专题05 数列与函数、方程综合 压轴题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题05 数列与函数、方程综合 数列 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、数列的单调性与最大项最小项 题型二、数列与二次函数、方程的根 题型三、指数、对数与数列 题型四、函数周期性与数列规律 题型五、数列与解析几何、三角交汇 压轴挑战 ▍ 解题通法 数列是以正整数集（或其有限子集）为定义域的函数，函数与方程的语言在这里全部有效：判断单调性用作差 或作商 （各项同号时），最大项与最小项就落在差（商）变号的位置上，式子里含参数时必须按参数的取值分段；把 看成 的二次函数时，最值由对称轴与正整数轴的距离决定，不能把顶点的横坐标直接抄成项数；条件里出现等比中项、两个奇数项的和或某两项之积时，题目会化成关于基本量的方程，解出后要用判别式、根的正负以及「 是正整数」这类限制逐项取舍；指数、对数与数列相遇，先取对数把乘方、乘积压成加法，再回到原数列，真数的正负与底数的范围必须在第一步交代清楚；递推式给出的规律常以周期的形式出现，先算前若干项、再证明 并说明 最小；点列、斜率、三角函数值一旦写成 ，几何与三角的条件就变成数列的条件，处理它仍然只需要作差、配方与方程的根． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、数列的单调性与最大项最小项 ▸ 典例 1 设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ，， 成等比数列． （1）求 的通项公式； （2）求 的最小值，以及 取得最小值时 的值． 【答案】（1）；（2） 的最小值为 ，此时 或 ． 【分析】先用等比中项条件列出关于公差 的方程，注意到 ，方程化成 ；再比较相邻项的符号定出 由减变增的项数，并用配方核对． 【详解】解：设公差为 ，则 ，，． 由等比中项条件 ，展开得 ，即 ，亦即 ，所以 ． （1）． （2）． 法一（邻项变号）：由 得 ，且 ，，，所以前 项为负、第 项为 ，故 与 同时最小． 法二（配方）：，对称轴为 ，距它最近的正整数是 与 ，两路结论一致． 计算得 ，，所以 的最小值为 ，此时 或 ． 检验：，，确为最小值． ▍ 题型模版 1.特征：给出通项公式或前 项和的表达式（含参数），要求判断数列的增减，求出最大项、最小项，或求出使某个不等式成立的最小题数． 2.方法：单调性回到定义：作差 并整理成关于 的式子，解出差为正（或为负）的 的范围；各项同号时可改作商 并与 比较．差式含参数时，先解出使差（商）变号的 ，再按参数的取值分段写出各段的单调性； 的最值用邻项变号法（ 且 ），并与二次函数配方的结果相互检验． 3.提醒：项数 只能取正整数，对称轴不是整数时必须比较它两侧最近的两个整数；最值可以由相邻两项同时取得，答案要把项数与项的值都写出来；作商比较要求各项同号，忽略这一点会弄错不等号的方向； 与 分别对应递增与不减，端点能否取等要单独检验． ▸ 变式 1-1 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则           ； 的最小值为           ． 【答案】； 【分析】由 与 列出关于 、 的方程组定出基本量，得 ；求 的最小值时用作差比较：，由 、 判定 与 同时最小，再用 的对称轴核对． 【详解】解：设公差为 。由 ，， 第二式除以 得 ，与 相减得 ，从而 。 所以 ，。 又 ， 作差 ：当 时 ，即 ；当 时 ，即 ；当 时 ， 递增， 故 的最小值在 与 处同时取得。 计算得 ，，所以 的最小值为 。 配方核对：，对称轴 ，距它最近的正整数恰为 与 ，与作差的结论一致。 检验：各项为 ，，，，，，，前四项和 ，再加 仍为 ，，符合。 ▸ 变式 1-2 若等差数列 的首项 ，公差 ，则该数列的前 项的和为           ． 【答案】 【分析】把 写成 的二次函数 后代入 ；并用 的符号分界说明部分和先减后增，最小值在 处取得。 【详解】解：，所以 。 函数视角： 的图象开口向上，对称轴为 ，故当 时 随 递增；，，，，，。 邻项视角：， 而 ，部分和在 由负变正处取得最小值 ，其后单调递增，故 是这一段递增的结果。 检验：逐项为 ，，，，，，相加得 ，一致． ▍ 题型二、数列与二次函数、方程的根 ▸ 典例 2 已知 且 ，则           ． 【答案】 【分析】换底把两个对数都写成以 为底的形式，令 后原式化为关于 的一元二次方程；方程有两根，必须用 即 这一条件取舍，再回代求 ． 【详解】解：设 。因为 ，所以 。 由换底公式 ，， 于是 ，， 原式化为 。 两边同乘 （ 时 ）得 ，即 ， 分解得 ，解得 或 ；因 ，舍去 ，取 ， 所以 。 检验：，，，与题设一致； 若误取 ，则 与 矛盾，可见取舍不可省。 ▍ 题型模版 1.特征：条件中出现等比中项、根与系数的关系、两个奇数项的和，或关于 的二次式，最后要求基本量、参数或项数的取值． 2.方法：先把数列条件翻译成关于 与 （或 ）的方程：等比中项写成 ，奇数项和写成 ， 写成 后看开口方向、对称轴与判别式；（）等价于 ，项数为奇数时直接得中间项为 。解出根之后，必须用题给的符号条件（、、）逐个取舍． 3.提醒：二次方程有两个根不等于答案有两个，增根要舍；对称轴为半整数时 的最值由相邻两项同时取得； 作为 的二次函数常数项为 ，用这一条能立刻检查求和式是否写错；作差消 时别忘了 的限制与 的单独验证． ▸ 变式 2-1 已知数列 为等比数列，且 ，，则           ． 【答案】 【分析】由相邻两项定公比 ，再用 ；亦可把 写成 后逐项验证，并用作商 说明数列为递增． 【详解】解：公比 ， 所以 。 通项为 ；作商 且各项为正，故 是递增数列， 其前几项为 ，，，，与逐项相乘的结果一致。 检验：，，，且 ，，等比中项关系成立． ▸ 变式 2-2 设等比数列 满足 ，，则           ． 【答案】 【分析】设公比为 ，两个条件化成 与 ；两式相除消去 （须先说明 ）得 ，从而 ，回代求 与 。 【详解】解：设公比为 ，则 ，，条件即 ①， ②。 由①知 且 （否则左边为 ，与 矛盾）， 于是②可写成 ，把①代入得 ，即 ，解得 。 代回①得 ，即 ，所以 。 因此 。 检验：数列前四项为 ，，，，有 ，，与题设一致； 若漏掉 的说明而直接相除，会丢失 这一可能，代回①得 矛盾，可见它确不是解。 ▍ 题型三、指数、对数与数列 ▸ 典例 3 已知等比数列 的各项均为正数，，且 ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，证明 是等差数列，并求 的前 项和 ． 【答案】（1）；（2）证明见解析，，． 【分析】第（1）问把条件写成关于公比 的一元二次方程，并按各项为正取正根；第（2）问用对数把幂换成系数， 恰是关于 的一次式，等差的判定与求和都落在整式上． 【详解】解：（1）设公比为 ．因为各项均为正数，所以 ． 由 得 ，即 ，因式分解得 ， 解得 或 ；因 ，舍去 ，取 ． 所以 ． （2）因为 ，所以对一切 ， 都有意义（底数 且 ）． 由对数的运算性质，． 又 为常数，所以 是以 为首项、以 为公差的等差数列． ． 检验：，，条件成立；，，，，与公式一致． ▍ 题型模版 1.特征：数列的通项或条件里出现幂、根式、乘方型递推、对数式，例如 、、、 一类结构． 2.方法：指数层与对数层互化：对 （）两边取以 为底的对数，得 （），乘方变成倍数、乘积变成求和，再按等差（）或等比（）处理；反过来由 求 用 。底数常选成能把条件里的数都写成整数次幂的一个，例如各项都是 的幂就取 ；比较含幂的两式大小时也先取对数，把指数上的因式搬到前面． 3.提醒：取对数之前必须确认各项为正（一般由首项与递推式归纳保证），并写明底数满足 且 ；由 的值反求 时，实数范围内奇次方根唯一、偶次方根要按正负取舍，「各项为正」这类条件要用在舍根上； 成立的前提是 且 ，不能对无意义的式子做合并；求满足 的最小题数时，取对数后先比较整数次幂，再逐项代入确认临界项． ▸ 变式 3-1 已知 为等比数列，，，则           ． 【答案】 【分析】把两个条件都写成 与 的幂，第一个条件约去公因子后得 ，代入第二个条件得 ；求 时写成 整体代换，不必开五次方． 【详解】解：设首项为 ，公比为 。等比数列各项都不为 ，故 ，． 由 得 ，即 ， 两边同除以 ，得 ①． 由 得 ；由①知 ，所以 ，即 ． 因为数列的项都是实数， 为实数，而实数范围内立方根唯一，所以 ． 于是 ，故填 ． 检验：取 ，，则 ，与条件一致；． ▸ 变式 3-2 已知正项数列 满足 ，（）． （1）设 ，求 的通项公式及其前 项和 ； （2）求 的通项公式，并求满足 的最小正整数 ． 【答案】（1），；（2），最小正整数 ． 【分析】递推式里 处在被立方的位置，是两层结构，先取以 为底的对数把乘方换成倍数，得到纯等比数列；回代后用指数还原，比较大小只需比较指数上的 与 ． 【详解】解：（1）由 与 可知，若 则 ，由归纳法得各项均为正数，取对数合法． 设 ，则 ，且 ， 所以 是以 为首项、以 为公比的等比数列，，． （2）由对数与指数的互化得 ． 即 。因为 ，，所以必须有 ，即 。 直接核对：逐项核对： 时 ，不满足； 时 ，满足。 故满足 的最小正整数为 。 检验：，由递推 ；，由递推 ；，而 ，一致． ▍ 题型四、函数周期性与数列规律 ▸ 典例 4 已知无穷数列 的首项 ，且对任意 都有 ． （1）求 ，，，并证明 是以 为周期的周期数列； （2）求 以及前 项的和 ． 【答案】（1），，，证明见解析；（2），． 【分析】逐项迭代算出前四项，出现 ，而递推式右边只含前一项，于是每三项重复一次；周期是 而不是 ，用 定出 ，再按整周期求和并补最后一项． 【详解】解：（1），，． 因为 ，而递推式 的右边只含 ，所以由 出发继续迭代，后面原样重复， 即对一切 有 ， 是以 为周期的周期数列． 又 ，，故 与 都不是它的周期，最小正周期为 ． （也可以从函数角度看：记 ，则 ， 恒成立；而 与 都化为 ，其判别式 无实根，说明周期恰为 。） （2）因为 ，所以 （余数 对应周期中的第一项）。 一个周期的和为 ，前 项恰为 个整周期，故 ， ． 检验：，，；又 ，，符合 ；各项依次为 ，，，都不等于 ，分母恒不为零． ▍ 题型模版 1.特征：递推式右边的表达式带有循环结构（如 、），或按 的奇偶、按所在分组给出规律，或给出抽象函数的不等式要求逐项推下去． 2.方法：周期问题先逐项迭代算前若干项，观察从第几项起回到起始值，猜想周期 ，再证明 对一切 成立，并检验比 小的正整数都不是周期；求 或 时用带余除法 把下标压回一个周期内，整周期的和只算一次．求通项无固定套路时，改用隔项作差或隔项作商（看 、），或把相邻两项配成一组的和写成 的函数，逐段找规律再验证。与函数结合时，周期由函数周期与公差共同决定：若 的周期为 、 是公差为 的等差数列，则 每隔 的整数倍重复一次． 3.提醒：「出现两项相同」不等于周期成立，必须确认递推式右边只依赖已经重复的那几项；周期要检验最小性，只看 会漏掉排除 与 ；迭代中要保证分母不为零，逐项说明各项都取不到被排除的值；求和时余下的那几项要单独加回，不能按整周期四舍五入；由前几项猜出的规律必须回代验证，只符合前几项的猜想不一定是通项． ▸ 变式 4-1 数列 ，，，，， 的一个通项公式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】符号与绝对值分开观察：第 项为负、第 项为正且奇数项为负，符号部分用 ；绝对值 是以 为首项、公差为 的等差数列，第 项为 ，最后代入前两项检验。 【详解】解：各项的符号依次为负、正、负、正，奇数项取负，故符号部分为 。 各项的绝对值为 ，，，，，，是首项为 、公差为 的等差数列，其第 项为 。 所以 ，选 C． 检验： 得 ， 得 ， 得 ， 得 ， 得 ，与所给各项一致。 选项 A 不含符号变化，第 项为 ；选项 B 中 的第 项为 ，符号写反；选项 D 的符号部分为 ，第 项取正，也不合。 ▸ 变式 4-2 已知数列 ， 的项数均为 （），且 ，， 的前 项和分别为 ，，并规定 。对于 ，定义 ，其中 表示数集 中最大的数． （1）若 ，，，，，，写出 ，，， 的值； （2）若 ，且 （），求 （）． 【答案】（1），，，；（2）（）． 【分析】（1）先算出 与 的全部取值，再按定义找满足 的最大下标 ；（2）由 知 递增，故 不减；由 得 ，从而 ，又 给出 。条件 说明差分 不减，于是 ，再与 比较即得各差分都为 ． 【详解】解：（1），，，；，，，。 ：满足 的只有 ，故 ； ： 而 ，故 ； ： 而 ，故 ； ：，故 。 （2）因为 ，所以 ，集合 随 增大而不缩小，故 是不减数列。 又 ，当 时 ，所以 时只有 符合条件，。 由 得 ，故 ，于是 。 记 （）。条件 即 ，也就是 ，所以 ， 从而对每个 都有 。 另一方面 （下标最大为 ），而 ， 故 且每个 。于是 （）。 检验：（1）中 ，，且 为 ，差分全为 ，与（2）的结论一致。 ▍ 题型五、数列与解析几何、三角交汇 ▸ 典例 5 已知 是 ， 的等差中项，直线 与圆 交于 ， 两点，则 的最小值为（　　） 【答案】C 【分析】等差中项给出 ，用它把圆心到直线的距离化简成只含 、 的分式；弦长随圆心距增大而减小，于是求 的最小值转化为求圆心距的最大值。 【详解】解：圆的方程配方得 ，圆心为 ，半径 。 由 是 ， 的等差中项得 ，即 。 圆心到直线的距离 。 因为 、 不同时为零，所以 ，当 且 时取到最大值 。 弦长 ， 越大弦越短，故 。 取 ，，则 ，直线为 ，圆心 到它的距离恰为 ，此时交点为 与 ，两点都在圆上，弦长 ，等号可以取到。 所以 的最小值为 ，选 C． 检验： 代入 得 ； 得 ，两点确在圆上。 再看另一端： 时 ，直线为 且过圆心，弦长取最大值 ，可见 的取值范围是 。 ▍ 题型模版 1.特征：以坐标系中的点列、直线的斜率、直线与曲线的交点、单位圆上等分点的横（纵）坐标、三角函数在整数点的取值为载体，要求写出相应的数列，并研究它的通项、周期或定值． 2.方法：第一步把几何量翻译成数列：点 的横（纵）坐标记作 （），直线的斜率记作 ，单位圆上角度为 的点写成 ；第二步用方程求相邻两项的关系，直线与曲线联立后已知一个交点，就用根与系数的关系直接得到另一个交点的坐标，不再重解二次方程；第三步判断所得数列是等差、等比还是周期数列，并用「一个周期的和」完成求和；面积、距离这类几何量写成 的表达式后，通常按梯形（或三角形）分割，再用等差、等比求和． 3.提醒：联立所得二次方程的一个根是已知交点的坐标，另一个根才是新求的点，顺序弄反会得到恒等式；要用交点所在支的条件（横坐标为正或为负）取舍根；对称变换是关于哪条坐标轴要分清，关于 轴对称只改变横坐标的符号；角度一律用弧度制，由三角函数值组成的数列其周期由函数的周期与公差共同决定；点的位置必须用文字交代清楚，不依赖图形；面积分割后每一块的宽都是相邻两点横坐标之差，勿把项数与梯形的个数混为一谈． ▸ 变式 5-1 已知曲线 （），点 在 上， 为常数且 。按如下方式依次构造点 （）：过点 作斜率为 的直线，与 在 轴左侧的一支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 。 （1）若 ，求 ，； （2）证明：数列 是公比为 的等比数列． 【答案】（1），；（2）证明见解析． 【分析】先把 代入曲线定出 ；再用直线与曲线联立得到关于 的二次方程，已知一根为 ，用根与系数的关系求另一根，最后按关于 轴对称只改变横坐标符号写出 与前一项的关系． 【详解】解：（1）因为 在 上，所以 ，曲线为 。 当 时，过 的直线为 ，即 。 代入 得 ，去分母得 ，即 ，亦即 ， 解得 或 。 对应点 自身，舍去，故 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 ，其横坐标为负，确在所取的这一支上。 为 关于 轴的对称点，所以 ，即 ，。 （2）证明：设 在 上，则 。过 且斜率为 的直线为 ，代入 并整理，得 。 因为 是该方程的一个根，设另一根为 ，由根与系数的关系得 ， 所以 ，相应的纵坐标为 ，即 。 由对称关系 ，，于是 。 把 的表达式代入，并注意 ，得 。 即 为常数，又 ， 所以 是以 为首项、以 为公比的等比数列。 检验： 时公比为 ，而 ； 时另一交点为 ，对称点为 ，，均与结论一致。 ▸ 变式 5-2 已知正项等比数列 满足 ，。在平面直角坐标系 中依次描出点 ，，…，，再依次连接 ，，…， 得到一条折线（）。 （1）求 的通项公式； （2）求这条折线与 轴以及直线 、 所围成图形的面积 ． 【答案】（1）；（2）． 【分析】折线的每一段与 轴、两条相邻竖直线围成一个直角梯形，两底是相邻两项、高是横坐标之差 ；把每一块面积加起来，和式就是相邻两项和的一半之和，各项写成 的幂后按等比数列求和。 【详解】解：（1）设公比为 。因各项为正，故 。由 得 ，解得 （舍去 ）， 所以 。 （2）第 段折线 与 轴、直线 、 围成直角梯形，两底长分别为 与 ，高为 ， 其面积为 。 把 的 个梯形相加，得 。 检验： 时三段梯形面积依次为 ，，，和为 ，而公式给 ，一致； 又 ，说明面积的增长量级与通项相同。 ▍ 压轴挑战 1．已知等比数列 中，，，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用等比中项得 ，解出两个候选值；再用 与 说明 与 同号，据此舍去负值． 【详解】解：由等比数列的性质，，故 。 设公比为 ，则 且 ，而 ， 所以 与 同号，舍去 ，得 ，选 C． 检验：由 得 ，即 ，； 取 时各项为 ，，，，，与题设一致． 错点在选项 D：相隔两项的等比中项虽然有两个平方根，但同一等比数列中 与 必须同号，不能两解都取。 2．已知 是公差不为零的等差数列，，若 ，， 成等比数列，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三项都写成含公差 的式子，用等比中项 列方程；方程化简后是 的二次方程，一根为 与“公差不为零”矛盾须舍去，另一根即所求公差。 【详解】解：设公差为 （），则 ，，。 由 ，， 成等比数列得 ， 展开得 ，移项整理得 ，即 。 因为 ，所以 ，于是 ，选 C． 检验：，，，有 ，确成等比数列；若取 则三项都是 ，虽也成等比但与“公差不为零”矛盾，故必须舍去。 3．等差数列 的前 项和记为 。已知 ，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】项数为奇数的前 项和等于中间项的倍数：；再用等距项性质 直接得出结果，不必求出 与 。 【详解】解：，而 ，所以 ，得 。 又 ，选 B． 检验：取 ，，则 ，，，与结论一致。 注意 ：下标 与 关于 对称，故其和是 的 倍。 4．设 是公差不为 的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时 ”的 （　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】递增与否只由公差 的符号决定（作差 ），而 是关于 的一次式： 时它最终取正值， 时它最终取负值，故两个命题都与 等价。 【详解】解：设公差为 （），则 。 充分性：若 递增，作差得 。 取正整数 满足 ，则当 时 ，从而 ，充分性成立。 必要性：若存在正整数 ，当 时 。设 ，则 ， 递减且当 时 ，与条件矛盾；又 ，故只能 ，数列递增，必要性成立。 所以两者互为充要条件，选 C． 检验：， 时 ，，取 即可，数列也递增；， 时 ，既不递增，也不能在若干项之后恒为正。 5．已知等比数列 满足 ，，则下列结论正确的是 （　　） A． B． C． D． 是递增数列 【答案】ABC 【分析】先由两项定出公比 ，写出 ；逐项代入计算，判断单调性时用作差 观察符号是否恒定． 【详解】解：公比 ，所以 。 对 A：，A 正确． 对 B：，B 正确． 对 C：，C 正确． 对 D：，其符号随 的奇偶交替改变， 例如 而 ，数列正负交替摆动，不单调，D 错误． 综上，选 ABC． 检验：，，；，逐项相加 ，一致． 6．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱。若升、斗、斛量器的容积成公比为 的等比数列，底面直径依次为 ，，，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为            ，升量器的高为            。（不计量器的厚度） 【答案】； 【分析】圆柱容积 ，故 与容积成正比。设升、斗、斛的容积依次为 、、，由 得三段 的比值；斗与斛的底面直径相等，高之比就是容积之比，升与斛的直径之比为 ，其平方与容积比一起决定升的高，全程不必求出容积本身。 【详解】解：记升、斗、斛量器的容积依次为 、、，则 ，， 底面直径依次记为 ，，（单位：mm），高依次记为 、、。 圆柱体积公式给出 ，即 。 由 得 。因 ，所以 ， 于是 。 由 得 ，所以 ， 而 ，故 。 检验：， ，三段容积确成公比 的等比数列，故斗量器的高为 ，升量器的高为 。 7．已知数列 满足 ，（），则           ，前 项的和           ． （1）           ； （2）           ． 【答案】（1）；（2）． 【分析】递推的增量按 的奇偶交替加减，隔一项看：奇数项每次加 、偶数项每次减 ，两支各自成等差；求和时把相邻的奇、偶项配成一组，每组的和是常数． 【详解】解：由递推式逐项算得 ，，，，，。 由 ， 得 在 为奇数时等于 ，在 为偶数时等于 。 所以奇数项 是首项 、公差 的等差数列，； 偶数项 是首项 、公差 的等差数列，。 （1）由 得 。 （2）每一组相邻两项之和为 ， 项恰成 组，故 。 故填 与 。 检验：，，，符合 ；， 也与两支的通项一致。 8．已知 ．曲线 在点 处的切线交 轴于点 ，且 ；曲线 在点 处的切线交 轴于点 ；以此类推，直至 时停止操作，得到数列 ，其中 、 均为正整数，． （1）证明：当 时 ； （2）当 时，试比较 与 的大小，请说明理由； （3）是否存在不小于 的正整数 ，使得 ，，，…， 成等差数列？若存在，求出 的所有取值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），当且仅当 时取等号；（3）存在， 的全部取值为 ． 【分析】第（1）问把「切线与 轴的交点」翻译成递推式：曲线在 处的切线交 轴于 ，取 即得 的表达式；第（2）问作差 ，再用 这一基本不等式定号，取等条件要单独交代；第（3）问先用（2）把公差压到 ，再由 排除 ，从而 ；等差意味着 到 全部落在方程 的正根之中，而该方程至多两个正根，于是「项数超过根的个数」直接导致矛盾，只剩 需要构造，构造时化为一个辅助方程并用零点存在说明确有其解． 【详解】解：（1）设 ．曲线 在点 处的切线方程为 ，令 得 ，即该切线与 轴交于 ． 因为操作未停止时 ，可取 ，此时切线与 轴的交点纵坐标就是 ， 所以当 时 ． 检验：取 ，则 ， 操作终止，与递推式一致． （2）作差并用（1）的结论：． 在（1）的切线方程中取 ，得切线 ，它与 轴交于 ，且与曲线 只有公共点 ，曲线整支都在这条切线的下方，故对一切 有 ，当且仅当 时取等号． 由 （若 操作早已停止）得 ，即 ， 所以 ，等号成立当且仅当 ． 具体地说：当 时 ，且 ，操作恰在这一项停止；当 时 ． 检验： 时 ， 不成立（），因为这里是 ； 时 ，取等情形与结论吻合． （3）假设存在不小于 的正整数 ，使 ，，…， 成等差数列，记公差为 ． 第一步定 的范围。由（2），对 都有 ，故 ，从而数列严格递减，各项互不相等。 若 ，则 ，由（2）知必须 ，于是 ，与题设 矛盾。所以 。 第二步数根。当 时 ，且 与 同时成立， 两式相减得 ，即 都是方程 的正根。 记 （）。当 时 随 增大而增大、 也随 增大而增大，故 在 上递增；当 时，若 ，则 ，由 得 ，故 在 上递减。 又 与 时 都趋于 ，且 为最大值，所以方程 在 时无正根、在 时恰有一个正根、在 时恰有两个正根（一个落在 内，一个落在 内）。 这里 ，故 至多两个正根，即 中至多取到两个不同的值，于是 ，得 。结合 ，只能 。 第三步验证 可以取到。此时 成等差数列即 。记 ，由 得 ，而 ，代入 并整理，得辅助方程 ，其中 （因 且 ，若 会与 推出的递减幅度不相容，且下面求得的解确落在 内）。 先说明 在 上单调递增：设 ，则 。 由 与 （）得 ，又 ，故 。 再取两点定号：，四项的数值依次为 、、、，相加得 ； ，四项的数值依次为 、、、，相加得 。 所以 在 内有唯一零点 （数值约为 ）。取 ，，则 成立， 也成立，故 ，， 成公差 的等差数列，且 与第一步的要求相符。 还要确认这样得到的数列确实存在三项：，（操作不会在前两项停止），而 ，故 ，三项恰好构成整个数列， 合法。 综上，满足条件的正整数 存在，其全部取值为 。 取舍说明： 之所以不可能，是因为前三项（至少三项）都要满足同一个方程 ，而该方程只有两个正根，与等差数列各项互不相等矛盾；只看「前几项碰巧成等差」是不够的，必须同时满足 与 这两个来自操作停止条件的限制。 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列与函数、方程综合 数列 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、数列的单调性与最大项最小项 题型二、数列与二次函数、方程的根 题型三、指数、对数与数列 题型四、函数周期性与数列规律 题型五、数列与解析几何、三角交汇 压轴挑战 ▍ 解题通法 数列是以正整数集（或其有限子集）为定义域的函数，函数与方程的语言在这里全部有效：判断单调性用作差 或作商 （各项同号时），最大项与最小项就落在差（商）变号的位置上，式子里含参数时必须按参数的取值分段；把 看成 的二次函数时，最值由对称轴与正整数轴的距离决定，不能把顶点的横坐标直接抄成项数；条件里出现等比中项、两个奇数项的和或某两项之积时，题目会化成关于基本量的方程，解出后要用判别式、根的正负以及「 是正整数」这类限制逐项取舍；指数、对数与数列相遇，先取对数把乘方、乘积压成加法，再回到原数列，真数的正负与底数的范围必须在第一步交代清楚；递推式给出的规律常以周期的形式出现，先算前若干项、再证明 并说明 最小；点列、斜率、三角函数值一旦写成 ，几何与三角的条件就变成数列的条件，处理它仍然只需要作差、配方与方程的根． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、数列的单调性与最大项最小项 ▸ 典例 1 设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ，， 成等比数列． （1）求 的通项公式； （2）求 的最小值，以及 取得最小值时 的值． ▍ 题型模版 1.特征：给出通项公式或前 项和的表达式（含参数），要求判断数列的增减，求出最大项、最小项，或求出使某个不等式成立的最小题数． 2.方法：单调性回到定义：作差 并整理成关于 的式子，解出差为正（或为负）的 的范围；各项同号时可改作商 并与 比较．差式含参数时，先解出使差（商）变号的 ，再按参数的取值分段写出各段的单调性； 的最值用邻项变号法（ 且 ），并与二次函数配方的结果相互检验． 3.提醒：项数 只能取正整数，对称轴不是整数时必须比较它两侧最近的两个整数；最值可以由相邻两项同时取得，答案要把项数与项的值都写出来；作商比较要求各项同号，忽略这一点会弄错不等号的方向； 与 分别对应递增与不减，端点能否取等要单独检验． ▸ 变式 1-1 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则           ； 的最小值为           ． ▸ 变式 1-2 若等差数列 的首项 ，公差 ，则该数列的前 项的和为           ． ▍ 题型二、数列与二次函数、方程的根 ▸ 典例 2 已知 且 ，则           ． ▍ 题型模版 1.特征：条件中出现等比中项、根与系数的关系、两个奇数项的和，或关于 的二次式，最后要求基本量、参数或项数的取值． 2.方法：先把数列条件翻译成关于 与 （或 ）的方程：等比中项写成 ，奇数项和写成 ， 写成 后看开口方向、对称轴与判别式；（）等价于 ，项数为奇数时直接得中间项为 。解出根之后，必须用题给的符号条件（、、）逐个取舍． 3.提醒：二次方程有两个根不等于答案有两个，增根要舍；对称轴为半整数时 的最值由相邻两项同时取得； 作为 的二次函数常数项为 ，用这一条能立刻检查求和式是否写错；作差消 时别忘了 的限制与 的单独验证． ▸ 变式 2-1 已知数列 为等比数列，且 ，，则           ． ▸ 变式 2-2 设等比数列 满足 ，，则           ． ▍ 题型三、指数、对数与数列 ▸ 典例 3 已知等比数列 的各项均为正数，，且 ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，证明 是等差数列，并求 的前 项和 ． ▍ 题型模版 1.特征：数列的通项或条件里出现幂、根式、乘方型递推、对数式，例如 、、、 一类结构． 2.方法：指数层与对数层互化：对 （）两边取以 为底的对数，得 （），乘方变成倍数、乘积变成求和，再按等差（）或等比（）处理；反过来由 求 用 。底数常选成能把条件里的数都写成整数次幂的一个，例如各项都是 的幂就取 ；比较含幂的两式大小时也先取对数，把指数上的因式搬到前面． 3.提醒：取对数之前必须确认各项为正（一般由首项与递推式归纳保证），并写明底数满足 且 ；由 的值反求 时，实数范围内奇次方根唯一、偶次方根要按正负取舍，「各项为正」这类条件要用在舍根上； 成立的前提是 且 ，不能对无意义的式子做合并；求满足 的最小题数时，取对数后先比较整数次幂，再逐项代入确认临界项． ▸ 变式 3-1 已知 为等比数列，，，则           ． ▸ 变式 3-2 已知正项数列 满足 ，（）． （1）设 ，求 的通项公式及其前 项和 ； （2）求 的通项公式，并求满足 的最小正整数 ． ▍ 题型四、函数周期性与数列规律 ▸ 典例 4 已知无穷数列 的首项 ，且对任意 都有 ． （1）求 ，，，并证明 是以 为周期的周期数列； （2）求 以及前 项的和 ． ▍ 题型模版 1.特征：递推式右边的表达式带有循环结构（如 、），或按 的奇偶、按所在分组给出规律，或给出抽象函数的不等式要求逐项推下去． 2.方法：周期问题先逐项迭代算前若干项，观察从第几项起回到起始值，猜想周期 ，再证明 对一切 成立，并检验比 小的正整数都不是周期；求 或 时用带余除法 把下标压回一个周期内，整周期的和只算一次．求通项无固定套路时，改用隔项作差或隔项作商（看 、），或把相邻两项配成一组的和写成 的函数，逐段找规律再验证。与函数结合时，周期由函数周期与公差共同决定：若 的周期为 、 是公差为 的等差数列，则 每隔 的整数倍重复一次． 3.提醒：「出现两项相同」不等于周期成立，必须确认递推式右边只依赖已经重复的那几项；周期要检验最小性，只看 会漏掉排除 与 ；迭代中要保证分母不为零，逐项说明各项都取不到被排除的值；求和时余下的那几项要单独加回，不能按整周期四舍五入；由前几项猜出的规律必须回代验证，只符合前几项的猜想不一定是通项． ▸ 变式 4-1 数列 ，，，，， 的一个通项公式为（　　） A． B． C． D． ▸ 变式 4-2 已知数列 ， 的项数均为 （），且 ，， 的前 项和分别为 ，，并规定 。对于 ，定义 ，其中 表示数集 中最大的数． （1）若 ，，，，，，写出 ，，， 的值； （2）若 ，且 （），求 （）． ▍ 题型五、数列与解析几何、三角交汇 ▸ 典例 5 已知 是 ， 的等差中项，直线 与圆 交于 ， 两点，则 的最小值为（　　） ▍ 题型模版 1.特征：以坐标系中的点列、直线的斜率、直线与曲线的交点、单位圆上等分点的横（纵）坐标、三角函数在整数点的取值为载体，要求写出相应的数列，并研究它的通项、周期或定值． 2.方法：第一步把几何量翻译成数列：点 的横（纵）坐标记作 （），直线的斜率记作 ，单位圆上角度为 的点写成 ；第二步用方程求相邻两项的关系，直线与曲线联立后已知一个交点，就用根与系数的关系直接得到另一个交点的坐标，不再重解二次方程；第三步判断所得数列是等差、等比还是周期数列，并用「一个周期的和」完成求和；面积、距离这类几何量写成 的表达式后，通常按梯形（或三角形）分割，再用等差、等比求和． 3.提醒：联立所得二次方程的一个根是已知交点的坐标，另一个根才是新求的点，顺序弄反会得到恒等式；要用交点所在支的条件（横坐标为正或为负）取舍根；对称变换是关于哪条坐标轴要分清，关于 轴对称只改变横坐标的符号；角度一律用弧度制，由三角函数值组成的数列其周期由函数的周期与公差共同决定；点的位置必须用文字交代清楚，不依赖图形；面积分割后每一块的宽都是相邻两点横坐标之差，勿把项数与梯形的个数混为一谈． ▸ 变式 5-1 已知曲线 （），点 在 上， 为常数且 。按如下方式依次构造点 （）：过点 作斜率为 的直线，与 在 轴左侧的一支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 。 （1）若 ，求 ，； （2）证明：数列 是公比为 的等比数列． ▸ 变式 5-2 已知正项等比数列 满足 ，。在平面直角坐标系 中依次描出点 ，，…，，再依次连接 ，，…， 得到一条折线（）。 （1）求 的通项公式； （2）求这条折线与 轴以及直线 、 所围成图形的面积 ． ▍ 压轴挑战 1．已知等比数列 中，，，则  （　　） A． B． C． D． 2．已知 是公差不为零的等差数列，，若 ，， 成等比数列，则  （　　） A． B． C． D． 3．等差数列 的前 项和记为 。已知 ，则  （　　） A． B． C． D． 4．设 是公差不为 的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时 ”的 （　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知等比数列 满足 ，，则下列结论正确的是 （　　） A． B． C． D． 是递增数列 6．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱。若升、斗、斛量器的容积成公比为 的等比数列，底面直径依次为 ，，，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为            ，升量器的高为            。（不计量器的厚度） 7．已知数列 满足 ，（），则           ，前 项的和           ． （1）           ； （2）           ． 8．已知 ．曲线 在点 处的切线交 轴于点 ，且 ；曲线 在点 处的切线交 轴于点 ；以此类推，直至 时停止操作，得到数列 ，其中 、 均为正整数，． （1）证明：当 时 ； （2）当 时，试比较 与 的大小，请说明理由； （3）是否存在不小于 的正整数 ，使得 ，，，…， 成等差数列？若存在，求出 的所有取值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $