双曲线 课件-2027届高三数学一轮复习

双曲线 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程； 2、掌握双曲线的几何性质（实轴、虚轴、渐近线 、离心率 ）； 3. 能进行双曲线方程与性质的简单综合应用。 【教学重点】 · 双曲线的标准方程与渐近线、离心率。 【教学难点】 · 渐近线与离心率的关系；焦点在 x 轴或 y 轴时的方程形式与性质差异。 第51课时 双曲线 1.了解双曲线的实际背景及双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质（范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线）. 3.了解双曲线几何性质的简单应用. 第51课时 双曲线 3 【近五年考频考点】及备考建议 双曲线是高考必考内容（5年约4考），渐近线、离心率及定义法是高频考点。 备考建议： 1、标准方程 ，c²=a²+b²，，渐近线 ； 2、掌握“共渐近线双曲线系” ； 3、焦点三角形与定义 | |PF₁|-|PF₂| |=2a 结合。 第51课时 双曲线 一、双曲线的定义 1.一般地,把平面内与,两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 ） 的点的轨迹叫作双曲线.这两个______叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线 的焦距. 2.数学表达式：集合,, ,其中 ,为常数,且 . （1）当时,点的轨迹为靠近点 的双曲 线的一支.当时,点的轨迹为靠近点 的双曲线 的一支. （2）若,则轨迹是以,为端点的两条射线;若,则轨迹不存在;若 ,则 轨迹是线段 的垂直平分线. 定点 第51课时 双曲线 5 二、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性质 范围 或 , 或 , 第51课时 双曲线 6 性质 对称性 对称轴为________,对称中心为______ 顶点 顶点坐标： ________, ______ 顶点坐标： ________, ______ 渐近线 离心率 , ,, 的 关系 ________ 坐标轴 原点 续表 第51课时 双曲线 7 性质 实轴、 虚轴 线段叫作双曲线的实轴,它的长 ____; 线段叫作双曲线的虚轴,它的长 ____; 叫作双曲线的实半轴长, 叫作双曲线的虚半轴长 等轴双曲线 ①定义：中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与虚半轴长相等 的双曲线叫作等轴双曲线. ②性质：; ;渐近线互相垂直;等轴双曲线上任意一点到 中心的距离是它到两焦点距离的等比中项 续表 第51课时 双曲线 8 微判断（1）双曲线的焦点一定位于双曲线实轴所在的直线上.( ) √ （2）若两条双曲线的焦点相同,则其渐近线也一定相同.( ) × （3）焦点在 轴上的双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大.( ) √ （4）焦点在轴上的双曲线与焦点在 轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线.( ) × （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为 . （2）若是双曲线右支上一点,,分别为双曲线的左、右焦点,则 , . （3）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦）,其长为 . （4）双曲线的离心率公式可表示为 . 第51课时 双曲线 9 关键考点·核心突破 10 双曲线的定义及应用 题组 （1）分别根据下列条件，求轨迹方程. ①若动点与定点的距离和它到定直线的距离的比值是常数 ， 求动点 的轨迹方程. ②已知点,的坐标分别是,，直线,相交于点 ，且它们的斜率之 积为4，求动点 的轨迹方程. ③已知圆，，动圆同时与圆和圆 外切，求动圆圆心 的轨迹方程. （2）已知,分别是双曲线 的左、右焦点. ①若上一点到焦点的距离为7,求 ; ②若为一定点,点在的右支上,求 的最小值. 第51课时 双曲线 11 解析 （1）①设是点到直线的距离，根据题意，动点 的 轨迹就是点的集合，则 .将上式 两边平方，并化简，得，即 . 故动点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为6、虚轴长为 的 双曲线，其方程为 . ②设点，而点，，因为直线，的斜率存在，即 ， 所以，即，整理得，所以动点 的轨迹方程为 . 第51课时 双曲线 12 ③设动圆的半径为，由动圆同时与圆和圆 外切， 得，，则 ， 所以动圆圆心的轨迹是以点和为焦点的双曲线的左支，且 ， 解得 . 又，所以，所以动圆圆心 的轨迹方程为 . （2）①由,得,,.由于,因此点 在双 曲线的左支上,因此,结合，可知 . ②因为,所以要求 的最小值,只需求 的最小值，易知（当且仅当，， 三点共线时， 等号成立）.又，，所以，所以 的最小值为 . 第51课时 双曲线 感悟提升 双曲线定义的主要应用 （1）判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求求出双曲线方程. （2）在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合 , 运用平方的方法,建立与 的联系. 注意：①与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解;②如果题设条件涉及动点 到两定点的距离,那么求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解. 第51课时 双曲线 14 双曲线的标准方程 例1 求分别满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）两个焦点分别是，，双曲线上一点 到两焦点距离之差的绝对 值为6; （2）虚轴长为12，离心率为 ； （3）以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点 . 第51课时 双曲线 15 解析 （1）由题意得，双曲线的焦点在轴上，根据双曲线的定义,得, ,则 ，所以双曲线的标准方程为 . （2）设双曲线的标准方程为或 . 由题知，,由，得,, , 所以双曲线的标准方程为或 . （3）由题意得，双曲线的焦点在轴上，且 . 设双曲线的标准方程为，则，把 的坐标代入双曲线的标准方程,得，解得， ，所以双曲线的 标准方程为 . 第51课时 双曲线 16 感悟提升 求双曲线标准方程的方法 （1）定义法：由题目条件判断动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义确定, 或 ,从而求出, ,再写出双曲线的方程. （2）待定系数法：先确定焦点在轴上还是在 轴上,设出标准方程,再由条件确 定, 的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好确定,那么可将双曲线方程设为 ，根据条件确定, 即可.特别地，①共渐近线的双曲线方程 可设为 ；②共焦点的双曲线方程可设为 . 第51课时 双曲线 17 1.（2024·天津卷）已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ，是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2， 是面积为8的直角三角 形，则双曲线的方程为( ). C A. B. C. D. 解析 由题意可知， ，又直线 的斜率为2，可得 .根据双曲线的定义得，得 ， ，，又 ，所以 ，所以 .又 ，所以.又，所以 ，所以双曲线的方程为 .故选C. 第51课时 双曲线 18 2.已知四个点，，， 中恰有三个点在双曲线 上，则该双曲线的方程是____________. 解析 由，，，知双曲线不同时经过和两点，且 与 两点关于轴对称，故该双曲线不经过点,则有解得 即双曲 线的方程为 . 第51课时 双曲线 19 双曲线的几何性质 考向1 双曲线的离心率 例2（1）（2024·全国甲卷）已知双曲线的两个焦点分别为，，点 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( ). C A.4 B.3 C.2 D. 解析 根据焦点坐标可知，根据焦点在 轴上，可设双曲线的方程为 ，则解得所以离心率 .故 选C. 第51课时 双曲线 20 （2）（经典高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别 为,.点在上，点在轴上，,，则 的离心率为_ ___. 解析 如图，设，则 , ， 在中， ，则 ，故或 （舍去）， 第51课时 双曲线 21 所以,，，则 ， 故 . 在中，，整理得，故 . 第51课时 双曲线 22 感悟提升 在求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线的基本 量，，的方程（或不等式）,利用和转化为关于 的方程 （或不等式），通过解方程（或不等式）求得离心率的值（或范围）. 第51课时 双曲线 23 考向2 双曲线的渐近线 例3（1）（经典高考真题,一题多法）已知双曲线 的渐近线方程为 ,则____ 解析 （法一）依题意得,双曲线的方程可表示为 ,此时双曲线的渐 近线的斜率为,解得 . （法二）依题意得,令 , 得,解得 . 第51课时 双曲线 24 （2）（一题多法）若双曲线经过点,其渐近线方程为 ,则双曲线的方 程为_____________. 解析 （法一）由题意可知,若双曲线的焦点在轴上,则可设 , 则且,联立解得,,则双曲线的方程为 ;若双曲 线的焦点在轴上,则可设,则,且 ,此时无解. 综上,双曲线的方程为 . （法二）由题可设双曲线方程为,因为双曲线经过点 ,所以 ,所以双曲线的方程为 . 第51课时 双曲线 25 感悟提升 渐近线方程的求法 求双曲线的渐近线方程的方法是令 ,即得两 渐近线方程为 . 第51课时 双曲线 26 1.（2025·全国二卷,多选题）双曲线 的左、右焦点分别 是，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于 ， 两点，且 ，则( ). ACD A. B. C.的离心率为 D.当时，四边形的面积为 第51课时 双曲线 27 解析 不妨设渐近线方程为，点在第一象限，点 在第三象限.对于A，由双 曲线的对称性可得四边形为平行四边形，故 ，故A正 确；对于B，因为点在以为直径的圆上，所以，且 ，设 ，则解得故，由选项A得 ， 故，即 ，故B错误；对于C，因为 ，所以，则 ，故C正 确；对于D，当时，由选项C可知，故，则 ，故四边 形的面积为，故D正确.故选 . 第51课时 双曲线 28 2.（经典高考真题）若双曲线 的渐近线与圆 相切,则 _ ___. 解析 双曲线的渐近线为 , 圆的圆心为 ,半径为1, 双曲线的渐近线与圆 相切, ,解得或 （舍去）. 第51课时 双曲线 29 作业：完成双曲线限时练 第51课时 双曲线 THANKS 31 $