上海市普陀区2026－2027学年九年级第一学期期中阶段学情检测数学试卷

2026学年第一学期九年级数学学科期中考试卷 2026.11 参考答案及评分说明 一、选择题：（本大题共5题，每题4分，满分20分》 1.B: 2.C: 3.D; 4.D: 5.A. 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分） 6.100: 7.1: 8.（-1,3): 9.有两个交点： 10.5√5-5： 11.6: 12.∠CAB=∠DME:(答案不唯一) 13.4: 14.24: 15. v15 6 16.10 4 三、解答题： (本大题共7题，其中第17、18题每题10分，第19、20题每题12分，第21题13分，第22题14分， 第23题15分，满分86分) 17.解：，抛物线的顶点为M(-1,4), 设抛物线的表达式为y=a(x+1)2+4(a≠0). (2分) ,该抛物线经过点4(-2,6)， .6=a(-2+1)2+4,… e。e。.eeessse.e0。ee。...0。ee。00ee。e (3分) 解得Q=2.… (3分) 这个抛物线的表达式为y=2(x+1)+4.… (2分) 18.解：A(0,-4),B(2,-6,C(4,4).… （2+2+2分) 作图正确。… (3分) 所得的△AB,C,与△ABC关于原点位似，且位似比为-2，… (1分) 9,解：()~抛物线y=)+3-mx+m+1的顶点在y抽上 .抛物线的对称轴为y轴，… (2分) .3-m=0, 解得=3。… (2分) 当m=3时，m+1=4,符合图像与y轴交于正半轴， 1 ∴这个抛物线的表达式为y= 万x2+4、 (2分) 第！页共4页 (2)直线1平行于x轴，与该抛物线交于A、B两点，且对称轴为y轴， ∴.当AB=4时，点A、B的横纵标分别为-2、2， (2分) ∴此时点A、B的纵坐标n=2.… (2分) ,图像开口向下， .当AB>4时，n<2. (2分) 说明：其它方法均酌情给分 20.解：(1)AC是AD、BC的比例中项，：4C=BC (2分) AD AC ∠BAC=∠ADC=90°，.Rt△4BCRt△DCA.… (2分) ∴.∠ACB=∠DAC.… (1分) ,∠ACD+∠DAC=90°， ∴.∠ACD+∠ACB-90°，即∠BCD-90°· ∴DC⊥BC.… (1分) (2)c=4,Sac=4 (2分) S四边我MBCD 7 ,'Rt△ABCRt△DCA, =( (2分) SADCA AC .BC=2,AC=√3.… (2分) 说明：其它方法均酌情给分、 21.证明：(1)，∠ACB=90°，DE⊥B, ∴.∠BED=∠BCA=90°. (1分) ∠B=∠B, ∴.△BDE∽△BAC. (2分) BD BE (2分) BA BC ∴.BE.BA=BD-BC.… (1分) 因“留器…照脸 ·Bz=BC (1分) ∠B=∠B,△BD∽△BCE. (1分) ∴∠BAD=∠BCE.… (1分) .∠ArE=∠CFD,∴.△AEF∽△CDF.… (1分) ∴.∠AEF=∠CDR, AC=CD,∠ACB=90°，∴∠C4F=∠CDA=45°.∴.∠AEF-45°.… (2分) DE⊥AB,∴.∠CED=45°. .∠ADC=∠CED.… (1分) 说明：其它方法均的情给分. 第2页共4页 2,解：（①①抛物线的表达式为y=, “11 20a3解得卫=2。……… (2分) ∴焦点F的坐标是(0,1). (2分) ②将x=-1代入y=,解得y=4· 1 (1分) 设经过焦点的光线表达式为y=a+b(k≠0)， 光线经过(0，、(-1宁， 「b=1, k=3 1 解得 41 -k+b=4 b=1. 经过焦点的光线的表达式为y= *+1. (2分) 3 设交点坐标为m,m+),代入y=4x 解得%=4，m2=-1.… (1分) ∴直线表达式为直线x=4.… (1分) (2)不存在 ,改变焦点后的抛物线表达式为y=m2（a≠0)， 六焦点F的坐标是(0名， … (1分) 由题愈得，(-3,9a）、(0,)、39三点共线， (1分) Aa 1 9a=a,解得a=6 （1分) 又：(-1，a)、(0,)、416a)三点共线， 4a .过(-l,a)、(4,16a)的直线表达式为y=3ax+4a, ∴将(0，)代入解得，2= Aa -16 (1分) 满足条件的☑不存在、… (1分) 说明：其它方法均酌情给分. 23.解：(1)，四边形ABCD是矩形，.∠A=∠B=90°.… (1分) 第3页共4页 EF⊥CE,∴.∠CEF=∠A=90°. .∠CEF+∠CEB=∠A+∠AFE,∠AFE=∠BED.… (1分) .△AEF∽△BCE.… (1分) .AF AE ………0004* (1分) BE BC (2)①四边形ABCD是矩形，AD∥BC,AC=BD..∠ADB=∠DBC. 记4C与BD交于点0，则0C=4C,OB=BD.可得OB=0C, 2 2 ∴.∠DBC=∠ACB. LADB=-2LECB,LACE=LBCE=5∠ACB.… (1分) 2 ,△AEF∽△BCE,.∠AEF=∠BCE,.∠AEF=∠ACE. .∠E=∠CME,∴.△AEM∽△ACE. （1分) :但=AM=EM AC AE CE .AC-4M,∴设M=n,AC=4n, 则AE=2m.·E4=1.」 (2分) CE 2 :∠B=∠CEM=90°，∠BCE=LECM,△BCE∽△ECM. BC BE ..BE=EM=1 ECEM'…BCCE2 BEm BC=2m.... (1分) ②连接AC交BD于点O. 由①得，∠ACE-∠BCE. ·点E到边AC、BC的距腐相等，：=4C SABCE BC AACE,△BCE同商，：ac=4但 ..A8 AC (1分) SABCE BE BE BC “AB=3BE,∴AC-2BC..OC=BC.… (1分) ,∠ACE=∠BCE,.CP⊥BD. EFLCE,∴EF∥BD.DF-8E=1 (1分) AD AB 3 AD/BC,AD-Bc,DrDDo=D.. (1分) BC BO 3 同理BP=BD (1分) 4 P≌1 (1分) BD 2 说明：其它方法均的情给分。 第4页共4页2026学年第一学期 学校九年级数学学科期中考试试卷 (时间：100分钟，满分：150分) 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分） 【下列各趣的四个选顶中，有且只有一个选顶是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸 的相应位置上】 1.已知x:y=5:4,那么2x-上的值是 W, (⑧)3 (C) (D) 6 2.下列两个图形一定相似的是 (A)四个内角对应相等的两个四边形； (B)四条边对应成比例的两个四边形： (C)一个内角对应相等的两个菱形； (D)一条边对应相等的两个炬形， 3.如图1，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE并延长交BC的延长线于点 CF F,那么下列线段的比中与 不一定相等的是 BE (A) EF CE (B) AF ®i (D) DE CD· 图i 4.在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线y=-(x+2)2+h,下列结论中正确的是 (A)抛线与y轴交点的坐标为(O,); (B)顶点是抛物线的最低点； (C)对称轴为直线x=2; (D)在对称轴左侧，图像上升. 5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点P(-1,0),2(3,0),如果点A(1-m,), B(3-m,y)在该抛物线上，其中m是正数，且y>y2始终成立，那么m的取值范围是 (A)m>1; (B).m>2; (C)0<m<2; (D)1<m<2. 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 6.在比例尺是1：5000000的地图上，测得甲、乙两地的距离是2厘米，那么甲、乙两地的 实际距离是▲千米， 7.已知抛物线y=ax2经过点A(2,4),那么a的值是▲· 第1页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅ApP 8.将抛物线y=2x2+3向左平移1个单位长度，所得新抛物线的顶点坐标是▲一。 9,抛物线y=2x2-4x-3与x轴交点个数的情况是▲， 10,玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶，如图2，实验发现当水面高度上 升至点C处时，此时将瓶高AB分为AC和BC两部分(ACBC),可以肢击出音阶“o”.其 中点C为瓶商AB的黄金分割点，如果瓶高AB为I0厘米，那么液面高度AC为▲厘米. 11、如图3，已知直线、12、分别做直线l于点A、B、C,鹼直线l,于点D、E、 F,且I1∥L2∥马，如果AB=2,BC=4,DF=9,那么EF的长是△， 10cm cm 图2 图3 图4 2.如图4，在△ABC5△4BD中，径-%，婴使△BC与△MED一定相似，还带漆D 个条件，这个条件可以是▲一·（只带填一种情况即可) B.在R△4C中，C990,D是数B上的商.如果C-D=9,2 BD的长是▲· 14,如图5，矩形PNQ的边N在△ABC的边BC上，顶点P、2分别在边AB、AC上，已 知△ABC的边BC长为12，商AD为8，且号-，那么短形P0W9的面积为△一 M D N 图5 图6 5如图6，在△4BC中，点D、E分别在边瓜、AC上，LBD=LB,狐=名，D为 AC DE 中点，那么 的值为▲、 BC 16,如果平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形是直角 三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”.已知一个平行四边形的“中直三角 形”的两条直角边之比为2：3，且直角顶点在平行四边形的顶点上，那么这个平行四边形的较 短边与较长边的比值为▲ 第2页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫罐ApP 三、解答题（本大题共7题，满分86分） 17.(本题满分10分) 已知抛物线的顶点为M(-1,4),且经过点A(-2,6),求这个抛物线的表达式， 18、(本题满分10分) 如图7，△ABC各顶点的坐标分别为A(02)、B(-1,3)、C(-2,-2),在平面直角坐标系 中，画出与△ABC关于原点位似的三角形，使它与△ABC的位似比为-2，并写出其各顶点 的坐标：点A的坐标为▲一，点B的坐标为▲，点C,的坐标为△一·（不用写画 图过程，但要写出结论) 图7 19.(本题满分12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分) 已知抛物线y=一2女+B-m)x+m+1的顶点在y轴的正半轴上。 (1)求该抛物线的表达式； (2)已知直线I平行于x轴，且与该抛物线交于小B两点，点A在点B的左侧，如 果线段AB的长度大于4，求点A的纵坐标n的取值范图， 第3页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅ApP 20.(本题满分12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分) 如图8，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=90°，AC是AD、BC的比例中项. (1)求证：DC⊥BC; 2)如果9=手，BC2,求4C的长。 S四h形BCD 图8 21,(本题满分13分，第(1)小题6分，第(2)小题7分) 如图9，在Rt△ABC中，∠ACB-90°，点D在边BC上，过点D作DE⊥AB于点E, 连按AD、CE交于点F, (I)求证：BE·BA=BD·BC; (2)若AC=CD,求证：∠ADC=∠CED. 图9 第4页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫推APP 22.（本题满分14分，第(1)①小题4分，第(1)②小题5分，第(2)小题5分) 在学习了课本上抛物线的性质后，小普在课外查询了抛物线的其他性质，他收集到的 材料如下： 材料一：一般地，平面上到一个定点F和到一条定直线1（点F不在直线1上）距离相等的点 的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线1叫作抛物线的准线， 站物线y一方2p40)的施点是 材料二：如图10-1，抛物线有一条重要性质：从焦点F射 出的光线，入射到抛物线上的一点并发生反射后，反射光 线平行于抛物线的对称轴；反之，如图10-2，一束平行于 抛物线对称轴的入射光线，经抛物线反射后，反射光线必 图10-1 定经过抛物线的焦点F,并反射到抛物线上， 利用这个性质，既可以将平行光汇聚到焦点，也可以 把焦点处光源发出的光转化为平行光， 图10-2 小普准备了一支激光笔和一条用反光材料做成形如图 10-1的抛物线的一部分. (1)以抛物线的顶点为原点，垂直于抛物线对称轴的 直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系 x0(如图103)，这条抛物线的表达式为y=x. ①根据材料一，求该抛物线焦点F的坐标； 图10-3 ②小普用微光笔射出一束平行于y轴的光线，沿直线x=一1入射到抛物线上、根据材 料二，反射光线经过抛物线的焦点F射到抛物线上，再沿直线'反射，求直线的表达式 (2)小普进一步思考：能否调整抛物线的焦点位置，实现从指定位置的平行光入射， 再从另一个指定位置平行射出，以此来实现一种加密方式，设改变焦点后的抛物线表达式 为y=ax2(a≠0)，当光线沿着直线x=-3入射时，最后的反射光线沿着直线x=3射 出；当光线沿着直线x=一】入射时，最后的反射光线沿着直线x=4射出.满足上述条件 的Q是否存在，请说明理由。 筐5而什6 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅ApP 23.(本题满分15分，第(1)小题4分，第(2)①小题5分，第(2)②小题6分) 如图I1,在矩形ABCD中，过边AB上的点E作EF⊥CE交边AD于点F. 0求证：能能 (2)连接BD交CE于点P,∠ADB=2∠ECB. ①如图12，连接AC与EF交于点M,如果AC-4AM,设BE=m,用含字母m的代 数式表示BC; ②如图13，连接CF交BD于点2，如果AB=3BE,求%的值. BD 图11 图12 图13 第6页共6而 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫罐APP