精品解析：天津市滨海新区大港第一中学2026-2027学年高三上学期形成性检测（1）数学试卷

2026—2027学年第一学期大港一中高三数学形成性检测（1） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 又，所以. 2. 已知实数，则“1，，4成等比数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项求出的可能取值，再根据充分性和必要性的概念求解即可. 【详解】若1，，4成等比数列，则，解得， 所以“1，，4成等比数列”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3. 已知数列的前n项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 54 D. 162 【答案】C 【解析】 【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 4. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，在上单调递减， 可知定义域为，，所以为偶函数， 则， 又，，则， 所以，即. 5. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 6. 下面命题错误的是（ ） A. 某射击运动员8次的训练成绩依次为：85，86，87，88，89，88，90，88，则这8次成绩的第80百分位数为89 B. 对具有线性相关关系的变量，，根据测得的一组数据，，，，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当时，的估计值为11 C. 在回归分析中，为0.99的模型比为0.98的模型拟合的效果更好 D. 样本相关系数越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 【答案】D 【解析】 【详解】A选项，8次的训练成绩从小到大排列为：85，86，87，88，88，88，89，90， ，故从小到大，选择第7个数据作为第80百分位数，即89，A选项正确； B选项，数据的样本中心点为，即， 将代入经验回归方程中，得，解得， 故经验回归方程为，当时，，B选项正确； C选项，在回归分析中，的值越大，拟合效果越好，C选项正确； D选项，样本相关系数越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，D说法错误 7. 已知函数，其图象关于点对称，且对任意均有，在上单调递减，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为图象关于点对称，所以，， 因为对任意均有，可知直线是函数对称轴，得，， 可得，解得， 因为，所以， 函数在上单调递减，所以周期满足，即，即， 因为，所以， 则，，由可得. 8. 若曲线在点处的切线也是曲线在点处的切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义计算即可. 【详解】易知，所以曲线在点处的切线为， 同理，所以在点处的切线为， 由题意知两条切线重合，所以， 两边同时取以为底的对数得， 则. 9. 已知函数，若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先画出分段函数图象，由四个根确定参数，分别利用抛物线的对称性和对数函数的对称性，求出和，最后通过换元，利用对勾函数的单调性求出比值的取值范围． 【详解】画出函数图象如图所示， 由有四个根，结合图象可知，直线与函数图象有四个交点， 所以，，且 令得： 所以，因此 所以，令，因为，所以， 所以，因为函数在上单调递增， 所以，则 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案填写在答题卡上． 10. 已知复数，则__________． 【答案】1 【解析】 【详解】复数， 所以． 11. 二项式的展开式中的常数项为______． 【答案】252 【解析】 【详解】二项式的展开式通项为， 令得，所以所求的常数项为. 12. 已知正实数满足，则的最小值为__________________． 【答案】7 【解析】 【详解】正实数满足，则， ， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，即的最小值为7. 13. 中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为______；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用对立事件和独立事件的概率公式求解第一空，利用条件概率公式求解第二空． 【详解】解：设事件A表示“茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格”，则事件表示“茶叶加工中三道工序都不合格”， 所以 设事件B表示“绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格”，事件C表示“杀青加工合格”， 则 所以 故答案为：； 14. 是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足，点E是BD所在直线上一点，若，则______；向量在向量上的投影向量记为，则实数m的取值范围为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，可得点的坐标（用中的参数表示），结合点E是BD所在直线上一点，即可得第一空答案；由题意，利用投影数量的几何意义可求其范围. 【详解】 由题意以点为原点，所在直线分别为轴，轴， 因为是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足， 所以，即， 设点的坐标为， 所以， 所以点的坐标为， 因为点在直线上面， 所以，即， 所以（这里的是指中的）； 因为向量在向量上的投影向量记为， 所以， 如图，于，过作直线平行于，过作该直线的垂线，垂足为， 当为锐角时，，当且仅当重合时等号成立； 当为直角时，； 当为钝角时，即， 综上，. 【点睛】关键点睛：第一空的关键是得点坐标，结合三点共线，第二空的关键是将问题转换为方程有解即可顺利得解. 15. 设函数． ①； ②的图象可由图象向左平移个单位得到； ③函数的单调递增区间为； ④若在上恰有3个最值点和4个零点，则； ⑤若关于x的方程在区间（，，）上恰好有10个不同的实数解，则的取值范围是． 上述结论正确的是________________________．（填写所有正确的序号） 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】对于①，根据三角恒等变换公式化简求解判断即可；对于②，根据函数的平移判断即可；对于③，先求出，再根据正弦函数的单调性求解即可；对于④，先求出，再根据正弦函数的图象求解即可；对于⑤，结合正弦函数的图象求解即可. 【详解】对于①，由 ， 故①正确； 对于②，图象向左平移个单位得到， 故②错误； 对于③，由①知，，则， 由，得， 则函数的单调递增区间为，故③错误； 对于④，， 当时，， 因为在上恰有3个最值点和4个零点， 所以，解得，故④正确； 对于⑤，由，得，即， 当时，， 因为方程在区间（，，）上恰好有10个不同的实数解， 所以，，则，， 即，，则，故⑤正确. 三、解答题：本大题共5个小题，共计75分，请在解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，答案写在答题卡的相应位置上． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）最大值为,最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由得,直接套用求最小正周期. （2）整体代换:令,先由的范围求出的范围,再把问题转化为求在上的最值,借助正弦函数的单调性与端点函数值比较得到结论. （3）把方程在给定区间上解的个数转化为直线与曲线,,交点个数的问题,依据正弦函数在上递增、在上递减,按与、、的大小关系分类讨论确定参数范围. 【小问1详解】 因为,所以, 因此的最小正周期. 【小问2详解】 令.由得. 所以,即,问题转化为求在上的最值. 因为在上单调递增,在上单调递减, 所以当,即时,取得最大值. 又,, 且,所以当,即时,取得最小值. 所以在区间上的最大值为,最小值为. 【小问3详解】 令,当时,,且随的增大而增大. 所以方程在上解的个数,等于方程在上解的个数. 由（2）知,在上单调递增,函数值从增大到; 在上单调递减,函数值从减小到. 当时,方程在上只有一个解,即原方程只有一个实数解,不合题意. 当时,在内恰有一个满足,在内也恰有一个满足,此时原方程有两个不同的实数解. 当时,满足的只能落在内,且只有一个,此时原方程只有一个实数解. 当或时,方程在上无解. 所以实数的取值范围是. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理角化边，余弦定理计算； （2）使用正弦定理求解； （3）使用两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为，，由正弦定理可知，，，，由余弦定理，所以； 【小问2详解】 因为，，所以， 由正弦定理，得； 【小问3详解】 因为，所以，则为锐角，， 则，， 所以. 18. 已知等比数列满足，且是，的等差中项，等差数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列（相同项重复保留），求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列通项列出方程组求出，，进而求出通项作答； （2）利用错位相减法求和； （3）利用（1）的结论，确定新数列前项中，数列，所占项数，再借助等比数列、等差数列前n项和公式计算作答． 【小问1详解】 依题意有， 因为，所以， 因为，所以，则， 因为数列是等差数列，设其公差为，，解得，； 【小问2详解】 数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以； 【小问3详解】 因为，，设新数列为，因为数列与数列都是递增数列， 且，， 又因为，， 又，恒成立，即， 说明数列中的前项都包含在数列的前项中，剩余的项取自数列中， 即数列的前项由中的前项和中的前项构成， 所以 ． 19. 已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列．若，对数列进行操作后剩余项组成新数列． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列（规定）的前项和； （3）对（2）定义的数列进行操作后剩余项组成新数列，求的前项和，并求数列与公共项从小到大排列的新数列的通项公式． 【答案】（1）； （2）； （3），公共项通项公式为． 【解析】 【分析】（1）根据删除规则可知，得到通项公式； （2）整理可得，利用裂项相消法运算求解； （3）对奇数数列执行删除操作，观察余数规律分组求和，得到新数列，借助奇偶性分析不定方程，求出两个数列的公共项通项． 【小问1详解】 因为，可知（满足除以3余数为1），当时，为3的倍数， 进行操作，即删除，剩余， 则； 【小问2详解】 由（1）可知， 则， 所以数列的前项和； 【小问3详解】 由（2）可知，则数列各项为正奇数， 进行操作删除除以余数为的项，即删除这些项， 剩余项组成新数列包含了除以余数为的项和除以余数为的项， 故求的前项和可以将每两项分为一组，第组的两个项为和（），每组和为， 可以看成等差数列，其中首项为，公差为，最后一项为，项数为， 所以， 则，数列是首项为，公差为的等差数列， 设数列与公共项满足，，整理得，因此必须为偶数， 设，代入得， 设公共项从小到大排列的新数列为，则通项公式为． 20. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性并求在上的零点个数； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围； （3）证明：（）． 【答案】（1）函数为奇函数，在区间上的零点个数为1 （2）(−∞,1] （3）当时，令，， 所以在上单调递增，所以，即. 故， 令，则. 因为在上单调递减，且，， 所以存在，使得， 则当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，所以，即当时，. 所以， 所以. 综上所述，（）． 【解析】 【分析】（1）用定义判断函数的奇偶性，并利用导数判断在和上的零点个数，根据奇偶性即可判断函数在上的零点个数； （2）令，将问题转化为在上恒成立，令，并利用导数求得，分三种情况分析的单调性，即可得到实数的取值范围； （3）由，可得，可得左侧不等式成立；令，利用导数分析其单调性，进而得到，即，对进行放缩，并根据裂项相消求和法可证得右侧不等式成立. 【小问1详解】 ，定义域为， ， 且， 所以函数是奇函数，的图象关于原点对称. . 当时，， 所以在上单调递增， 又，所以在上有唯一零点，即； 所以在上没有零点； 当时， 因为，， 所以， 所以在上没有零点. 所以在上没有零点. 综上所述，函数在上的零点个数为. 【小问2详解】 令， 则. 令，则. 所以在上单调递增， 所以. 若，即，则恒成立，在上单调递增， 所以恒成立， 即对任意，都有； 若，即，则存在，使得当时，， 此时单调递减，所以，不合题意； 若，即，则在上恒成立，在上单调递减， 所以恒成立，不合题意. 综上所述，实数的取值范围是 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期大港一中高三数学形成性检测（1） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数，则“1，，4成等比数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知数列的前n项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 54 D. 162 4. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 下面命题错误的是（ ） A. 某射击运动员8次的训练成绩依次为：85，86，87，88，89，88，90，88，则这8次成绩的第80百分位数为89 B. 对具有线性相关关系的变量，，根据测得的一组数据，，，，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当时，的估计值为11 C. 在回归分析中，为0.99的模型比为0.98的模型拟合的效果更好 D. 样本相关系数越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 7. 已知函数，其图象关于点对称，且对任意均有，在上单调递减，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若曲线在点处的切线也是曲线在点处的切线，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案填写在答题卡上． 10. 已知复数，则__________． 11. 二项式的展开式中的常数项为______． 12. 已知正实数满足，则的最小值为__________________． 13. 中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为______；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为______. 14. 是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足，点E是BD所在直线上一点，若，则______；向量在向量上的投影向量记为，则实数m的取值范围为______． 15. 设函数． ①； ②的图象可由图象向左平移个单位得到； ③函数的单调递增区间为； ④若在上恰有3个最值点和4个零点，则； ⑤若关于x的方程在区间（，，）上恰好有10个不同的实数解，则的取值范围是． 上述结论正确的是________________________．（填写所有正确的序号） 三、解答题：本大题共5个小题，共计75分，请在解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，答案写在答题卡的相应位置上． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 18. 已知等比数列满足，且是，的等差中项，等差数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列（相同项重复保留），求数列的前项和． 19. 已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列．若，对数列进行操作后剩余项组成新数列． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列（规定）的前项和； （3）对（2）定义的数列进行操作后剩余项组成新数列，求的前项和，并求数列与公共项从小到大排列的新数列的通项公式． 20. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性并求在上的零点个数； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围； （3）证明：（）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $