专题 30.4 直线与圆的位置关系全章复习讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册
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精品
内容正文：
专题 30.4 直线与圆的位置关系全章复习讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】
目录
一.复习目标重难点 1
复习目标 1
复习重点 2
复习难点 2
二.知识梳理与解读 2
【知识点一】直线与圆的位置关系 2
【知识点二】切线的性质与判定 2
【知识点三】切线长定理与三角形的内切圆 2
【知识点四】正多边形与圆 3
三、题型精析【夯实基础】 3
【题型1】由 d 与 r 的大小判断直线与圆的位置关系 3
【题型2】切线的性质：连切点半径求角与线段 6
【题型3】切线的判定 11
【题型4】切线长定理求等线段、角与周长 15
四、题型精析（综合提升） 18
【题型1】切线判定与性质综合证明 19
【题型2】切线长结合勾股定理求半径与切线长 25
【题型3】三角形内切圆：内心性质与半径 r= 30
【题型4】正多边形与圆：中心角、边长、边心距、面积计算 34
【题型5】切线实际应用（油桶靠墙·V形槽·车轮·测量） 39
五、中考链接 44
一.复习目标重难点
复习目标
1. 掌握直线与圆相离、相切、相交三种位置关系，会由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小判定位置关系。
2. 掌握切线的性质与判定，会用“连半径证垂直”“作垂直证半径”证明切线，并结合勾股定理求角与线段。
3. 掌握切线长定理，会求切线长、半径与三角形周长；理解三角形内心与内切圆半径公式。
4. 理解正多边形与圆的有关概念，会求中心角、边长、边心距与面积。
复习重点
切线的性质与判定、切线长定理、三角形内切圆半径、正多边形与圆的有关计算。
复习难点
切线判定与性质的综合证明、切线长结合勾股定理求半径、正多边形中解直角三角形。
二.知识梳理与解读
【知识点一】直线与圆的位置关系
设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d。
（1）相离：d>r，直线 l 与⊙O 没有公共点；
（2）相切：d=r，直线 l 与⊙O 只有一个公共点（切点），这条直线叫做圆的切线；
（3）相交：d<r，直线 l 与⊙O 有两个公共点，这条直线叫做圆的割线。
【要点提示】判定时先求圆心到直线的垂线段 d，再与 r 比较；相切的本质是只有一个公共点。
⚠️ 易错警示：d 是圆心到直线的垂线段长度，不是圆心到直线上某一点的距离；注意 d=r 是相切，不要与 d<r 的相交混淆。
【知识点二】切线的性质与判定
性质：圆的切线垂直于过切点的半径（见切点，连半径，得直角）。
判定：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。两种思路：①已知公共点，连半径证垂直；②未知公共点，作垂直证半径。
【要点提示】性质由“切线”推出“垂直”，判定由“过外端且垂直”推出“切线”，二者方向相反，不要用反。
⚠️ 易错警示：判定切线必须同时满足“经过半径外端（点在圆上）”和“垂直于这条半径”两个条件，缺一不可；只垂直于半径而不过外端的直线不是切线。
【知识点三】切线长定理与三角形的内切圆
切线长：从圆外一点引圆的两条切线，这点与切点之间的线段长叫做切线长。切线长定理：两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线的夹角（即 PA=PB，OP 平分∠APB）。
三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆；圆心叫做内心，是三条角平分线的交点，内心到三边的距离相等（都等于内切圆半径 r）。面积法 S=（a+b+c）r，故 r=；直角三角形中 r=（c 为斜边）。
【要点提示】PA=PB 用于转移等线段，连接 OA、OB 得到两个全等的直角三角形，再结合勾股定理求切线长或半径；内心是角平分线交点，区别于外心（三边中垂线交点）。
⚠️ 易错警示：切线长是点到切点的线段而不是弦长；内心到三边距离相等，外心到三顶点距离相等，二者不要混淆。
【知识点四】正多边形与圆
各边相等、各角相等的多边形叫做正多边形；任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，两圆同心。
有关概念：中心（外接圆圆心）、半径 R（外接圆半径）、中心角（一边所对的外接圆圆心角，等于 ）、边心距 r（中心到一边的距离，即内切圆半径）。
【要点提示】作半径与边心距，把正 n 边形分成 n 个全等的等腰三角形，解其中的直角三角形即可求各量。
⚠️ 易错警示：中心角=，不是正多边形的内角；边心距是内切圆半径，不要与外接圆半径 R 混淆。
三、题型精析【夯实基础】
【题型1】由 d 与 r 的大小判断直线与圆的位置关系
【例题1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．以边的中点D为圆心，以r为半径作．若，分别判断，与的位置关系．
【答案】与相离，与相切
【分析】过圆心D分别作的垂线，垂足分别为，则的长分别为圆心D到的距离，然后根据三角形中位线定理求出圆心到直线的距离，再与半径比较即可．
解：如图，过圆心D分别作的垂线，垂足分别为，
则的长分别为圆心D到的距离，
连接，
∵D为的中点，
∴，
∴E，F分别为的中点
∴
∵,
∴
∴与相离，与相切．
【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，通过计算圆心C到直线的距离，与半径比较判断位置关系．
解：∵，，，
∴，，
∴边上的高为，
即圆心到直线的距离是，
∵，
∴直线与相离，
故选：A．
【变式2】（25-26九年级上·上海宝山·期末）若以点为圆心的圆与两坐标轴只有3个交点，则该圆的半径长是______．
【答案】或2
【分析】本题考查了切线的性质，圆与坐标轴的交点问题，正确分类讨论是解题的关键．
分两种情况讨论：①经过原点；②与轴相切且与轴相交，再结合图形分别求出对应的圆的半径长即可．
解：①如图，当经过原点时，与两坐标轴只有3个交点，
此时该圆的半径长；
②如图，当与轴相切（切点为）且与轴相交时，与两坐标轴只有3个交点，
则轴，
此时该圆的半径长；
∴综上，该圆的半径长是或2．
故答案为：或2．
【变式3】（24-25九年级下·全国·随堂练习）在中，，，．
（1）若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系如何？
（2）若直线与半径为r的相切，求r的值．
（3）若线段与半径为r的有唯一公共点，求r的取值范围．
【答案】（1）相离；（2）；（3）或
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，勾股定理逆定理：
（1）根据勾股定理逆定理可得，作于点D，根据，可求出，再根据直线与圆的位置关系解答，即可；
（2）根据直线与圆的位置关系解答，即可；
（3）根据直线与圆的位置关系，分两种情况：圆与相切时；点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，即可解答．
（1）解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
作于点D，如图，
，
∵，
∴，
∵以点C为圆心，长为半径画，且，
∴直线与的位置关系是相离．
（2）解：∵直线与半径为r的相切，
∴．
（3）解：∵，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，分两种情况：
①圆与相切时，即；
②点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，
此时，即．
∴r的取值范围是或．
解题归纳：d>r 相离、d=r 相切、d<r 相交，关键是先准确求出圆心到直线的垂线段 d。
易错纠正：把圆心到直线上某一点的距离当作 d；比较时漏掉等号，d=r 是相切。
【题型2】切线的性质：连切点半径求角与线段
【例题2】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）中国最早在四千多年前的夏禹时代就已经有了马车．如图1是马车模型，如图2是车轮的侧面示意图，当过圆心O的车架的一端点A落在地面上时，与的另一个交点为点D，水平地面与相切于点B．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）；（2）0．25米
【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理：
（1）连接，根据切线的性质得到，从而得到，再由圆周角定理解答即可；
（2）设的半径为r，则，在中，利用勾股定理解答即可．
（1）解：如图，连接．
∵与相切于点B，
∴．
∵，
∴在中，，
∴；
（2）解：设的半径为r，则，
在中，，，
∴，
解得，
∴的半径为米．
【变式1】（2026·山西太原·模拟预测）如图，是的外接圆，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据切线的性质可得，从而得到，即可求解．
解：连接，
∵与相切于点B，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【变式2】（2026·安徽·模拟预测）如图，是的直径，点A在的延长线上，是的切线，B为切点，连接，若，则的度数为________．
【答案】
【分析】连接，由是的切线，则有，根据直角三角形两个锐角互余得出，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质得出，最后求出结果即可．
解：连接，如图所示：
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式3】（2026·天津西青·二模）已知是的直径，点C，D是上方半圆上的两点，连接．
（1）如图①，若点C是的中点，，求和的大小；
（2）如图②，若点D是半圆的中点，且，过点C作的切线，与的延长线交于点E，，求的长．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）先求出的度数，根据等弧所对的角等得到，根据直径所对的角为直角求出，即可求出结果；
（2）连接，得到，根据等边三角形性质，再求出，再利用勾股定理即可求出；
本题主要考查切线的性质，圆周角定理，弧，弦，等边三角形等知识．
（1）解：连接．
，
．
∵点C是的中点，
．
．
∵AB是的直径，
．
．
．
（2）解：连接．
∵点D是半圆的中点，
．
．
，
．
，
．
，，
．
是等边三角形．
．
．
∵切于点C，
．即．
．
．
．
．
．
在中，．
解题归纳：见切点连半径得 90°，再用勾股定理或三角形内角和求解。
易错纠正：忘记连接半径；把切线与弦的夹角直接当成直角。
【题型3】切线的判定
【例题3】（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，四边形内接于，，，的延长线交于点，点在上，且．求证：是的切线．
【答案】证明：如图，连接，
，
是的直径，
，
．
，
．
∵，
∴，
，
，即．
为的半径，
是的切线．
【分析】连接，由，可得是的直径，可得，再结合三角形外角的性质及同弧所对的圆周角相等可得，即可证明结论．
解：略
【变式1】（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案．
解：A、∵，
∴，
当时，则，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
B、∵，
∴，则，
∵，
∴，
当时，则，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
C、当时，，
∵，
∴，
∴，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
D、当时，由得到，
∴是等腰三角形，无法确定，
∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键．
【变式2】（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，内接于，过点作直线，已知，根据弦的位置变化，试探究直线与的位置关系．
甲：如图①，当弦过点时，与相切．
乙：如图②，当弦不过点时，也与相切．
你认为________的判断正确．
【答案】甲、乙
【分析】甲：根据直径推出，推出，根据切线判定推出即可；
乙：作直径，连接，推出，求出，根据切线的判定推出即可．
解：甲：∵是的直径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
乙：作直径，连接，
∴（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
∴甲、乙的判断都正确．
【变式3】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，O为上一点，以点O为圆心，长为半径作圆，过点C作的垂线，交的延长线于点D．若．求证：是的切线．
【答案】证明：如图，过点O作于点E．
，
．
，
．
，
，
，
∴为的平分线．
，
，
∴为的半径，
∴是的切线．
【分析】过点O作于点E，证明为的平分线，得到，即可得证．
解：略
解题归纳：有公共点“连半径证垂直”，无公共点“作垂直证半径”。
易错纠正：只证垂直而不证过半径外端；全等三角形对应边写错。
【题型4】切线长定理求等线段、角与周长
【例题4】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的直径，，分别与相切于点，，．求的度数．
【答案】．
【分析】连接，由切线长定理可得，则，再通过圆周角定理可得，然后求出，最后通过三角形内角和定理即可求出的度数．
解：连接，如图，
∵，分别与相切于点，，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即的度数为．
【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，，为切点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．据此解答即可．
解：∵，是的切线，，为切点，连接，，
∴平分，
∴．
【变式2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________．
【答案】/42度
【分析】根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案；
解：∵是的切线，A为切点，，
∴，
∴，
∵，是的切线，，为切点，
∴，
∴，
∴．
【变式3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E．
（1）连接和，若，则_______；
（2）已知，求的周长．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知切线的性质和切线长定理是解题的关键．
（1）由切线的性质得到，则由四边形内角和定理可求出的度数，证明，可推出；
（2）由切线长定理得到，再根据三角形周长计算公式和线段的和差关系求解即可．
（1）解：如图所示，连接，
∵都是的切线，
∴，
∵，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵都是的切线，
∴，
∴的周长
．
解题归纳：PA=PB 转移等线段，连 OA 得直角三角形，结合勾股定理求解。
易错纠正：把切线长当成弦长；求周长漏掉 AB。
四、题型精析（综合提升）
【题型1】切线判定与性质综合证明
【例题1】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，中，，为的中点，与相切于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，，作于点．
∵，为的中点，
∴平分．
∵与相切于点，
∴是的半径，，
∵，平分，
∴．
∴也是的半径，
∴是的切线；
（2）
【分析】本题考查切线的判定性质、等腰三角形性质与角平分线性质、勾股定理与方程思想．
（1）通过作辅助线构造垂线段，利用等腰三角形“三线合一”得角平分线，结合角平分线性质证明垂线段等于半径，从而判定切线．
（2）先在中求出半径，再设，利用等腰三角形三线合一与勾股定理建立方程求解．
解：（1）略
（2）解：在中，，，
∴．
设，则．
∵，为的中点，
∴，即．
在中，；
在中，，
∴，
展开化简得，解得，
∴．
【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（ ）
A．9 B．10 C． D．12
【答案】B
【分析】连接，延长交于点M，由垂径定理得，证明四边形为矩形，得到，设，则，由勾股定理得，解出x的值，进而即可求出答案．
解：连接，延长交于点M，
与相切，
，
在矩形中，，
，
，
矩形绕点旋转所得矩形为，
，，
四边形为矩形，
，
设，则，
，
，
解得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识．
【变式2】（专题11A字型相似模型-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版））如图，为的直径，、为上两点，且点为弧的中点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．若的半径的长为3，，求的长．
【答案】
【分析】连接，先用计算出，再利用勾股定理计算出，则，然后在中利用正弦的定义可求出的长．
解：连接，如图，
点为弧的中点，
．
，
，
．
，
∥，
，
，，
，
，，
，．
，
．
在中，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
【变式3】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴即，
∵是的半径，
∴为的切线；
（2）证明：延长交于点，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵为的切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴四边形为矩形，
∴；
（3）
【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理：
（1）连接，由，得到，结合，推出，再根据为的直径，得到，进而得到即，即可证明结论；
（2）延长交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证；
（2）由（2）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可．
解：（1）略
（2）略
（3）解：由（2）知四边形为矩形，，，
∴，
∴，
设的半径为，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
即：的半径为．
解题归纳：性质推出直角，判定补充垂直，证明链条要写完整。
易错纠正：因果倒置；跳步不写“OA⊥PA”这一关键垂直。
【题型2】切线长结合勾股定理求半径与切线长
【例题2】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，为的直径，，分别切于点B，D，交的延长线于点E，的延长线交于点G，于点F．若，．
（1）求证：；
（2）①求的半径长；②求线段的长．
【答案】（1）证明：∵，分别切于点，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①3；②
【分析】（）利用切线长定理得到，利用切线的性质得，则，由于，，再根据等角的余角相等即可求证；
（）①连接，由切线长定理得，，，则，，由勾股定理得，设的半径为，则，，然后通过勾股定理即可求解；
②先由勾股定理求解，再由即可求解．
解：（1）略；
（2）解：①连接，
∵，分别切于点，，
∴，，，
∴，，
在中，，
设的半径为，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴的半径长为；
②∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知以为直径的半圆O与四边形的另外三边都相切，切点分别为D，C，E，若半圆O的半径为2，长为5，则四边形的周长为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【分析】由切线长定理可知：，因此四边形的周长，已知了和圆的半径，由此可求出四边形的周长．
解：∵半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C，
∴，
∴，
∵，
∴四边形的周长．
【变式2】（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，若，将线段绕点逆时针旋转到点在上时，求点的运动路径长_______．
【答案】
【分析】先利用切线性质得到垂直关系，结合求出的度数；再根据三角形周长和切线长定理求出的长度；最后根据弧长公式计算点的运动路径长（即绕点旋转的弧长）．
解：连接、，
∵与，分别相切于点，，
∴，，
∴，
∵四边形内角和为，，
∴−−−，
∵的周长为，内切圆与，，分别相切于，，，
∴，，，
∵，
∴−，
∵，且，，
∴，
∴−，
∵，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转到点在上，
∴点的运动路径为以为圆心，为半径，圆心角为的弧，
∴弧长，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、多边形内角和、弧长公式，熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键．
【变式3】（2026·山东临沂·一模）按要求解答：
（1）课本再现：如图①，，是的两条切线，切点分别为，．若图中的，则的长度是多少？如果，则的度数是多少？请说明理由．
（2）知识应用：如图②，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点交于点，过点作交于．求证：是的切线．
【答案】（1）解：的长度是，的度数是，
理由：如图，连接、，
∵，是的两条切线，切点分别为、，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，；
（2）证明：∵、、分别与相切于点、、，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
【分析】（1）连接、，利用切线性质得两个直角三角形，通过证明全等，从而得到切线长相等和对应角相等
（2）先由切线长定理得角平分线，结合平行线证等腰三角形，再用三线合一得，最后由平行推出，判定是切线．
解：（1）略
（2）略
解题归纳：设 r，在直角三角形中用勾股定理列方程。
易错纠正：把 PB 所在方向线段列错方程。
【题型3】三角形内切圆：内心性质与半径 r=
【例题3】（24-25九年级上·云南红河·阶段检测）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．
如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，
（1）求的长．
（2）已知，求的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键．
（1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可；
（2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长．
（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
，，，
设，则，，
根据题意得：
解得：
，，，
则的长为；
（2），，，
∴半周长，
又，
，
，
则的长为．
【变式1】（25-26九年级下·浙江金华·开学考试）如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先连接，再根据切线的性质得，然后根据等边三角形的性质得，接下来根据四边形内角和定理求出，最后根据圆周角定理得出答案．
解：如图所示，连接，
∵是的内切圆，
∴，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是等边三角形的内切圆，若，则的半径为________．
【答案】
【分析】根据内切圆和角平分线性质的判定定理，可证明和分别为和的角平分线，再根据三角形全等证明，最后利用勾股定理求出圆的半径长度.
解：设与的交点为，与的交点为，如图所示，连接，，，，
是等边三角形的内切圆，
，，.
，
平分，
.
同理平分，
.
.
，
，
，
.
在中，设，则，
，
.
.
的半径为：.
【变式3】（25-26九年级下·全国·随堂练习）若三角形的三边长分别为，求三角形内切圆的半径．
【答案】三角形内切圆的半径为．
【分析】本题考查了三角形的内切圆与圆心，勾股定理，三角形面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
先画出图形，过点作交于点，作交于点，连接，由等腰三角形的性质得出，，故点为三角形内切圆的圆心，设内切圆的半径为，由勾股定理求出，再由得出，从而求解．
解：如图，设，，
过点作交于点，作交于点，交于点，连接，
∵，，
∴，，
∴点为三角形内切圆的圆心，设内切圆的半径为，
根据题意可知：周长为，
在中，，
∴，
由，
，
∴，
∴三角形内切圆的半径为．
解题归纳：内心到三边距离等于 r，用面积法 S=（a+b+c）r 求解。
易错纠正：把内心当成外心；直角三角形公式记错斜边。
【题型4】正多边形与圆：中心角、边长、边心距、面积计算
【例题4】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形内接于，求图中阴影部分的面积．
【答案】
【分析】如图：过O作于D，利用圆和等边三角形的性质可得，再利用等腰三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理求得；再说明，最后利用扇形的面积公式求解即可．
解：如图：过O作于D，
为等边三角形，且内接于，
．
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即，
．
【变式1】（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，是正五边形的内切圆，M，N，P分别是边，，与的切点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接、，由M、N是边、与的切点可以得到，求出正多边形每个内角的度数，通过四边形内角和为可以得出的度数，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
解：连接、，如下图所示，
、N是边、与的切点，
、，
，
正五边形的内角和为：，
，
在四边形中，，，
，
．
【变式2】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，已知正六边形的边长为1，分别以C，F为圆心，以边长为半径画弧（两条弧均经过正六边形的顶点），则图中阴影部分的面积为____________．
【答案】/
【分析】求出阴影部分扇形的圆心角，再求出扇形面积即可解答；
解：∵正六边形的边长为1，
∴，,
∴．
【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）完成下表中有关正多边形的计算：
正多边形边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
6
【答案】表格如下：
正多边形边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
6
解：如图1，正三角形，设为中点，连接，
∵内角，，，
∴中心角，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
解得半径（负值舍去），边心距，
周长为，面积为；
如图2，正方形，设为中点，连接，
∵半径，
∴内角，中心角为，边长，边心距，周长为，面积为；
如图3，正六边形，设为中点，连接，
∵边心距，
∴内角，中心角，
同图1可知半径，边长，周长为，面积为．
表格略．
解题归纳：作半径加边心距，解半中心角所在的直角三角形。
易错纠正：中心角与内角混淆；面积公式漏掉 。
【题型5】切线实际应用（油桶靠墙·V形槽·车轮·测量）
【例题5】（2026·河南信阳·模拟预测）我国西南地区公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）如图2所示，是同心圆环的一部分，左右两边缘的延长线交于圆心，甲、乙两个小组分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径．
（1）如图2，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长．
（2）如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为的中点，若乙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径．
【答案】（1）；（2）该混凝土管片的外圆弧半径为
【分析】（1）先证明，再根据相似三角形对应边成比例解答即可；
（2）连接、、、、与相交于点，由垂径定理的推论可得，再结合勾股定理得到，据此解答即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的根，即．
答：的长为；
（2）解：如图，设圆心为点，连接、、、、与相交于点，
∵点L为的中点，为半径，
∴，
由题意得，与相切于点，则，
而
∴四边形为矩形，
∴，
设外半径为，则，
在中，由勾股定理可得：，
即，
解得：，
答：该混凝土管片的外圆弧半径为．
【变式1】（2026·广东东莞·一模）如图，的直径垂直于弦，垂足为点，为上一动点，从在半圆上运动（点不与点重合），交所在的直线于点，已知，，记，为，则关于的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别连结OC、AC、CP、BP，依据∠AFE＝∠ABP＝∠ACP，∠CAP＝∠FAC，可得△ACP∽△FAC，进而得出AC2＝AP•AF，即xy＝80，依据y＝（0＜x≤10），即可得到函数图象为第一象限内的双曲线的一部分．
解：如图，分别连结OC、AC、CP、BP，
在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，
∴OE＝3，
在Rt△ACE中，AE＝5＋3＝8，CE＝4，
∴AC＝，
∵∠AFE＝∠ABP＝∠ACP，∠CAP＝∠FAC，
∴△ACP∽△FAC，
∴AC2＝AP•AF，即xy＝80，
∴y＝（0＜x≤10），
∴函数图象为第一象限内的双曲线的一部分，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点函数的图象问题，解决本题的关键是进行分类讨论．函数图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
【变式2】（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是________．
【答案】
【分析】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是掌握：正六边形的边长等于半径．
根据正六边形的边长等于半径的特点，正六边形可以分解为六个全等的三角形，易得每个三角形的面积，进而可得六边形的面积．
解：如图，设正六边形的中心为点，连接、，过点作于点，
∴中心角，
∵正六边形的半径为，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即正六边形可以分解为六个全等的三角形，且每个三角形的边长都为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴这个正六边形的面积是．
故答案为：．
【变式3】（25-26九年级上·全国·期末）图是一个四冲程汽油机的工作图，我们在物理课上学过汽油发动机是由汽油和空气燃烧推动活塞运动的．然而活塞运动是直线方向的运动，而汽车的行进是靠滚动的，这时就需要通过曲柄连杆机构把直线运动转化为旋转运动．
图是曲柄连杆机构的示意图，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点，是直线与的交点．当点运动到点时，点到达点；当点运动到点时，点到达点已知，．
（1）的长为 ．
（2）求当与相切时，的长度．
（3）据中国汽车工业协会统计分析，年月，我国新能源汽车产销同比高速增长，市场占有率达到，与此同时，中国产的新能源汽车在海外市场的销量也在不断增长．目前的新能源汽车大多使用电动机，我们在物理课上也学过电动机，是由电磁感应带动转子直接转动的．你能写出一个新能源汽车比传统汽油车的优势吗？
【答案】（1）；（2）；（3）电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可）
【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系．
（1）由题意得，，求出；
（2）得到，由切线的性质定理得到，由勾股定理求出，又，得到．
（3）电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可）
（1）解：由题意，，
，
故答案为：；
（2）解：与相切时，
，
，
，
；
（3）解：电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可）
解题归纳：抽象出切点、半径与垂线段，转化为 d=r 与勾股定理。
易错纠正：实物量与半径对应错误；周长与直径混淆。
五、中考链接
一、单选题
1．（2026·上海·中考真题）已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．相切 D．相离
【答案】A
【分析】本题根据两圆位置关系的判定方法，比较圆心距与两圆半径差的大小，即可得出结论，若两圆半径分别为，（），圆心距为，当时，两圆内含．
解：设的半径，的半径，两圆圆心距，
，
，
与的位置关系是内含．
2．（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键；根据题意，等腰的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得；当与相交时，圆心距需满足条件，代入数值求解r的范围，进而确定选项．
解：如图，连接并延长交于点E，
∵，D为中点，
∴，；
∵锐角三角形中，，
∴外接圆心O在上，
连接，由勾股定理得：；
设以D为圆心的圆的半径为，相交应满足：，
即，解得：；
在此范围的半径只有选项B；
故选：B．
3．（2026·四川·中考真题）如图，正六边形内接于，，则的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，判断出为等边三角形是解题的关键．
解： ∵是正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故选：C．
4．（2026·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作轴于H，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，则，，即可得到点在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到，据此求解即可．
解：如图所示，过点E作轴于H，连接，
∵原点为正六边形的中心，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，
∴点在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故选：A．
二、填空题
5．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________．
【答案】10
【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论．
解：，
，
，
故答案为：10．
6．（2026·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________
【答案】/40度
【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
解：∵与相切，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
7．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________．
【答案】
【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．
先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解．
解：∵正五边形内接于，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（2025·上海·中考真题）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是______．
【答案】或
【分析】本题考查正多边形与圆，如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如，弦为时，此时恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即交的两边，截取的两条弦为时，进行求解即可．
解：如图，当角的顶点在圆上时，如交的两边，截取的两条弦为，此时恰好是正五边形的一个内角，
∴；
当角的顶点在圆外部，即交的两边，截取的两条弦为时，
则：，
∴，
∴；
综上：这个角的大小是或；
故答案为：或．
三、解答题
9．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，为的直径，为上一点，过点的直线和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，．求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）
【分析】（1）连接，利用切线的性质，推出，得到，利用等边对等角得到，进而得到，即可；
（2）连接，交于点，连接，交于点，分割法求阴影部分面积即可．
解：（1）略
（2）解：连接，交于点，连接，交于点，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
10．（2026·广东深圳·中考真题）如图，是的直径，点是圆上一点，连接并延长至点，使得．
（1）求证是的切线；
（2）若，，求的长；
（3）利用圆规和无刻度直尺在图中作出点关于直线的对称点（保留作图痕迹，不要求写出作法）．
【答案】（1）证明：∵
∴
∵
∴
∵是的直径，
∴
∴
∴
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）
（3）如图，点即为所求
【分析】（1）由结合已知条件得到，然后根据圆周角定理得到，再由直角三角形锐角互余以及等量代换证明即可；
（2）设，则，先对运用勾股定理求解半径，然后利用，以及对运用勾股定理求解即可．
（3）以点为圆心，为半径画弧与交点即为点．
解：（1）略
（2）解：过点作于点，则
设，则
∵，
∴
∴
解得，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴．
（3）解：连接，
由作图可得，
则，
再由垂径定理的推论可得垂直平分，
即可得到点关于对称．
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专题 30.4 直线与圆的位置关系全章复习讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】
目录
一.复习目标重难点 1
复习目标 1
复习重点 2
复习难点 2
二.知识梳理与解读 2
【知识点一】直线与圆的位置关系 2
【知识点二】切线的性质与判定 2
【知识点三】切线长定理与三角形的内切圆 2
【知识点四】正多边形与圆 3
三、题型精析【夯实基础】 3
【题型1】由 d 与 r 的大小判断直线与圆的位置关系 3
【题型2】切线的性质：连切点半径求角与线段 4
【题型3】切线的判定 5
【题型4】切线长定理求等线段、角与周长 6
四、题型精析（综合提升） 7
【题型1】切线判定与性质综合证明 7
【题型2】切线长结合勾股定理求半径与切线长 9
【题型3】三角形内切圆：内心性质与半径 r= 10
【题型4】正多边形与圆：中心角、边长、边心距、面积计算 11
【题型5】切线实际应用（油桶靠墙·V形槽·车轮·测量） 12
五、中考链接 14
一.复习目标重难点
复习目标
1. 掌握直线与圆相离、相切、相交三种位置关系，会由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小判定位置关系。
2. 掌握切线的性质与判定，会用“连半径证垂直”“作垂直证半径”证明切线，并结合勾股定理求角与线段。
3. 掌握切线长定理，会求切线长、半径与三角形周长；理解三角形内心与内切圆半径公式。
4. 理解正多边形与圆的有关概念，会求中心角、边长、边心距与面积。
复习重点
切线的性质与判定、切线长定理、三角形内切圆半径、正多边形与圆的有关计算。
复习难点
切线判定与性质的综合证明、切线长结合勾股定理求半径、正多边形中解直角三角形。
二.知识梳理与解读
【知识点一】直线与圆的位置关系
设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d。
（1）相离：d>r，直线 l 与⊙O 没有公共点；
（2）相切：d=r，直线 l 与⊙O 只有一个公共点（切点），这条直线叫做圆的切线；
（3）相交：d<r，直线 l 与⊙O 有两个公共点，这条直线叫做圆的割线。
【要点提示】判定时先求圆心到直线的垂线段 d，再与 r 比较；相切的本质是只有一个公共点。
⚠️ 易错警示：d 是圆心到直线的垂线段长度，不是圆心到直线上某一点的距离；注意 d=r 是相切，不要与 d<r 的相交混淆。
【知识点二】切线的性质与判定
性质：圆的切线垂直于过切点的半径（见切点，连半径，得直角）。
判定：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。两种思路：①已知公共点，连半径证垂直；②未知公共点，作垂直证半径。
【要点提示】性质由“切线”推出“垂直”，判定由“过外端且垂直”推出“切线”，二者方向相反，不要用反。
⚠️ 易错警示：判定切线必须同时满足“经过半径外端（点在圆上）”和“垂直于这条半径”两个条件，缺一不可；只垂直于半径而不过外端的直线不是切线。
【知识点三】切线长定理与三角形的内切圆
切线长：从圆外一点引圆的两条切线，这点与切点之间的线段长叫做切线长。切线长定理：两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线的夹角（即 PA=PB，OP 平分∠APB）。
三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆；圆心叫做内心，是三条角平分线的交点，内心到三边的距离相等（都等于内切圆半径 r）。面积法 S=（a+b+c）r，故 r=；直角三角形中 r=（c 为斜边）。
【要点提示】PA=PB 用于转移等线段，连接 OA、OB 得到两个全等的直角三角形，再结合勾股定理求切线长或半径；内心是角平分线交点，区别于外心（三边中垂线交点）。
⚠️ 易错警示：切线长是点到切点的线段而不是弦长；内心到三边距离相等，外心到三顶点距离相等，二者不要混淆。
【知识点四】正多边形与圆
各边相等、各角相等的多边形叫做正多边形；任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，两圆同心。
有关概念：中心（外接圆圆心）、半径 R（外接圆半径）、中心角（一边所对的外接圆圆心角，等于 ）、边心距 r（中心到一边的距离，即内切圆半径）。
【要点提示】作半径与边心距，把正 n 边形分成 n 个全等的等腰三角形，解其中的直角三角形即可求各量。
⚠️ 易错警示：中心角=，不是正多边形的内角；边心距是内切圆半径，不要与外接圆半径 R 混淆。
三、题型精析【夯实基础】
【题型1】由 d 与 r 的大小判断直线与圆的位置关系
【例题1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．以边的中点D为圆心，以r为半径作．若，分别判断，与的位置关系．
【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【变式2】（25-26九年级上·上海宝山·期末）若以点为圆心的圆与两坐标轴只有3个交点，则该圆的半径长是______．
【变式3】（24-25九年级下·全国·随堂练习）在中，，，．
（1）若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系如何？
（2）若直线与半径为r的相切，求r的值．
（3）若线段与半径为r的有唯一公共点，求r的取值范围．
解题归纳：d>r 相离、d=r 相切、d<r 相交，关键是先准确求出圆心到直线的垂线段 d。
易错纠正：把圆心到直线上某一点的距离当作 d；比较时漏掉等号，d=r 是相切。
【题型2】切线的性质：连切点半径求角与线段
【例题2】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）中国最早在四千多年前的夏禹时代就已经有了马车．如图1是马车模型，如图2是车轮的侧面示意图，当过圆心O的车架的一端点A落在地面上时，与的另一个交点为点D，水平地面与相切于点B．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的半径．
【变式1】（2026·山西太原·模拟预测）如图，是的外接圆，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2026·安徽·模拟预测）如图，是的直径，点A在的延长线上，是的切线，B为切点，连接，若，则的度数为________．
【变式3】（2026·天津西青·二模）已知是的直径，点C，D是上方半圆上的两点，连接．
（1）如图①，若点C是的中点，，求和的大小；
（2）如图②，若点D是半圆的中点，且，过点C作的切线，与的延长线交于点E，，求的长．
解题归纳：见切点连半径得 90°，再用勾股定理或三角形内角和求解。
易错纠正：忘记连接半径；把切线与弦的夹角直接当成直角。
【题型3】切线的判定
【例题3】（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，四边形内接于，，，的延长线交于点，点在上，且．求证：是的切线．
【变式1】（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，内接于，过点作直线，已知，根据弦的位置变化，试探究直线与的位置关系．
甲：如图①，当弦过点时，与相切．
乙：如图②，当弦不过点时，也与相切．
你认为________的判断正确．
【变式3】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，O为上一点，以点O为圆心，长为半径作圆，过点C作的垂线，交的延长线于点D．若．求证：是的切线．
解题归纳：有公共点“连半径证垂直”，无公共点“作垂直证半径”。
易错纠正：只证垂直而不证过半径外端；全等三角形对应边写错。
【题型4】切线长定理求等线段、角与周长
【例题4】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的直径，，分别与相切于点，，．求的度数．
【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，，为切点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________．
【变式3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E．
（1）连接和，若，则_______；
（2）已知，求的周长．
解题归纳：PA=PB 转移等线段，连 OA 得直角三角形，结合勾股定理求解。
易错纠正：把切线长当成弦长；求周长漏掉 AB。
四、题型精析（综合提升）
【题型1】切线判定与性质综合证明
【例题1】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，中，，为的中点，与相切于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（ ）
A．9 B．10 C． D．12
【变式2】（专题11A字型相似模型-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版））如图，为的直径，、为上两点，且点为弧的中点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．若的半径的长为3，，求的长．
【变式3】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的半径．
解题归纳：性质推出直角，判定补充垂直，证明链条要写完整。
易错纠正：因果倒置；跳步不写“OA⊥PA”这一关键垂直。
【题型2】切线长结合勾股定理求半径与切线长
【例题2】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，为的直径，，分别切于点B，D，交的延长线于点E，的延长线交于点G，于点F．若，．
（1）求证：；
（2）①求的半径长；②求线段的长．
【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知以为直径的半圆O与四边形的另外三边都相切，切点分别为D，C，E，若半圆O的半径为2，长为5，则四边形的周长为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
【变式2】（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，若，将线段绕点逆时针旋转到点在上时，求点的运动路径长_______．
【变式3】（2026·山东临沂·一模）按要求解答：
（1）课本再现：如图①，，是的两条切线，切点分别为，．若图中的，则的长度是多少？如果，则的度数是多少？请说明理由．
（2）知识应用：如图②，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点交于点，过点作交于．求证：是的切线．
解题归纳：设 r，在直角三角形中用勾股定理列方程。
易错纠正：把 PB 所在方向线段列错方程。
【题型3】三角形内切圆：内心性质与半径 r=
【例题3】（24-25九年级上·云南红河·阶段检测）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．
如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，
（1）求的长．
（2）已知，求的长．
【变式1】（25-26九年级下·浙江金华·开学考试）如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是等边三角形的内切圆，若，则的半径为________．
【变式3】（25-26九年级下·全国·随堂练习）若三角形的三边长分别为，求三角形内切圆的半径．
解题归纳：内心到三边距离等于 r，用面积法 S=（a+b+c）r 求解。
易错纠正：把内心当成外心；直角三角形公式记错斜边。
【题型4】正多边形与圆：中心角、边长、边心距、面积计算
【例题4】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形内接于，求图中阴影部分的面积．
【变式1】（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，是正五边形的内切圆，M，N，P分别是边，，与的切点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，已知正六边形的边长为1，分别以C，F为圆心，以边长为半径画弧（两条弧均经过正六边形的顶点），则图中阴影部分的面积为____________．
【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）完成下表中有关正多边形的计算：
正多边形边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
6
解题归纳：作半径加边心距，解半中心角所在的直角三角形。
易错纠正：中心角与内角混淆；面积公式漏掉 。
【题型5】切线实际应用（油桶靠墙·V形槽·车轮·测量）
【例题5】（2026·河南信阳·模拟预测）我国西南地区公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）如图2所示，是同心圆环的一部分，左右两边缘的延长线交于圆心，甲、乙两个小组分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径．
（1）如图2，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长．
（2）如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为的中点，若乙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径．
【变式1】（2026·广东东莞·一模）如图，的直径垂直于弦，垂足为点，为上一动点，从在半圆上运动（点不与点重合），交所在的直线于点，已知，，记，为，则关于的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是________．
【变式3】（25-26九年级上·全国·期末）图是一个四冲程汽油机的工作图，我们在物理课上学过汽油发动机是由汽油和空气燃烧推动活塞运动的．然而活塞运动是直线方向的运动，而汽车的行进是靠滚动的，这时就需要通过曲柄连杆机构把直线运动转化为旋转运动．
图是曲柄连杆机构的示意图，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点，是直线与的交点．当点运动到点时，点到达点；当点运动到点时，点到达点已知，．
（1）的长为 ．
（2）求当与相切时，的长度．
（3）据中国汽车工业协会统计分析，年月，我国新能源汽车产销同比高速增长，市场占有率达到，与此同时，中国产的新能源汽车在海外市场的销量也在不断增长．目前的新能源汽车大多使用电动机，我们在物理课上也学过电动机，是由电磁感应带动转子直接转动的．你能写出一个新能源汽车比传统汽油车的优势吗？
解题归纳：抽象出切点、半径与垂线段，转化为 d=r 与勾股定理。
易错纠正：实物量与半径对应错误；周长与直径混淆。
五、中考链接
一、单选题
1．（2026·上海·中考真题）已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．相切 D．相离
2．（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．9
3．（2026·四川·中考真题）如图，正六边形内接于，，则的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．（2026·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题
5．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________．
6．（2026·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________
7．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________．
8．（2025·上海·中考真题）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是______．
三、解答题
9．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，为的直径，为上一点，过点的直线和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，．求图中阴影部分的面积．
10．（2026·广东深圳·中考真题）如图，是的直径，点是圆上一点，连接并延长至点，使得．
（1）求证是的切线；
（2）若，，求的长；
（3）利用圆规和无刻度直尺在图中作出点关于直线的对称点（保留作图痕迹，不要求写出作法）．
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