专题4.1 指数【知识清单+6大题型+强化训练】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册重难点题型精讲精练系列

专题4.1 指数-重难点题型精讲 知识点01：指数及指数运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于， 的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． (6)注意事项：对于根式记号，要注意以下几点： ①，且； ②当是奇数，则；当是偶数，则； ③负数没有偶次方根； ④零的任何次方根都是零． ⑤指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式： 例：；． ⑥指数的逆运算过程：． 【即学即练】 1．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）计算：_________ 知识点02：指数运算中的平方差、立方和差公式 , 【即学即练】 2．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知，且，则__________. 题型01 根式与分数指数幂的互化 1．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）下列式子的互化正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知a，b为正实数，则可化简为（   ） A． B． C． D． 题型02 指数式的化简 5．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·期中）计算__________. 6．（2027高三·全国·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 7．（2027高三·全国·专题练习）求值与化简． (1)； (2)． 8．（25-26高一上·江西南昌·期中）化简：的值为_________． 题型03 根据指数式求参 9．（2026高一·全国·专题练习）使等式成立的实数的取值范围为_____. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（26-27高一上·全国·课后作业）已知正实数满足，则的值为________． 12．（26-27高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知 ，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．7 题型04 指数式的给条件求值问题 13．（26-27高一上·河北衡水·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）已知，求： ①； ②； ③ 14．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知，则__________． 15．（26-27高一上·全国·课后作业） ，则的值为________． 16．（2026高一·全国·专题练习）已知，且 ．求： (1)的值； (2)的值． 题型05 指数幂等式及幂的方程问题 17．（26-27高一上·广东茂名·期中）已知，，则 =________. 18．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）设为正数，且，，则的值为（　　） A． B． C． D． 19．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）若实数，满足，则的最小值为（     ） A．2 B．1 C． D． 20．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）已知，，则的值为________． 题型06 指数式运算应用题 21．（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系(为保鲜时间，为储存温度)，若该食品在冰箱中0的保鲜时间是144小时，在常温20的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40的保鲜时间是（    ） A．14小时 B．16小时 C．18小时 D．20小时 22．（25-26高三上·北京·阶段检测）为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与时间（单位：）成正比.药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示.根据图中提供的信息，回答相关问题. ①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量与时间的函数关系式为______；②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过______后，学生才能回到教室. 23．（26-27高一上·全国·课堂例题）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%.如果按此规律，设2021年的耕地面积为，则2026年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二下·安徽·期末）牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降至，要想温度降至，那么大约再经过（    ） A．10分钟 B．20分钟 C．30分钟 D．40分钟 1．（26-27高一上·北京顺义·阶段检测）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，那么化简代数式的结果是（     ） A． B．3 C．-3 D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）下列运算结果中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 7．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）（多选）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·吉林·期中）（多选）下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·福建三明·期中）计算_________． 13．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）______．（用分数指数幂表示） 14．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知实数满足，则______ 15．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）（1）求值：； （2）已知，求的值. 16．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 指数-重难点题型精讲 知识点01：指数及指数运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于， 的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． (6)注意事项：对于根式记号，要注意以下几点： ①，且； ②当是奇数，则；当是偶数，则； ③负数没有偶次方根； ④零的任何次方根都是零． ⑤指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式： 例：；． ⑥指数的逆运算过程：． 【即学即练】 1．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）计算：_________ 【答案】 【分析】利用指数幂的运算法则化简. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 知识点02：指数运算中的平方差、立方和差公式 , 【即学即练】 2．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知，且，则__________. 【答案】23 【分析】利用完全平方公式对进行平方，然后通过变形求出的值. 【详解】因为，所以， 即， 所以 故答案为：23 题型01 根式与分数指数幂的互化 1．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）下列式子的互化正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】按根式与分数指数幂的互化规则逐项检验，注意偶次方根的结果非负，即可对四个选项作出判断． 【解答】对于A，，当时，，选项A错误； 对于B，，不是，选项B错误； 对于C，，选项C正确； 对于D，当时，无意义，选项D错误． 2．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与分数指数幂的互化运算即可求解. 【详解】，则A选项正确； ，则B选项正确； ，则C选项正确； ，则D选项错误. 3．（25-26高一上·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用指数幂的运算性质，准确计算化简，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算性质，可得. 故选：D. 4．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知a，b为正实数，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则化简即可. 【详解】因为a，b为正实数， 所以. 故选：B. 题型02 指数式的化简 5．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·期中）计算__________. 【答案】/ 【详解】 6．（2027高三·全国·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)100 (2)当时，原式；当时，原式. 【分析】（1）将带分数化为假分数，利用分数指数幂与负整数指数幂的运算法则逐项化简，最后合并同类项即可； （2）先将根式化为分数指数幂，再根据同底数幂的乘除运算法则计算，最终将结果写回根式形式． 【详解】（1）原式 ． （2）原式， 当时，原式； 当时，原式. 7．（2027高三·全国·专题练习）求值与化简． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将小数化为分数，利用分数指数幂和负整数指数幂的运算法则逐项化简，再合并计算即可； （2）先将根式化为分数指数幂，再根据同底数幂的乘除运算法则化简，最后代入数值计算即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． 8．（25-26高一上·江西南昌·期中）化简：的值为_________． 【答案】1 【分析】利用指数幂的运算法则计算即可． 【详解】 ． 题型03 根据指数式求参 9．（2026高一·全国·专题练习）使等式成立的实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】首先利用二次根式性质化简左侧表达式，根据等式成立的条件列不等式，然后解出的取值范围. 【详解】因为， 要使成立， 需，解得， 即实数的取值范围是. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式的性质化简得解. 【详解】，. 因为，故，所以. 故选：C 11．（26-27高一上·全国·课后作业）已知正实数满足，则的值为________． 【答案】 【详解】由题意得，若，则等式不成立，所以， ，即，故方程变为， 所以，即． 12．（26-27高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知 ，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．7 【答案】D 【详解】由，得，两边同时平方得， 所以，得，得，故. 题型04 指数式的给条件求值问题 13．（26-27高一上·河北衡水·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）已知，求： ①； ②； ③ 【答案】（1）；（2）①7；②47；③18. 【详解】（1）； （2）①两边平方得，， 故； ②两边平方得， 故； ③. 14．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知，则__________． 【答案】10 【分析】将已知条件两边同时平方可得，将平方可求﹒ 【详解】， ，即， 所以， ，即 所以， ∴﹒ 15．（26-27高一上·全国·课后作业） ，则的值为________． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式，立方和公式及指数运算法则计算即可． 【详解】由得，， 所以． 16．（2026高一·全国·专题练习）已知，且 ．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)7； (2)47. 【详解】（1）将两边平方，得， 所以 ． （2）由（1）知，两边平方，得， 所以． 题型05 指数幂等式及幂的方程问题 17．（26-27高一上·广东茂名·期中）已知，，则 =________. 【答案】 【详解】由,得. 由,得. 所以. 18．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）设为正数，且，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以得， 即，所以. 19．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）若实数，满足，则的最小值为（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由条件等式利用指数幂的运算得，代入中结合二次函数的性质求最小值. 【详解】实数，满足，即， 设，则有，即， 可得，解得，即，所以， ，当时，有最小值. 20．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）已知，，则的值为________． 【答案】/ 【详解】. 题型06 指数式运算应用题 21．（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系(为保鲜时间，为储存温度)，若该食品在冰箱中0的保鲜时间是144小时，在常温20的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40的保鲜时间是（    ） A．14小时 B．16小时 C．18小时 D．20小时 【答案】B 【分析】根据已知的两组温度与对应保鲜时间列出方程组，求解得到与的值，整体代入计算时的保鲜时间即可. 【详解】依题意，将已知条件代入函数可得： 当时，， 当时，，将代入，解得， 当时，，将、代入得： . 22．（25-26高三上·北京·阶段检测）为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与时间（单位：）成正比.药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示.根据图中提供的信息，回答相关问题. ①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量与时间的函数关系式为______；②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过______后，学生才能回到教室. 【答案】 /0.6 【分析】当时，可设，把点代入直线方程求得；当时，把点代入求得，最后综合可得函数关系式；根据条件解不等式组即可得解. 【详解】依题意，当时，设，则，解得. 将代入可得，解得. 所以. 由题意可得，因为药物释放过程中室内药量一直在增加， 所以当时，即使药量小于毫克，学生也不能进入教室. 所以只有当药物释放完毕，室内药量减少到毫克以下时学生方可进入教室， 即，解得， 由题意至少需要经过小时后，学生才能回到教室． 23．（26-27高一上·全国·课堂例题）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%.如果按此规律，设2021年的耕地面积为，则2026年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设某地的耕地面积每年减少率为,依题列出方程，再进行整体代入，即得2026年的耕地面积. 【详解】设某地的耕地面积每年减少率为，因为耕地面积在最近50年内减少了10%， 所以，所以， 因为2021年的耕地面积为， 所以，2026年的耕地面积为. 24．（25-26高二下·安徽·期末）牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降至，要想温度降至，那么大约再经过（    ） A．10分钟 B．20分钟 C．30分钟 D．40分钟 【答案】B 【分析】先将，代入题设得出的值，设再经过分钟温度可由降为，将数据代入题设关系式求解即可. 【详解】由题意，当时， 有，解得：，即， 设再经过分钟后，温度可由，降至， 则，即，解得：. 1．（26-27高一上·北京顺义·阶段检测）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 2．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，那么化简代数式的结果是（     ） A． B．3 C．-3 D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 因为，所以，， 故. 3．（25-26高一上·全国·课前预习）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根式化简及零指数意义逐项化简判断. 【详解】对于A，，当时，无意义，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，由，故C错误； 对于D，由，故D错误. 故选：B. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由根式与指数幂的转换即可求解. 【详解】原式，又， 则原式． 故选：B 5．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）下列运算结果中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误. 6．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出 的值，利用指数运算可求得结果. 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为 . 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 7．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 8．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数的运算性质可得出，，，结合指数的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，，则，，且，所以， 所以. 故选：B. 9．（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）（多选）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据根式和分数指数幂运算逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 故选：BC. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据根式运算法依次验证各个选项即可得到结果. 【详解】对于A，，A正确 对于B，，B正确， 对于C，，C错误， 对于D，，D错误， 故选：AB. 11．（25-26高一上·吉林·期中）（多选）下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据指数幂的运算性质逐项计算后可判断各项的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 12．（25-26高一上·福建三明·期中）计算_________． 【答案】 【分析】由分数指数幂运算性质结合题设可得答案. 【详解】 . 13．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）______．（用分数指数幂表示） 【答案】 【分析】先把根式写成分数指数幂，再用同底数幂的乘法法则． 【详解】，， 则． 14．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知实数满足，则______ 【答案】 【详解】因为且，易得， 由，因，则得， 故． 15．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）（1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）原式. （2）令，由得，所以，. 分母. 故原式. 16．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 【答案】(1) (2)7；6 【分析】（1）利用分数指数幂的运算和根式的化简计算即可； （2）两边平方，整体代换，利用立方差公式进行求解。 【详解】（1） （2）由于，则， 即； ， 即， 则. 故；. 学科网（北京）股份有限公司 $