专题02 递推数列求通项 压轴题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
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内容正文：
专题02 递推数列求通项
数列 · 章级培优 压轴题专项训练
解题通法
题型归纳
题型一、累加与累乘
题型二、构造等比数列求通项
题型三、分式递推与不动点
题型四、$a_n$ 与 $S_n$ 的关系
题型五、周期、摆动与规律探究
压轴挑战
▍ 解题通法
递推求通项的本质，是看递推式的形状决定第一步往哪里变形：差是 的式子就累加，商是 的式子就累乘；右边仍带着 ，就待定系数配常数、同除 或取倒数，把它化成等差、等比；递推是“一次除以一次”，先解不动点方程 ，双根作比、重根取倒数； 与 混在一起，用 （）消元后回到前面几类，由作差得到的通项必须检验 能否并入首项；按奇偶分段的隔项看子列，下标很大的项先算前几项找周期，再把下标对周期取余．规律探究题的难点不在算，而在先把递推信息翻译成项与项、块与块之间的关系，再用这个关系给出严格的论证．
▍ 题型归纳
▍ 题型一、累加与累乘
▸ 典例 1 记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列．求 的通项公式．
【答案】
【分析】先把 写成 的式子，得 ，与 版本相减消去 ，化成 ，再用累乘．
【详解】解：因为 ，所以 ，即数列 是首项为 、公差为 的等差数列，
，即 ．
当 时，，两式相减，并利用 ，得 ，
整理得 ，即 （）．
累乘：，
其中分子 与分母 交叉对消，只剩 除以 ．
检验： 时 ，公式对一切 成立，故 ．
▍ 题型模版
1.特征：递推式可化为 或 ，右端是只含 的式子；有时需先经一步变形（如与含 的条件相减）才能化成这种形状．
2.方法：累加把 个差式逐项相加，右边先求和（裂项、等比等）再补上 ；累乘把 个比式逐项相乘，分子分母交叉对消后再补乘 ．
3.提醒：累加、累乘的式子个数是 而不是 ，上限写错则整个通项错位；累乘前必须说明各项非零；求出通项后要代 检验能否并入首项，不能并入就分段写．
▸ 变式 1-1 已知数列 满足 ，（），求 的通项公式．
【答案】
【分析】差是只含 的分式，右端可裂项，累加后用裂项相消求和．
【详解】解：由递推式 ，取 得 个差式，
（），
所以 （）．
检验： 时 ，公式可并入首项，故对一切 ，．
再验递推：，与条件一致．
▸ 变式 1-2 记 为数列 的前 项和，已知 ，．求 的通项公式．
【答案】
【分析】原式与 版本相减得 ； 时含 的系数为零须单独处理，之后从 起累乘．
【详解】解：当 时，，即 ，得 ．
当 时，，与 相减，得 ，
整理得 ．此处 时系数 为零，不能作比，代 得 ，即 ，与前面相互印证．
当 时，，从 到 累乘，
（）．
检验： 时 符合； 时公式给 也符合，故 （）．
回代原式： 恒成立．
▍ 题型二、构造等比数列求通项
▸ 典例 2 已知数列 中，，且 （）．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】两边同乘 把分式递推翻译成 ，把 整体当作新数列．
【详解】证明：（1）两边同乘 ，得 ，即 对一切 成立．
记 ，则 ，且 ，所以 是首项为 、公差为 的等差数列．
解：（2）由（1）得 ，
所以 （）．
检验： 时 ； 时由递推得 ，公式给 ，一致．
▍ 题型模版
1.特征：（， 为非零常数），或右端带 、 这类随 变化的项；递推式一步对消不掉，需要先构造一个等差或等比数列．
2.方法：常数项用待定系数配 ：设 ，比较得 ，则 是公比为 的等比数列；指数项两边同除 ，令 化为累加；能整体成型的（如 ）先把整体当作新数列再看差分．
3.提醒：若首项满足 ，数列从第一项起是常数列，不必再写等比；同除时除数的指数必须与下标同步，除完检查左边恰为 ；构造出的 不是答案，必须还原 并代 检验．
▸ 变式 2-1 已知数列 满足 ，（），求 的通项公式．
【答案】
【分析】右端含 ，配常数失效；两边同除 ，把 化为等差数列．
【详解】解：两边同除 ，得 ．
记 ，则 ，且 ，
所以 是首项 、公差 的等差数列，．
还原：．
检验： 时 ； 时递推给 ，公式给 ，一致．
▸ 变式 2-2 已知数列 满足 ，（）．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）求 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】 型，按 配常数，凑出 ．
【详解】证明：（1）设 ，展开比较常数项得 ，
于是 ．又 ，所以 是首项为 、公比为 的等比数列．
解：（2）由（1）得 ，即 ．
检验： 时 ； 时递推给 ，公式给 ，一致．
▍ 题型三、分式递推与不动点
▸ 典例 3 已知数列 满足 ，（），求 的通项公式．
【答案】
【分析】解不动点方程得 与 ，分别作差后相除，公用分母 被约净， 成等比．
【详解】解：不动点方程 ，去分母得 ，两根 ，．
分别作差：，．
两式相除：．
记 ，则 是首项 、公比 的等比数列，．
反解：由 交叉相乘得 ，即 ，所以 ．
检验： 时 ； 时递推给 ，公式给 ，一致．
由 及递推式归纳得 ，故 ；又 使 ，变形全程合法，故 ．
▍ 题型模版
1.特征：分式线性递推 （，）；分子与分母成特殊倍数关系时（如 ）可直接取倒数，不必平移．
2.方法：解不动点方程 ：有两个不等实根 时， 是等比数列；有重根 时， 是等差数列；无实根时转向找周期．
3.提醒：动笔前先代 验证它是否恰为不动点，若是则数列为常数列；作比前说明各项不取到 ；反解 用交叉相乘而不是背公式，求出后代 与递推值比对．
▸ 变式 3-1 已知数列 满足 ，（），求 的通项公式．
【答案】
【分析】不动点方程判别式为零，重根 ，只能对不动点作差再取倒数，把 化成等差．
【详解】解：不动点方程 ，化为 ，重根 ；此时作比会得到 ，改走取倒数．
作差：．
取倒数：．
记 ，则 ，， 是首项、公差同为 的等差数列，．
反解：．
检验： 得 ； 递推给 ，公式给 ，一致；由 与递推式归纳得 ，故 ，取倒数合法．
▸ 变式 3-2 已知数列 满足 ，（），求 的通项公式．
【答案】
【分析】分子恰是分母的一部分，直接两边取倒数化为等差；取倒数前先用正项归纳说明 ．
【详解】解：；若 ，则 ，归纳得各项为正，取倒数合法．
两边取倒数：，
所以 是首项 、公差 的等差数列，．
故 ．
检验： 得 ； 递推给 ，公式给 ，一致．
▍ 题型四、$a_n$ 与 $S_n$ 的关系
▸ 典例 4 记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2），当 时
【分析】用前 项积的关系 消去 ，条件降为只含 的递推；求出 后作差得 ， 必须单独检验．
【详解】证明：（1）由 ，当 时 ，即 ．
代入条件得 ，即 ，所以 （）．
当 时 ，由 得 ，即 ，．
故 是首项 、公差 的等差数列．
解：（2）由（1）得 ，
当 时 ； 时 代入该式也成立，故 对一切 成立．
当 时 ．
检验 ：，首项不能并入，故 ，当 时 ，必须分段书写．
▍ 题型模版
1.特征：条件里 与 （或 的前 项积、商）同时出现，单看相邻两项推不动．
2.方法：原式与 版本相减，用 （）消去 ，或反向消去 ；出现前 项积时先用 互化；消元后回到累加、累乘或构造模型．
3.提醒： 只对 成立，作差得到的通项必须检验 ：代回等于 才能并入，否则分段写； 一律由原式代 求得；作差后出现含 的因子做除数（如 ）时，要先讨论它为零的那一项．
▸ 变式 4-1 记 为等比数列 的前 项和，已知 ．求 的通项公式．
【答案】
【分析】数列已是等比形，用 时与原式相减消去 ，把公比 定下来，再代 定首项．
【详解】解：设 的公比为 ，首项为 ，则 ．
当 时，，与 相减，并利用 ，得 ，
即 ，所以 ．
再代 ：，即 ，解得 ，
故 ．
检验： 时公式给 ；由通项得 ，，，
代回条件：，，两边相等，递推与首项都吻合，
且由等比求和公式得 ，于是 恒成立，故 ．
▸ 变式 4-2 记 为数列 的前 项和，已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 ，， 成等比数列，求 的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）去分母后与 版本相减，得 ；（2）设首项 ，用等比中项解出 ， 是关于 的二次式，按 为正整数求最值．
【详解】证明：（1）由条件得 ．当 时，，
两式相减：，整理得 ．
因为 时 ，两边同除以 ，得 ，所以 是公差为 的等差数列．
解：（2）设 ，则 ，，，．
由等比中项 ，展开得 ，解得 ．
于是 ，．
，对称轴为 ；因为 为正整数，最值在 或 处取得，
，，故 的最小值为 ．
▍ 题型五、周期、摆动与规律探究
▸ 典例 5 已知数列 满足 ，当 （）时 ；当 （）时 ．
（1）记 ，写出 ，，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前 项和．
【答案】（1），，；（2）
【分析】递推按 的奇偶分段，一步走不到 ；偶数项看偶数项是封闭的（ 与 各走一次），隔项构造 ；求和时把相邻奇偶项配对．
【详解】解：（1）（ 为奇数），（ 为偶数），，故 ，．
一般地，，
所以 是首项 、公差 的等差数列，．
解：（2）由（1）得 ；又 ，故 ．
每对相邻奇偶项之和 ．
前 项恰为 对：．
检验：分别代 ，，，， 与逐项递推一致；奇数项 也满足 ，故前 项和为 ．
▍ 题型模版
1.特征：递推按 的奇偶分段给出；或分式递推无实不动点、负公比使项的符号交替；或所求项的下标很大，要求先找规律（周期）再定位．
2.方法：奇偶分段就隔项看，把 （或奇数项子列）写成封闭递推；无不动点时逐项迭代算前几项，出现循环即定周期 ，用下标对 取余定位（余 对应 ）；摆动数列分别观察奇数项子列、偶数项子列的单调性．
3.提醒：分段通项要分别代一个奇数、一个偶数验证；周期从 起算，余数错位是最常见的失分点；每一步迭代都要检查分母不为零；公比为负时 与 正负交替，不能默认单调．
▸ 变式 5-1 已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】每隔三项角增加 ，余弦值循环；集合只有两个元素说明一个周期内的三个值中恰有两个相等，借助单位圆上等分点的对称性定出这两个值．
【详解】解：设 ，则 ，故 ， 以 为周期， 中至多三个元素．
若 恰有两个元素，则 ，， 中恰有两个相等．在单位圆上 ，， 对应的点是三等分点，两个角的余弦相等当且仅当它们的终边关于 轴对称，故三个点中必有一个落在 轴上，即某一项等于 （）．
不妨设 ，则 ；另外两项为 与 ，其余弦值都是 ．
于是 ，，选 B．
检验：取 ，三项余弦为 ，，，，乘积 ；取 得 ，乘积仍是 ，结论与 的奇偶无关．
▸ 变式 5-2 已知数列 的各项均为正数，其前 项和 满足 （）．给出下列四个结论：① 的第 项小于 ；② 为等比数列；③ 为递减数列；④ 中存在小于 的项．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】由 定首项，逐项解出 ， 验证前三个结论；再由 递增且无上界推出 趋于 ，判定结论④．
【详解】解： 时 ，各项为正得 ．
①： 时 ，即 ，解得 ，由 得 ，正确．
②： 时 ，其中 ；解得 满足 ．计算比值：，而对 解方程 得 ，，两比值不等，不是等比数列，错误．
③：各项为正故 严格递增； 时 ，又 ，所以 是递减数列，正确．
④：若 有上界 ，则递增数列 趋于极限 ，各项增量 有正下界， 将超过任意常数，矛盾；故 无上界， 可以任意小，必存在某项小于 ，正确．
所以所有正确结论的序号是 ①③④．故填 ①③④．
▍ 压轴挑战
1．记 为数列 的前 项和．若 ，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】 是从第 项到第 项这一段跨段和，逐项取 写出四段，逐层剥出 ．
【详解】解：．
取 ：；取 ：，由 得 ．
取 ：，得 ．
取 ：，故 ，选 C．
本题不要求数列是等差或等比，分段剥离只依赖 的含义本身；每一步都可代回 复核．
2．已知数列 满足 ，（），则数列 是 （ ）
A．公差为 的等差数列 B．公比为 的等比数列 C．公差为 的等差数列 D．常数列
【答案】A
【分析】不动点方程有二重根 ，作比会失配；只对不动点作差再取倒数，把 化成等差数列，公差由前两项复核．
【详解】解：不动点方程 ，去分母得 ，即 ，二重根 ，
判别式为零，作比得到 恒为 ，失去信息，改对不动点作差再取倒数．
作差：，
取倒数：，
所以 是公差为 的等差数列，选 A．
检验：，而 ，，
两者之差为 ，之比为 ，故 B（公比 ）、D（常数列）均不成立，C 把公差 误作 ，也不成立．
合法性：由 归纳得 ，故 、 全程成立，作差与取倒数都不越界．
3．已知函数 的定义域为 ，，且当 时 ，则下列结论中一定正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把不等式递推当作斐波那契型下界逐项放大，得 ，再由 传递到 ；其余选项构造增长更慢或更快的反例排除．
【详解】解：由 时 得 ，．逐项放大：
，，，，，，，，
，，，，，．
由前几项为正及 知 时 且 ，故 ，B 一定正确．
A 不一定：取 ，，，，，，，，逐项验证 ，，，，，，， 全部成立，以后各项继续按略大于前两项之和递推，即满足题设而 ．
C、D 不一定：让 在 后增长得足够快（例如从某步起取前两项之和的 倍），可使 、．
所以选 B．
4．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ：，，，依此类推，其中 （）．则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连分数每多接一层，分母变大或变小交替发生：偶数项子列递增、奇数项子列递减，且偶数项恒小于与它相邻的前一个奇数项，四个选项按这两条单调链逐一判断．
【详解】解：比较相邻两项： 与 只差在分母末尾多接了 ，分母变大、分数值变小，故 ； 的分母中 换成 ，使内层分数 ，外层分母变小、分数值变大，故 ，同时 ．
如此方向逐层交替：偶数项子列 递增，奇数项子列 递减，并且每个偶数项都小于紧挨它前面的奇数项 ，于是任一偶数项都小于任一奇数项．
A：奇数项子列递减，，A 错误．
B： 是偶数项、 是奇数项，，B 错误．
C：偶数项子列递增，，C 错误．
D： 为偶数项、 为奇数项， 恒成立，选 D．
上述单调链与 的具体取值无关：比较 与 只需看最后接入的一层 使倒数第二层分母增大、分数值减小、再反推外层增大，方向随 的奇偶交替．
5．已知数列 满足 （），则 （ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立 B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立 C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立 D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
【答案】B
【分析】平移 ，递推化为 ；按 与 、 的位置关系分类，判断 收敛于 还是发散到无穷，以及符号是否保持．
【详解】解：令 ，则 ．不动点满足 ，即 或 ．
当 时 ，故 ， 单调递减趋于 （极限只能是方程 的根 ），且 保持原符号；当 时 ， 单调递增且无上界；当 时为常数列．
A： 即 ，，， 递减且无下界，故不存在常数 使 恒成立，A 错误．
B： 即 ，，， 恒负、递增趋于 ，故 递增且 恒成立；取 （满足 ）即知 B 正确．
C： 即 ，， 递减趋于 ，故 递减且 ；但 可任意接近 ，任何 都存在某项使 ，C 错误．
D： 即 ，， 递增至 ， 无上界，不存在使 恒成立的 ，D 错误．
所以选 B．
6．某校学生在研究民间剪纸艺术时发现，剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为 的长方形纸，对折 次共可以得到 、 两种规格的图形，它们的面积之和 ；对折 次共可以得到 、、 三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推．则对折 次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折 次，那么 ．
（1）对折 次共可以得到不同规格图形的种数为 ；
（2）如果对折 次，那么 ．
【答案】（1）；（2）
【分析】把每次对折后的规格排成一列：对折 次得到 种规格，每种面积恰为 ，于是 ；求和是等差乘等比的片段和，用错位相减．
【详解】解：（1）原纸规格记为 ．每对折一次，恰把某一条边减半，所以对折 次后的规格形如 ，
其中 ，共 种且互不相同：对折 次得 种、对折 次得 种，与题给数据一致；
所以对折 次得到 种，即 ．故填 ．
（2）每种规格图形的面积为 ，与 无关，
故 ．检验：，，与题设完全一致．
于是 ．记 ，错位相减：
，两式相减得 ，
括号内按等比求和为 ，故 ，
所以 （ 时 ，公式给 ，符合），
故 ．故填 ．
检验： 时公式给 ，与前两次面积之和一致．
7．设实数 满足：存在数列 ，使得对任意 ，均有 ，且 中存在某连续 项 构成公比为 的等比数列．则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】把数列按每三项一块，块和 ；连续 项按起点下标除以 的余数分三类，等比数列中相隔 位的两段整块和之比为 ，把 的上界转化为相邻块和之比的最大值，再构造等号可取的实例．
【详解】解：记 ，由 作差得 （ 时 也符合），即第 块的和恒为 ．
设连续 项为 ，（若 则 项全零，与所在块和为 矛盾）．按 除以 的余数分类．
若 （）： 项恰含第 、、 三个整块，其和依次为 ，，，且对应等比数列中依次相隔 项的三段，应成公比 的等比数列，需 ，即 ，矛盾，此类不存在．
若 （）：第 至 项恰为整块 ，第 至 项恰为整块 ，两块之和的比为 ，故 ，等号在 （即 ）取得．
若 （）：第 至 项与第 至 项各为一整块，同理 ，等号在 取得．
故必有 ，即 ．
再说明 可以取到：取 项为 ，令 （），由第 块 解出 ；此时第 块 ，与 相符．再取 使 ，取 使 ，此后每块任取三项使块和为 ，即得满足全部条件的数列．
所以 的最大值为 ．故填 ．
8．在数列 中，，，对任意 且 ，均存在正整数 ，满足 ．
（1）求 所有可能的值；
（2）命题 ：若 成等差数列，则 ，证明 是真命题，同时写出 的逆命题 ，并判断命题 是真命题还是假命题，说明理由；
（3）若 （），求数列 的通项公式．
【答案】（1） 或 ；（2） 是真命题；逆命题 ：若 ，则 成等差数列，是假命题（反例见详解）；（3），当 为偶数时 ，当 为大于 的奇数时 （）
【分析】（1）由递推一步步穷举可选项；（2）公差被前两项定死为 ， 逐一验算即真，逆命题取一条前段仿等差、中途改步的数列即可推翻；（3）把相邻两个偶数项条件 、 联立消去中间项得 ，对前面各项按 的幂与 的幂两类穷形尽相，逼出 的唯一取法，归纳定出全部奇数项．
【详解】解：（1） 时 只能取 ，；
时 ： 得 ， 得 ，
故 所有可能的值为 或 ．
（2）证明 ：若 成等差数列，则公差 ，（），．
此时 ，，，故 ，恒有 ， 是真命题．
逆命题 ：若 ，则 成等差数列． 是假命题．
反例：取数列 ，逐步验证存在性：；；；；；
（）；（），满足题设递推且 ，
但 从第 项起不再是公差 的等差数列，故 不成立，是假命题．
（3）由 知 ，，，……由（1）知此时第 步必须取 ，得 ．
下面归纳证明：奇数项被偶数项条件唯一钉死，且 （）．
设 已依次等于 （前奇数项为 与 ，前偶数项为 ）．
记 （），而下一步必须给出 ：
，即 （）．
若 （），则 ：当 时 ，舍去；当 时 ，括号内除以 余 且不为 的倍数（ 得 ，无解；（）左边除以 余 ，矛盾），
此时 既不是 的幂也不是 的幂，不在已出现的项中，舍去．
若 （），则 ： 时 ，舍去； 时 ，括号除以 余 且大于 ，若它是 的幂只能等于 ，得 与 矛盾；若它是 的幂，得 即 ，无解（ 时 除以 余 ，而 （）被 整除， 时被 除余 ，皆矛盾），舍去；
故只能 ，即 （此时 ，取 ，均在下标允许范围内），
从而 被唯一确定，归纳法完成（ 时 与 一致）．
再验证这样定出的数列确实满足题设：每一步取 即可（，，代 、 均成立），故所求通项为：
；当 为偶数时 （）；当 为不小于 的奇数时 （，）．
检验：，，，，，，，，与逐位穷举所得完全一致．
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专题02 递推数列求通项
数列 · 章级培优 压轴题专项训练
解题通法
题型归纳
题型一、累加与累乘
题型二、构造等比数列求通项
题型三、分式递推与不动点
题型四、$a_n$ 与 $S_n$ 的关系
题型五、周期、摆动与规律探究
压轴挑战
▍ 解题通法
递推求通项的本质，是看递推式的形状决定第一步往哪里变形：差是 的式子就累加，商是 的式子就累乘；右边仍带着 ，就待定系数配常数、同除 或取倒数，把它化成等差、等比；递推是“一次除以一次”，先解不动点方程 ，双根作比、重根取倒数； 与 混在一起，用 （）消元后回到前面几类，由作差得到的通项必须检验 能否并入首项；按奇偶分段的隔项看子列，下标很大的项先算前几项找周期，再把下标对周期取余．规律探究题的难点不在算，而在先把递推信息翻译成项与项、块与块之间的关系，再用这个关系给出严格的论证．
▍ 题型归纳
▍ 题型一、累加与累乘
▸ 典例 1 记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列．求 的通项公式．
▍ 题型模版
1.特征：递推式可化为 或 ，右端是只含 的式子；有时需先经一步变形（如与含 的条件相减）才能化成这种形状．
2.方法：累加把 个差式逐项相加，右边先求和（裂项、等比等）再补上 ；累乘把 个比式逐项相乘，分子分母交叉对消后再补乘 ．
3.提醒：累加、累乘的式子个数是 而不是 ，上限写错则整个通项错位；累乘前必须说明各项非零；求出通项后要代 检验能否并入首项，不能并入就分段写．
▸ 变式 1-1 已知数列 满足 ，（），求 的通项公式．
▸ 变式 1-2 记 为数列 的前 项和，已知 ，．求 的通项公式．
▍ 题型二、构造等比数列求通项
▸ 典例 2 已知数列 中，，且 （）．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求 的通项公式．
▍ 题型模版
1.特征：（， 为非零常数），或右端带 、 这类随 变化的项；递推式一步对消不掉，需要先构造一个等差或等比数列．
2.方法：常数项用待定系数配 ：设 ，比较得 ，则 是公比为 的等比数列；指数项两边同除 ，令 化为累加；能整体成型的（如 ）先把整体当作新数列再看差分．
3.提醒：若首项满足 ，数列从第一项起是常数列，不必再写等比；同除时除数的指数必须与下标同步，除完检查左边恰为 ；构造出的 不是答案，必须还原 并代 检验．
▸ 变式 2-1 已知数列 满足 ，（），求 的通项公式．
▸ 变式 2-2 已知数列 满足 ，（）．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）求 的通项公式．
▍ 题型三、分式递推与不动点
▸ 典例 3 已知数列 满足 ，（），求 的通项公式．
▍ 题型模版
1.特征：分式线性递推 （，）；分子与分母成特殊倍数关系时（如 ）可直接取倒数，不必平移．
2.方法：解不动点方程 ：有两个不等实根 时， 是等比数列；有重根 时， 是等差数列；无实根时转向找周期．
3.提醒：动笔前先代 验证它是否恰为不动点，若是则数列为常数列；作比前说明各项不取到 ；反解 用交叉相乘而不是背公式，求出后代 与递推值比对．
▸ 变式 3-1 已知数列 满足 ，（），求 的通项公式．
▸ 变式 3-2 已知数列 满足 ，（），求 的通项公式．
▍ 题型四、$a_n$ 与 $S_n$ 的关系
▸ 典例 4 记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求 的通项公式．
▍ 题型模版
1.特征：条件里 与 （或 的前 项积、商）同时出现，单看相邻两项推不动．
2.方法：原式与 版本相减，用 （）消去 ，或反向消去 ；出现前 项积时先用 互化；消元后回到累加、累乘或构造模型．
3.提醒： 只对 成立，作差得到的通项必须检验 ：代回等于 才能并入，否则分段写； 一律由原式代 求得；作差后出现含 的因子做除数（如 ）时，要先讨论它为零的那一项．
▸ 变式 4-1 记 为等比数列 的前 项和，已知 ．求 的通项公式．
▸ 变式 4-2 记 为数列 的前 项和，已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 ，， 成等比数列，求 的最小值．
▍ 题型五、周期、摆动与规律探究
▸ 典例 5 已知数列 满足 ，当 （）时 ；当 （）时 ．
（1）记 ，写出 ，，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前 项和．
▍ 题型模版
1.特征：递推按 的奇偶分段给出；或分式递推无实不动点、负公比使项的符号交替；或所求项的下标很大，要求先找规律（周期）再定位．
2.方法：奇偶分段就隔项看，把 （或奇数项子列）写成封闭递推；无不动点时逐项迭代算前几项，出现循环即定周期 ，用下标对 取余定位（余 对应 ）；摆动数列分别观察奇数项子列、偶数项子列的单调性．
3.提醒：分段通项要分别代一个奇数、一个偶数验证；周期从 起算，余数错位是最常见的失分点；每一步迭代都要检查分母不为零；公比为负时 与 正负交替，不能默认单调．
▸ 变式 5-1 已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
▸ 变式 5-2 已知数列 的各项均为正数，其前 项和 满足 （）．给出下列四个结论：① 的第 项小于 ；② 为等比数列；③ 为递减数列；④ 中存在小于 的项．其中所有正确结论的序号是 ．
▍ 压轴挑战
1．记 为数列 的前 项和．若 ，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知数列 满足 ，（），则数列 是 （ ）
A．公差为 的等差数列 B．公比为 的等比数列 C．公差为 的等差数列 D．常数列
3．已知函数 的定义域为 ，，且当 时 ，则下列结论中一定正确的是 （ ）
A． B． C． D．
4．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ：，，，依此类推，其中 （）．则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知数列 满足 （），则 （ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立 B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立 C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立 D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
6．某校学生在研究民间剪纸艺术时发现，剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为 的长方形纸，对折 次共可以得到 、 两种规格的图形，它们的面积之和 ；对折 次共可以得到 、、 三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推．则对折 次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折 次，那么 ．
（1）对折 次共可以得到不同规格图形的种数为 ；
（2）如果对折 次，那么 ．
7．设实数 满足：存在数列 ，使得对任意 ，均有 ，且 中存在某连续 项 构成公比为 的等比数列．则 的最大值为 ．
8．在数列 中，，，对任意 且 ，均存在正整数 ，满足 ．
（1）求 所有可能的值；
（2）命题 ：若 成等差数列，则 ，证明 是真命题，同时写出 的逆命题 ，并判断命题 是真命题还是假命题，说明理由；
（3）若 （），求数列 的通项公式．
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