16.1.1 同底数幂的乘法 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

 16.1.1  同底数幂的乘法 解析版  16.1.1　同底数幂的乘法 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　同底数幂相乘：底数不变，指数相加 2 　　题型 2　符号与底数：先统一底数，再动指数 4 　　题型 3　逆用公式：把指数的和拆成积 5 　　题型 4　指数关系与方程：同底才能比指数 6 　　题型 5　新定义运算：把规则翻译成幂的乘法 8 　　题型 6　情境应用：把"每次的变化"写成幂 10 　　题型 7　材料阅读与方法辨析 12 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 14 　题型 1　　同底数幂相乘：底数不变，指数相加 知识梳理 ​——底数原样抄，指数做加法 法则从哪来　 是 个 相乘， 是 个 相乘，把两串接起来数一数，一共 个 相乘：（ 都是正整数）．这条式子的全部内容就是"数个数"，忘了法则时现推即可。 三个条件缺一不可　①底数相同（ 不能合并）；②中间是乘法（ 不是同类项，不能合并）；③指数是正整数。三条都满足，才把指数相加。 多个连乘照样加　（ 的指数是 1，不是 0）；．数一数有几个因数，指数就加几次，别把"因数的个数"与"指数"混成一回事。 底数可以是整式　．整式作底数时必须带括号： 与 是两回事。 这类"看着不一样"的底数，要先按相反数关系统一（见题型 2），统一之后照样只加指数。 辨析题的判法　"下列运算正确的是"这类题，逐项查三件事：底数是否真相同、是否真在相乘、指数是否真加了。常见错法有三种：把 写成 （指数相乘）、把 写成 （相加）、把 写成 （凭空多出系数）。 易错　①指数相加写成指数相乘：不是 　② 当成 （不是同类项，不能合并）；　③底数不同也去加指数（ 只能到此为止）；　④漏掉隐含的指数 1： 要点　同底、相乘、正整数三个条件齐了，就把指数加起来；底数不动，系数单独算： 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 解：． 2．  多法则辨析 下列运算结果正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法，解决本题的关键是根据合并同类项的法则和同底数幂的乘法法则计算出正确结果，根据计算结果判断正误． 解：A选项：根据合并同类项的法则，可得：故A选项计算错误； B选项：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：故B选项计算正确； C选项：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：故C选项计算错误； D选项：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：故D选项计算错误．故选：B． 3． 计算： （1） （2） 　思路分析　　（1）利用同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项． （2）直接利用同底数幂的乘法法则计算． （1）解： （2）解： 4． 计算： （1）            ； （2）      ； （3）            ； （4）            ． 　思路分析　　本题考查同底数幂的乘法，熟知同底数幂的乘法运算法则是解答的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则求解即可； （2）根据同底数幂的乘法运算法则求解即可； （3）根据同底数幂的乘法运算法则求解即可； （4）根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． （1）解： 故答案为： （2）解： 故答案为：3，6， （3）解： 故答案为： （4）解： 故答案为：． 　题型 2　　符号与底数：先统一底数，再动指数 知识梳理 ​ 看奇偶定符号； 与 靠"偶次变、奇次留负"统一 与 完全不同　 是" 的相反数"，负号在幂外面，指数管不到它； 是" 自乘 次"，负号在里面， 为偶数时结果为正、 为奇数时结果为负。所以 而 符号正好相反。 互为相反数的底数怎么统一　 与 只差一个负号，而负号是可以"拿出来"的：偶次方不变，奇次方提一个负号，．口诀：偶次变、奇次留负——统一到一个底数上，指数才能相加。 连乘时数负号个数　 里，第一个负号在幂外（就是 ），后两个负号在括号里：于是原式 ．先把每个因子的符号定下来，再合并，比一边算一边判符号稳。 系数与幂分开处理　系数是 幂的部分 结果是 ．系数 指数 两笔账各算各的。 易错　① 写成 （偶次方应为正）；　②把 与 直接相加指数（一个是另一个的相反数）；　③只加指数、忘了给系数乘方： 写成 （应为 ）；　④幂外的负号与括号内的负号一律当负：不是 要点　先定符号、再统一底数、最后加指数；偶次方变、奇次方留负，系数单独乘方。 1． 化简结果正确的是 （  ） A． B． C． D． 解：． 2． 化简的结果正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，根据同底数幂的乘法法则和积的乘方法则进行计算即可． 解：故选D． 3．  连乘判符号 ​       ． 　思路分析　　先化成同底数幂，再按运算法则计算即可． 解： ​ ​ ​ 4． 计算： （1） （2） （3）． 　思路分析　　本题主要考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂乘法运算法则，“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据同底数幂乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据同底数幂乘法运算法则，进行计算即可． （1）解： （2）解： （3）解： 　题型 3　　逆用公式：把指数的和拆成积 知识梳理 ​——见到"指数的和"，就拆成同底幂的积 正着用与逆着用　正用是把积并成幂（），逆用是把幂拆成积（）。求值题几乎全靠逆用：题目只给 的值，要算的却是 就把后者拆成前者。 整体代入的标准写法　已知 求 ．拆完立刻代，不要试图先求出 各是多少——这类题里的 往往求不出单独的值，能用的只有"整体"。 三项、带常数的情形　常数项就是 别漏；其中 要用幂的乘方才能落到已知上。 先拆成 一直拆到"已知"为止。 反过来用"指数相加"　所以条件 就是 原式 ．看到同底幂相乘就往"指数相加"上想，看到指数的和就往"整体"上想，这一条在整章反复出现。 易错　①拆错项： 拆成 （应是乘）；　②漏常数项： 只拆成 丢掉 　③负值代入时符号错： 时 别写成 　④先去求 再算（多数题求不出，白费时间）。 要点　指数的和 ⇄ 同底幂的积，两边可以来回换；求值题一律"拆到已知、整体代入"。 1． ​可写成 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　拆分指数为与的和，匹配同底数幂相乘形式． 解：． 2． 若则等于 （  ） A．243 B．125 C．8 D．15 　思路分析　　逆用同底数幂的乘法性质，将转化为代入已知值计算． 解： ​． 3．  三问逆用 （1）已知求的值． （2）若求的值． （3）若求的值． 　思路分析　　本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法运算法则变形，然后代入运算即可； （2）先逆用同底数幂的乘法运算法则求出然后代入运算即可； （3）逆用同底数幂的乘法运算法则进行代值求解即可． 解：（1） ​ （2） ​则 ​ （3） ​． 　题型 4　　指数关系与方程：同底才能比指数 知识梳理 化成同底 → 并好指数 → 指数相等 → 解方程 为什么能比指数　若 且 则 ．直观理由： 时 的指数越大、值越大，一个值只对应一个指数。前提是先化成同底，底数不同时这条结论不能直接用。 标准三步　①把两边都写成同底幂（）；②比较指数列出方程；③解方程并检验。例：左边 于是 ．左边先并成一个幂、再比指数，顺序反了就会写成 与 硬凑。 由积定指数　两边同除 得 也可写成 比指数得 ．含参的题（）把左边指数全加起来：． 两个方程一起出现　 与 这种，各自只比自己那一组的指数：底数不同（ 与 ）不能交叉比，两条方程联立才解得出 ． 易错　①底数不同就直接比指数（ 要先写成 ）；　②左边没并完就比（ 必须先并成 ）；　③指数里的括号丢： 与 完全不同；　④解完不回代检验，负指数、分数指数混进来时容易出增根。 要点　先化同底、再并指数、最后比指数；同底数幂相等 ⇔ 指数相等（底数 且 ）。 1． 若2则m的值为 （  ） A．2 B．3 C．4 D．8 　思路分析　　根据同底数幂的乘法公式的逆运算得2得出m=即可得出答案． 解： ​=8，选D． 2． 已知那么x的值为      ． 　思路分析　　根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 解： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ​ ​ ​ 即 解得 ． 3．  两方程联立 （1）已知求m的值； （2）已知求的值． 　思路分析　　本题考查了同底数幂的乘法． ​根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得从而可得关于的一元一次方程解方程即可求出的值； ​根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得关于的二元一次方程组解方程组求出的值，代入计算求值即可． ​解： ​ ​ ​ 解得： ​解： ​ ​ 整理得： ​ ​ ​ 整理得： 解方程组 得 ​． 　题型 5　　新定义运算：把规则翻译成幂的乘法 知识梳理 读规则 → 代进去 → 用指数相加合并，三步走完就是普通题 这类题只考"读"　题干先给一条自己定的规则，比如 然后让你算 或者解 ．规则里的人造符号没有任何数学含义，它唯一的作用是让你把它翻译成幂的乘法。 翻译要对位　 中， 与 都在指数位置。所以 令它等于 得 ．最常见的错法是把 里的 当底数代，写成 或 一错到底。 规则可能"藏在定义里"　另一类是 表示""，即 就是" 的多少次方等于 "里的那个次数。于是 （因为 ）、．解这类题先把它翻译回 再按题型 4 比指数： 就是求" 的多少次方等于 "。 运算律的检验　问" 与 是否相等"，就各算一遍：于是 而 ．两边都化成" 的多少次方"，再比那个次数是否相等——这类题不能靠感觉。 易错　①把自定义符号当普通乘号，丢掉规则；　②指数位置与底数位置代反（ 算成 ）；　③算 型时写成 （应为 是所求）；　④判断运算律时只代一组数就下结论（应对字母式普遍验证）。 要点　规则 → 代入 → 合并指数；符号是人造的，翻译成幂的乘法后就只剩加法。 1．  自定义符号 规定． （1）填空：      ． （2）若求的值． 　思路分析　　（1）直接运用新定义运算变形所求代数式，然后运用同底数幂乘法运算法则计算即可； （2）先利用新定义化简等式，再运用同底数幂的性质列方程求解即可． （1）解： ​． （2）解： ​即 ​ 解得． 2．  自定义记号 规定两数a，b之间的一种运算，记作如果那么．例如：因为所以． （1）根据上述规定，填空：      ； （2）若则      ； （3）当时，试说明：． 　思路分析　　（1）根据题目所给新定义的运算法则，即可进行解答； （2）根据题目所给新定义直接解答即可； （3）根据题意可得结合同底数幂的乘法运算法则，即可求证． （1）解： ​ （2）解： ​ （3）证明： ​ ​ ​ ​． 3． 规定两数之间的一种运算，记作如果那么．例如：因为所以． （1）根据上述规定，填空： （2）令试说明下列等式成立的理由：． 　思路分析　　本题考查新定义运算，有理数的乘方，同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． （1）由结合新定义运算法则可知 （2）由新定义运算法则得出从而得出再根据同底数幂的乘法法则可知即可证明． （1）解：因为 所以 （2）解：因为 所以． 因为 所以即 所以 所以． 　题型 6　　情境应用：把"每次的变化"写成幂 知识梳理 每次是上一次的 倍， 次之后就是 倍——先写幂，再列式 建模的第一步是"数次数"　计算机每秒运算 次， 秒就是 次； 秒时是 次。"每秒的量 × 秒数"就是同底幂相乘，指数相加即可，不用真的去乘。 球袋题的关键是"谁给谁"　甲袋原有 19 个、取出 个给乙袋，则甲袋剩 乙袋变成 再从乙袋取出 个给丙袋，乙袋又变成 ．每一步都重写一遍三个袋子的数，旁边标"给谁减、给谁加"，才不会串。 两边相等就列方程　题目说"取完后甲袋与乙袋的球数相等"，就把上一步的两个表达式用等号连起来，整理后得到 与 的关系，再用同底数幂的乘法合并成 一并求出。这类题的运算部分几乎全是"指数相加"，难的是把文字翻译成式子。 大数类也考同底幂　"1 亿 万 万、1 兆 万 万 亿"这种，把中文单位换成 的幂再乘，指数一加就出结果：1 万 1 亿 于是 1 兆 ．换算关系按题目材料给的定义推，不要凭现代约定硬套。 易错　①次数数错（ 个因数相乘，指数是 个指数之和，不是单个指数乘 之外再乱加）；　②球袋题里"取出后又放入"没还原，袋里的数算重；　③科学记数法只加指数、忘了乘系数（）；　④单位不统一（秒与分、万与亿混着代）。 要点　先写"每次变几倍、变几次"，再落成幂；同底幂相乘只加指数，系数与单位单独处理。 1．  三袋模型 学校体育器材室有甲、乙、丙三个球袋，分别装有篮球19个、19个、7个，管理员先从甲袋中取出个篮球放入乙袋，再从乙袋中取出个篮球放入丙袋，最后从丙袋中取出个篮球放入甲袋，此时三只袋中篮球的个数相同，则的值等于 （  ） A．32 B．64 C．30 D．26 　思路分析　　根据题意分别表示出三只袋中篮球的个数，由题意列式进行变形，计算出的值即可． 解：取完后甲袋中篮球的数量为 乙袋中篮球的数量为 丙袋中篮球的数量为 由题意知 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 2． 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于      ． 　思路分析　　本题主要考查了整式的加减计算，同底数幂除法的逆运算，先分别表示出经过取走和取出后，甲、乙、丙三个袋子中的球数分别为再由题意可得最后三个袋子中的球都是21个，由此得到即最后根据进行计算求解即可． 解：经过取走和取出后，甲、乙、丙三个袋子中的球数分别为 ​一共有个球，且最后三个袋子中的球的数量相同， ​最后三个袋子中的球都是21个， ​ ​ ​故答案为：2． 3． 一种电子计算机每秒可做次运算，它工作秒可做多少次运算？（结果用科学记数法表示） 　思路分析　　本题考查科学记数法的表示方法和同底数幂的乘法．解答的关键是熟知科学记数法的一般形式为其中n为整数． 先根据题意列算式再根据乘法结合律和同底数幂的乘法运算法则求解即可． 解： ​ ​（次）， 答：它工作秒可做次运算． 　题型 7　　材料阅读与方法辨析 知识梳理 读材料抓"结论"与"理由"两段，判断类逐条验算 材料题的结构是固定的　先给一段推导或一个情境，再问三件事之一：说明理由（为什么可以这样算）、仿照写法（照它的格式再算一遍）、判断正误（谁对谁错、错在哪一步）。读的时候把"结论句"划出来，后面所有小问都围着它转。 判断两位同学的解法　不要整体看，逐个等号单独验：把每位同学的每一步都算一遍，错的那一步就是答案的依据。例如 数清楚" 有几个"——3 个，指数就是 得 写成 的是把"3 个 "误当" 个 "。"有几个 相乘"与" 的几次方"是两件事。 仿写要"照格式"　材料给了"因为 …，所以 …"的写法，作答也按这个句式：先写 再写"所以 "．阅卷看的是"有没有把乘方的意义展开"这一步，只写结果不得分。 从材料里"提炼法则"　材料往往只演示一个具体例子（），要你推广到字母：把 换成 把 与 换成 与 就得到 ．推广时必须补上" 是正整数"，这是法则成立的前提。 易错　①只判断"对/错"不写错在哪一步；　②把" 的个数"当成" 的指数"；　③仿写时直接跳到结果，省掉展开乘方的那一步；　④推广到字母时漏写" 为正整数"。 要点　划结论、逐条验、按格式写、推广补条件；材料题考的是表达，不是新方法。 1．  辨析两种解法 若求的值． 以下是两位同学的解题过程： 嘉嘉：因为所以 因为所以所以． 琪琪：所以 因为所以．所以． 则下列说法正确的是 （  ） A．只有琪琪的答案正确 B．他们两个答案合在一起才正确 C．他们的答案都不正确 D．只有嘉嘉的答案正确 　思路分析　　利用同底数幂的乘法法则求利用乘法的意义结合同底数幂的乘法求再判断两人解题的正误． 解： ​ ​ ​ ​ 嘉嘉的解题过程正确，琪琪的解题过程错误． 2．  阅读材料 阅读材料，回答问题． 材料一：因为所以． 材料二：求的值． 解：设①， ①两边同时乘以3得，则② 用得， 所以 即 所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． （1）填空：      ，      ； （2）“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放      粒米（用幂表示）； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 　思路分析　　本题考查的是乘方的应用，理解乘方的含义与阅读部分提示的求和方法是解本题的关键； （1）直接利用乘方的含义可得答案； （2）先根据规律得到再结合阅读部分的求和方法可得答案． （1）解： （2）①第一格放一粒米，第二格放二粒即粒，第三格放四粒即粒，第四格放八粒即粒， ​国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放粒； ②由题意可得： ​ 两式相减可得： A 组　基础题 必做｜直接用法则算、单项代入求值、填指数与底数，一步到底 1． 计算的结果为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了同底数幂乘法，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行计算即可． 解：．故选：C． 2． 代数式可表示为 （  ） A． B． C． D． 解：． 3． 计算： （1）      ； （2）      ； （3）      ； （4）      ． 　思路分析　　利用同底数幂乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算，需要再合并同类项的要进行合并． 解：（1）根据同底数幂乘法法则计算得： ​ （2）先计算乘法，再合并同类项得： ​ （3）根据同底数幂乘法法则计算得： ​ （4）根据同底数幂乘法法则计算得： ​． 4． 若则      ． 　思路分析　　利用同底数幂乘法的逆运算，将变形为代入已知数值计算即可． 解：根据同底数幂的乘法法则，可得 ​ ​代入计算得． 5． 已知则      ． 　思路分析　　利用同底数幂的乘法法则即可计算出结果． 解：根据同底数幂乘法法则，可得 ​ ​． 6． 计算： （1）      ； （2）      ； （3）      ； （4）      ． 　思路分析　　本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂乘法的运算法则是解题关键． （1）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可得； （2）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可得； （3）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可得； （4）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可得． （1）解： 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： （4）． 故答案为：． B 组　提升题 必做｜含参数的指数方程、$x+y$ 型整体代入、符号较多的连乘、多个幂的和 1． 若则等于  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了幂的乘方逆用，同底数幂的乘法逆用，根据幂的乘方逆用，同底数幂的乘法逆用运算法则进行求解即可，掌握幂的乘方和同底数幂的乘法法则是解题的关键． 解：故选：． 2． 若则的值为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据同底数幂的乘法运算法则可知再根据题意可得方程进而即可解答． 解： ​ ​ ​解得：故选． 3． 若则      ． 解： ​ 则． 4． 已知则      ． 　思路分析　　根据结合计算即可，本题考查了同底数幂的乘法的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键． 解： ​ ​故答案为：． 5． 填空： （1）      ； （2）      ； （3）      ； （4）      ． 　思路分析　　本题考查了同底数幂的运算，需熟练掌握同底数幂的相关运算法则是解题的关键．每题均需根据幂的运算法则分别计算各项，再合并同类项得出结果． （1）解：． 故答案为：． （2）解：原式 ​． 故答案为：0． （3）解：原式 ​． 故答案为：． （4）解：原式 ​． 故答案为：． 6． 计算： （1） （2） （3） （4）． 　思路分析　　本题主要考查了同底数幂的乘法法则： （1）根据同底数幂的乘法法则直接计算即可； （2）先将底数化为相同，再利用同底数幂的乘法法则计算即可； （3）先计算乘方，再利用同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项即可； （4）先利用同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项即可； （1）解： （2）解： （3）解：原式 （4）解：原式． C 组　拓展题 选做｜提公因式化简、古代大数换算、自定义运算的运算律检验、双底数转化 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　利用同底数幂乘法的逆运算将原式变形后进行计算即可． 解： ​ ​ ​ ​． 2． 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿=1万1万，1兆=1万1万1亿，则1兆等于 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　将1万表示成1亿表示成然后用同底数幂的乘法法则计算即可． 解：1兆=1万1万1亿， ​1兆=故选：C． 3． 定义新运算∶例： （1）求的值； （2）试说明与是否相等． 　思路分析　　（1）把代入新运算的定义式计算； （2）分别按定义计算与利用同底数幂相乘的运算性质比较两个结果． （1）解：． （2）不相等 ​二者不相等 4． 解决下列问题： （1）已知求的值； （2）已知求的值． 　思路分析　　（1）利用同底数幂乘法法则拆分指数，整体代入已知条件即可求值； （2）先把常数改写为等式左边化为同底数幂，底数相同则指数相等，列方程解出． （1）解： ​ （2）解： ​ ​ ​ ​． 5． 规定 （1）求2※3的值； （2）若求x的值． 　思路分析　　（1）根据同底数幂的乘法的运算法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”进行计算； （2）逆用幂的乘法运算法则即可求解． （1） 即值为32； （2） ​ ​ ​． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.1.1  同底数幂的乘法 学生版  16.1.1　同底数幂的乘法 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　同底数幂相乘：底数不变，指数相加 2 　　题型 2　符号与底数：先统一底数，再动指数 3 　　题型 3　逆用公式：把指数的和拆成积 4 　　题型 4　指数关系与方程：同底才能比指数 6 　　题型 5　新定义运算：把规则翻译成幂的乘法 7 　　题型 6　情境应用：把"每次的变化"写成幂 8 　　题型 7　材料阅读与方法辨析 10 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 11 　题型 1　　同底数幂相乘：底数不变，指数相加 知识梳理 ​——底数原样抄，指数做加法 法则从哪来　 是 个 相乘， 是 个 相乘，把两串接起来数一数，一共 个 相乘：（ 都是正整数）．这条式子的全部内容就是"数个数"，忘了法则时现推即可。 三个条件缺一不可　①底数相同（ 不能合并）；②中间是乘法（ 不是同类项，不能合并）；③指数是正整数。三条都满足，才把指数相加。 多个连乘照样加　（ 的指数是 1，不是 0）；．数一数有几个因数，指数就加几次，别把"因数的个数"与"指数"混成一回事。 底数可以是整式　．整式作底数时必须带括号： 与 是两回事。 这类"看着不一样"的底数，要先按相反数关系统一（见题型 2），统一之后照样只加指数。 辨析题的判法　"下列运算正确的是"这类题，逐项查三件事：底数是否真相同、是否真在相乘、指数是否真加了。常见错法有三种：把 写成 （指数相乘）、把 写成 （相加）、把 写成 （凭空多出系数）。 易错　①指数相加写成指数相乘：不是 　② 当成 （不是同类项，不能合并）；　③底数不同也去加指数（ 只能到此为止）；　④漏掉隐含的指数 1： 要点　同底、相乘、正整数三个条件齐了，就把指数加起来；底数不动，系数单独算： 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 2．  多法则辨析 下列运算结果正确的是 （  ） A． B． C． D． 3． 计算： （1） （2） 　 　 　 　 　 4． 计算： （1）            ； （2）      ； （3）            ； （4）            ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　符号与底数：先统一底数，再动指数 知识梳理 ​ 看奇偶定符号； 与 靠"偶次变、奇次留负"统一 与 完全不同　 是" 的相反数"，负号在幂外面，指数管不到它； 是" 自乘 次"，负号在里面， 为偶数时结果为正、 为奇数时结果为负。所以 而 符号正好相反。 互为相反数的底数怎么统一　 与 只差一个负号，而负号是可以"拿出来"的：偶次方不变，奇次方提一个负号，．口诀：偶次变、奇次留负——统一到一个底数上，指数才能相加。 连乘时数负号个数　 里，第一个负号在幂外（就是 ），后两个负号在括号里：于是原式 ．先把每个因子的符号定下来，再合并，比一边算一边判符号稳。 系数与幂分开处理　系数是 幂的部分 结果是 ．系数 指数 两笔账各算各的。 易错　① 写成 （偶次方应为正）；　②把 与 直接相加指数（一个是另一个的相反数）；　③只加指数、忘了给系数乘方： 写成 （应为 ）；　④幂外的负号与括号内的负号一律当负：不是 要点　先定符号、再统一底数、最后加指数；偶次方变、奇次方留负，系数单独乘方。 1． 化简结果正确的是 （  ） A． B． C． D． 2． 化简的结果正确的是 （  ） A． B． C． D． 3．  连乘判符号 ​       ． 　 4． 计算： （1） （2） （3）． 　 　 　 　 　 　 　 　题型 3　　逆用公式：把指数的和拆成积 知识梳理 ​——见到"指数的和"，就拆成同底幂的积 正着用与逆着用　正用是把积并成幂（），逆用是把幂拆成积（）。求值题几乎全靠逆用：题目只给 的值，要算的却是 就把后者拆成前者。 整体代入的标准写法　已知 求 ．拆完立刻代，不要试图先求出 各是多少——这类题里的 往往求不出单独的值，能用的只有"整体"。 三项、带常数的情形　常数项就是 别漏；其中 要用幂的乘方才能落到已知上。 先拆成 一直拆到"已知"为止。 反过来用"指数相加"　所以条件 就是 原式 ．看到同底幂相乘就往"指数相加"上想，看到指数的和就往"整体"上想，这一条在整章反复出现。 易错　①拆错项： 拆成 （应是乘）；　②漏常数项： 只拆成 丢掉 　③负值代入时符号错： 时 别写成 　④先去求 再算（多数题求不出，白费时间）。 要点　指数的和 ⇄ 同底幂的积，两边可以来回换；求值题一律"拆到已知、整体代入"。 1． ​可写成 （  ） A． B． C． D． 2． 若则等于 （  ） A．243 B．125 C．8 D．15 3．  三问逆用 （1）已知求的值． （2）若求的值． （3）若求的值． 　 　 　 　 　 　 　 　题型 4　　指数关系与方程：同底才能比指数 知识梳理 化成同底 → 并好指数 → 指数相等 → 解方程 为什么能比指数　若 且 则 ．直观理由： 时 的指数越大、值越大，一个值只对应一个指数。前提是先化成同底，底数不同时这条结论不能直接用。 标准三步　①把两边都写成同底幂（）；②比较指数列出方程；③解方程并检验。例：左边 于是 ．左边先并成一个幂、再比指数，顺序反了就会写成 与 硬凑。 由积定指数　两边同除 得 也可写成 比指数得 ．含参的题（）把左边指数全加起来：． 两个方程一起出现　 与 这种，各自只比自己那一组的指数：底数不同（ 与 ）不能交叉比，两条方程联立才解得出 ． 易错　①底数不同就直接比指数（ 要先写成 ）；　②左边没并完就比（ 必须先并成 ）；　③指数里的括号丢： 与 完全不同；　④解完不回代检验，负指数、分数指数混进来时容易出增根。 要点　先化同底、再并指数、最后比指数；同底数幂相等 ⇔ 指数相等（底数 且 ）。 1． 若2则m的值为 （  ） A．2 B．3 C．4 D．8 2． 已知那么x的值为      ． 　 3．  两方程联立 （1）已知求m的值； （2）已知求的值． 　 　 　 　 　 　题型 5　　新定义运算：把规则翻译成幂的乘法 知识梳理 读规则 → 代进去 → 用指数相加合并，三步走完就是普通题 这类题只考"读"　题干先给一条自己定的规则，比如 然后让你算 或者解 ．规则里的人造符号没有任何数学含义，它唯一的作用是让你把它翻译成幂的乘法。 翻译要对位　 中， 与 都在指数位置。所以 令它等于 得 ．最常见的错法是把 里的 当底数代，写成 或 一错到底。 规则可能"藏在定义里"　另一类是 表示""，即 就是" 的多少次方等于 "里的那个次数。于是 （因为 ）、．解这类题先把它翻译回 再按题型 4 比指数： 就是求" 的多少次方等于 "。 运算律的检验　问" 与 是否相等"，就各算一遍：于是 而 ．两边都化成" 的多少次方"，再比那个次数是否相等——这类题不能靠感觉。 易错　①把自定义符号当普通乘号，丢掉规则；　②指数位置与底数位置代反（ 算成 ）；　③算 型时写成 （应为 是所求）；　④判断运算律时只代一组数就下结论（应对字母式普遍验证）。 要点　规则 → 代入 → 合并指数；符号是人造的，翻译成幂的乘法后就只剩加法。 1．  自定义符号 规定． （1）填空：      ． （2）若求的值． 　 　 　 　 　 2．  自定义记号 规定两数a，b之间的一种运算，记作如果那么．例如：因为所以． （1）根据上述规定，填空：      ； （2）若则      ； （3）当时，试说明：． 　 　 　 　 　 　 　 3． 规定两数之间的一种运算，记作如果那么．例如：因为所以． （1）根据上述规定，填空： （2）令试说明下列等式成立的理由：． 　 　 　 　 　 　题型 6　　情境应用：把"每次的变化"写成幂 知识梳理 每次是上一次的 倍， 次之后就是 倍——先写幂，再列式 建模的第一步是"数次数"　计算机每秒运算 次， 秒就是 次； 秒时是 次。"每秒的量 × 秒数"就是同底幂相乘，指数相加即可，不用真的去乘。 球袋题的关键是"谁给谁"　甲袋原有 19 个、取出 个给乙袋，则甲袋剩 乙袋变成 再从乙袋取出 个给丙袋，乙袋又变成 ．每一步都重写一遍三个袋子的数，旁边标"给谁减、给谁加"，才不会串。 两边相等就列方程　题目说"取完后甲袋与乙袋的球数相等"，就把上一步的两个表达式用等号连起来，整理后得到 与 的关系，再用同底数幂的乘法合并成 一并求出。这类题的运算部分几乎全是"指数相加"，难的是把文字翻译成式子。 大数类也考同底幂　"1 亿 万 万、1 兆 万 万 亿"这种，把中文单位换成 的幂再乘，指数一加就出结果：1 万 1 亿 于是 1 兆 ．换算关系按题目材料给的定义推，不要凭现代约定硬套。 易错　①次数数错（ 个因数相乘，指数是 个指数之和，不是单个指数乘 之外再乱加）；　②球袋题里"取出后又放入"没还原，袋里的数算重；　③科学记数法只加指数、忘了乘系数（）；　④单位不统一（秒与分、万与亿混着代）。 要点　先写"每次变几倍、变几次"，再落成幂；同底幂相乘只加指数，系数与单位单独处理。 1．  三袋模型 学校体育器材室有甲、乙、丙三个球袋，分别装有篮球19个、19个、7个，管理员先从甲袋中取出个篮球放入乙袋，再从乙袋中取出个篮球放入丙袋，最后从丙袋中取出个篮球放入甲袋，此时三只袋中篮球的个数相同，则的值等于 （  ） A．32 B．64 C．30 D．26 2． 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于      ． 　 3． 一种电子计算机每秒可做次运算，它工作秒可做多少次运算？（结果用科学记数法表示） 　 　 　 　题型 7　　材料阅读与方法辨析 知识梳理 读材料抓"结论"与"理由"两段，判断类逐条验算 材料题的结构是固定的　先给一段推导或一个情境，再问三件事之一：说明理由（为什么可以这样算）、仿照写法（照它的格式再算一遍）、判断正误（谁对谁错、错在哪一步）。读的时候把"结论句"划出来，后面所有小问都围着它转。 判断两位同学的解法　不要整体看，逐个等号单独验：把每位同学的每一步都算一遍，错的那一步就是答案的依据。例如 数清楚" 有几个"——3 个，指数就是 得 写成 的是把"3 个 "误当" 个 "。"有几个 相乘"与" 的几次方"是两件事。 仿写要"照格式"　材料给了"因为 …，所以 …"的写法，作答也按这个句式：先写 再写"所以 "．阅卷看的是"有没有把乘方的意义展开"这一步，只写结果不得分。 从材料里"提炼法则"　材料往往只演示一个具体例子（），要你推广到字母：把 换成 把 与 换成 与 就得到 ．推广时必须补上" 是正整数"，这是法则成立的前提。 易错　①只判断"对/错"不写错在哪一步；　②把" 的个数"当成" 的指数"；　③仿写时直接跳到结果，省掉展开乘方的那一步；　④推广到字母时漏写" 为正整数"。 要点　划结论、逐条验、按格式写、推广补条件；材料题考的是表达，不是新方法。 1．  辨析两种解法 若求的值． 以下是两位同学的解题过程： 嘉嘉：因为所以 因为所以所以． 琪琪：所以 因为所以．所以． 则下列说法正确的是 （  ） A．只有琪琪的答案正确 B．他们两个答案合在一起才正确 C．他们的答案都不正确 D．只有嘉嘉的答案正确 2．  阅读材料 阅读材料，回答问题． 材料一：因为所以． 材料二：求的值． 解：设①， ①两边同时乘以3得，则② 用得， 所以 即 所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． （1）填空：      ，      ； （2）“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放      粒米（用幂表示）； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜直接用法则算、单项代入求值、填指数与底数，一步到底 1． 计算的结果为 （  ） A． B． C． D． 2． 代数式可表示为 （  ） A． B． C． D． 3． 计算： （1）      ； （2）      ； （3）      ； （4）      ． 　 4． 若则      ． 　 5． 已知则      ． 　 6． 计算： （1）      ； （2）      ； （3）      ； （4）      ． 　 B 组　提升题 必做｜含参数的指数方程、$x+y$ 型整体代入、符号较多的连乘、多个幂的和 1． 若则等于  （  ） A． B． C． D． 2． 若则的值为 （  ） A． B． C． D． 3． 若则      ． 　 4． 已知则      ． 　 5． 填空： （1）      ； （2）      ； （3）      ； （4）      ． 　 6． 计算： （1） （2） （3） （4）． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜提公因式化简、古代大数换算、自定义运算的运算律检验、双底数转化 1． 计算的结果是 （  ） A． B． C． D． 2． 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿=1万1万，1兆=1万1万1亿，则1兆等于 （  ） A． B． C． D． 3． 定义新运算∶例： （1）求的值； （2）试说明与是否相等． 　 　 　 　 　 4． 解决下列问题： （1）已知求的值； （2）已知求的值． 　 　 　 　 　 5． 规定 （1）求2※3的值； （2）若求x的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $