直线与圆、圆与圆的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

直线与圆、圆与圆的位置关系 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 掌握直线与圆位置关系的判定（几何法：比较圆心到直线距离 d 与半径 r；代数法：判别式）； 2. 能求圆的弦长、切线方程； 3. 了解圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）及其判定。 【教学重点】 · 直线与圆相切、相交的判定与计算；弦长公式。 【教学难点】 · 切线方程的求法（点在圆上与在圆外）；圆与圆位置关系的综合。 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 3 【近五年考频考点】及备考建议 直线与圆、圆与圆的位置关系是高考高频考点（5年约5考），常考切线、弦长、相交弦及最值。 备考建议： 1、几何法优先——比较 d 与 r 判定相切/相交； 2、弦长；切线“d=r”； 3、圆与圆比较圆心距 |O₁O₂| 与 r₁±r₂ 的关系。 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系（圆心到直线的距离为，圆的半径为 ） 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 ___0 ___0 ___0 几何观点 ___ ___ ___ 微思考 当某直线过定点，且点 在圆上时，该直线与圆有何位置关系？在圆内呢？ 答案 某直线所过定点在圆上时，直线与圆相交或相切；某直线所过定点 在圆内 时，直线与圆相交. 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 5 （1）判断直线与圆的位置关系，常用几何法而不用代数法. （2）圆的切线方程的常用结论： ①过圆上一点的圆的切线方程为 ； ②若过圆外一点 作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为 . 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 6 二、圆与圆的位置关系 设圆 ，圆 #1 位置关系 方法 公切线条数 几何法：圆心距 与 ， 的关系 代数法：联立两圆的方程后组成 的方程组的解的情况 外离 ___________ __________ 4 外切 ___________ ____________ 3 相交 两组不同的实数解 2 无实数解 一组实数解 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 7 内切 ____________ 1 内含 __________ 0 一组实数解 无实数解 微判断（1）若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( ) × （2）若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( ) × （3）若两圆相切，则两圆有且只有一条公切线.( ) × （4）若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立.( ) × 续表 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 8 （1）当两圆外切时，两圆有一条内公切线，该公切线垂直于两圆圆心的连线； 当两圆内切时，两圆有一条外公切线，该公切线垂直于两圆圆心的连线. （2）已知圆 与圆 相交. ①将两圆的方程直接作差，消去， 得到两圆公共弦所在直线的方程； ②两圆圆心的连线垂直平分公共弦. 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 9 三、直线被圆截得的弦长 1.几何法：弦心距、半径和弦长 的一半构成直角三角形，弦长 . 2.代数法：设直线与圆相交于点， ，联立 方程组，消去，得关于 的一元二次方程，则 . 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 10 关键考点·核心突破 11 直线与圆的位置关系 考向1 直线与圆的位置关系的判断 例1 （经典高考真题，多选题）已知直线与圆 ， 点 ，则( ). ABD A.若点在圆上，则直线与圆相切 B.若点在圆内，则直线与圆 相离 C.若点在圆外，则直线与圆相离 D.若点在直线上，则直线与圆 相切 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 12 解析 圆心到直线的距离 . 若点在圆上，则，所以，则直线与圆 相切，故 A正确； 若点在圆内，则，所以，则直线与圆 相离，故 B正确； 若点在圆外，则，所以，则直线与圆 相交，故 C错误； 若点在直线上，则，即，所以 ， 则直线与圆 相切，故D正确. 故选ABD. 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 13 感悟提升 判断直线与圆的位置关系的一般方法 （1）几何法：比较圆心到直线的距离与圆的半径二者的大小，特点是计算量较小. （2）代数法：将直线方程与圆方程联立，得方程组，通过解的个数情况判断. 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 14 考向2 弦长问题 例2 （2025· 全国一卷）若圆上到直线 的距离 为1的点有且仅有2个，则 的取值范围是( ). B A. B. C. D. 解析 圆的圆心为，半径为 ，因为圆上到直线 的距离为1的点有且仅有2个，且圆心到直线 的距离 ，所以的取值范围为 . 故选B. 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 15 感悟提升 求直线和圆相交时的弦长的两种方法 （1）代数法：将直线方程和圆的方程联立，得方程组，根据弦长公式求弦长. （2）几何法：利用弦心距，圆的半径长，半弦长 构成直角三角形进行计算. 在根据弦长求直线方程时，要注意验证斜率不存在的情况. 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 16 考向3 切线问题 例3 已知点，点，圆 . （1）求过点的圆 的切线方程； （2）求过点的圆 的切线方程及切线长. 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 17 解析 由题意得圆心，半径 . （1）因为，所以点在圆 上. 又，所以切线的斜率 ， 所以过点的圆的切线方程是，即 . （2）因为，所以点在圆 外部. 当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，即 . 又点到直线的距离 ，即此时满足题意，所以直线 是圆 的切线. 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即 ， 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 18 则圆心到切线的距离，解得 ，所以切线方程为 ，即 . 综上可得，过点的圆的切线方程为或 . 因为，所以过点的圆 的切线长为 . 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 感悟提升 过一点求圆的切线方程的两种求法 （1）代数法：设切线方程为 ，与圆的方程组成方程组，消 元后得到一个一元二次方程，然后令判别式，进而求得 .注意斜率不存在的情况. （2）几何法：设切线方程为 ，利用点到直线的距离公式表 示出圆心到切线的距离，然后令，进而求出 .注意斜率不存在的情况. 特别地，当点在圆上时，可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求 切线方程. 注意：过圆外一点引圆的切线，在求切线长时，常利用由点 、圆心、切点构 成的直角三角形求解. 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 20 1.（一题多法）直线与圆 的位置关系是 ( ). A A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解析 （法一：代数法）由消去 整理得 ，因为，所以直线 与圆相交. 故选A. （法二：几何法）由题意知，圆心到直线的距离，故直线 与圆相交.故选A. （法三）易得直线过定点.显然点在圆内，所以直线 与圆相交.故选A. 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 21 2.（2025·天津卷）已知直线与轴交于点，与轴交于点 ，与圆 交于，两点，若，则 ___. 2 解析 如图，因为直线与轴交于点 ， 与轴交于点，所以 ，所以 . 圆的半径为，圆心 到直线 的距离 ， 故，解得 . 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 22 3.已知圆，点的坐标为，过点作圆 的切线，切 点为， . （1）求切线， 的方程； （2）求过点 的圆的切线长. 解析 （1）根据题意，分析易得切线的斜率存在，则设切线的斜率为 ， 由切线过点，得切线方程为，即 ， 又圆的圆心坐标为，半径 ，所以 ，解得或 ， 则所求的切线方程为和 . （2）根据题意，圆心到点的距离 ， 则切线长为 . 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 23 最短弦问题 深挖教材 在高中数学人教A版教材选择性必修第一册第103页中有这样一个问题： 已知圆，直线 . （1）求证：直线 恒过定点. （2）直线被圆截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时 的值以 及最短弦长. 上述问题被称为最短弦问题，总结如下： 过圆内一定点的直线所形成的弦中最长的为直径，最短的为与该条直径垂直的弦， 此时定点恰为最短弦的中点. 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 24 典例 （2024·全国甲卷改编）已知直线 与圆 交于，两点，则 的最小值为___. 4 解析 设直线的方程为，即，易知 过点 ，圆的标准方程为，所以圆的圆心为 ，半径为 ，且点在圆内.因为当时，圆心到直线的距离最大，此时 取得最 小值，且，所以 . 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 25 圆与圆的位置关系 例4（1）已知圆与圆,则圆与圆 的位 置关系为( ). B A.内含 B.相交 C.外切 D.外离 解析 ,即,圆的圆心为,半径 . ,即,圆的圆心为,半径 , 则,故有 ,故两圆是相交关系.故选B. 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 26 （2）圆与圆 的公共弦所在直线的方程 为( ). A A. B. C. D. 解析 将两圆方程作差得,即 . 因此,两圆的公共弦所在直线的方程为 .故选A. 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 27 感悟提升 圆与圆的位置关系问题的解题策略 （1）判断两圆的位置关系常用几何法,即用两圆的圆心距与两圆的半径和及差的绝 对值的大小关系判断. （2）当两圆相交时,两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差再消去含 , 的项得到. （3）求两圆的公共弦长,常选其中一圆,由弦心距、半弦长、半径 构成直角三角形, 利用勾股定理求解. 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 28 已知圆和圆 . （1）求证:圆和圆 相交. （2）求圆和圆 的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 29 解析 （1）将圆,的方程分别化为标准方程,得圆 ,圆 ,故圆的圆心为,半径,圆 的圆心为 ,半径.因为两圆圆心距, , , 所以,所以圆和圆 相交. （2）将圆和圆的方程相减,得 , 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 . 圆心到直线的距离为 , 故公共弦长为 . 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 30 圆系方程 思维进阶 （1）过直线与圆 的交点的 圆系方程为 ； （2）过圆和圆 的交点的圆系方程为 ,该圆系方程 不含圆，所以注意检验 是否满足题意，以防出现漏解. 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 31 典例 （1）圆心在直线上，且过圆 和圆 的交点的圆的方程为_______________________. （2）经过直线与圆的交点，且过点 的圆 的方程为__________________________. 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 32 解析 （1）由题意设圆的方程为 ，整理 得，圆心的坐标为， ，所以 ，解得，所以圆的方程为 ，即 . （2）设过已知直线和圆的交点的圆的方程为 ， 因为所求圆过点，所以，解得 ，所以圆的方程为 ，即 . 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 33 作业：完成直线与圆、圆与圆的位置关系限时练 第49课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 THANKS 35 $