最小值． 24. 已知椭圆经过点和点 （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线：，若点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求实数的值； （3）已知斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，，点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $