2026-2027学年高二上学期数学期中自编模拟测试1（人教A版选择性必修第一册全册）

2026-2027学年高二数学上学期期中测试1 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：选择性必修一全册（人教版A版）。 一﹑单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．直线的倾斜角为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 【详解】设直线xy﹣1＝0的倾斜角为α． 直线xy﹣1＝0化为． ∴tanα． ∵α∈[0°，180°）， ∴α＝150°． 故选D． 【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题． 2．如图，在四面体中，.点在上，且，点是的中点，则 （    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加减法法则，将转化为以、、表示的形式，再根据已知条件逐步计算. 【详解】因为，所以， 因为点是的中点，所以. 所以， 故选：A. 3．双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线渐近线方程及两直线平行关系得，进而利用离心率公式求解即可. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为． 因为双曲线的一条渐近线与直线平行，所以渐近线为，且， 所以双曲线的离心率． 故选：A． 4．已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直时斜率的关系，以及点斜式方程定义，求出结果即可. 【详解】直线的斜率为，则与它垂直的直线l的斜率为， 又直线l过点，，即. 故选：A. 5．椭圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的参数方程以及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由，则椭圆上的点为， 由点到直线的距离公式可得 ，（其中）， 所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、辅助角公式，三角函数的性质，综合性比较强，但难度不大，属于基础题. 6．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可求得；利用抛物线定义和焦半径公式可求得直线倾斜角的余弦值；再结合焦半径公式，利用构造关于的方程，解方程求得结果. 【详解】设准线与轴交于点，作垂直于准线，垂足为 由，得： 由抛物线定义可知：，设直线倾斜角为 由抛物线焦半径公式可得：，解得： ，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查抛物线的定义和几何性质的应用，关键是能够利用焦半径公式中的倾斜角式构造出方程，从而使问题得以解决. 7．已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A．(1,2] B．[2 +) C．(1,3] D．[3，+) 【答案】C 【分析】由双曲线定义，变形后由基本不等式得最小值，从而得，再利用双曲线中的范围有，由此结合可得离心率的范围． 【详解】因为是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点， 所以，则， 代入得， 当且仅当时取等号， 因为，所以， 又点是双曲线右支上任意一点，所以，即，即， 所以，又，所以. 故选：C． 8．已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线和椭圆的性质得出为平行四边形，再应用椭圆定义结合余弦定理计算得出齐次式得到离心率即可. 【详解】设是椭圆的右焦点，连接， 由对称性可知， 则为平行四边形，则，即， 因为 ，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即， 解得，所以椭圆的离心率为. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若构成空间的一个基底，则，，必共面 B．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C．若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D．点关于平面对称的点的坐标是 【答案】ABD 【分析】对于A利用空间向量基本定理即可判断，对于B由即可判断，对于C当时，则是钝角或即可判断，对于D关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即可判断. 【详解】对于A，构成空间的一个基底，则，，不共面， 因为，则，，必共面，故A正确； 对于B，在中，所以P，A，B，C四点共面，故B正确； 对于C，当时，则是钝角或，故C错误； 对于D，关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标是，故D正确． 故选：ABD． 10．已知，点P是直线上动点，过点P作的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（    ） A．关于直线l的对称圆方程 B．若Q是上动点，则线段PQ的最大值为 C．线段AB的最小值是 D．若，则点P的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】根据圆与切线的相关计算对选项一一验证 【详解】对于选项A： 设的圆心关于直线l的对称的点为， 则，解得：， 则关于直线l的对称圆方程， 故A错误； 对于选项B： Q是上动点，P是直线上动点， 则线段PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径， 即， 无最大值， 故B错误； 对于选项C： 根据题意分析，若线段AB最小，则点P到圆心的距离最小， 则此时的切线长为， 此时线段AB的长度的为：， 故C正确； 对于选项D： 若，则， 则， 则点P的轨迹长度为， 故D正确； 故选：ACD. 11．随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线的左､右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若的最小值为2，且双曲线C的渐近线为，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线C的方程为 B．若，则的面积为24 C．若点处的切线交轴于，则轴 D．当n过点时，光由所经过的路程为13 【答案】ACD 【分析】对于A，由又双曲线C的渐近线方程为得，又，解出即可判断，对于B，在中，，由勾股定理及双曲线的定义得即可判断，对于C，由平分，由角平分线定理，得，又，解出，即可判断，对于D，利用双曲线的定义得，最后利用两点间的距离公式即可判断. 【详解】对于A，由题意可知，因为双曲线C的渐近线方程为，所以，又，解得，所以C的方程为故A正确； 对于B，由 ，得， 在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，， 即，所以，则，故B错误； 对于C，由题意可知，平分，由角平分线定理，得， 又，解得，，， 即轴，故C正确； 对于D，由题意可知，，当过点时， 由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知直线与直线平行，则直线，之间的距离为__________. 【答案】 【分析】利用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出． 【详解】解：因为直线与直线平行， 所以，解得， 当时，，，则 故答案为： 【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式，是解题关键． 13．已知函数（且）恒过定点，点在直线上，则的最小值为________． 【答案】 【分析】分析可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】令，可得，且，故点， 由已知条件可得，则， 因为、均为正数， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 14．已知双曲线上第一象限内一点，直线与双曲线切于点，交的渐近线于两点（在第一象限）．若点与在同一条渐近线上，则的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】利用半代入法来设出双曲线的切线方程，通过求解坐标可以判断切点为线段的中点，再利用向量的极化恒等式变形，结合线段的几何性质求最小值，即可求解. 【详解】如图，设， 联立，即点的横坐标为：， 又联立，即点的横坐标为：， 则，即点为线段的中点， 于是由极化恒等式得， 过点作，垂足为，则， 又因为等轴双曲线，可知：，所以， 根据中位线定理可知：， 因为，且在第一象限，则， 所以，即， 即 等号成立时．综上可得的最小值为． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16-17题每小题15分，第18-19题每小题17分，共77分） 15．已知定点，，动点满足.设动点的轨迹是曲线， (1)求曲线的方程； (2)直线和曲线交于两点、，求线段的长； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，结合两点点距离公式即可求解； （2）求出圆心到直线的距离，接着由圆的半径和弦长公式即可得解. 【详解】（1）设，由得， 两边平方化简得， 所以曲线的方程. （2）由（1）知曲线是以为圆心，为半径的圆， 所以圆心到直线的距离是， 所以； 16．已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)设直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)设直线与圆相交于，两点，求弦中点的轨迹方程． 【答案】(1)相交 (2)或 (3) 【分析】（1）由直线方程得直线过定点，计算定点与圆心的距离得直线与圆的位置关系； （2）由弦长得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出m的值，得直线方程； （3）设动点，由几何关系得动点满足的向量关系，求得轨迹方程. 【详解】（1）直线l：，过定点， 圆C的圆心到该点的距离为，所以直线l过圆内一点，直线与圆相交. （2）设圆心到直线的距离为d，因为，则， 解得，所以，， 直线方程为或. （3）直线l：，过定点， 设弦AB的中点，则， 所以，即， 所以弦AB的中点的轨迹方程为. 17．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，侧面为等边三角形，且平面平面 （1）证明 （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）取的中点，连接利用等边三角形证得，利用四边形知识证得，然后利用线面垂直判定定理证得平面，从而证得结论；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标及向量坐标，求出平面的法向量，利用空间向量数量积公式求得结果． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接 因为是等边三角形，所以 因为，所以 又，所以平面 又平面，所以 （2）解：如图，以为原点，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系 ，则 因为， 所以． 设平面的法向量为，则 即 令，则， 即． 易知平面的一个法向量为， 所以． 由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为． 18．设，，，，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． (1)求圆的方程； (2)若圆上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为k直线l与圆相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明：设直线的方程为，，， 由得， 所以，， 所以 ，所以， 所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 【分析】（1）首先分析圆只能过点，，三点，再求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. 【详解】（1）若圆经过，，则圆心必在的垂直平分线上，不合题意； 又与关于轴对称，圆心在轴的正半轴上，所以圆只能过点，，三点， 因为，的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组解得， 所以圆心为，半径为，所以圆的方程为． （2）设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即可两圆相交， 又， 则，解得． （3）略 19．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，. 【分析】（1）由离心率及椭圆的定义，基本不等式求椭圆参数，即可得方程； （2）①设，，联立直线与椭圆，应用中点公式及中点在直线上得到关于的方程，求参数值； ②设直线的方程为，分别求出的纵坐标，结合韦达公式得，确定的中点坐标，再由平行四边形的性质求坐标，即可得结论. 【详解】（1）因为离心率为，所以，由椭圆的定义知， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 故，所以，所以，故椭圆C的方程为. （2）①设，， 由，得， 由，得，，， 设中点坐标为，则， 因为在直线上，所以，即 所以，解得； ②存在点使得四边形为平行四边形， 因为在椭圆上，所以易知，， 设直线的方程为， 令，得，同理， 又由①知， 所以 所以线段的中点坐标为， 连接，则线段的中点坐标也为， 由于，可得，所以点H的坐标为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中测试1 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：选择性必修一全册（人教版A版）。 一﹑单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．直线的倾斜角为 A． B． C． D． 2．如图，在四面体中，.点在上，且，点是的中点，则 （    ）    A． B． C． D． 3．双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（    ） A． B． C． D． 5．椭圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为 A． B． C． D． 7．已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A．(1,2] B．[2 +) C．(1,3] D．[3，+) 8．已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若构成空间的一个基底，则，，必共面 B．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C．若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D．点关于平面对称的点的坐标是 10．已知，点P是直线上动点，过点P作的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（    ） A．关于直线l的对称圆方程 B．若Q是上动点，则线段PQ的最大值为 C．线段AB的最小值是 D．若，则点P的轨迹长度为 11．随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线的左､右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若的最小值为2，且双曲线C的渐近线为，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线C的方程为 B．若，则的面积为24 C．若点处的切线交轴于，则轴 D．当n过点时，光由所经过的路程为13 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知直线与直线平行，则直线，之间的距离为__________. 13．已知函数（且）恒过定点，点在直线上，则的最小值为________． 14．已知双曲线上第一象限内一点，直线与双曲线切于点，交的渐近线于两点（在第一象限）．若点与在同一条渐近线上，则的最小值为_____． 四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16-17题每小题15分，第18-19题每小题17分，共77分） 15．已知定点，，动点满足.设动点的轨迹是曲线， (1)求曲线的方程； (2)直线和曲线交于两点、，求线段的长； 16．已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)设直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)设直线与圆相交于，两点，求弦中点的轨迹方程． 17．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，侧面为等边三角形，且平面平面 （1）证明 （2）若，求二面角的余弦值． 18．设，，，，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． (1)求圆的方程； (2)若圆上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为k直线l与圆相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点． 19．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $