精品解析：重庆市渝北中学校2026-2027学年八年级上学期半期考试数学试卷

渝北中学教育集团2026-2027学年上期初2028届半期质量监测 数学试题 （全卷共三大题25小题，总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚． 2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 3．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂． 4．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. 2，2，4 B. 3，4，5 C. 2，6，9 D. 4，5，9 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ） A. BE B. AE C. BF D. CF 4. 如图，已知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的面积为，点为边的中点，为的中线，则阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为点，交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中逆命题是假命题的是（ ） A. 如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等 B. 在三角形内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 C. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三个角都对应相等 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 8. 如图，在中，平分，是的垂直平分线，于点，，交的延长线于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在正方形中，点分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在锐角中，，的垂直平分线，相交于点O，连接，，，延长交于点D，于点E，交于点G，．则下列结论中：（ ） ①；②；③若，则；④． 其中正确的有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题答案填写在答题卡中对应的横线上． 11. 已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为______ 度． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是___________． 13. 如图，，是的高，，，，则的长度是___________． 14. 如图，在中，，，交延长线于点，则长为___________． 15. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，是的中点，是上任意一点，连接，，若，，则的周长最小值为___________． 16. 若一个四位正整数满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，则称其为“卓越数”，最小的“卓越数”为___________，交换的千位和十位数字得到的新数记为，去掉的十位和个位数字剩下的两位数记为，去掉的千位和百位数字剩下的两位数记为，若与的差为一个两位数且为完全平方数，除以7余数为1，则满足条件的的最小值为___________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18题每小题8分，其余各题每题10分，共86分），解题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 利用数轴求不等式组的解集． 18. 在学习《全等三角形》时，小华同学提出了这样一个猜想，如果两个三角形全等，那么它们的角平分线对应相等，并给出了这样的验证方案．已知，，是的角平分线，在中作出的对应线段，并证明．请你帮助完成证明过程． （1）请用尺规作图，在中作出角平分线；（在答题卡上保留作图痕迹，标上字母，不写作法）； （2）下面是小华同学的不完整证明，请根据小华同学的证明思路完成对应空白填空． （在答题卡上填上对应代号的内容）， 证明： ，（①___________）， （全等三角形对应边相等） 是的角平分线，是的角平分线 ， 又 ②___________ 在和中 （④___________） 19. 如图，，，， （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，， （1）请在图中作出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）的面积为___________； （3）已知点在轴上，若的面积为，求点的坐标． 21. 为促进新质生产力的发展，两江新区出台了相应的补贴政策，鼓励企业进行生产线的设备更新．某企业现有甲、乙两类共30条生产线，根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴． （1）若企业对现有生产线的设备全部进行更新换代，则可获得70万元的补贴，该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ （2）更新换代后，甲、乙两类生产线每条每天都可以生产A部件30件或B部件15件．A部件每件利润12元，B部件每件利润18元．要求所有生产线都要开工且一条生产线每天只生产一种部件，应安排多少条生产线生产A部件，才能保证每天总利润为9000元？ 22. 如图，在中，，平分，，为边的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求． 23. 如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见灯塔C在船的北偏东方向上，30分钟后，渔船行至B处，此时看见灯塔C在渔船的北偏东方向上． （1）求B处与灯塔C之间的距离； （2）灯塔C上的应急广播，以灯塔C为中心周围30海里都能听到，若渔船航向和速度不变，请计算渔船到达B处后继续航行多少时间都能听到广播． 24. 在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路： （1）如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，则、与的数量关系是什么； （2）如图2，为等腰直角三角形，，在平面直角坐标系中，若顶点A，B坐标分别为，，求点C的坐标； （3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在点P使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标． 25. 已知为等边三角形，点D为边所在射线上一动点（点D不与点B重合）． （1）如图1，若点D为边上一点（不与点C重合），以为边作等边三角形 ，连接，求证： （2）如图2，若点D与点C重合，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点G．求证：； （3）如图3，若，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝北中学教育集团2026-2027学年上期初2028届半期质量监测 数学试题 （全卷共三大题25小题，总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚． 2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 3．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂． 4．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. 2，2，4 B. 3，4，5 C. 2，6，9 D. 4，5，9 【答案】B 【解析】 【分析】验证较短两边之和是否大于最长边，即可快速判断能否构成三角形． 【详解】解：选项A：，故不能构成三角形； 选项B：，故能构成三角形； 选项C：，故不能构成三角形； 选项D：，故不能构成三角形． 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A.该选项图形是轴对称图形，符合题意； B.该选项图形不是轴对称图形，不符合题意； C. 该选项图形不是轴对称图形，不符合题意； D. 该选项图形不是轴对称图形，不符合题意． 3. 如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ） A. BE B. AE C. BF D. CF 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的高的定义可得答案． 【详解】解：在△ABC中，BC边上的高为AE， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 4. 如图，已知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据增加的条件，结合全等三角形的判定条件“”、“”、“”判断即可． 【详解】解：∵，， A选项：添加，可构成“” 判定； B选项：添加，可构成“” 判定； C选项：添加，可构成“” 无法判定； D选项：添加，可得，可构成“” 判定； 5. 如图，的面积为，点为边的中点，为的中线，则阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，先求出的面积，再求出的面积． 【详解】解：点为边的中点，， ， 为的中线， ． 6. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为点，交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到，结合对顶角相等和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， ∴． 7. 下列命题中逆命题是假命题的是（ ） A. 如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等 B. 在三角形内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 C. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三个角都对应相等 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出各命题的逆命题（将每个命题的题设与结论调换），然后再证明各命题的正误即可得出答案． 【详解】解：A. 逆命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三条边都对应相等，是真命题，不符合题意； B. 逆命题：在三角形内部，角平分线上的点到这个角两边的距离相等，是真命题，不符合题意； C. 逆命题：如果两个三角形的三个角都对应相等，那么这两个三角形全等，三个角对应相等的三角形不一定全等，是假命题，符合题意； D. 逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题，不符合题意． 8. 如图，在中，平分，是的垂直平分线，于点，，交的延长线于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的性质得，由判定，结合全等三角形的性质得，线段垂直平分线的性质得，再结合即可求解． 【详解】解：，， ， 平分，，， ，， ， （）， ， 是的垂直平分线， ， （）， ， ． 9. 如图，在正方形中，点分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质．将绕点顺时针旋转至，证明，得到，即可求解． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转至，     ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵将绕点顺时针旋转至， ∴， ∴，，， ∴，即， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 10. 如图，在锐角中，，的垂直平分线，相交于点O，连接，，，延长交于点D，于点E，交于点G，．则下列结论中：（ ） ①；②；③若，则；④． 其中正确的有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由，的垂直平分线，相交于点O，可证明，进而得，，，根据三角形内角和定理可证明①正确；根据①的结论及等腰三角形的性质等可证明②正确；根据①的结论及所给的结论可得出，由题目中的条件不能得到这一结论，得出③不一定正确；证明和全等可证明，即可得出正确结论． 【详解】解：， ， ，的垂直平分线，相交于点O， ， ，，， ，， ，， ，，， ， ， ， ， ，①正确； 于点E， ， ， ， ， ， ， ， ，②正确； 若， ， 若， ， ，题目中的条件不能得到这一结论， ③不一定正确； 作于， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； ④正确． 综上所述，正确的有3个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题答案填写在答题卡中对应的横线上． 11. 已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为______ 度． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理的运用．解题的关键是熟练掌握三角形内角和是和等腰三角形两底角相等． 【详解】解：等腰三角形的一个底角为， 顶角为． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是___________． 【答案】8 【解析】 【分析】已知两点关于轴对称，需利用关于轴对称的点的坐标特征求出、的值，再计算． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴两点横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∴，，即，， ∴． 13. 如图，，是的高，，，，则的长度是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式，通过“等面积法”建立等式，将已知线段长度代入即可求出 的长度． 【详解】解：∵，是的高， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 14. 如图，在中，，，交延长线于点，则长为___________． 【答案】 8 【解析】 【分析】根据等角对等边得出，利用三角形外角性质求出，结合含角的直角三角形性质求出的长，进而得出的长． 【详解】解： ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 15. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，是的中点，是上任意一点，连接，，若，，则的周长最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用线段垂直平分线的性质将转化为，从而将的周长转化为；根据两点之间线段最短可知当、、三点共线时最小，即为的长；利用等腰三角形三线合一的性质及三角形面积公式求出的长，进而求解． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， 的周长， 是的中点，， ， 当最小时，的周长最小， 根据两点之间，线段最短可知，当、、三点共线时，最小，最小值为的长， ，是的中点， ， ， ， 解得， 的周长最小值为． 16. 若一个四位正整数满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，则称其为“卓越数”，最小的“卓越数”为___________，交换的千位和十位数字得到的新数记为，去掉的十位和个位数字剩下的两位数记为，去掉的千位和百位数字剩下的两位数记为，若与的差为一个两位数且为完全平方数，除以7余数为1，则满足条件的的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据卓越数的定义，通过数位最小化找到最小的卓越数；设四位数的各数位，结合交换后A、B的差为两位数完全平方数的条件，推导出数位间的关系，再结合M除以7余1的要求，枚举a的取值找到最小的M． 【详解】解：∵ 卓越数是四位正整数，要找最小的卓越数，千位最小取1，百位尽可能小取0，此时千位与百位的差为，是正数，符合定义要求； ∴ 十位与个位的差也需为1，要使数最小，十位尽可能小取1，对应个位为0，得到最小的卓越数为； 设，其中，， ∵ 卓越数满足千位与百位的差等于十位与个位的差且为正数， ∴ ，即，， 交换M的千位和十位得到， 根据题意，去掉的十位和个位得到，去掉的千位和百位得到， 计算A与B的差： ， ∵ ，变形得，即， ∴ ， ∵ A与B的差是两位数且为完全平方数， ∴ 两位数的完全平方数中是9的倍数的有36、81， 若，则，即，由于c是个位数（最大为9），此时，不符合千位数字的取值要求，舍去， 若，则，即， 结合，得，即， 将c、d代入M的表达式： ， ∵ M除以7余数为1， ∴ 是7的倍数，即能被7整除， 将式子拆分： ， ， ， ∴ ， ∵ 是7的倍数， ∴ 必须是7的整数倍， 结合数位的限制条件： ，故，即， ，故， ，即， 要找M的最小值，需让a尽可能小，从最小的a开始枚举： 当时，b需满足，即，代入得，不是7的倍数，不符合； 当时，b需满足，即或1： 时，，不是7的倍数， 时，，不是7的倍数，不符合； 当时，b需满足，即、1、2； 时，，是7的倍数，符合条件； 此时，，； 验证：，交换千位和十位得到，，，，是两位数的完全平方数；3074除以7得商439，余数1，符合所有条件； ∵ 、时无符合条件的b， ∴ 满足条件的M的最小值为3074． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18题每小题8分，其余各题每题10分，共86分），解题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 利用数轴求不等式组的解集． 【答案】不等式组的解集为 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式，然后把解集在数轴上表示出来，取交集即可解答． 【详解】解： 解不等式， ， ， ； 解不等式 ， ， ； 两不等式的解集在数轴上表示为， 所以不等式组的解集为． 18. 在学习《全等三角形》时，小华同学提出了这样一个猜想，如果两个三角形全等，那么它们的角平分线对应相等，并给出了这样的验证方案．已知，，是的角平分线，在中作出的对应线段，并证明．请你帮助完成证明过程． （1）请用尺规作图，在中作出角平分线；（在答题卡上保留作图痕迹，标上字母，不写作法）； （2）下面是小华同学的不完整证明，请根据小华同学的证明思路完成对应空白填空． （在答题卡上填上对应代号的内容）， 证明： ，（①___________）， （全等三角形对应边相等） 是的角平分线，是的角平分线 ， 又 ②___________ 在和中 （④___________） 【答案】（1）解：如图，即为所求， ； （2）全等三角形对应角相等；，， 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，，，， （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，， （1）请在图中作出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）的面积为___________； （3）已知点在轴上，若的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） ，，； （2）7 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质确定点A，B，C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可完成作图，再根据图形写出点的坐标即可； （2）利用割补法解答即可； （3）设点P的坐标为，则，根据面积得，解方程求出a的值，即可确定点P的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得， ； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为，则， ∵的面积为，且， 或， 解得或， 点P的坐标为或． 21. 为促进新质生产力的发展，两江新区出台了相应的补贴政策，鼓励企业进行生产线的设备更新．某企业现有甲、乙两类共30条生产线，根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴． （1）若企业对现有生产线的设备全部进行更新换代，则可获得70万元的补贴，该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ （2）更新换代后，甲、乙两类生产线每条每天都可以生产A部件30件或B部件15件．A部件每件利润12元，B部件每件利润18元．要求所有生产线都要开工且一条生产线每天只生产一种部件，应安排多少条生产线生产A部件，才能保证每天总利润为9000元？ 【答案】（1）该企业甲类生产线有10条，乙类生产线有20条 （2）应安排10条生产线生产A部件 【解析】 【分析】（1）以两类生产线总数量、总补贴额为等量关系列二元一次方程组求解； （2）以每天总利润为等量关系列一元一次方程求解． 【小问1详解】 解：设该企业甲类生产线有x条，乙类生产线有y条. 由题意得： ， 解得： 答：该企业甲类生产线有10条，乙类生产线有20条； 【小问2详解】 解：设应安排m条生产线生产A部件，则安排条生产线生产B部件， 单条生产线生产A部件的日利润为元， 单条生产线生产B部件的日利润为元， 由题意得：， 解得：， 答：应安排10条生产线生产A部件． 22. 如图，在中，，平分，，为边的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求． 【答案】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ； （2）3 【解析】 【分析】（1）先由得到等角，结合角平分线，推出；利用直角三角形两锐角互余算出，；再借助“直角三角形中，角所对直角边等于斜边一半”得到，再根据是中点进行求解即可； （2）由（1）得到，又，判定是等边三角形，再用等边三角形三边相等求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， 是等边三角形， ， ， ． 23. 如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见灯塔C在船的北偏东方向上，30分钟后，渔船行至B处，此时看见灯塔C在渔船的北偏东方向上． （1）求B处与灯塔C之间的距离； （2）灯塔C上的应急广播，以灯塔C为中心周围30海里都能听到，若渔船航向和速度不变，请计算渔船到达B处后继续航行多少时间都能听到广播． 【答案】（1）海里 （2）小时 【解析】 【分析】（1）证明，根据等角对等边即可得到答案； （2）过点作，交的延长线于点，则，求出海里，即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，，，， ∴ ∴ ∴， ∴海里 【小问2详解】 解：过点作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴海里， ∵海里，以灯塔C为中心周围30海里都能听到，小时， ∴渔船到达B处后继续航行小时都能听到广播． 24. 在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路： （1）如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，则、与的数量关系是什么； （2）如图2，为等腰直角三角形，，在平面直角坐标系中，若顶点A，B坐标分别为，，求点C的坐标； （3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在点P使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）P点的坐标为，， 【解析】 【分析】（1）利用证明，可得，进而即可求解； （2）由图可得，，同（1）可得，则可得，，进而即可求解； （3）分类讨论P点的位置，结合全等三角形的性质运算即可． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：过点A作直线，于点D，于点E，如图： ∵A，B坐标分别为，， ，， 由（1）同理可证， ，， 点的横坐标，C点的纵坐标， ； 【小问3详解】 解：①当，时，过点B作平行于x轴的直线，于点D，于点E，如图所示； ，， ，， 由（1）同理可证， ，， 点的横坐标，P点的纵坐标， ； ②当，时，过点A作平行于y轴的直线，于点G，于点F，如图所示： ，， ，， 由（1）同理可证， ，， 点的横坐标，P点的纵坐标， ； ③当，时，过点P作平行于x轴的直线，于点M，于点N，如图所示： 设， ，， ，，，， 由（1）同理可证， ，， ， 解得， ， 综上所述，P点的坐标为，，． 25. 已知为等边三角形，点D为边所在射线上一动点（点D不与点B重合）． （1）如图1，若点D为边上一点（不与点C重合），以为边作等边三角形 ，连接，求证： （2）如图2，若点D与点C重合，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点G．求证：； （3）如图3，若，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1）证明：∵为等边三角形，以为边作等边三角形 ， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ （2）证明：在上截取， ∵为等边三角形， ∴ ∵以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到条件，再证明，得到，即可证明结论； （2）在上截取，证明，则，证明是等边三角形，则，即可证明结论； （3）由是等边三角形得到，将绕点逆时针旋转得到，则点的对应点是点，点的对应点是点，证明三点共线，证明是等边三角形，作点关于直线的对称点，连接，证明三点共线，根据即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵是等边三角形， ∴， 将绕点逆时针旋转得到，则点的对应点是点，点的对应点是点， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴点在直线上， 作点关于直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $