精品解析：广东广州第五中学2027届高三上学期限时训练（二）数学试题

广州市第五中学2026-2027学年上学期高三年级限时训练（二） 数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集运算得到答案. 【详解】集合与的公共元素为2，3，所以. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设，故． 3. 平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】依题意，在方向上的投影向量为. 故选：D 4. 某学习小组有5名学生，现从中选3人参加竞赛，并指定其中1人担任组长，则不同的选派方法共有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 30种 D. 60种 【答案】C 【解析】 【详解】先从5人中选1人担任组长，再从其余4人中选2人参赛，共有种选派方法． 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，可知，， 且，解得或． 因为，所以，所以. 6. 已知等差数列的首项，公差为正数，取子数列，（），则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是公比为2的等比数列 D. 存在，使既是等差数列又是等比数列 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差和等比的相关概念验证选项的数列类型. 【详解】由题意知，，即， 对于A，相邻两项的差为，当固定时，差随着变化而变化，所以A错误． 对于B，因为，当固定时，相邻两项的比随着变化而变化，所以不是等比数列，所以B错误． 对于C，由，则， 故是公比为2的等比数列，所以C正确 对于D，根据A，B选项可以得出D选项是错误的. 7. 已知三棱锥中，面，，，．点是该三棱锥外接球面上的任意一点，则（ ） A. 有最大值12，最小值0 B. 是定值6 C. 是定值3 D. 随变化，取值范围为 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可将三棱锥放入长方体中，其中长、宽、高分别为1，1，2，从而可得为三棱锥外接球的直径，求出的值即可得答案. 【详解】因为面，， 可将三棱锥放入长方体中，其中长、宽、高分别为1，1，2，且为长方体的体对角线， 故为三棱锥外接球的直径，则， 所以是定值6． 8. 在平面直角坐标系中，对任意实数，定义向量，，若，方程有四个不同实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，换元后转化为有关于的方程必须有两个不同且均大于2的实根，列出不等式求解即可. 【详解】原方程等价于：， 即， 令，当时，仅对应等于0； 当时，对应两个互为相反数的实数． 又，代入并整理得，， 要使原方程有四个不同的实数解，关于的方程必须有两个不同且均大于2的实根． 解方程可得，， 因此应同时满足，，解得，． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. 是等差数列 D. 取最小值时 【答案】ABD 【解析】 【分析】令计算得到A选项；对变形得到，由等差数列的定义和通项公式得到，进而得到和判断BD两个选项；由计算得到C选项. 【详解】对于A，由，，可得，即，A正确； 对于B，条件变形有，所以是以3为首项，1为公差的等差数列， 则，所以，B正确； 对于D，，，由二次函数的对称性可知时取最小值， D正确； 对于C，由，得，作差得， 而，符合上式，所以，即不是等差数列，C错误． 10. 如图，圆形舞台可视为单位圆，舞者甲、乙从点同时出发，都沿舞台边缘逆时针匀速旋转，角速度分别为与．运动秒后，甲位于点、乙位于点，两人之间的距离为．下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意，均有 C. 两人自出发后第次相遇的时刻为（） D. 记的面积为，则的最大值为，且在区间内恰有两个时刻取到该最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据两人的角速度差得到的表达式，推导得出两人距离的函数，再围绕的性质、相遇条件、三角形面积公式逐一分析各选项即可. 【详解】由题意知以为终边的角为，以为终边的角为， 故，A正确． 由，对任意，都有，B正确． 两人相遇即为，解得，且恰好是的第个零点，C正确． ，当时，的最大值为， 此时，，故有四个时刻可以取到最大值，D错误． 11. 已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若满足的直线恰有3条，则 C. 恒成立 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，举例说明判断A；利用双曲线的对称性推理判断B；设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理并按直线与双曲线位置关系分类求解判断CD. 【详解】双曲线：的右焦点为，左右顶点分别为， 对于A，当直线斜率为0时，，A错误； 对于B，由满足的直线恰有3条，得必有2条直线与双曲线的左右两支相交， 并关于轴对称，另有一条直线与右支交于两点，也关于轴对称，其斜率不存在， 因此为通径长，等于12，B正确； 对于C，当斜率为0时，成立， 当斜率不为0时，若直线与交于同一支， 则， 设，， 由，得， 则，，， 因此， 若直线与交于左右两支时， 不妨设在左支，， 同理可得成立，因此恒成立，C正确； 对于D，当直线与交于右支时，， 当直线与交于左右两支时，不妨设， ， 由，得， 当直线斜率为0时，， 因此的取值范围为，D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 的展开式中的系数为________． 【答案】40 【解析】 【详解】在中，由二项式的展开式的通项公式可得， 所以展开式含的系数为， 乘以之后，得的系数为． 13. 已知点在抛物线上，点，点在圆上，当取得最小值时，________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作垂直准线，交准线于点，利用圆的几何性质以及抛物线的定义可得，当且仅当、、三点共线且点在点、点之间时取等号，且、、三点共线时两个等号成立，求出直线的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，进而可求得的值. 【详解】由题可得显然在抛物线内部，圆的圆心为，半径为， 圆心恰为抛物线的焦点， 过点作垂直准线，交准线于点， 所以， 当且仅当、、三点共线且点在点、点之间时取等号， 又，当且仅当、、三点共线时取等号， 此时直线的方程为，联立，可得，即点， 所以，，所以. 14. 若曲线上存在横坐标依次成等差数列的三个不同点，，，且以为直径的圆与该曲线在点处相切，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得圆与曲线在点处的切线与轴垂直，由，得，再由,可得，结合基本不等式求解即可. 【详解】设三个点横坐标的等差中项为，公差为， 则， 设以为直径的圆的圆心为，由等差数列中项的性质，， 由于以为直径的圆与该曲线在点处相切， 因此圆与曲线在点处的切线与轴垂直． 即，得． 点在以为直径的圆上，由圆周角定理可知垂直于． 因为， 所以 ， 用代可得， 由两直线垂直，得， 整理得，，， 当且仅当，即时等号成立， 则， 等号成立的条件为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）如图，设交于点，连接， 因为正方形中，， 因为为等腰三角形，所以， 因为，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由已知易得出，，即可证明； （2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量关系即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：，， 所以，，且，故平面． 以为原点，为轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则． ， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 又因为平面， 所以平面的法向量可取， 设二面角的大小为， 则． 由图可知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为． 方法二： （等体积法）由，，得，，故平面． 由正方形边长为2，得；又，故． ，所以；同理． 四面体的体积． 设二面角为，则点到平面的距离， 点到直线的距离． 由垂直于棱的截面关系，． 由图可知为锐角，故． 所以二面角的余弦值为． 16. 在中，角，，对应的边分别为，，，且. （1）求； （2）如图，过外一点作，，，，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式求解； （2）解法一：连接，设，由条件求得即，求出，，，由计算即可； 解法二：延长，交于点，则，求出，，由计算即可. 【小问1详解】 ∵， ∴根据正弦定理得， ∴， ∴， ， ，， ，. 【小问2详解】 解法一：连接，设， 在和中，， 即， ，，， 四边形的面积. 解法二：延长，交于点， ，，， ，， ，， 四边形的面积. 17. 已知等比数列的前n项和为， （1）求数列的通项公式; （2）在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由已知可得，然后求数列的通项公式即可； （2）由题意可得项数，然后结合等比数列的求和公式代入计算，即可求解． 【小问1详解】 由，得， 两式相减得， 即，， 得等比数列的公比， 又当时，，所以，所以 【小问2详解】 数列为：3，，，1，1，，，，， 以如下划分：3，，，1，1，，，，，，得项数， 当时共有项数， 当时共有项数， 所以 . 18. 已知椭圆的右焦点为，且经过点． （1）求椭圆的方程． （2）过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上． （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）易知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 联立得， 则，由韦达定理得 设过点的切线为， 联立，得， 令上式中， 即，即， 即，即，即， 解得，故切线的方程可化为， 同理可得过点的切线的方程为， 联立，化简得， 两式相减得，即，所以点在定直线上． （ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆结合已知点坐标代入椭圆方程，联立求解得到，写出椭圆标准方程； （2）（i）设过焦点的直线为与椭圆联立得到纵坐标关系，写出椭圆在处的两条切线方程并联立，两式作差消元求得交点横坐标恒为，证明在定直线上； （ii）把代入切线方程求出点坐标，结合韦达定理得到弦中点坐标，通过斜率相等证明三点共线，再写出表达式，利用求该乘积的取值范围. 【小问1详解】 由题意知，， 将点代入椭圆方程得，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）将代入直线的方程，得，所以， 再由，及得，中点， 因为，所以三点共线． 所以， 因为，所以，所以． 19. 设函数，对任意，记． （1）求集合； （2）若，． （ⅰ）证明：； （ⅱ）当时，求实数的最大值，使得不等式恒成立，其中为自然对数的底数． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）证明：由，得；由，得，则， 即，于是， 令，则，，， 令，求导得，函数在上单调递增， 因此，即，所以. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的值域，再结合给定定义即可. （2）（ⅰ）利用给定条件可得，令并构造函数，利用导数推理证明；（ⅱ）由（ⅰ）的信息并等价变形不等式，构造函数并利用导数求出最小值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 令函数，求导得， 当时；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 由的定义，得，所以集合. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知，由，得， 则不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数， 令， 求导得，函数在上单调递增， ，函数在上单调递增， ，即，因此函数在上单调递增， ，则， 所以实数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第五中学2026-2027学年上学期高三年级限时训练（二） 数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 某学习小组有5名学生，现从中选3人参加竞赛，并指定其中1人担任组长，则不同的选派方法共有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 30种 D. 60种 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的首项，公差为正数，取子数列，（），则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是公比为2的等比数列 D. 存在，使既是等差数列又是等比数列 7. 已知三棱锥中，面，，，．点是该三棱锥外接球面上的任意一点，则（ ） A. 有最大值12，最小值0 B. 是定值6 C. 是定值3 D. 随变化，取值范围为 8. 在平面直角坐标系中，对任意实数，定义向量，，若，方程有四个不同实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. 是等差数列 D. 取最小值时 10. 如图，圆形舞台可视为单位圆，舞者甲、乙从点同时出发，都沿舞台边缘逆时针匀速旋转，角速度分别为与．运动秒后，甲位于点、乙位于点，两人之间的距离为．下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意，均有 C. 两人自出发后第次相遇的时刻为（） D. 记的面积为，则的最大值为，且在区间内恰有两个时刻取到该最大值 11. 已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若满足的直线恰有3条，则 C. 恒成立 D. 的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 的展开式中的系数为________． 13. 已知点在抛物线上，点，点在圆上，当取得最小值时，________． 14. 若曲线上存在横坐标依次成等差数列的三个不同点，，，且以为直径的圆与该曲线在点处相切，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 16. 在中，角，，对应的边分别为，，，且. （1）求； （2）如图，过外一点作，，，，求四边形的面积. 17. 已知等比数列的前n项和为， （1）求数列的通项公式; （2）在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 18. 已知椭圆的右焦点为，且经过点． （1）求椭圆的方程． （2）过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上． （ⅱ）求的取值范围． 19. 设函数，对任意，记． （1）求集合； （2）若，． （ⅰ）证明：； （ⅱ）当时，求实数的最大值，使得不等式恒成立，其中为自然对数的底数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $