专题10 专题10 数列综合探究（存在性问题、函数交汇、数学归纳法）（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题10数列综合探究（存在性问题、函数交汇、数学归纳法） 常考题型·精准突破 考点一 数列求和奇偶项讨论 题型1 形如求前n项和（高频） 题型2 型（重） 考点二 子数列 题型3 插入型（重） 题型4 公共项型（重） 题型5 在范围内取新数列（难） 考点三 数列求和与函数 题型6数列与取整函数（难） 题型7数列与三角函数（难） 考点四 用函数的观点研究数列 题型8数列的周期（高频） 题型9数列的单调性与最值（高频） 题型10分段数列的单调性（高频） 考点五 数列中的恒成立与能成立问题 题型11 数列不等式恒成立问题（难） 题型12数列不等式能成立（有解） 问题（难） 考点六 数列与数学归纳法 题型13用数学归纳法证明数列问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 数列求和奇偶项讨论 ◆题型1形如求前n项和 1．（2026·云南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，结合等差数列的定义求得. （2）对进行分类讨论，利用裂项求和法、错位相减求和法求得. 【详解】（1）由，得，当时，，即， 又，所以．当时，， 所以， 即，整理得， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以． （2）由（1）得， ①当n为偶数时， ， 设，则， 令，所以， 两式相减得：， ， 所以，所以； ②当n为奇数时， ， 所以． 2．（2026·吉林延边·三模）数列满足，． (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，设数列的前n项和为，求． 【答案】(1)证明：由，可得，所以， 因为，可得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 可得，所以， 即数列的通项公式为.； (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，证得为等比数列，利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）知，得到，分和，两种情况讨论，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，则，所以， 则，且， 因为，可得， 当时，， 其中， ， 所以， 将代入上式，可得； 当时，， 因为，且， 所以， 将代入上式，可得， 综上可得，数列的前n项和为. 3．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据的关系求的通项公式；根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出数列的通项公式; （2）分为偶数，奇数，分组后由等差、等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式， 所以； 由得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； （2）当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以 4．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知数列的前项和为，且满足，数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)记，求的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）对于可用迭代法，消去，结合构造法求解通项，对于可设出其公差，列方程求解； （2）对于奇数项部分由错位相减法处理，偶数项部分由公式法求和，可先求为偶数时的表达式，然后进而求出为奇数时的结果. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，①，②， ①-②得：， 又，，， ∴数列是首项为8、公比为4的等比数列，， 设等差数列的公差为， ，且，，成等比数列， ， 即，解得 （2）   当为偶数时， 当为奇数时， ◆题型2 型 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可证得数列从第二项开始为常数列，进而求出数列的通项公式； （2）先求出，再由分组求和法求解即可. 【详解】（1）当时，，得，作差可得， ，化简得，即， 所以数列从第二项开始为常数列，且，即 又，所以，不符合上式， 所以； （2）由（1）知，； ， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上，. 6．（25-26高三上·山东威海·期中）已知数列的各项均为正数，前项和为，且． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的关系，可得是等差数列，利用等差数列通项公式可得答案； （2）先根据求出的通项公式，利用并项求和可得答案. 【详解】（1）因为，当时，可得； 因为当时，有， 所以，整理得， 所以是首项为4，公差为4的等差数列． 所以， 因为数列的各项均为正数，所以. （2）由（1）知，当时，． 当时，成立，所以． 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上，． 7．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列的通项与前n项和关系，分和两种情况分析，得数列从第二项开始为常数列，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得到，从而得到数列的通项公式，然后分奇偶项讨论，求得求数列的前项和． 【详解】（1）①， ∴当时，令得②， 由①-②可得，，即， ∴数列从第二项开始为常数列，，可得； 当时，，计算可得，经检验不符合上式， ； （2）∵由（1）知， ， 当为偶数时，， 当为奇数时，． ∴综上，． 8．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，列方程求解； （2）根据（1）的结果，分为奇数和偶数，利用并项求和法，即可求解. 【详解】（1）等差数列的前项和为，， ，即， 又，， 则有，， （2）记数列的前项和为， 当为奇数时，； 当为偶数时，； 综上，. 考点二 子数列 ◆题型3 插入型 9．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）已知等差数列与等比数列的首项均为，公差与公比均为.将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：，，，，，，，，，，，，，…，其中与之间插入项中的项，该新数列记作，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意计算对应的位置，再确定对应的中的项的下标，结合等比数列的通项公式即可求解. 【详解】等差数列首项为1、公差为2，故， 等比数列首项为1、公比为2，故 ， 因为与之间插入项， 所以数列前个间隔插入数列的总项数为， 令，有，即，，即 ​， 因此第184到210项全部为中的项， 又因为，， 所以对应的下标为， 因此. 10．（25-26高二下·广东阳江·期末）已知数列的通项公式为．在与之间插入个，使它们和原数列的项构成新的数列．记数列的前项和为，则__________． 【答案】 【分析】分析可知在数列中为第项，利用分组求和法求，再结合错位相减法以及并项求和法运算求解. 【详解】由题意可知：在数列中为第项， 且与之间插入个的和为， 因为，， 则， 设，则， 可得，且，即，所以； 当为奇数时，则， 可得， 所以. 11．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知数列的首项，前项和满足，数列的首项，且满足，其中. (1)求和的通项公式； (2)分别在与之间插入个数，使这个数构成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用与的关系求的通项公式，利用累乘法求的通项公式； （2）根据等差数列的通项公式求得，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）由得：时，，两式相减得， 又，故，满足，故是首项为3，公比为2的等比数列， 所以； 由得：， 所以； （2）由题知，，则， 故， 则 两式相减得： ， 故． 12．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）设数列的前项和为，已知． (1)求的通项公式． (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中成公差不为零的等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由如下： 由题意可知，和插入个数后，共个数成等差数列，是第1项，是第项， 因此，代入，得，故， 假设存在三项满足条件：成公差不为的等差数列，且成等比数列， 则， 将代入等比条件：， 约去，由得，因此， 整理得：, 将代入上式得：， 即，与公差不为零矛盾，故不存在这样的三项. 【分析】（1）利用及与的递推关系，正确得出； （2）由插入个数后形成等差数列，正确求出公差，假设存在满足条件的三项，结合成等差数列（公差非零）及等比条件，推导得到即，与公差不为零矛盾. 【详解】（1）已知，当时，，解得； 当时，， 两式相减得：，整理得， 因此是首项为、公比为的等比数列，通项公式为：. （2）略 13．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和； (3)若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2) (3)2116 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的基本概念，以及等差数列前项和公式，求出数列通项公式的基本参数，写出通项公式即可； （2）根据数列的通项公式，利用裂项相消法和分组求和发可求； （3）根据等比数列的项和公式，判定数列的前2026项的组成，进而求出前2026项和. 【详解】（1）设等差数列公差为，所以， 因为，解得，则， 所以， 所以，解得， 因为，所以数列公比，则. （2）由（1）可知， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 数列的前2n项中有个奇数项，个偶数项， 所以， 可得， 即. （3）数列的项为， 在之前有数列的项个，有个1， 则之前有项， 当时，即之前有项，之后有个， 即数列的前2026项有数列的前项，和个， 所以数列的前2026项的和为. ◆题型4 公共项型 14．（2026高三·全国·专题练习）数列与的通项公式分别为，它们的公共项由小到大排列组成数列，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】方法一：由通项公式可得，即可得到的关系，从而可得数列的通项公式；方法二：根据题意，观察可得公共项的首项以及公差，然后结合等差数列的通项公式即可得到结果. 【详解】方法一：设，则， 所以， 因为3，4互质，所以必为4的倍数， 即， 所以， 即数列的通项公式为. 方法二 由观察可知，两个数列的第一个公共项为11， 所以. 设，则， 所以不是数列中的项，不是数列中的项，是数列中的项. 所以，则， 所以数列是等差数列，其公差为12，首项为11， 因此，数列的通项公式为. 15．（24-25高二下·湖北·期中）等差数列的前n项和为，数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 【答案】(1)， (2)4231 【分析】（1）利用等差数列的性质求出公差即可求数列的通项公式；利用降标作差求得，再代入检验即可； （2）计算以及至，即可观察得出数列中的项，进而利用等差数列的前项和公式计算. 【详解】（1）因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则， 因， 则当时，，    两式作差得，即， 令，得，则，满足上式，则， 综上，数列的通项公式为， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得，，且， 经验证数列前50项中与数列的公共项共有4项，分别为， 从而数列中去掉的是这4项， 所以. 16．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，是的方向向量．数列满足：点均在上，． (1)求的通项公式； (2)已知是以4为首项，2为公差的等差数列，若与的公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的方向向量求出直线方程，进而得到数列的递推关系，确定其为等比数列并求出通项公式； （2）根据等差数列的首项和公差求出数列的通项公式，结合求出数列的通项公式，最后求出数列的前项和. 【详解】（1）由直线过原点且方向向量为可知的方程为 因此对任意正整数，即 因为，所以， 所以，是首项为2，公比为3的等比数列， 所以 （2）因为数列是以4为首项，2为公差的等差数列， 所以 因为，所以，即 因为,所以,则的值为 所以，可得 17．（25-26高三上·河北·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)求实数的值； (2)若，求的通项公式； (3)将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入等式中，根据已知条件计算即可. （2）根据已知条件求出，然后计算并化简，可判定数列是等差数列，进而求得通项公式. （3）先求出公共项为，然后利用裂项相消法进行求和计算. 【详解】（1）因为. 令，， 得 化简得，解得. （2）由（1）得， 当时，所以， 两式相减得， 化简得，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以. （3）数列的项为，数列的项为 公共项需满足，即， 设，则公共项为. 所以 ◆题型5 在范围内取新数列 18．（25-26高二下·山东菏泽·期末）已知数列是等差数列，前项和为，且（）． (1)求数列的通项公式； (2)定义数列：表示满足（）的正整数的个数，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的求和公式以及性质化简即可求解， （2）根据不等式求解，即可根据错位相减法求和得解. 【详解】（1）由于是等差数列，且，故且， 其中， 即， 因为，所以，因此，故. （2）由可得，故， 因此的取值为，故， 因此， ， ， 相减可得， 19．（25-26高三·全国·一轮复习）在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)对任意，将数列中位于区间内的项的个数记为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，根据等差数列基本量的计算，结合等差数列的通项公式即可求解； （2）由题意得，解得，则，结合等比数列前项求和公式计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 两式相减，得， ，代入， 得，解得， 所以； （2）对任意， ，即， 而，故， 由题意可知， 于是 即. 20．（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）记为正项数列的前项和，． (1)证明：是等差数列； (2)定义数列表示满足的整数的个数，求数列的前项． 【答案】(1)证明: 因为， 所以时，，有， 因为，所以. 因为，所以，又， 所以， 综上可得，则，即是等差数列； (2)． 【分析】（1）由题设及与关系可完成证明； （2）由（1）可得，然后由错位相减法，分组求和法可得答案. 【详解】（1）略； （2）由题意知表示中正整数的个数， 因为，则中有 个自然数，所以，从而， 所以， 不妨设， 则， 两式相减可得，   所以， 所以． 考点三 数列求和与函数 ◆题型6 数列与取整函数 21．（25-26高三上·山西太原·阶段检测）已知数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前100项和. 【答案】(1)证明: 由，可得，则， 即，，所以是首项为2，公差为1的等差数列. (2)94 【分析】（1）由与的关系可得，根据等差数列的定义即可证明； （2）找到为整数时的临界值，再分区间计算，相加可得结果. 【详解】（1）略； （2）由（1）得，所以，， 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故； . 22．（23-24高二下·河南安阳·期中）在数列中，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前12项和，其中表示不超过的最大整数，如，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）降次作差即可得到，最后验证即可； （2）求出前12项的每一项，最后求和即可. 【详解】（1）当时，，①， 所以当时，②， ①②得， 即也满足该式，所以. （2）由（1）知， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 依次类推，可知. 所以数列的前12项和为. 23．从条件①；②；③中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 已知数列的前项和为，，_____________. (1)求的通项公式； (2)表示不超过的最大整数，记，求的前项和. 【答案】(1)若选①或②，,；选③， (2)若选①或②，；选③， 【分析】（1）①②都是利用的方法进行简化，然后得到与的关系，进而得到通项公式；③利用的方法进行化简，得到与的关系，进而得到通项公式； （2）利用①②③的结果代入的具体值，通过求和得到答案. 【详解】（1）若选①： 因为，所以， 两式相减得，整理得， 即，所以为常数列，，所以； 若选②： 因为，所以， 两式相减， 得，因为，所以， 故为等差数列，则； 若选③： 由，变形得：，则， 易知，所以，则为等差数列，由，则，，所以， 由当时，，也满足上式，所以. （2）若选①或②： 由题意，，当时，，； 当时，，；当时，； . 若选③： 由题意，，当时，，； 当时，，；当时，，； . ◆题型7 数列与三角函数 24．记等差数列的公差为d，前n项和为．已知，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2)-52 【分析】（1）根据等差数列前项和公式和等比中项即可求解. （2）分析易得是以3为周期的周期数列，对按周期分类，利用等差数列前项和计算即可. 【详解】（1）因为数列等差，由等差数列前项和公式得 .① 又因为，，成等比数列，根据等比中项，.② 联立①②式得：. 所以. （2）由（1）知， 当时 所以是以3为周期的周期数列 所以当正整数是3的倍数时：，此时. 当正整数不是3的倍数时：，此时. 所以 . 所以 25．已知正项数列满足（）. (1)求数列的通项公式； (2)令，记的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知方程可得或，结合正项数列即可确定的通项公式； （2）利用正弦型函数的性质判断的周期，并求出一个周期内的项，最后根据周期求. 【详解】（1）， 或， 为正项数列， ； （2）， 是周期为12的周期数列 ， ，， ， ，， ，， ，， ，， . 考点四 用函数的观点研究数列 ◆题型8 数列的周期 26．（25-26高二下·辽宁大连·期中）若数列满足，，则________. 【答案】 【分析】根据递推公式求出数列的前5项，可发现数列为周期数列，结合数列周期性求解即可. 【详解】由，，可得， ，，， 所以是周期为4的数列，所以. 27．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知数列满足，则___________． 【答案】 【分析】由递推关系求出可知数列是周期为3的周期数列，从而得解. 【详解】因为数列满足， 所以，，，……， 所以数列是周期为3的周期数列， 所以， 28．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）设正整数数列满足，则__________． 【答案】3 【详解】已知时，正整数数列满足，把替换为，则 ， ，即，故数列是周期为3的周期数列， 已知，令，得，则， 或， 令，得，则，故， 结合周期可知，若，则，满足， 若，则，满足， 一个周期为或， 周期为3，，故， ，故， ． ◆题型9 数列的单调性与最值 29．（25-26高三下·天津河西·开学考试）设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，对任意的，，结合作差法可得出实数的取值范围. 【详解】因为，且数列为单调递减数列， 所以对任意的，，即， 可得对任意的恒成立，所以， 解得，故实数的取值范围是. 30．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列为递增数列，通项公式为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】将题设等价转换为得到即可计算求解． 【详解】因为数列为递增数列，， 所以，即． 又，所以． 故答案为： 31．（24-25高二上·天津北辰·阶段检测）数列的通项公式为．若为递增数列，则的取值范围_____________ 【答案】 【分析】数列是单调递增数列，可得，转化为最值问题，化简解出即可. 【详解】解：∵数列是单调递增数列， ∴， ，化为恒成立， 因为且，则， ，即， 故答案为：. ◆题型10 分段数列的单调性 32．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知数列满足，若对于任意的都有成立，则正整数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得数列为递增数列，列不等式组可得且，根据为正整数，将依次代入到中验证是否成立，即可求出答案. 【详解】由题意数列为递增数列， 所以，则且， 又为正整数，由知，， 当时，，符合， 同理均符合， 当时，，不符合， 故正整数的取值范围是. 故选：D. 33．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数列递增得到分段函数在两个区间上分别递增，得到对应的范围，然后由，求的范围，从而得到结果. 【详解】∵数列是递增数列， ∴当时，单调递增，即，则， 当时，单调递增，则， 又，即，则，则， ∴. 故选：B. 考点五 数列中的恒成立与能成立问题 ◆题型11 数列不等式恒成立问题 34．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）已知数列的前n项积． (1)求的通项公式； (2)若对任意正整数n，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 且也满足此式， 所以的通项公式为； （2）记， 则， 所以， 即对成立， 易知递增， 故，故，所以的最小值为． 35．（25-26高二下·四川成都·期中）已知数列的前项和为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)对于，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中条件，利用作差法求出数列的通项公式. （2）先根据（1）求出，再对列项，然后通过列项相消法求. （3）分n为偶数和奇数两种情况，根据数列的单调性，求出实数的取值范围. 【详解】（1）， 当时，， 两式相减得， 当时，， 当时，，上式也成立， 综上，数列的通项公式为． （2）由（1）可知， 所以，， 则， 所以数列的前项和. （3）当为偶数时，， 因为对于，恒成立，即对于，恒成立， ，当为偶数时，单调递增， 所以，则， 当为奇数时，， 因为对于，恒成立，即对于，恒成立， ，当为奇数时，单调递增， 所以，则，则， 综上所述， 所以实数的取值范围为. 36．（25-26高一下·上海·期中）已知数列的首项为1，前项和为，且满足 (1)写出，的值； (2)令，求数列 的前项和； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）使用数列的定义求解； （2）使用错位相减法求解； （3）使用分组求和法计算，再分离参数转化为最值求解. 【详解】（1），， （2）由可得①，②， ②①得，因为，所以，已知，， 所以数列的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 数列的偶数项是以2为首项，1为公差的等差数列， 因为，所以， 则③，两边同时乘以2得 ④，③④得 ， 所以. （3）由（2）知数列的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 数列的偶数项是以2为首项，1为公差的等差数列， 则， 若对于任意，恒成立，则恒成立，令， ， 当时，，即； 当时，，即， 所以，则的最大值为，所以， 即的取值范围是. ◆题型12 数列不等式能成立（有解） 问题 37．（25-26高三上·安徽池州·阶段检测）已知各项均为正数的数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的正整数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用递推式求得，然后利用与的关系，结合等差数列通项公式求解即可； （2）先利用裂项相消法求得，解不等式可得取值范围． 【详解】（1）由，且，可得，即， 当时，由，可得， 两式相减可得，因为，可得， 即该数列的奇数项构成以为首项公差为2的等差数列，偶数项构成以为首项公差为2的等差数列， 即有， 可得； （2）， 可得数列的前项和． 则，即， 当时，成立；当时，成立；当时，成立， 当时，， 综上所述，使得成立的正整数的取值范围是. 38．（2025·河南·一模）数列满足，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列的前项和为，求使成立的最小正整数的值 【答案】(1)设数列，则 ， 由，得， 所以， 即数列是以为首项，为公差的等差数列； (2). 【分析】（1）根据已知得，再应用作差法及等差数列的定义证明； （2）根据（1）得，应用裂项相消法求，根据不等式能成立求参数值. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以， 因此，解得，所以满足题意的最小正整数. 考点六 数列与数学归纳法 ◆题型13 用数学归纳法证明数列问题 39．（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 【答案】(1) (2)当时，，， 所以成立， 假设当时，不等式成立， 即， 则当时，， ， 又， 所以， 所以， 即当时，不等式也成立. 综上，. 【分析】（1）根据求解； （2）先证明当时，不等式成立，再假设当时，不等式成立，再证明当时，不等式也成立，即可得证． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以； （2）略 40．已知数列的前项和为，且，_______. ① ② (1)求； (2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)3，5，7 (2)猜想，理由见解析 【分析】（1）若选①，由，结合，可得，后依次可得； 若选②，代入，可得； （2）由（1）可猜想，后利用数学归纳法证明结论即可. 【详解】（1）选择条件①，，. 当 时，，即， 当 时，，所以，即， 当 时，，所以，即， 故分别为3，5，7. 选择条件②， 当 时，， 当 时，. 当 时， 故分别为3，5，7. （2）猜想，理由如下： 选择条件① 时，由题知，，猜想成立， 假设时，， 则，所以 两式相减得： 即 所以，时成立， 综上所述，任意，有． 选择条件② 时，由题知，，猜想成立， 假设时， 则 所以，时成立， 综上所述，任意，有． 综合攻坚·知能拔高 1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，解，得出单调性，判断出在时，取最小值：；当，利用二次函数的对称性和最值，建立关于的不等式组求解． 【详解】当时，，令，得：， 解得：或，因此可知：； 又当时，，当时，，所以在时，取最小值：． 当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线， 因为是中唯一的最小项，所以，且， 解得，且， 即． 故选：B 2．（24-25高二下·广西桂林·阶段检测）已知函数若数列满足且是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，结合指数函数单调性及数列单调性列出不等式组求解. 【详解】函数，由数列是递增数列， 得，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 3．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知等差数列的通项公式为，在中每相邻两项之间都插入2个数，组成一个新的等差数列，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【详解】由的通项公式，得首项，公差， 则等差数列的首项，设其公差为， 由于相邻两项之间插入2个数，故，则， 根据等差数列通项公式，， 因此. 4．（25-26高二上·河北邢台·期末）若数列满足，则___________. 【答案】/ 【分析】根据数列的递推公式，分别求得的值，得到数列是周期为4的数列，所以，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以是周期为4的数列. 因为，所以． 故答案为：. 5．（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）已知数列的通项公式为，且为递减数列，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据条件，可得对恒成立，转化为最值问题，化简解出即可. 【详解】因为为递减数列，， 所以对恒成立， 即对恒成立，所以， 故答案为：. 6．若，且数列为单调数列，则实数的取值范围是__． 【答案】 【分析】根据数列单调可得，分别讨论数列是增数列或减数列时，孤立参数求最值得实数的取值范围. 【详解】若，且数列为单调数列，则， 若数列是增数列，则恒成立，即，即， 即恒成立，因为在上递减，所以，所以； 若数列是减数列，则，即，即， 即恒成立，因为在上递减，且，所以； 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）已知数列满足，数列满足，在任意的之间插入数列的项（，从到），从而构成一个新数列，设的前n项和为，则_______（请用数字作答）. 【答案】2350 【分析】根据已知分析判断新数列中包含数列、中的哪几项，进而求. 【详解】根据题意，，时，新数列中前共有数列的前项， 所以为新数列的第项，即第项， 当时，，即为新数列的第43项， 且与之间插入了，，，……，共13项， 则. 8．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知数列首项不为0，，则： (1)若且，则数列前10项和为多少？ (2)是否存在实数，使得成立？ 【答案】(1)5； (2)存在，. 【分析】（1）把代入，取倒数变形等式可得，进而求出目标值. （2）依次计算用表示，结合给定条件可得恒成立的等式即可求解. 【详解】（1）当时，，，显然，两边取倒数得， 即，则， 所以. （2）由，得， 则， 同理，若恒成立，而， 则存在，使得恒成立，因此，解得， 所以存在实数，使得成立. 9．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知数列的前项和，设数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2026项和. 【答案】(1)， (2) (3)2646 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）借助裂项相消法计算即可得； （3）计算可得到的项数，则可得时，共有项，则最后10项都为，再借助分组求和法与等差数列求和公式计算即可得前2026项和. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，，符合上式，故； 由，则， 则时，有， 故，即； 当时，，符合上式，故； （2）， 则； （3）：，1，，，，，3，3，3，，…，，…， 从到共有项， 所以，当时，， . 10．（25-26高二下·浙江·期中）已知等差数列的公差为，且，数列的前项和为． (1)求数列、的通项公式； (2)设为数列的前项和，若对任意的都成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据已知条件求出的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；由可得出数列的通项公式； （2）求得，由，可得，设，分析数列的单调性，求出该数列的最大项的值，即可得出实数的最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 由可得，即，解得， 所以， 当时，， 因为，满足通项公式，所以． （2）由（1）可知， 由，可得，不妨设， 则， 易知数列为单调递增数列， 且当时，， 当时，， 当时，． 因此时，取最小值，所以，则的最大值为． 11．（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) 在数列中，①， 又因为②，，所以得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列； (2) (3) 【分析】（1）利用结合等差数列的定义即可得证； （2）由（1）先求，再由求出即可； （3）将恒成立问题转化为恒成立，设，研究数列的单调性得到其最大值，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为； （3）由（2）知，， 因为对于任意恒成立，所以恒成立． 设，则， 当和时，，即； 当时，， 所以， 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． 12．（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1) 证明：由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列； (2) (3) 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明： （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围． 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，即， 所以， 则， 所以， 所以． （3）由题可得，整理得恒成立， 令，则， 则当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 所以，即． 13．在①，；②公差为1，且成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知等差数列的前项和为，且满足___________ (1)求数列的通项公式； (2)令，其中表示不超过的最大整数，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①，设等差数列中，公差为，进而得，解方程得，再求通项公式即可； 选②，由题知，进而解得 ，再求通项公式即可； 选③，由题知，即，解得，再求通项公式即可； （2）由题知，再结合，，，求解即可. 【详解】（1）解：选① 设等差数列中，公差为，因为，， 所以，解得， 所以， 选② 因为等差数列中，公差为1，且成等比数列， 所以，即，解得 所以. 选③ 因为等差数列中，，， 所以，即，解得 所以 （2）解：由（1）知， 因为，，，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以 14．已知数列的前项和为，且满足，，. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，其中表示不超过的最大整数，求数列的前15项和. 【答案】(1)证明见详解；， (2) 【分析】（1）由条件得，即可证明为等比数列，求出数列的通项公式，利用可求得数列的通项公式； （2）取分别为0，1，2，3，4，可得对应的项数，然后直接求和即可. 【详解】（1）由得，即， 又 所以是以2为首项，2为公比的等比数列 则，即 当时，， 又符合 所以数列的通项公式为，； （2） 若，， 若,， 若,， 若,， 当时，, 故 15．已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记表示不超过的最大整数，如，. 令，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）320. 【分析】（1）由得，进而可知数列是等差数列，从而可求出，最后利用与的关系求即可； （2）分情况讨论取不同值时，的值，然后求和即可 【详解】（1）因为，所以，又， 则数列是以为首项，为公差的等差数列，因此，即. 当时，， 又符合上式， 故.      （2）由（1）知，   当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，.    所以数列的前项和 . 16．已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（）． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） ；（2） . 【分析】（1）弦化切求得方程的根可得到数列的通项；（2）通过第一问得到数列是周期为4的数列，通过观察列举得到和的规律，进而得到结果. 【详解】（1） , 解得，，，  , 依题意，，. （2）是周期的数列 , ，，，  , ，，，  , 从而，，……， 所以是周期为4的数列, （）. 【点睛】这个题目考查了数列的通项公示的求法以及数列的和的求法；采用的是观察法，得到数列的周期，进而得到数列的和. 17．（2024·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)当为偶数时，，当为奇数时，. 【分析】（1）根据等差数列前和公式即可求出，则得到其通项公式； （2）分为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可. 【详解】（1）由题意得是公差为2的等差数列，且， 即，又因为，所以， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 经检验，时，满足， 综上，当为偶数时，， 当为奇数时，. 18．已知数列是首项为4的单调递增数列，满足 (1)求证：； (2)设数列满足，数列前㑔和，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）通过两次配方可得，再由数列可两边开放得证； （2）由配方整理得，则数列是首项为2，公差为2的等差数列，可求出，即，则由平方差公式可转化为等差数列求和，则可求得 【详解】（1）证明：由题意得，，即，即， ∵数列是首项为4的单调递增数列，，∴ （2）由（1）得，即，即，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，故， 则， ∴ 19．（2026·四川达州·二模）已知数列为等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)在数列的相邻两项与之间插入个1（）后，构成一个新数列，数列的前项和记为，求. 【答案】(1) (2)609 【分析】（1）列出关于的方程组，然后根据等差数列的通项公式即可求解； （2）首先求出到原数列第项为止插入的总项数，令得出，即得出插入510个1，然后利用分组求和即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由得： ，，解得，， 故通项公式为 . （2）根据题意，在和之间插入个，设到原数列的第项为止， 则新数列的总项数， 令，代入验证得时，，刚好满足， 即包含原数列前9项和所有插入的1： 插入1的总个数为，插入部分和为， 原数列前9项和：， 因此： . 20．（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系写出，再两式作差即可求得答案； （2）根据等差数列的通项公式得公差，再结合错位相减法求解的前项和即可. 【详解】（1）解：因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 当时，，满足， 故的通项公式为． （2）解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为， 所以，即，， 所以① ② ①－②得：， 所以． 21．（2026高三·全国·专题练习）已知数列是公比为的等比数列，且满足，，成等比数列，为数列的前项和，且是和的等差中项，若数列是由数列中的项依次剔除与的公共项剩下的部分组成，求数列的前100项和. 【答案】11302 【分析】根据数列是公比为的等比数列，满足，，成等比数列，得到，根据题意得到，计算，设，得到，数列的前105项中有5项需要剔除，计算得到答案. 【详解】数列是公比为的等比数列，则，即， 即是公差为2的等差数列. ，，成等比数列，故，即，解得. 故. 是和的等差中项，则， 当时，，解得； 当时，，，两式相减得到，即， 故是首项为1公比为2的等比数列，，验证时满足. 故. 令，即， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 故数列的前105项中有5项需要剔除，分别为. 故数列的前100项和为. 22．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）等差数列的前项和为，，，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)将数列与数列项从小到大排在一起，公共项只记一次，得到新的数列，求数列的前50项和. 【答案】(1)， (2)3421 【详解】（1）因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则； 因，① 当时，，② 得，，即， 当时， ，解得，满足上式， 则， 综上所述，数列的通项公式为， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得，数列是递增数列，且，， 又因为，，，，，，，， 经验证数列中的，，均在中的前50项， 从而数列中需要取47项， 所以数列的前50项和. 23．（25-26高三下·江西景德镇·期中）已知各项均为正数的数列中， ，且满足，数列的前项和，满足 . (1)求数列的通项公式； (2)将数列中的公共项按照从小到大重新排列构成新数列，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过得到即可求出数列的通项公式，通过即可求出数列的通项公式； （2）首先确定数列的通项公式，然后利用错位相减法即可求出数列的前项和. 【详解】（1）已知且满足，将等式移项变形得， 由题意数列 的各项均为正数，所以 ，得， 说明数列是一个首项，公差的等差数列。 故数列的通项公式为， 由于数列的前项和满足，则，即， 当时，有和，两式相减得：，即， 这说明数列是一个首项，公比的等比数列， 因此，数列 的通项公式为. （2）首先找数列和的公共项，以确定数列的通项公式， 数列为：（即的倍数，且大于等于） 数列为：（即的幂次） 观察两数列，可以发现： 第个公共项是， 第个公共项是，第个公共项是， 以此类推，第个公共项对应的是数列中的第项，所以， 因此，则数列的前项和， 设，则， 两式相减得，即， 而， 因此. 24．（2026·广东茂名·二模）已知等比数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和． 【答案】(1)； (2)243 【分析】（1）根据等比数列的性质可得首项和公比，从而得到通项公式； （2）由（1）知，从而得到的通项公式，从而得到中，且从第2项起，等差数列，得到的通项公式，得到的前10项和. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，依题意可得，，，故， 又，解得（负值舍去），故， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，所以， ， 当时，， 当时，． 所以， 由与公共项按从小到大的顺序组成，可设，m为正整数． 若，则，公共项为0； 若，则由，可得，n必须为偶数，令，， 则公共项为． 故且从第2项起，是以3为首项、6为公差的等差数列， 即， 所以数列的前10项和为． 25．（25-26高三上·山西大同·期中）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若为在区间内的项的个数. ①求，，； ②求数列的前项的和. 【答案】(1) (2)①，，；② 【分析】（1）利用前项和可求得通项； （2）利用列举，再推导到一般情况，通过求解可得通项，再求和即可. 【详解】（1）在中，令，得，即， 当时，①， ②， ①-②得，所以， 检验当时，满足上式，所以. （2）①由已知时，为中奇数的个数，所以 时，为中奇数的个数，所以 时，为中奇数的个数，所以 ②当时，，所以 若为奇数， 若为偶数， 所以当为奇数时， 当为偶数时， 综上 26．（2025·广东·模拟预测）记为数列的前项和．已知． (1)求的通项公式； (2)记为在区间上的项的个数，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用变形，再利用等差数列定义求出通项公式. （2）求出，再利用分组求和法及等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，则， 又，因此数列是以1为公差，2为首项的等差数列， . （2）由（1）知，且，而区间内有个整数，则， 因此 ， 所以数列的前项和. 27．（24-25高二上·山东聊城·阶段检测）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间的个数，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系得到，即可求解； （2）根据（1）可得，从而有时，，再对讨论，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，得到，又，则， 又当时，，所以，得到，满足， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知， 所以当时，， 所以，当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以. 28．（2023·河南郑州·二模）已知数列的前n项之积为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和. 【答案】(1) (2)243 【分析】（1） 根据数列的递推公式即可求解； （2）根据（1）的结论求出，进而求和. 【详解】（1）由数列的前项之积为： ， 可得， 依题意有， 又因为符合上式 ， 所以. （2）由题意，，即， 当时，， 当时， 当时，，共有个，， 则 . 29．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知等差数列中，，等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差和等比数列基本量的计算即可求解， （2）对分奇偶，结合分组求和，利用等差数列以及等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由， 得，所以， 从而， 所以，所以. （2），故， 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 综上可得 30．（25-26高三上·福建·开学考试）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的值. 【答案】(1)； (2)100或97 【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）得到，分为偶数和奇数两种情况，分组求和，进而分为奇数和偶数，求出答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以的通项公式为； （2）， ， 若为偶数，则， 若为奇数，则， ，若为偶数，则，解得， 若为奇数，则，解得， 综上，或97 31．（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)求证：； (3)已知，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) ， 故 . (3) 【分析】（1）根据的关系可证明为等差数列，即可求解， （2）利用放缩法可得，即可由裂项相消法求和得解， （3）对分奇偶，即可利用平方差公式，结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】（1）由，，成等差数列，得，① 当时，， ∴，得（舍去）， 当时，，② ①-②得，， ∴， 又，∴， ∴是首项为2，公差为1的等差数列， ∴，故； （2）略 （3）由（1）知， 当是奇数时， ， 当是偶数时， ， 综上. 32．已知数列的通项，求其前项和． 【答案】 【分析】根据n的奇偶分别求数列的前n项和. 【详解】当时， ， 当时， ． 所以. 33．已知数列满足求数列的前项和． 【答案】 【分析】数列的奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，因此可以把所有奇数项放在一起求和，把所有偶数项放在一起求和，最后再把两部分相加． 【详解】若为奇数， 则 ； 若为偶数， 则． 所以 34．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且 (1)设，证明：是等比数列； (2)设，试求的前n项和． 【答案】(1)证明见详见 (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可； （2）求数列和的通项，进而可得的表达式，分类讨论，结合等比数列的前n项和即可求解. 【详解】（1）， ， 又 构成以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可知， ， 又 构成以为首项，为公比的等比数列 ， ， ∴当为偶数时， 当为奇数时， 所以 35．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明如下： 当时，，且，所以； 当时，由，得，则 ，可得， 即，且，可得， 可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，可得， 且， 可知是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 即. (2) 【分析】（1）根据与之间的关系可知是以2为首项，2为公比的等比数列，结合等比数列通项公式可得，利用等差数列通项公式分析求解； （2）根据题意可知：的奇数项为以为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知， 可知的奇数项为以为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以为首项，2为公差的等差数列. 当时，； 当时，； 综上所述：. 36．（24-25高三上·河北沧州·期中）设数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与关系，可得是等比数列，求得答案； （2）由（1）求出，根据分组求和求得答案. 【详解】（1）因为，所以当时，， 所以，即. 当时，，解得， 则是首项为1，公比为3的等比数列， 故． （2）由（1）可知当为奇数时，； 当为偶数时，. 当为奇数时， ， 当为偶数时， . 综上，. 37．（24-25高三上·江西抚州·阶段检测）已知数列的前项积，数列的前项和为，，满足. (1)求数列、的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由可求得数列的通项公式，当时，由可得出，两式作差可得出，利用累乘法可求出数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，， 当时，满足上式，所以，，. 因为，当时，， 两式作差得， 即，所以，， 所以，当时，，，，，， 上述等式全部相乘得，所以，， 也满足，所以，对任意的，. （2）因为. 所以，. 由已知，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 38．（23-24高二下·上海·阶段检测）已知数列满足，数列前项和. (1)求证：数列是等差数列； (2)求的通项公式； (3)设，是否存在，使成立？并说明理由. 【答案】(1) 因为， 所以，则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列. (2)；. (3)不存在，理由如下： 由（2）可得，可得， 所以，由， 可得当时，， 当时，，在单调递减， 可得取得最大值，且， 因为，可得不存在，使成立. 【分析】（1）对两边同时取倒，运用等差数列的定义即可证明； （2）由等差数列的定义可求得的通项公式，再由，求出的通项公式； （3）求得，判断单调性，可得最大值，即可判断对否存在. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得：，所以. 当时，， 当时， ， 当时，满足，所以. （3）略 39．数列中，，前项和（为正整数）. (1)计算，，的值，并猜测通项； (2)用数字归纳法证明（1）中的猜测． 【答案】(1) (2) 证明：当时 命题成立, 假设时，命题成立，即 成立, 因为，即 整理得 ，，求得 所以当时，命题成立， 故命题对任何都成立， 因此 . 【分析】(1)分别取，代入，解方程即可； (2)先验证时命题成立，假设假设时，命题成立，对进行验证即可. 【详解】（1）， ，得， ，即，得， ，即，， 猜想 （2）略 40．设数列满足． (1)证明：对一切正整数n成立； (2)令，判断数列单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)单调递减，理由见解析 【分析】（1）应用数学归纳法证明结论即可； （2）利用作商，比较与1的大小关系，即可得结果． 【详解】（1）当时，， 假设时，成立， 则当时有， ∴成立， 综上，由数学归纳法知对一切正整数n成立； （2）由， ∴ ∴数列单调递减． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 专题10数列综合探究（存在性问题， 法) 内容概览 目 常考题型精准突破 考点一数列求和奇偶项讨论 a n为奇数 题型1形如Cn= n为偶数求前n项和（高频） 题型2(-1)”型（重） 考点二子数列 题型3插入型（重） 题型4公共项型（重） 题型5在范围内取新数列（难） 考点三数列求和与函数 题型6数列与取整函数（难） 题型7数列与三角函数（难） 考点四用函数的观点研究数列 题型8数列的周期（高频） 题型9数列的单调性与最值（高频） 题型10分段数列的单调性（高频） 考点五数列中的恒成立与能成立问题 题型11数列不等式恒成立问题（难） 题型12数列不等式能成立（有解）问题（难） 考点六数列与数学归纳法 题型13用数学归纳法证明数列问题 目综合攻坚知能拔高 1/36 上好每一堂课 函数交汇、数学归纳 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 常考题型精准突破 ·考点一数列求和奇偶项讨论。 ann为奇数 ◆题型1形如c, b n为偶数求前n项和 1. （2026:云南模拟预测）己知正项数列1a,}的前n项和为5，且满足。-“ 2 (1)求{an的通项公式： ,n为奇数 (2)记b.= a (a,+2) ,求数列，的前n项和. n.2,n为偶数 {b} 2.(2026吉林延边三模)数列{a}满足4=1，a1=2a,+1. (1)证明{a.+是等比数列，并求数列{a}的通项公式： a,+I,n=2k-1, 2若={og,(a,+,n=2k,kN设数列.}的前见现和为3，：求s 2136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26高三下湖南长沙阶段检测)己知数列a的前n项和为S,4=l,S,=m,数列b满足 b=1,bn1=2bn+1. (1)求数列{a}也.}的通项公式 an,n为奇数 2若数列{c,}满足C,一6，n为偶数，求数列{c}的前”项和T” 4.(25-26高二上湖南岳阳期末)己知数列{a}的前n项和为S,且满足4a。=3Sn+8，数列b}是单调 递增的等差数列，6=log24,且b,-1,b+1，,b。+3成等比数列. (1)求数列a}和数列b,}的通项公式： an,n为奇数 (2)记m=bn,n为偶数，求 、的前项和 2 n T 3/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2-1)”型 5.(25-26高二上黑龙江哈尔滨期末)己知数列{a}的前n项和为Sm,且满足4，=6，当n≥2时， 8=tn+2a.aeN')】 (1)求数列{a,}的通项公式： (2)若bn=（-1)“an,求数列{bn}的前n项和Tn. 6.(25-26高三上山东威海期中)已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn,且2S,an-a=4. (1)求Sn: 2)设6，=少 求数列，}的前n项和工： 4136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26高三上·安徽阶段检测)已知数列an}的前n项和为Sn,且满足a2=6, 2Sn1=(n+3)an(neN)」 (1)求数列{a,}的通项公式： (2)若b.=（-1)a,求数列{b.}的前n项和T. 8.(25-26高二上重庆沙坪坝期中)等差数列}的前n项和为Sn,3a2+a4=a,S,=15 (1)求数列{a}的通项公式： 2)求数列{(-”a}的前n项和。 5136 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·考点二子数列· ◆题型3插入型 9.(26-27高三上陕西商洛开学考试)已知等差数列{a}与等比数列b.}的首项均为1，公差与公比均为 2将数列{b.}中的所有项按原顺序依次插入数列{an}中，组成一个新数列：a,h,4,b,b,b,a ,b,b。,b,b,b,a4,…,其中a与4k1之间插入2k-1项b.}中的项，该新数列记作{cn},则 C200=() A.369 B.371 C.2185 D.2186 10.(25-26高二下广东阳江期末)已知数列{a}的通项公式为4。=(2≠).在a:与a(k=l,2,…) 之间插入k个(-)·k,使它们和原数列的项构成新的数列{b,}.记数列{，}的前n项和为T,则T= 11.(25-26高二下江西萍乡期末)已知数列{a,}的首项4=3，前n项和Sn满足S=2S,+3,数列{b.} butn+2 的首项=1，且满足b,=n，其中n∈N· 1)求{a}和b}的通项公式： (2)分别在a,与a1之间插入n个数，使这n+2个数构成一个公差为c,的等差数列，求数列b.c}的前n项 6136 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 和Tn. 12.(25-26高二下广东江门阶段检测)设数列{an}的前n项和为Sn,已知6an=5Sn+3. (1)求{a}的通项公式. (2在a,与a1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d,的等差数列，在数列{d,}中是否存在3项 d,,d,(其中m,k,p成公差不为零的等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请 说明理由. 7/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26高二下辽宁沈阳期中)已知等差数列{a}的前n项和为S。,数列{b}是等比数列，a=h=1 ,2a3+a6=21,S2=16(b,+1) (1)求数列{an}和{bn}的通项公式： 3b, (2)对任意的正整数n,设Cm= (么+62+刀为奇数 求数列 的前2n项和： (-1)a.+(-1)”a2,n为偶数 ca T2n 3)若对于数列{a},在a:和ak之间插入b1个1(keN),组成一个新的数列{dn},求数列{dn}的前 2026项和， ◆题型4公共项型 14.(2026高三全国专题练习)数列{a.}与{b}的通项公式分别为4.=4n-1,b=3n+2,它们的公共项 由小到大排列组成数列{c},求数列{c}的通项公式 8136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(24-25高二下湖北期中)等差数列{a,}的前n项和为Sn,a,4=40,S,=15,数列.}满足 2A+26+2b++2b.=n(neN"） (1)求数列{a}和b.}的通项公式： (2)若从数列{an}中依次剔除与数列b,}的公共项，剩下的项组成新的数列{c},求数列{c}的前50项和 T0」 16.(2025山东青岛三模)在平面直角坐标系中，己知直线I经过原点，=(3，)是1的方向向量.数列 {an}满足：点(a,a)均在l上，4=2a,+6. (1)求{a}的通项公式： (2)已知{b}是以4为首项，2为公差的等差数列，若{a}与{bn}的公共项为bm,m的值由小到大构成数列 {c},求{c}的前n项和S 9136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(25-26高三上河北阶段检测)已知数列{an}的前n项和为Sn,且 S,=na,+an(1-n)(AER,nEN,),a=a+2. (1)求实数九的值： (2)若a=1,求{a}的通项公式： 的1 (3)将数列{a}与数列{r2-}的公共项从小到大排列得到新数列{b.},求名的值. ◆题型5在范围内取新数列 18.(25-26高二下·山东菏泽期末)已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn,且an=VS2m+2n( neN') (1)求数列{an}的通项公式： (2)定义数列{b}:bn表示满足2<an≤21(meN)的正整数n的个数，求数列{a,b,}的前n项和T. 10136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(25-26高三全国一轮复习)在等差数列{an}中，4+4=a+l,4+4=a。-2. (1)求数列{an}的通项公式： (2)对任意m∈N,将数列{a}中位于区间(3,9)内的项的个数记为bn,求数列{b}的前m项和Sm. 20.(25-26高三上河北邯郸阶段检测)记Sn为正项数列{a}的前n项和，4=l,2Sn=a,a. (1)证明：{am}是等差数列： (2)定义数列{}：b表示满足3”<a,<3(m∈N)的整数n的个数，求数列{a,b}的前n项Tn 11/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ●考点三数列求和与函数●一 ◆题型6数列与取整函数 1 21.(25-26高三上山西太原阶段检测)已知数列{a}的前n项和为Sn,a=2,当n≥2时a,+S,Sn=0 1 (1)求证：数列 S 为等差数列； 2)记[x表示不超过x的最大整数， 求数列，}前100项和Tm 2.(23-24高二下河南安阳期中)在数列{a}中，4+号+号++，%=？. 35 2n-13 (1)求{an}的通项公式： 12/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设b,=[4],求数列{b.}的前12项和，其中[y表示不超过x的最大整数，如[0.9=0，[2.6]=2. 23.从条件①2Sn=(n+l)a,a>0:②a,2+a,=2S,a>0;③S,+VS1=a.(n≥2)中任选一个，补充 在下面问题中，并给出解答 已知数列{a}的前n项和为Sn,a=l, (1)求{an}的通项公式： (2)[y表示不超过x的最大整数，记b.=[ga],求{b,}的前100项和Im. ◆题型7数列与三角函数 13/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 24.记等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.已知d≠0，S,=70 (1)求数列{a}的通项公式： (2)若bn=a,cos 2nπ 3,数列{b}的前n项和为Tn,求T5· 25已知正项数列a满足子--2=0（neN) 2 (1)求数列a,}的通项公式： 2冷m受寻，记6的前n项和为S,求e 14136 上好每一堂课 且马，a4,a成等比数列. 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·考点四用函数的观点研究数列 ● ◆题型8数列的周期 1+an 26。(25-26高二下辽宁大连期中)若数列{a,}满足4=9，a-1-0,则ams= 27。（2526商三下河北简水阶段检测）已知数列a}满足4子a1=1- 3 -a则a6= 28.(25-26高二下江西南昌阶段检测)设正整数数列a,}满足a+2a+a,=10(n≥)，4=5，则 42026+42028= ◆题型9数列的单调性与最值 29.(2525高三下天律河百开学考试)设数列a)的通项公式为4-2若数列和}是单调速硬数 列，则实数k的取值范围为() 30. (25-26高二下全国课后作业)己知数列{a,}为递增数列，通项公式为a,=+m,则的取值范围是 31.(24-25高二上天津北辰阶段检测)数列{an}的通项公式为an=n-2nn=1,2,).若{a}为递增数 列，则九的取值范围 ◆题型10分段数列的单调性 log.(n+2),n<8 32.(25-26商三上，山东菏泽期未)己知数列a,}满足0，-9-0n-am≥8，若对于任意的neN部有 an<a+1成立，则正整数a的取值范围是() A.{2,3,4,5,6,7,8,9} B.{2,3,4,5,67,8 c.(1,9) D.{2,3,4,5,6,7} 3.（25-26高三上费州费阳阶段检测)设图教f)-4x5,x≤8 4,x>8，数列{a}满足a,=fm):且数 列{an}是递增数列，则a的范围是() 151/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.（1,4) B.(3,4) C.3 。4 ●考点五数列中的恒成立与能成立问题 ● ◆题型11数列不等式恒成立问题 34.(26-27高三上广东揭阳开学考试)已知数列{an}的前n项积Tn=n+1. (1)求{an}的通项公式： ②若对任意正整数儿，”+九之，+2++。，求，的最小值， 35.(25-26高二下·四川成都期中)已知数列{a}的前n项和为Sn,4=2，且满足 41-4 2a1+22a2+23a3+…+2”an= 3 (1)求数列a}的通项公式： 2n+1 2若6，=g,a求数列公的前n项和7 (3)对于neN,(-l)°·元<Tn恒成立，求实数的取值范围. 16136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 36.(2526商一下上海明中)已知数列a,}的首项为1，前n项和为5，且满足a8。 a (1)写出2,4的值； (2)令b,=4,求数列b。·2”}的前n项和T: (3)若对于任意n∈N,2”·元≥Sn恒成立，求实数几的取值范围. ◆题型12数列不等式能成立（有解）问题 37.(25-26高三上·安徽池州阶段检测)已知各项均为正数的数列an}的前n项和为Sn,4=1,且 2Sn=a,a(neN）. (1)求{an}的通项公式： 17136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)设6= n aa2，记数列{6.}的前n项和为T,求使得T,<2成立的正整数n的取值范围。 n 38.(2025河南一模)数列{a}满足2(a,-a)=a+l(neN),且4=4 (1)证明：数列{n(n+l)a,+n}是等差数列： (2)设数列{an}的前n项和为Sn,求使Sn≤2n成立的最小正整数n的值 一。考点六数列与数学归纳法。 ◆题型13用数学归纳法证明数列问题 39.(25-26高二下湖南衡阳阶段检测)记Sn为数列an}的前n项和，已知Sn=n2. (1)求数列{an的通项公式： a+1.4+1.a+l>N2n+1 (2)用数学归纳法证明：44，… an 18/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40.己知数列a}的前n项和为S,且S=l,一 ①Sm1+an=n2(n∈N,n≥2) ②an+=nan-2n2+3n+1(n∈N,n≥1) (1)求2，%，a4; (2)猜想数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明。 综合攻坚知能拔高 7 2n-7ns5 1.(2025·云南昭通·模拟预测)已知数列 的通项公式为a,= ,若是中唯 {an} r-a-a26 a fa 19136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一的最小项，则实数a的取值范围是() A.(14,16) B.(15,16) c.15,16) D.(14,16 (3-a)x-4,x≤ 2.(24-25高二下广西桂林阶段检测)己知函数f(,= a-7,x>8 若数列{a,}满足a,=f(nXneN) 且{a}是递增数列，则实数a的取值范围是() A.四) C.(2,3) D.[2,3) 3.(25-26高二下湖南衡阳期末)已知等差数列{an}的通项公式为an=3n-2,在an}中每相邻两项之间 都插入2个数，组成一个新的等差数列b},则b6=() A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 1+an 4.(2526高=上河北邪台期末)若数列{a}满足4=6，a-1-0.,则a1= 5.(23-24高二上湖北省直辖县级单位期中)已知数列{a,}的通项公式为a,=-n2+n,且{an}为递减数 列，则实数九的取值范围是 6.若a,4 +2,且数列{a,}为单调数列，则实数。的取值范围是一 7.(25-26高二下-江西宜春阶段检测)己知数列{a}满足a。=21-1,数列亿.}满足bn=2n-1,在任意 的a,a1之间插入数列{bn}的2k-1项(k∈N,从b-1到b:),从而构成一个新数列 {c}:4,,4,b,b,b,4,…,设{c}的前n项和为Tn,则T0=一（请用数字作答）· 8。(2526高三下重庆沙坪现开学考试)已知数列a}首项不为0，“-24mm∈R),测则： a +m 4若m=-1且41，则数列。}前10项和为多少？ (2)是否存在实数m,使得a+4=a成立？ 20/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26高二下辽宁沈阳期中)己知数列{a}的前n项和S.=n2,设数列.}满足 2"b+2"b2+…+2b,=3”-1n∈N) (1)求数列{a,}和{b.}的通项公式； 2记c,=26-2a-2) anan+ ，求数列{c}的前n项和T, 3)在a:和a,kN中插入k个相同的数(-)·k,构成一个新数列{d}:a,1,a,-2,-2,a, 3,3,3,a4,…,求数列{dn}的前2026项和. 10.(25-26高二下浙江期中)己知等差数列{a}的公差为2，且2a,+4=a4,数列{b.}的前n项和为 73”1 22 (1)求数列{a}、{b}的通项公式： 2)设S,为数列{a,}的前n项和，若S,≤I.+2对任意的m∈N都成立，求实数元的最大值. 11.(25-26高二下辽宁朝阳阶段检测)已知在正项数列{an}中，a=1且VS,+S=a,(n≥2)，其中 21/36 耐学科网·上好课 www.zxxk.com Sn为数列{an}的前n项和， (1)求证： 数列{VS,}是等差数列： (2)求数列{a}的通项公式： (3)若对于任意neN,2”·1≥S恒成立，求实数2的取值范围； 12.(25-26高二上安徽宿州期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,a+1 0% (1)证明：数列2了 是等差数列： (2)求数列{an}的前n项和Sn; (3)若S,≤2a,-8n+元对任意n∈N恒成立.求实数2的取值范围. 13.在①S=6,S,=15;②公差为1，且4，a4,4成等比数列；③4=1， 中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答 22/36 上好每一堂课 2a,+2(neN),a=1. a2+a+a+a6=16,三个条件 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足 (1)求数列{a}的通项公式； (2)令c,=[lga],其中[x]表示不超过x的最大整数，求9+92+…+c2m: 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 14.己知数列{a}的前n项和为Sm,且满足a=1,S+1=2Sn+l,neN. (1)证明：{S.+为等比数列，并求数列{a}的通项公式： (2)令b,=[ga],其中[表示不超过x的最大整数，求数列b}的前15项和Ts 23/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.己知各项均为正数的无穷数列{an}的前n项和为Sm,且a=1,nS=(n+l)Sn+n(n+I)(n∈N). (1)求数列{an}的通项公式： (2)记x表示不超过x的最大整数，如[0.99]=0，[3.01川=3.令b=a,】,求数列，}的前51项和T1: 16.已知函数f(x)= sinx+cosx)'-1 cosx-s:，方程了)=5在(0，+四)上的解按从小到大的顺序排成数列{a,} (nEN"). (1)求数列{a}的通项公式： (2)设b.=sind,,求数列{凸，}的前n项和Sn. 24136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(2024重庆.一模)已知首项为正数的等差数列{an}的公差为2，前n项和为Snm,满足S4=SS2. (1)求数列{a的通项公式： 2令A=4cos(m_n+1 a.a,求数列{b}的前n项和T 18.己知数列{a,}是首项为4的单调递增数列，满足a1+a+16=8(a+a)+2an1a。 (1)求证：a1+an-4=2√a14; 2)设数列{，}满足么=a,sin S2024 2,数列{b.}前n侦和Sn,求2024的值. 25/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(2026四川达州二模)已知数列{a}为等差数列，且a=1l,a=15. (1)求{an}的通项公式： (2)在数列{an}的相邻两项a与a+1之间插入2个1(i=1,2,3,…)后，构成一个新数列bn},数列bn}的前 n项和记为Tn,求T. 20.(25-26高三下·四川绵阳阶段检测)已知数列{a}满足4+2a+3a++na,=(n-l)2”+1(neN) (1)求{a}的通项公式： 2在a和4之间插入n-个数，使这n+1个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，' 求数列 n-1 n+1 的前n项和Tn. 26/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(2026高三·全国专题练习）已知数列2}是公比为4的等比数列，且满足4，a4,4,成等比数列， Sn为数列{bn}的前n项和，且bn是1和Sn的等差中项，若数列cn}是由数列{an}中的项依次剔除与{b}的 公共项剩下的部分组成，求数列{Cn}的前100项和. 22.(25-26高二下辽宁朝阳期中)等差数列{a}的前n项和为Sn,a4=40,S,=15,数列，}满足 A+24+2A++206=naeN) (1)求数列{a}和b}的通项公式： (2)将数列{a,}与数列亿.}项从小到大排在一起，公共项只记一次，得到新的数列{c},求数列{c}的前50 项和To. 27/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21+3+5++2m-1=n 25.(25-26高三上山西大同期中)已知数列{a,}满足a十4,4 a (1)求{a}的通项公式： (2)若bn为{a,}在区间[m,2"](m∈N)内的项的个数. ①求b,b2,b； ②求数列{bm}的前m项的和Sm 26.(2025广东模拟预测)记Sn为数列{a}的前n项和.已知a=2,a,=3,Sn+Sn2=2S1+1(n≥3). (1)求{an}的通项公式： (2)记bm为{an}在区间(0,2"](m∈N)上的项的个数，求数列{bm}的前m项和Tm. 29136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n(n-1) 28.(2023河南郑州二模)已知数列{a,}的前n项之积为Tn=22(neN） (1)求数列a}的通项公式： (2)记bn为{a,}在区间(0，m](meN)中的项的个数，求数列{}的前50项和Sw. 29.(25-26高二上·浙江绍兴阶段检测)己知等差数列{an}中，4+ao=22,a4=15,等比数列亿}中， b=42,b4=a4o+2 (1)求数列b}的通项公式： 30/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 an,n为奇数 (2)记cn= b,n为偶数，求数列{c}的前”项的和s, 30.(25-26高三上福建开学考试)已知等差数列{am}的前n项和为Sn,且S,=4S2,a2m=2an-1. (1)求{a}的通项公式： (2)设b,=（-)an,数列{b.}的前n项和为Tn,若Tm=50,求m的值. 31.(23-24高三上辽宁大连期中)已知{a,}是各项均为正数的数列，S,为{同}前n项和，且Va,8。 31/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,a,-2成等差数列： (1)求{a}的通项公式： 1+1+L++L<3 2)求证：aa,a,a,4 (3)已知bn=（-l)an,求数列{bn}的前n项和Tn. 6n-5,n为奇数 32.已知数列{a,}的通项a,2”,m为偶数，求其前n项和s, 321/36 品学科网·上好课 www.zxxk.com 6n-1,n为奇数， 33.已知数列{a,}满足a.-{2,n为偶数，求数列{a,}的前n项和s, 34.(2025辽宁大连模拟预测)若数列{a}和{，}满足：4=1'6=7 (1)设cn=an-b.,证明：{c}是等比数列： an-bn,n为奇数 (2)设dn= 4a,-b,n为偶数，试求{d,}的前”项和s, 33/36 上好每一堂课 an=b-2an 且1bn1=3b.-4a, 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35.(2425高三上·陕西咸阳阶段检测)已知数列{a}的前n项和为Sn,且4=l,S1=4a.+1(neN) (1)证明：{an-2a,}是等比数列，并求出{a}的通项公式： a,n=2k-1,kEN' (2)设b.= og,马，n=2k,k∈N求数列的前项和 n n bn T 36.(2425高三上河北沧州期中)设数列{a,}的前n项和为S,且2S.=30,-1. (1)求{an}的通项公式： an,n为奇数 2若。-0g,a,为偶数，求数列，}的前”项和工： 34136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2+n 37.(24-25高三上江西抚州阶段检测)已知数列{a}的前n项积M,=22，数列{b,}的前n项和为S。, 6=1,满足2S。=nb. (1)求数列{a、{b.}的通项公式： b+3 2)i记c,=b,a,数列{c}的前n项和为T,若3n∈N使r+1-1<27,成立，求实数，的取值范围 38.(2324高=下-上海阶段拉0已知数列a}满足4=la一2+aeN)。数列6}前n项和 (1)求证：数列 a 是等差数列： (2)求{a、b.}的通项公式： 3)设c”=,是否存在N,使c≥9成立？并说明理由 351/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9数列a,中，4>0前，项和8-a+ 为正整数)· a n (1)计算a,,a的值，并猜测通项a; (2)用数字归纳法证明(1)中的猜测. 40.设数列a}满是4=2.a=4,+m=l23, a (1)证明：a,>V2n+1对一切正整数n成立： 2令，=n=2,3.月，判断数列6，}单调性。 √n 36/36