离心率的取值范围问题 课件-2027届高三数学一轮复习

离心率取值范围问题 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 掌握求圆锥曲线离心率 e 及其取值范围的常用方法； 2. 能将几何条件（如边长关系、不等式约束）转化为关于 a,c 的不等式； 3. 提升代数变形与不等式求解能力。 【教学重点】 · 由定义、几何性质、不等式建立 e 的范围。 【教学难点】 · 隐含条件挖掘（如点在曲线上、三角形边长关系）；齐次化求 e 的范围。 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 【新课标要求】 能在圆锥曲线的综合情境中，利用定义与几何性质研究离心率等问题，体会数形结合与转化思想（选择性必修课程“解析几何”主题，学业质量水平三）。 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 【近五年考频考点】及备考建议 离心率的取值范围问题是新高考超高频热点（5年约9考），以选择、填空压轴居多。 备考建议： 1、以 为核心，借助 a,b,c 关系与几何约束（如 PF₁⊥PF₂、焦点三角形内角）列不等式； 2、善用齐次化（两边同除以 a² 或 c²）化为关于 e 的方程、不等式。 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 第九单元 解析几何 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 5 圆锥曲线中关于离心率的取值范围问题，是高考考查的一个热点题型，解决此 类问题的关键在于能够将题目中已知的几何特征关系进行有效转化.若能充分挖掘并 灵活运用相关的平面几何性质，往往可以使求解过程更为简捷. 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 6 利用圆锥曲线的定义求离心率的取值范围 典例1 已知双曲线的左、右焦点分别为,,点 在双曲线 的右支上,且,则此双曲线的离心率 的最大值为___. 解析 由双曲线的定义且点在双曲线的右支上,知 . 又,,, . 当,,三点不共线时,在 中,由余弦定理得, . , . 当,,三点共线时,得,解得.综上,的最大值为 . 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 7 感悟提升 此类题型的一般解题方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理， 构造关于，， 的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率的取值范围. 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 8 1.已知椭圆的左、右焦点分别为，， 为 椭圆上任意一点，且的最大值的取值范围为，则椭圆 的离 心率的取值范围是( ). A A. B. C. D. 解析 由基本不等式及椭圆的定义可知 ，当且仅当 时，等号成立，的最大值为 .由题意知 ，， .故选A. 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 9 2.已知双曲线的右焦点为，点 的坐标为 ，为双曲线左支上的动点，且的周长不小于18，则双曲线 的离心率的 取值范围为_ ______ 解析 由右焦点为，点的坐标为，可得 .因为 的周长不小于18，所以的最小值不小于13.设 为双曲线的左焦点， 可得，故，当，， 三点共线 时，取得最小值，最小值为，即 ，所以 ，即.因为，所以.又,所以 . 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 10 利用圆锥曲线的性质求离心率的取值范围 典例2 已知椭圆的左、右焦点分别为,，为椭圆 上 一点，且，则椭圆 的离心率的取值范围是( ). D A. B. C. D. 解析 因为，，所以 ，故 ， . 因为，所以，即 ，解得 . 又因为椭圆的离心率，所以 .故选D. 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 11 感悟提升 利用圆锥曲线的性质，如椭圆的最大角（椭圆上一点与两焦点连线所成角的最 大值）、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点的距离的范围等，建立不 等式（组）求解. 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 12 1.已知,分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆 上， 且，则 的离心率的取值范围为( ). B A. B. C. D. 解析 由题意得 则, ， 由,，得 ，即 ，得.又 , 所以的离心率的取值范围为 . 故选B. 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 13 2.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在 上， 若对任意点满足，则 的离心率的取值范围为( ). D A. B. C. D. 解析 由题意，根据双曲线的对称性，不妨设点在 的右支上，由双曲线的定义可 得，即，由 ，可得 ，即.又的最小值为（当点 为双曲 线右顶点时,取得最小值），所以，即.当 ，即 时，不等式显然成立；当，即 时， ，可得.综上可知，双曲线 的离心率的取 值范围为 .故选D. 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 14 利用几何图形的性质求离心率的取值范围 典例3 已知正方形的四个顶点都在椭圆 上,若椭圆的焦 点在正方形的内部,则椭圆的离心率的取值范围是( ). A A. B. C. D. 解析 如图, 正方形的四个顶点都在椭圆上,椭圆的焦点在正 方形的内部, 直线的方程为,点 在椭圆内, . 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 15 又 , , 又, , . 故选A. 感悟提升 利用几何图形中几何量的大小，如线段的长度、角的大小等，构造几何量之间 的关系. 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 16 1.设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线 上存在 点，使线段的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是( ). D A. B. C. D. 解析 如图，设准线与轴的交点为,因为线段 的中垂线过 点，所以 . 又，且，所以 ，即 ，故,解得或 . 又，所以 .故选D. 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 17 2.已知双曲线的焦距为，， ，点 到直线的距离为，点到直线的距离为，且 ，则双 曲线离心率的取值范围是_ ________. 解析 依题意得直线，即 ， 又，所以， ， 所以，所以 ， 即，即，解得 ， 又，所以 . 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 18 作业：完成离心率取值范围问题限时练 进阶课14 离心率的取值范围问题 5年9考 THANKS 20 $