精品解析：天津市滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校2026-2027学年九年级上学期10月数学练习

2026-2027学年第一学期九年级数学练习 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．下列每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意．） 1. 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意． 2. 判断下列是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，逐一判断各选项是否符合定义即可． 【详解】解：A、，若，则不是二次函数，故A不一定正确； B、，最高次项为，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； D、，符合二次函数定义，是二次函数，此选项符合题意． 故选：D． 3. 一元二次方程的解为（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴，， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 4. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为：( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换．根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得：， 故选：A． 5. 某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，列式，即可作答． 【详解】解：设平均每月降价的百分率为， 根据题意有：， 故选：C 6. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】∵a=1，b=－3，c=－1 ∴ ∴一元二次方程有两个不相等的实数根 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，因此掌握判别式是关键. 7. 若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴k＝2×（﹣3）＝﹣6， ∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6， （﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6， 1×（﹣6）＝﹣6， ,6×1＝6≠﹣6， 则它一定还经过（1，﹣6）， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象所在象限和增减性，再结合各点横坐标的范围判断点所在象限，即可比较函数值的大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中，比例系数， ∴ 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ 点在第二象限，可得， ∵ ，， ∴ 点，都在第四象限， ∴，， 又∵ ，且第四象限内随的增大而增大， ∴ ， 综上可得 ． 9. 抛物线中，y与x的部分对应值如下表： x … 1 3 4 6 … y … 8 18 20 18 … 下列结论中，正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可． 【详解】由图可知，和时对应的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值， ∴抛物线开口向下，故选项A、B错误， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故选项C错误，选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键． 10. 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（ ） A. 当时， B. 随的增大而减小 C. 是的函数 D. 图中曲线是反比例函数的图象 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图象得，当时，，故A正确； 由图象得，随的增大而减小，故B正确； 由图象得，的值都有唯一确定的的值与之对应， ∴是的函数，故C正确； 由图象得，当时，，即； 当时，，即； ∵ ∴图中曲线不是反比例函数的图象，故D错误． 11. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 12. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可． 【详解】解：①由图像可知：，， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线与轴的一个交点在与0之间，对称轴为直线， ∴另一个交点在到之间， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小，此时，， 而当时，， ∴ ， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以，正确的结论有：②④⑤，共3个． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 方程的解是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】原方程左边已分解为两个一次因式的乘积，根据乘积为0的性质，分别令各因式等于0即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴或， 解得 ，． 14. 若抛物线经过点，四个点，则m 的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据点A和点C的坐标可求出对称轴，再根据题意可得点B和点D关于对称轴对称，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴对称轴为直线， ∵点B和点D的纵坐标相同， ∴点B和点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 设x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2的值为___． 【答案】7 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得即可求解. 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根与系数关系. 16. 已知二次函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，能够将增减性与对称轴及开口方向联系起来是解题关键．根据二次函数的图象和性质即可得解． 【详解】二次函数开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小， ， 故答案为：． 17. 如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，由题意得，抛物线顶点坐标为，设抛物线对应的函数表达式为，且过，然后代入求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 设抛物线对应的函数表达式为，且过， ∴，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为， 故答案为：． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【解析】 【分析】找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴结合函数图象得关于x的不等式的解集是或． 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可． （2）先将方程变形，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴， ； 【小问2详解】 ， ， ， 或， ∴，． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）若方程的其中一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1）证明：对于一元二次方程， 判别式 ． ∵ 不论为何值，，即， ∴ 不论为何值，该方程总有实数根． （2）的值为，方程的另一个根为． 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，配方为完全平方式，利用平方的非负性证明判别式恒非负． （2）将已知根代入方程求出，再利用根与系数的关系计算另一根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程，得 ， 解得． 设方程的另一个根为，由根与系数的关系，得 ， 将代入，得． 综上所述，的值为，方程的另一个根为． 21. 已知二次函数． （1）图象的顶点坐标为：_____； （2）抛物线与轴交点坐标为_____； （3）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （4）当时，的取值范围是_____； （5）当时，的取值范围是_____． 【答案】（1） （2）， （3） 作图如下． （4） （5） 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）利用配方法化简即可； （2）令，然后求解即可； （3）用“五点法”取值描点连线即可求解； （4）、（5）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，由， ∴该抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，令， ∴或． ∴该抛物线与x轴的交点为，． 故答案为：，． 【小问3详解】 解：由题意，由抛物线， ∴抛物线的对称轴是直线． 令，则， ∴抛物线与y轴交于点． 又该抛物线与x轴的交点为，， 【小问4详解】 解：由题意，由结合（3）的图象， ∴图象在x轴下方部分对应的自变量即为所求． ∴． 故答案为：． 【小问5详解】 解：由题意，当时， ∵当时，， 当时，． 当时，y取最小值为， 又结合（3）所作图象， ∴当时，． 故答案为：． 22. 如图，是的边延长线上一点，连接，把绕点逆时针旋转得到，其中，是对应点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质解答即可． 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：把绕点逆时针旋转恰好得到 ，， ． 23. 今年“双”网上购物节，某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价元． （1）每天可销售__________件，每件盈利__________元；（用含的代数式表示） （2）若每天销售利润为元，当降价多少元时，每天的利润最大？ 【答案】（1）， （2）当降价为元时，每天的利润最大． 【解析】 【分析】本题考查列代数式，二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． （1）根据“如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”即可得出降价后每天销售件数；根据每件盈利=每件售价-每件成本，即可解得； （2）设每天的利润为元，根据“总利润＝单件利润×数量”，列出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解∶如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件， ∴如果每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为∶，； 【小问2详解】 解：设每天的利润为w元，由题意得 ， 当时，w最大，最大值为， 答：当降价为元时，每天的利润最大． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，分别在轴、轴上，在反比例函数的图像上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，，直线经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图像，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质结合线段等量关系求出、的长度，再根据矩形坐标特点确定点B的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）由（1）得到点的坐标，将、B两点坐标代入得到二元一次方程组求出a、b，再令求得直线与x轴交点D的横坐标，从而可得到点D的坐标；不等式代表在范围内，一次函数图像位于x轴上方且在反比例函数图像下方，结合点D和点B的横坐标，再直接得出对应x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由旋转得，， ， ， ，即， ∵， ，解得， ，， ∵四边形是矩形， ，， ， ∵在反比例函数的图像上， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）得， ， 把，代入得， ， 解得， ， 令得， 解得， ， ∵， ∴x应取x轴正半轴上的图像在上方的部分， ∴当时，． 25. 如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且． （1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的值． 【答案】（1）， （2） （3）最大值为， 此时点 【解析】 【分析】（1）根据点B的坐标得出，则，即可得出点的坐标，结合当时，，可得点C的坐标； （2）将，，代入，利用待定系数法即可求解； （3）先求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线交于点H，设点，则点，利用勾股定理可得，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴； 【小问2详解】 将，，代入得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为：； 【小问3详解】 设直线函数表达式为：， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H，    ∵， ∴， ∵轴， ∴， 则， 由，得， 设点，则点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数，勾股定理，用二次函数关系表示是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学练习 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．下列每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意．） 1. 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 判断下列是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的解为（ ） A. B. ， C. ， D. 4. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为：( ) A. B. C. D. 5. 某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线中，y与x的部分对应值如下表： x … 1 3 4 6 … y … 8 18 20 18 … 下列结论中，正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而增大 10. 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（ ） A. 当时， B. 随的增大而减小 C. 是的函数 D. 图中曲线是反比例函数的图象 11. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 方程的解是__________． 14. 若抛物线经过点，四个点，则m 的值为________． 15. 设x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2的值为___． 16. 已知二次函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是________． 17. 如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为______． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）若方程的其中一个根是1，求的值及方程的另一个根． 21. 已知二次函数． （1）图象的顶点坐标为：_____； （2）抛物线与轴交点坐标为_____； （3）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （4）当时，的取值范围是_____； （5）当时，的取值范围是_____． 22. 如图，是的边延长线上一点，连接，把绕点逆时针旋转得到，其中，是对应点，若，求的度数． 23. 今年“双”网上购物节，某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价元． （1）每天可销售__________件，每件盈利__________元；（用含的代数式表示） （2）若每天销售利润为元，当降价多少元时，每天的利润最大？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，分别在轴、轴上，在反比例函数的图像上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，，直线经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图像，直接写出当时的取值范围． 25. 如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且． （1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $