1.1.2 空间向量的数量积运算教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

课  标  要  求

【内容分析】本节课是人教A版《选择性必修 第一册》第一章第一节第二课时，是在学生学习了空间向量及其线性运算之后，进一步研究空间向量的数量积运算。空间向量的数量积是平面向量数量积在空间中的自然推广：由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此两个空间向量的夹角与数量积可以像平面向量那样定义。数量积运算把向量与数量联系起来，是刻画向量长度、夹角以及垂直关系的重要工具，为后续用空间向量基本定理与空间向量运算的坐标表示解决立体几何中的距离、夹角与垂直证明等问题奠定运算基础，具有承上启下的核心地位。

【学情分析】学生在必修第二册已经系统学习了平面向量的数量积及其运算律，掌握了向量夹角、模、垂直与数量积之间的联系；上一课时又学习了空间向量的基本概念与线性运算，已经体会到任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，初步具备了用类比方法研究新问题的经验。但学生对空间图形中向量的夹角特别是异面直线所成角与向量夹角的区别、对投影向量从平面到空间的推广，在空间想象上仍存在困难，运算的规范性也有待加强。教学中应充分类比平面向量数量积的建立过程，借助图形直观与表格对比，引导学生自主完成从平面到空间的推广。

教  学  目  标

【知识技能】1.类比平面向量的夹角，能说出空间向量夹角的定义与范围，会判断两个空间向量的夹角；

2.能类比平面向量数量积的定义，给出空间向量数量积的定义，并能利用定义进行简单的数量积运算；

3.能将平面向量数量积的运算律推广到空间，会运用数量积的性质与运算律求向量的模、夹角，证明垂直问题；

4.知道空间向量投影向量的意义，能解释其几何意义。

【核心素养】1.数学抽象：经历从平面向量到空间向量数量积的类比推广过程，体会从低维到高维的研究方法；

2.直观想象：借助几何图形理解空间向量夹角、数量积与投影向量的几何意义；

3.数学运算：能正确运用数量积的定义、性质与运算律进行运算与推理；

4.逻辑推理：在运算律的类比推广与垂直关系的证明中，发展推理能力。

【教学重点】空间向量的数量积的定义、性质与运算律。

【教学难点】空间向量数量积运算律的证明及投影向量的理解。

教  学  过  程

教 学 内 容 及 活 动

设计意图 及时长

【环节一：复习导入】回忆平面向量的数量积运算：两个非零向量与，它们的夹角如何定义？数量积如何定义？

通过复习平面向量的数量积，唤醒旧知，利用类比的方法自然引出本节课要研究的核心问题——空间向量的数量积运算。（3分钟）

提出问题：任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，那么空间中两个向量的夹角能否像平面向量那样定义？空间向量的数量积又该如何定义？它有哪些运算性质？由此引出本节课的课题。

【环节二：类比探究，形成新知】

探究1：空间向量的夹角

类比平面向量，引导学生完成平面与空间的对比表格：任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此两个空间向量的夹角可以像平面向量那样来定义。

如图1，已知两个非零向量，，在空间中任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作。

图1  空间向量 a 与 b 的夹角

特别地：当＝0时，与同向；当＝π时，与反向；

当＝时，与互相垂直，记作。

思考：两个空间向量的夹角的范围是什么？两个非零向量相等的充要条件中夹角扮演什么角色？引导学生明确夹角的范围是，且

两个向量的夹角唯一确定。提示学生注意：两向量只有起点重合时所成的角才是向量的夹角。

通过类比平面向量的夹角建立空间向量夹角的概念，配以图形直观展示，帮助学生建立空间观念，突破对空间向量夹角识别的困难。（5分钟）

探究2：空间向量的数量积

已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即

规定：零向量与任一向量的数量积为0。

温馨提示：①数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写；②向

通过类比平面向量数量积的定义得到空间向量数量积的定义，体会由低维到高维的推广方法，强化数学抽象素养。（7分钟）

量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0；③运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是。

探究3：空间向量的投影向量

在平面向量中我们学习过向量投影。类比之，在空间中，向量向向量的投影有什么意义？引导学生讨论：由于向量是自由向量，可以先将与平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与共线的向量，且

其中是与方向相同的单位向量。向量称为向量在向量上的投影向量。类似地，可以将向量向直线投影，也可以过向量的起点和终点作平面的垂线，得到向量在平面上的投影向量。

借助动画与图形直观理解空间向量投影向量的意义，为后续利用数量积解决距离问题做准备。（5分钟）

探究4：空间向量数量积的性质与运算律

设，是非零向量，它们的夹角为，是与方向相同的单位向量，则由数量积的定义可以得到如下性质：

①（在方向上的投影向量与数量积的关系）；

②⇔，这是判定空间中两条直线垂直的重要工具；

③；特别地，，即利用数量积可以计算向量的模；

④夹角公式：。

类比平面向量，你能说出数量积运算的运算律吗？对于空间向量，，和实数，有：

（1）交换律：；

（2）结合律：；

（3）分配律：。

思考：成立吗？为什么？引导学生辨析：表示与共线的向量，表示与共线的向量，而与不一定共线，所以该式不一定成立，即数量积不满足消去律与结合律。

引导学生自主完成性质推导，将平面向量数量积的性质推广到空间，发展逻辑推理素养。（6分钟）

【环节三：例题示范，学以致用】

例题  如图2，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，，，，＝60°。求：

（1）；

例题：在几何体中综合运用数量积的定义与运算律求投影与模，体会数量积运算的几何价值。（12分钟）