4.5.1 函数的零点与方程的解教学设计---2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5.1 函数的零点与方程的解 教学设计

（人教A版）

高中数学必修第一册

一、教材分析

本节内容选自《普通高中教科书·数学（人教A版）必修第一册》第四章"指数函数与对数函数"的4.5节"函数的应用（二）"，是学生在系统学习函数的概念与性质、指数函数与对数函数之后，运用函数观点研究方程问题的起始课。教材从学生熟悉的一元二次方程与二次函数的关系入手，通过考察方程

的根与函数 的图象与x轴公共点横坐标之间的对应关系，给出函数零点的概念，并进一步归纳出函数零点存在定理，把"方程的解"与"函数的零点"紧密联系起来。这样编排符合学生由特殊到一般的认知规律，既深化了对函数概念的理解，渗透了函数与方程、数形结合的思想，又为后续运用函数观点研究方程的近似解奠定了基础，起着承上启下的关键作用。

二、教学目标与核心素养

（一）课程目标

1、通过考察一元二次方程的根与对应二次函数图象和x轴公共点的关系，理解函数零点的概念，掌握函数的零点、方程的实数解与函数图象同x轴交点三者之间的等价关系；

2、经历"观察—归纳—猜想—验证"的探究过程，理解并掌握函数零点存在定理，能利用定理判断方程实数解的存在性及所在区间，体会由特殊到一般、数形结合与化归转化的思想方法；

3、通过用计算工具列表、画图探究零点问题，感受信息技术与数学学习的融合，培养观察发现、质疑验证的理性精神与探索创新意识。

（二）数学学科素养

1.数学抽象：函数零点的概念，零点、方程的解与图象交点三者之间的等价关系；

2.逻辑推理：函数零点存在定理的归纳概括及其应用；

3.直观想象：借助函数图象直观理解零点存在定理及其三个限定条件；

4.数学运算：利用零点存在定理判断方程实数解的存在性及所在区间。

三、教学重难点

重点：函数零点的概念、函数零点存在定理及其初步应用；

难点：函数零点存在定理的理解（图象连续性条件、定理只判定存在性不判定个数）与运用。

四、教学方法和工具

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体、计算工具（绘图与列表软件）。

五、教学过程

（一）情景导入

提问1：一元二次方程 的根是什么？它对应的二次函数图象与x轴有什么关系？

提问2：像方程 这样，用配方法、公式法都解不出来的方程，如今同学们常用的AI学习机却能给出它的近似解——AI是按照什么思路"找"到方程的解的呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生带着"能否借助函数的图象研究方程的解"这一问题进入本节课的学习.

（二）预习课本，引入新课

阅读课本142~145页，思考并完成以下问题

1、一元二次方程的根与对应二次函数的图象有什么关系？

2、什么是函数的零点？零点是"点"吗？

3、函数零点存在定理的条件和结论分别是什么？

4、函数的零点、方程 的实数解、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有什么关系？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

（三）新知探究

1.函数零点概念的探究

探究1：回顾一元二次方程 与二次函数 ，其中判别式 ，方程有两个不相等的实数根 ，；相应地，函数图象与x轴有两个公共点(−1,0)，(3,0)，如图1。