17.1 用提公因式法分解因式 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

 17.1  用提公因式法分解因式 解析版  17.1　用提公因式法分解因式 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　因式分解的概念：整式乘法的逆变形 2 　　题型 2　找公因式：系数取最大公约数，字母取最低次幂 3 　　题型 3　提公因式的基本操作：项数不变，缺项补 1 4 　　题型 4　互为相反数的因式：先变形，再提公因式 6 　　题型 5　先分解，再整体代入求值 7 　　题型 6　提公因式做简便计算与幂的提取 8 　　题型 7　多次提公因式、看错与阅读材料 10 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 14 　题型 1　　因式分解的概念：整式乘法的逆变形 知识梳理 把一个多项式化成几个整式的积，叫因式分解；它与整式乘法互为逆运算 定义的两条硬要求　①结果必须是积的形式；②每个因式都必须是整式（不能是分式、不能带加减号未化开）．如 是因式分解； 虽然与原式相等，但最后一步是加法、不是积，不算因式分解。 与整式乘法互逆　 是乘法（由积到和）， 是因式分解（由和到积）．方向是唯一判据：等号左边是多项、右边是积，才是因式分解。 由结果反求原式　若某多项式分解得 把它乘开就是原多项式 若分解得 原式就是 ．"分解的结果"乘回去就是"原多项式"，这类题一步乘开即可。 常见的不算因式分解　① 对；② 是乘法，错；③ 是乘法，错；④ 右边不是积，错． 易错　①把整式乘法的结果当成因式分解；　②右边最后一步是加减（如 ）；　③分解不彻底（还能继续提）；　④把变形后的式子当成恒等（其实不相等）；　⑤由结果反求原式时漏乘系数。 要点　左边多项式、右边整式的积；与整式乘法方向相反，互为逆运算。 1． 下列从左到右的变形中，是因式分解的是  （  ） A． B． C． D． 解：A选项，等式左边是单项式，不是多项式，不符合要求，错误； B选项，等式右边是和的形式，不是整式乘积的形式，不符合要求，错误； C选项，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，正确； D选项，该变形是整式乘法，将积化为多项式，不是因式分解，错误． 2．  由结果反求原式 一个多项式分解因式的结果是那么这个多项式是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键；因此此题可根据“平方差公式”进行求解即可． 解：故选B． 3． 对于①②从左到右的变形，表述正确的是 （  ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 　思路分析　　根据因式分解的定义进行判断即可； ①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解； ②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；故答案选C． 　题型 2　　找公因式：系数取最大公约数，字母取最低次幂 知识梳理 公因式 各项系数的最大公约数 各项都含的字母的最低次幂（整体也算字母） 三步找公因式　①系数：取各项系数的最大公约数；②字母：只取每项都有的字母，指数取最低的；③整体：括号也当作一个字母看，同样取最低次幂．如 的公因式是 （系数 取 与 取 ）。 首项为负时的习惯　 的公因式按"正"算是 但分解时习惯先提出 ，得 ．公因式的系数可以是负的，提出负号后括号里各项都要变号。 含字母指数的公因式　 的公因式是 因为 取低的那个．指数里带字母时，比大小就是比 与 ，提完剩下 整体作公因式　 与 的公因式，系数取 字母取 整体取 得 ．括号里的式子要一模一样才能当公因式， 与 得先化成同一个。 易错　①系数只取一个公约数而不是最大公约数；　②字母取最高次幂；　③把只在部分项里出现的字母也当公因式；　④括号整体被拆开；　⑤首项为负时不敢提负号。 要点　最大公约数 都含字母的最低次幂；整体（括号）同样按字母处理。 1． 下列各式中，能用提公因式法分解因式的是 （  ） A． B． C． D． 解：A选项C选项D选项的各项均无公因式，不能用提公因式法分解； B选项有公因式能用提公因式法分解． 2． 多项式的公因式是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查找公因式，根据系数找最大公因数，字母找相同字母最低指数即可得到答案； 解：由题意可得， ​的公式为：故选：A． 3．  指数含字母 n为正整数，若的公因式是M，则M等于 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查提公因式，熟练掌握提公因式是解题的关键；因此此题可根据提公因式进行求解． 解： 所以公因式故选C． 　题型 3　　提公因式的基本操作：项数不变，缺项补 1 知识梳理 提完括号里的项数与原多项式项数相同；某一项被完全提走时，括号里留 核心动作　把公因式写在括号外，括号里写"原式每一项除以公因式"所得的商．如 ．原来几项，括号里就几项，这是最快的自查办法。 缺项补 　若某项恰好等于公因式，提完只剩 这个 绝不能省：写成 就错了。 系数是分数时　 提出 后剩 若整体提负号，．分数作公因式时，括号里每项除以它等于乘它的倒数，容易算错系数。 首项为负先提负　．提负号之后括号里每一项都要变号，末项 变成 这个 是丢分最多的地方。 易错　①括号里项数变少（漏项）；　②某一项被提光后忘了写 　③提负号后只有第一项变号；　④分数公因式时系数算错；　⑤提完还能继续提（没分解彻底）。 要点　公因式写在括号外、括号里项数不变；提光的那一项留 提负号则全变号。 1． 把分解因式，结果正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了提公因式法因式分解，掌握先提取公因式，再检查剩余多项式是否能继续分解，分解要彻底是解题的关键． 通过提取公因式将多项式分解为与二次式的乘积，并验证其他选项是否等价． 解：A、 符合题意； B、不符合题意； C、不符合题意； D、不符合题意．故选：A． 2． 将提出公因式后，另一个因式是  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握提公因式的方法．首先提取公因式可得从而可得答案． 解： 将提出公因式后，另一个因式是故选：D． 3． 因式分解： （1）      ； （2）      ； （3）      ． 　思路分析　　本题考查因式分解，主要运用提公因式法进行分解； （1）直接提出公因式即可； （2）直接提出公因式即可； （3）直接提出公因式即可． （1）观察式子，每一项都含有公因式 根据提公因式法，可得 （2）观察式子，每一项都含有公因式 根据提公因式法，可得 （3）观察式子，每一项都含有公因式 根据提公因式法，可得． 故答案为：． 4． 对下列多项式进行因式分解： （1）． （2）． 　思路分析　　（1）先观察多项式各项，找到公因式，提取公因式后再看剩余部分是否能继续分解； （2）先将式子中的变形为然后观察式子，找到公因式，提取公因式进行因式分解． （1）解：原式 ​． （2）解：原式 ​． 5． 用提公因式法将下列各式分解因式： （1） （2）． 　思路分析　　本题考查提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键； （1）提公因式法提取分解因式即可求解； （2）提公因式法提取分解因式即可求解； （1）解： ​ （2）解： ​ ​． 　题型 4　　互为相反数的因式：先变形，再提公因式 知识梳理 ​ 三条换号公式　奇次幂提负、偶次幂不变：．如 ． 先把所有括号统一　．动笔第一步永远是"把所有 换成 "，统一之后再找公因式。 偶次幂不必换　 中，原式 ．提完公因式后括号里还要合并同类项，别停在中括号那一步。 隐藏的相反数　 里的 要看成 这类没有相反数，直接提 ．看到"两项符号刚好相反、又没有公因式"时，先试着提取一个负号。 易错　①奇次幂换号时忘加负号；　②偶次幂多加了负号；　③换号后括号里没合并同类项；　④提负号只改了最外层；　⑤把 与 当成同一个因式直接提。 要点　奇次变号、偶次不变；先把括号统一，再找公因式，最后合并括号内同类项。 1． 把提公因式后，则另一个因式为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了提公因式法因式分解．通过将转化为然后提取公因式即可得到另一个因式． 解： ​ 因此另一个因式为．故选：A． 2． 因式分解：      ． 　思路分析　　先把二、三两项分为一组，提取一个负号，再提取公因式即可． 解：原式 ​ 3． 先化简，再求值：其中． 　思路分析　　先化简，再把a=3，b=5代入求解即可． 解：原式．当时，原式． 　题型 5　　先分解，再整体代入求值 知识梳理 把所求式子先提公因式变成"积"，再把已知的"和"与"积"整块代进去 两步走　①把所求代数式因式分解成积；②把已知条件（多为 与 ）整体代入．如 求 原式 ．不解方程，这就是因式分解在求值题里的全部用处。 带差的版本　求 原式 ．先提出 再处理括号里的符号，两步都要看清。 几何条件翻译　长方形周长 面积 即 那么 ．"周长除以 才是 "，这一步最容易直接用成 先分解再代值的规范写法　 中把 换成 原式 再代 得 ．先化到最简的积，再代值，直接代会算出一堆数。 易错　①不分解就硬代；　②周长当成 　③提公因式后符号错（ 没换）；　④分解后括号里没合并；　⑤代值时字母与数值对错位。 要点　先提公因式成积、再整体代入；周长要除以 符号要换对。 1． 已知则的值是 （  ） A．8 B． C．2 D． 　思路分析　　此题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握因式分解的方法，利用整体代入进行求解． 将所求代数式因式分解后，代入已知条件计算即可． 解：, 又 ​ 原式．故选：A． 2．  长方形周长与面积 如图，长方形的周长为14，面积为10，则的值为      ． 　思路分析　　本题考查因式分解的应用，根据“边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10”可得再将原式因式分解为代入计算即可． 解：根据题意有： ​ ​故答案为：70． 3． 已知用含a，b的式子表示的值． 　思路分析　　本题考查了因式分解中的提取公因式法以及代数式的变形与代入求值的知识点，掌握因式分解中的提取公因式最关键． 本题将变形为利用因式分解中的提取公因式法对原式进行整理，再将两式相加，与整理结果形式相符后，即可代入解决问题． 解： ​ ​ ​ ​ ​ ​两式相加，得 ​原式． 　题型 6　　提公因式做简便计算与幂的提取 知识梳理 把相同的因数（或幂）提出来，剩下的凑整； 提低次幂 同底幂提低次　．提指数小的那一个，括号里剩下""，一步就得结果。 同因数提取　．最后那个 要看成 ，漏掉这个 就会算成 小数与分数题　．括号里凑成整十整百，是简便计算题的设计意图。 先看有没有公因数再算　 这类题，先提 得 比直接算平方快得多；提完若括号里还能凑整，就继续凑。 易错　①提幂时取了大指数；　②漏掉""那一项；　③括号里符号错（ 提完剩 而不是 ）；　④小数点点错；　⑤提完不化简就直接算。 要点　相同的因数或幂提出来，剩下的凑整；单独出现的那个量记作""。 1． 计算的值是 （  ） A． B． C．2 D． 　思路分析　　本题主要考查了因式分解的应用，同底数幂的乘法的逆运算，正确计算是解题的关键． 将原式变形为即可求解． 解：故选：D． 2． 利用分解因式简化计算59＋4999正确的是(　　)． A．99(57＋44)=901=9 999 B．99(57＋441)=900=9 900 C．99(57＋44＋1)=902=10 098 D．99(57＋4499)=9=198 　思路分析　　提取公因式99，计算后直接选取答案即可． 解：59+49-99 =99（57+44-1） =900 =9900故选B 3． 应用简便方法计算： （1） （2）． 　思路分析　　本题考查了有理数的混合运算，提公因式的应用，准确计算为解题关键． （1）通过提取公因式简化计算； （2）先对前两项提取公因式，再对结果提取公因式进行计算即可． （1）解： ​ ​ ​ （2） ​ ​ ​ ​． 　题型 7　　多次提公因式、看错与阅读材料 知识梳理 提一次不够就提第二次；有"因式"就设成乘积形式，展开对位求参数 提两次　．每提一次，括号里的结构就更整齐一次；这类阅读题问的往往是"第几步用了什么方法"。 分组分解的雏形　．分组的目标是"两组提完之后出现同一个括号"；分错了就提不出公共括号，换一种分法即可。 有因式就设乘积、展开对位　 有一个因式 就设 展开得 对位得 所以 ．"有因式"三个字就是"可以写成乘积"，这是因式分解与待定系数法的接口。 看错类题的分工　一人看错一次项系数、另一人看错常数项，看错的项不能用，没看错的项可以直接用：看错一次项 常数项是对的；看错常数项 一次项是对的．把两人结果各自乘开，取"对的那一项"拼回原式，再分解。 易错　①提一次就收手；　②分组分错、提不出公共括号；　③设因式时漏掉最高次项的系数；　④展开对位时把 的系数对应错；　⑤看错类题把看错的那一项也拿来用。 要点　提干净为止；有因式就设乘积展开对位；看错题只取"没看错"的那一项。 1． 多项式可以因式分解成为整数，则的值是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查因式分解，先将多项式提取公因式得然后与对照，即可求出的值，再代入计算即可．对多项式提取公因式是解题的关键． 解： 又多项式可以因式分解成为整数， ​ ​ ​ 即的值是．故选：C． 2． 阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题： ​ ​ ​ ​ （1）上述因式分解的方法是      ，共用了      次； （2）把多项式进行因式分解，结果是      ； （3）依照上述方法因式分解：（为正整数）． 　思路分析　　（1）根据提公因式法分解因式的过程可得答案； （2）根据因式分解的结果可直接得出答案； （3）仿照已知的计算过程进行因式分解即可． （1）解：上述因式分解的方法是提公因式法，共用了2次； （2）解：把多项式进行因式分解， 结果是 （3）解： ​ ​ … ​． 3． ​的三边长分别为且请判断是等边三角形还是等腰三角形？ 　思路分析　　本题考查了等腰三角形的定义，因式分解的应用，先结合整理得则或又因为边长不能是负数，故即可作答． 解：是等腰三角形．理由如下： ​ ​ ​ ​ 故或． 显然边长 ​ 故为等腰三角形． 4． 若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为易知同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如． （1）【基础训练】 解方程填空： ①若则      ； ②若则      ； ③若则      ； （2）【能力提升】 交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数则一定能被      整除，一定能被      整除，一定能被      整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空） （3）【探索发现】 北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为      ； ②设任选的三位数为（不妨设），试说明其均可产生该黑洞数． 　思路分析　　本题考查了一元一次方程的求解，整式的加减运算，数字规律探索，理解题目中新定义为解题关键． （1）①②③均按定义列出方程求解即可； （2）按定义式子展开化简即可； （3）①选取题干中数据，按照定义式子展开，化简到出现循环即可；②按定义式子化简，注意条件的应用，第一次运算后得：第二次运算分两种情况，当时以及当时，化简到出现最终当时，数值不在变化得到495即可． （1）解：① ​ ​ ​ ​ ② ​ ​ ③ ​ ​ 故答案为：2；4；7 （2） ​一定能被11整除； ​ ​一定能被9整除； ​一定能被10整除， 故答案为：11；9；10； （3）①若选的数为325，则用以下按照上述规则继续计算 ​ ​ ​ ​ 故答案为：495． ②证明：当任选的三位数为时，第一次运算后得： 结果为99的倍数，由于 ​ ​ 令则的首位为十位为9，个位为 当时，即 第二步： 当时，即 第二步： 继续进行换元操作，可以发现，在重复上述过程， 最终当时，数值不在变化， 即最后留下的数字为 故答案为：495． 5． 两位同学将一个关于的二次三项式分解因式时，一位同学因看错了一次项系数而分解成另一位同学因看错了常数项而分解成． （1）求原来的二次三项式； （2）将原来的二次三项式分解因式． 　思路分析　　（1）根据两同学的结果，确定出原多项式的常数项，一次项，以及二次项，即可确定出多项式； （2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． （1）解： 根据题意得：原来的多项式为 （2）解： ​ ​． A 组　基础题 必做｜概念辨认与提公因式的基础套用 1． 下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据“把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解”进行排除选项即可． 解：A、是因式分解，故不符合题意； B、是因式分解，故不符合题意； C、是因式分解，故不符合题意； D、的右边不是整式，不是因式分解，故符合题意；故选D． 2． 一个多项式因式分解后是那么这个多项式是  （  ） A． B． C． D． 解：利用因式分解是整式乘法的逆运算，可知+3x．故选C． 3． 下列从左到右的变形，属于因式分解的是 （  ） A． B． C． D． 解：因式分解要求等号右边是几个整式的积．A：右边是积，正确；B、C 右边都是多项（是整式乘法），不符合；D：右边最后一步是加法，不是积．故选 A． 4． 下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义及其特征是解答的关键．根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案． 解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、是因式分解，故此选项符合题意； D、等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：C． 5． 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据因式分解的定义对选项逐一分析即可． 解：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解． A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意； C、符合因式分解的形式，符合题意； D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；故选C． 6． 多项式中各项的公因式是 （  ） A．a B． C． D． 解：把两项都写成含公因式的形式：．系数 与 的最大公约数是 字母 的最低次幂是 所以公因式是 ．故选 B． 7． 多项式12ac＋8b的公因式是(　　) A．4a B．4abc C．2a D．4ab 　思路分析　　根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 解： 4ab是公因式，故答案选：D． 8． 将多项式进行因式分解的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　此题主要考查了提取公因式法分解因式，直接提取公因式a，进而分解因式得出答案． 解：．故选：C． 9． 把多项式+2a分解因式得  （  ） A．a（a+2） B．a（a2） C．（a+2） D．（a+2）（a2） 　思路分析　　运用提公因式法进行因式分解即可． 解：故选A 10． 将提公因式后，另一个因式是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　将提取公因式据此即可求解． 解：故选：A 11． 把多项式分解因式正确的是  （  ） A． B． C． D． 解：本题考查了提公因式法分解因式等知识，利用提公因式法将分解为问题得解．故选：C 12． 计算：的结果是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了同底数幂的乘法法则与提取公因式，找出公因式是解决本题的关键． 先提取再根据同底数幂的运算法则进行变形求解即可． 解：．故选：C ． 13． 因式分解：      ． 解：． 14． 因式分解：      ． 解：两项都含 与 公因式是 ．提出来后：． 15． 已知：则的结果是       ． 　思路分析　　先将原式用直接提取公因式法分解因式，再将代入，即可求出结果． 解： ​ 将代入， 原式 ​故答案为：． 16． 已知则=      ． 　思路分析　　将代数式提取公因式再整体代入计算求值即可． 解：．故答案为6． 17． 多项式可因式分解为则为      ． 　思路分析　　将因式分解后的结果展开，对比原式对应项即可求出． 解：多项式可因式分解为 展开得 ​ 对比等式两边同类项得． B 组　提升题 必做｜相反数变形、整体代值与阅读逆推 1．  可分解求 k 已知多项式在有理数范围可以分解因式，则k可取的单项式为 （  ） A．9 B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了分解因式，令分别取四个选项中的单项式，再看多项式能否在有理数的范围内分解因式即可得到答案． 解：当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故A不符合题意； 当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故B不符合题意； 当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故C不符合题意； 当时，能在有理数范围分解因式，故D符合题意；故选：D． 2． 如果把二次三项式因式分解得那么常数的值是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．将因式分解的结果用多项式乘法公式展开，其结果与二次三项式比较即可求解． 解： ​．故选：D ． 3． 若则等于 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查提公因式法分解因式，熟练掌握提取公因式法进行分解因式是解题的关键．运用提公因式法分解因式即可解答． 解： ​ ​ ​ ​ ​故选：C． 4． ​与的公因式是      ． 　思路分析　　本题考查的知识点是提公因式，解题关键是熟练掌握提公因式法．对和进行因式分解，完全找到公共因式后即可得到答案． 解： ​ ​与的公因式是． 故答案为：． 5． 分解因式=      ． 　思路分析　　本题考查了提公因式法分解因式．先将原式变形为再提取公因式即可求解． 解： ​ ​ ​． 6． （1）若实数满足则的值是      ． （2）若则的值为      ． 　思路分析　　本题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，灵活利用整体思想是解决问题的关键． （1）先利用提公因式法把多项式进行因式分解，提取公因式再将已知代数式的值整体代入计算，即可求解． （2）先把前两项提取公因式得整体代入后，再提取公因式最后整体代入，即可求解． 解：（1） ​ ​． 故答案为：． （2） ​ ​ ​ ​ ​．故答案为：． 7． 已知可因式分解为其中均为正整数，则的值为      ． 　思路分析　　此题主要考查了因式分解的应用，提取公因式法分解因式，直接提取公因式进而合并同类项得出即可．正确找出公因式是解题关键． 解： ​ ​ ​可分解因式为 则 故．故答案为：． 8． 分解因式： （1） （2） （3）． 　思路分析　　（1）找出多项式各项公因式，提取公因式完成因式分解； （2）找出多项式各项公因式，提取公因式完成因式分解； （3）先利用统一底数，再提取公因式分解因式． （1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 ​． 9． 分解因式： （1） （2） （3） （4） 　思路分析　　本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据提公因式法可分别求解即可； （2）根据提公因式法可分别求解即可； （3）根据提公因式法可分别求解即可； （4）根据提公因式法可分别求解即可． （1）解：原式 （2）解：原式 ​ （3）解：原式 ​ （4）解：原式 ​． 10． 把下列各式分解因式： （1） （2） （3）． 　思路分析　　本题考查的是提公因式分解因式，理解整体公因式是解本题的关键． （1）提取公因式即可； （2）提取公因式即可； （3）提取公因式即可． （1）解： ​ （2） ​ ​ ​ （3） ​ ​ ​． 11． 先分解因式，再求值：其中． 　思路分析　　本题考查了提取公因式分解因式，根据式子特点确定公因式是解题的关键．本题先添括号，变形成有公因式的三部分，再提取公因式分解因式，代入计算即可． 解：原式 ​． 当时， 原式． 12． 如图，长和宽分别为a，b的长方形的周长为20，面积为12，求的值． 　思路分析　　此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 根据长方形的周长与面积公式确定出与的值，原式分解后代入计算即可求出值． 解：长和宽分别为a，b的长方形的周长为20，面积为12， ​ ​． 13． 已知求的值． 　思路分析　　本题考查了因式分解的应用与代数式的化简求值，正确提取公因式是解决本题的关键． 先提取公因式再将代入求解即可． 解： ​ ​ ​ ​． 14． 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：． （1）上述因式分解的方法是      ，共应用了      次． （2）分解因式：（n为正整数）． 　思路分析　　（1）根据已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． （1）解：提公因式法 ， 2 （2）解：原式 ​ … ​ ​． 15． 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ​． （1）上述因式分解的方法是      法，共应用了      次． （2）若分解因式则需要应用上述的方法      次，分解因式后的结果是      ． （3）请用以上方法分解因式：（为正整数）． 　思路分析　　（1）把看作整体，提取公因式，观察得出提取公因式的次数； （2）根据（1）得出提取公因式的次数及结果； （3）根据（1）（2）算式最后一项的次数，得出提取公因式的次数及结果的次数． （1）解：由因式分解的过程可知，因式分解的方法是提公因式法，提取了次， 故答案为：提公因式，． （2）解：根据（1）的算式最后一项的次数为结果的次数为 故分解因式需要提公因式次，结果为 故答案为： （3）解：原式 ​ … ​ ​． 16． 观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么． 例：把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式． 解法1：am＋an＋bm＋bn =（am＋an）＋（bm＋bn） = a（m＋n）＋b（m＋n） =（m＋n）（a＋b）． 解法2：am＋an＋bm＋bn =（am＋bm）＋（an＋bn） = m（a＋b）＋n（a＋b） =（a＋b）（m＋n）． 根据你的发现，把下面的多项式分解因式: （1）mxmy＋nxny； （2）2a＋4b3ma6mb． 　思路分析　　（1）分组后提取公因式即可得到结果； （2）分组后提取公因式即可得到结果． 解：（1）解法一： 原式(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n) 解法二： 原式=(mx+nx)-(my+ny)(m+n)-y(m+n)=(m+n)(x-y) （2）解法一： 原式=2(a+2b)-3m(a+2b)=(a+2b)(2-3m) 解法二： 原式=(2a-3ma)+(4b-6mb)(2-3m)+2b(2-3m)=(2-3m)(a+2b) 17．  电阻串联 如图，把三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U当=19.7，=32.4，=35.9，时，求U的值． 　思路分析　　用提公因式法把U因式分解为U（），再进行计算求值． 解：U ​（） =2.5（19.7+32.4+35.9） =2.8 =220． 答：U的值为220． 18． 已知可分解因式为其中a、b均为整数，求的值． 　思路分析　　直接提取公因式（3x-7），进而合并同类项得出即可． 解：（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13） =（3x-7）（2x-21-x+13） =（3x-7）（x-8）， 则a=-7，b=-8， 故a+b=-7+（-8）=-15． C 组　拓展题 选做｜三项变形与整除性逆推 1． 将多项式因式分解，结果为 （  ） A． B． C． D． 解：先把 换成 （偶次幂不变号）： 原式 ．故选 C． 2．  有一个因式 已知多项式因式分解后有一个因式为求的值． 　思路分析　　设2+m=（2x+1）（+ax+b），利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式可以求得m的值， 解：设2+m=（2x+1）（+ax+b）． 则2+（2a+1）+（a+2b）x+b． 比较系数．得： 解得： ​． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.1  用提公因式法分解因式 学生版  17.1　用提公因式法分解因式 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　因式分解的概念：整式乘法的逆变形 2 　　题型 2　找公因式：系数取最大公约数，字母取最低次幂 2 　　题型 3　提公因式的基本操作：项数不变，缺项补 1 3 　　题型 4　互为相反数的因式：先变形，再提公因式 5 　　题型 5　先分解，再整体代入求值 5 　　题型 6　提公因式做简便计算与幂的提取 6 　　题型 7　多次提公因式、看错与阅读材料 7 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 10 　题型 1　　因式分解的概念：整式乘法的逆变形 知识梳理 把一个多项式化成几个整式的积，叫因式分解；它与整式乘法互为逆运算 定义的两条硬要求　①结果必须是积的形式；②每个因式都必须是整式（不能是分式、不能带加减号未化开）．如 是因式分解； 虽然与原式相等，但最后一步是加法、不是积，不算因式分解。 与整式乘法互逆　 是乘法（由积到和）， 是因式分解（由和到积）．方向是唯一判据：等号左边是多项、右边是积，才是因式分解。 由结果反求原式　若某多项式分解得 把它乘开就是原多项式 若分解得 原式就是 ．"分解的结果"乘回去就是"原多项式"，这类题一步乘开即可。 常见的不算因式分解　① 对；② 是乘法，错；③ 是乘法，错；④ 右边不是积，错． 易错　①把整式乘法的结果当成因式分解；　②右边最后一步是加减（如 ）；　③分解不彻底（还能继续提）；　④把变形后的式子当成恒等（其实不相等）；　⑤由结果反求原式时漏乘系数。 要点　左边多项式、右边整式的积；与整式乘法方向相反，互为逆运算。 1． 下列从左到右的变形中，是因式分解的是  （  ） A． B． C． D． 2．  由结果反求原式 一个多项式分解因式的结果是那么这个多项式是 （  ） A． B． C． D． 3． 对于①②从左到右的变形，表述正确的是 （  ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 　题型 2　　找公因式：系数取最大公约数，字母取最低次幂 知识梳理 公因式 各项系数的最大公约数 各项都含的字母的最低次幂（整体也算字母） 三步找公因式　①系数：取各项系数的最大公约数；②字母：只取每项都有的字母，指数取最低的；③整体：括号也当作一个字母看，同样取最低次幂．如 的公因式是 （系数 取 与 取 ）。 首项为负时的习惯　 的公因式按"正"算是 但分解时习惯先提出 ，得 ．公因式的系数可以是负的，提出负号后括号里各项都要变号。 含字母指数的公因式　 的公因式是 因为 取低的那个．指数里带字母时，比大小就是比 与 ，提完剩下 整体作公因式　 与 的公因式，系数取 字母取 整体取 得 ．括号里的式子要一模一样才能当公因式， 与 得先化成同一个。 易错　①系数只取一个公约数而不是最大公约数；　②字母取最高次幂；　③把只在部分项里出现的字母也当公因式；　④括号整体被拆开；　⑤首项为负时不敢提负号。 要点　最大公约数 都含字母的最低次幂；整体（括号）同样按字母处理。 1． 下列各式中，能用提公因式法分解因式的是 （  ） A． B． C． D． 2． 多项式的公因式是 （  ） A． B． C． D． 3．  指数含字母 n为正整数，若的公因式是M，则M等于 （  ） A． B． C． D． 　题型 3　　提公因式的基本操作：项数不变，缺项补 1 知识梳理 提完括号里的项数与原多项式项数相同；某一项被完全提走时，括号里留 核心动作　把公因式写在括号外，括号里写"原式每一项除以公因式"所得的商．如 ．原来几项，括号里就几项，这是最快的自查办法。 缺项补 　若某项恰好等于公因式，提完只剩 这个 绝不能省：写成 就错了。 系数是分数时　 提出 后剩 若整体提负号，．分数作公因式时，括号里每项除以它等于乘它的倒数，容易算错系数。 首项为负先提负　．提负号之后括号里每一项都要变号，末项 变成 这个 是丢分最多的地方。 易错　①括号里项数变少（漏项）；　②某一项被提光后忘了写 　③提负号后只有第一项变号；　④分数公因式时系数算错；　⑤提完还能继续提（没分解彻底）。 要点　公因式写在括号外、括号里项数不变；提光的那一项留 提负号则全变号。 1． 把分解因式，结果正确的是 （  ） A． B． C． D． 2． 将提出公因式后，另一个因式是  （  ） A． B． C． D． 3． 因式分解： （1）      ； （2）      ； （3）      ． 　 4． 对下列多项式进行因式分解： （1）． （2）． 　 　 　 　 　 5． 用提公因式法将下列各式分解因式： （1） （2）． 　 　 　 　 　 　题型 4　　互为相反数的因式：先变形，再提公因式 知识梳理 ​ 三条换号公式　奇次幂提负、偶次幂不变：．如 ． 先把所有括号统一　．动笔第一步永远是"把所有 换成 "，统一之后再找公因式。 偶次幂不必换　 中，原式 ．提完公因式后括号里还要合并同类项，别停在中括号那一步。 隐藏的相反数　 里的 要看成 这类没有相反数，直接提 ．看到"两项符号刚好相反、又没有公因式"时，先试着提取一个负号。 易错　①奇次幂换号时忘加负号；　②偶次幂多加了负号；　③换号后括号里没合并同类项；　④提负号只改了最外层；　⑤把 与 当成同一个因式直接提。 要点　奇次变号、偶次不变；先把括号统一，再找公因式，最后合并括号内同类项。 1． 把提公因式后，则另一个因式为 （  ） A． B． C． D． 2． 因式分解：      ． 　 3． 先化简，再求值：其中． 　 　 　 　题型 5　　先分解，再整体代入求值 知识梳理 把所求式子先提公因式变成"积"，再把已知的"和"与"积"整块代进去 两步走　①把所求代数式因式分解成积；②把已知条件（多为 与 ）整体代入．如 求 原式 ．不解方程，这就是因式分解在求值题里的全部用处。 带差的版本　求 原式 ．先提出 再处理括号里的符号，两步都要看清。 几何条件翻译　长方形周长 面积 即 那么 ．"周长除以 才是 "，这一步最容易直接用成 先分解再代值的规范写法　 中把 换成 原式 再代 得 ．先化到最简的积，再代值，直接代会算出一堆数。 易错　①不分解就硬代；　②周长当成 　③提公因式后符号错（ 没换）；　④分解后括号里没合并；　⑤代值时字母与数值对错位。 要点　先提公因式成积、再整体代入；周长要除以 符号要换对。 1． 已知则的值是 （  ） A．8 B． C．2 D． 2．  长方形周长与面积 如图，长方形的周长为14，面积为10，则的值为      ． 　 3． 已知用含a，b的式子表示的值． 　 　 　 　题型 6　　提公因式做简便计算与幂的提取 知识梳理 把相同的因数（或幂）提出来，剩下的凑整； 提低次幂 同底幂提低次　．提指数小的那一个，括号里剩下""，一步就得结果。 同因数提取　．最后那个 要看成 ，漏掉这个 就会算成 小数与分数题　．括号里凑成整十整百，是简便计算题的设计意图。 先看有没有公因数再算　 这类题，先提 得 比直接算平方快得多；提完若括号里还能凑整，就继续凑。 易错　①提幂时取了大指数；　②漏掉""那一项；　③括号里符号错（ 提完剩 而不是 ）；　④小数点点错；　⑤提完不化简就直接算。 要点　相同的因数或幂提出来，剩下的凑整；单独出现的那个量记作""。 1． 计算的值是 （  ） A． B． C．2 D． 2． 利用分解因式简化计算59＋4999正确的是(　　)． A．99(57＋44)=901=9 999 B．99(57＋441)=900=9 900 C．99(57＋44＋1)=902=10 098 D．99(57＋4499)=9=198 3． 应用简便方法计算： （1） （2）． 　 　 　 　 　 　题型 7　　多次提公因式、看错与阅读材料 知识梳理 提一次不够就提第二次；有"因式"就设成乘积形式，展开对位求参数 提两次　．每提一次，括号里的结构就更整齐一次；这类阅读题问的往往是"第几步用了什么方法"。 分组分解的雏形　．分组的目标是"两组提完之后出现同一个括号"；分错了就提不出公共括号，换一种分法即可。 有因式就设乘积、展开对位　 有一个因式 就设 展开得 对位得 所以 ．"有因式"三个字就是"可以写成乘积"，这是因式分解与待定系数法的接口。 看错类题的分工　一人看错一次项系数、另一人看错常数项，看错的项不能用，没看错的项可以直接用：看错一次项 常数项是对的；看错常数项 一次项是对的．把两人结果各自乘开，取"对的那一项"拼回原式，再分解。 易错　①提一次就收手；　②分组分错、提不出公共括号；　③设因式时漏掉最高次项的系数；　④展开对位时把 的系数对应错；　⑤看错类题把看错的那一项也拿来用。 要点　提干净为止；有因式就设乘积展开对位；看错题只取"没看错"的那一项。 1． 多项式可以因式分解成为整数，则的值是 （  ） A． B． C． D． 2． 阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题： ​ ​ ​ ​ （1）上述因式分解的方法是      ，共用了      次； （2）把多项式进行因式分解，结果是      ； （3）依照上述方法因式分解：（为正整数）． 　 　 　 　 　 　 　 3． ​的三边长分别为且请判断是等边三角形还是等腰三角形？ 　 　 　 4． 若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为易知同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如． （1）【基础训练】 解方程填空： ①若则      ； ②若则      ； ③若则      ； （2）【能力提升】 交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数则一定能被      整除，一定能被      整除，一定能被      整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空） （3）【探索发现】 北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为      ； ②设任选的三位数为（不妨设），试说明其均可产生该黑洞数． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 5． 两位同学将一个关于的二次三项式分解因式时，一位同学因看错了一次项系数而分解成另一位同学因看错了常数项而分解成． （1）求原来的二次三项式； （2）将原来的二次三项式分解因式． 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜概念辨认与提公因式的基础套用 1． 下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是 （  ） A． B． C． D． 2． 一个多项式因式分解后是那么这个多项式是  （  ） A． B． C． D． 3． 下列从左到右的变形，属于因式分解的是 （  ） A． B． C． D． 4． 下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是 （  ） A． B． C． D． 5． 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是 （  ） A． B． C． D． 6． 多项式中各项的公因式是 （  ） A．a B． C． D． 7． 多项式12ac＋8b的公因式是(　　) A．4a B．4abc C．2a D．4ab 8． 将多项式进行因式分解的结果是 （  ） A． B． C． D． 9． 把多项式+2a分解因式得  （  ） A．a（a+2） B．a（a2） C．（a+2） D．（a+2）（a2） 10． 将提公因式后，另一个因式是 （  ） A． B． C． D． 11． 把多项式分解因式正确的是  （  ） A． B． C． D． 12． 计算：的结果是 （  ） A． B． C． D． 13． 因式分解：      ． 　 14． 因式分解：      ． 　 15． 已知：则的结果是       ． 　 16． 已知则=      ． 　 17． 多项式可因式分解为则为      ． 　 B 组　提升题 必做｜相反数变形、整体代值与阅读逆推 1．  可分解求 k 已知多项式在有理数范围可以分解因式，则k可取的单项式为 （  ） A．9 B． C． D． 2． 如果把二次三项式因式分解得那么常数的值是 （  ） A． B． C． D． 3． 若则等于 （  ） A． B． C． D． 4． ​与的公因式是      ． 　 5． 分解因式=      ． 　 6． （1）若实数满足则的值是      ． （2）若则的值为      ． 　 7． 已知可因式分解为其中均为正整数，则的值为      ． 　 8． 分解因式： （1） （2） （3）． 　 　 　 　 　 　 　 9． 分解因式： （1） （2） （3） （4） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 10． 把下列各式分解因式： （1） （2） （3）． 　 　 　 　 　 　 　 11． 先分解因式，再求值：其中． 　 　 　 12． 如图，长和宽分别为a，b的长方形的周长为20，面积为12，求的值． 　 　 　 13． 已知求的值． 　 　 　 14． 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：． （1）上述因式分解的方法是      ，共应用了      次． （2）分解因式：（n为正整数）． 　 　 　 　 　 15． 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ​． （1）上述因式分解的方法是      法，共应用了      次． （2）若分解因式则需要应用上述的方法      次，分解因式后的结果是      ． （3）请用以上方法分解因式：（为正整数）． 　 　 　 　 　 　 　 16． 观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么． 例：把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式． 解法1：am＋an＋bm＋bn =（am＋an）＋（bm＋bn） = a（m＋n）＋b（m＋n） =（m＋n）（a＋b）． 解法2：am＋an＋bm＋bn =（am＋bm）＋（an＋bn） = m（a＋b）＋n（a＋b） =（a＋b）（m＋n）． 根据你的发现，把下面的多项式分解因式: （1）mxmy＋nxny； （2）2a＋4b3ma6mb． 　 　 　 　 　 17．  电阻串联 如图，把三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U当=19.7，=32.4，=35.9，时，求U的值． 　 　 　 18． 已知可分解因式为其中a、b均为整数，求的值． 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜三项变形与整除性逆推 1． 将多项式因式分解，结果为 （  ） A． B． C． D． 2．  有一个因式 已知多项式因式分解后有一个因式为求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $