考点18导数的几何意义及其应用专项训练-2027届高考数学一轮复习

黄金考点18  导数的几何意义及其应用【练】 1．，则在处切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．曲线在处的切线经过点，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．若直线为函数且的图象的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 4．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（    ） A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条 6．已知两点在曲线上， 两点在曲线上，设. 当直线均为曲线和公切线时，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 7．已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 8．已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． （2021·全国甲卷理科数学·高考真题第13题） 9．曲线在点处的切线方程为__________． （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题第16题） 10．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． （2025·全国一卷·高考真题第12题） 11．若直线是曲线的一条切线，则_________. （2026·全国二卷·高考真题第19题节选） 12．已知函数，曲线在点处的切线为.求，. （2026·河北曲阳永宁中学等校·最后一卷） 13．若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． （2026·湖南岳阳·三模） 14．已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2026高三下·江苏无锡·4月联考） 15．已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为________． （2026·河南郑州·模拟预测） 16．若直线与函数和的图象均相切，则实数b的最大值为_________． （2026·河北邯郸·一模） 17．“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2026高二下·海南部分学校·期末考试） 18．已知实数a，b，c满足，记函数的图象在，，处的切线斜率分别为，，，则______． （2026·安徽合肥·模拟预测） 19．若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质．若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的最大值是_____． （2026高三下·安徽滁州·学情评估节选） 20．已知函数，直线l为曲线在点处的切线.O为坐标原点.若l与x轴、y轴分别交于点A，B，且为等腰直角三角形，求的面积. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《黄金考点18 导数的几何意义及其应用【练】2027届黄金考点总动员》参考答案： 1．A 【详解】求出、的值，结合导数的几何意义及点斜式可得切线方程. 【分析】因为，则，所以，， 所以函数在处的切线方程为，即. 故选：A. 2．C 【分析】求导，由导数几何意义得到函数在处的切线斜率，结合两点间斜率公式得到方程，求出实数的值. 【详解】，由导数几何意义知， 在处的切线斜率为， 当时，切线经过点，故有，解得. 故选：C． 3．B 【分析】设切点为，利用导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可解出的值. 【详解】设切点为，因为且，则， 由导数的几何意义可得， 所以，即，故， 所以，解得， 故选：B. 4．C 【分析】根据题意，假设两曲线上线的切点，从而得到两曲线的切线，由共切线建立关于的方程组，求得，进而得到切线方程，从而得解. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 与曲线的切点为， 而的导数为，的导数为， 所以两曲线的切线分别为， 两条切线对应相同，可得，解得， 所以切线方程为，即， 则. 故选：C. 【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为： （1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：； （2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为， 5．B 【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，利用导数的几何意义求出过原点的切线方程即可. 【详解】设过原点作函数的切线的切点为， 而，则， 因此切线方程为， 由切线过原点，得， 则或，当时，切线方程为； 由，得或， 当时，切线方程为； 当时，切线方程为， 所以过原点可作函数图象的切线条数为3. 6．A 【分析】设公切线在 上切点横坐标为，写出两切线方程，令截距相等得关于的方程，注意到该方程若为根，则也为根，故两切点横坐标 互为相反数，从而得到的值. 【详解】导数为，导数为. 设公切线切于，切于， 则公切线斜率. 的切线方程为； 对代入，写出切线方程：. 两切线截距相等，整理得 若是上述方程的根，将代入方程左边得，即若是根，则也是根. 题目中是方程的两个根，因此，得. 因此. 7．A 【分析】设切点坐标，求导确定切线方程，代入，得到，由方程根的个数，转换成在上单调，进而可求解. 【详解】由，定义域为， 导数，设切点为 ， 切线斜率为​， 则切线方程：，又切线过点 ， 代入整理得： 由题意对任意，方程关于仅有一个解， 即函数在上单调， 求导得： ​ ，又， 符号由分子 决定， 要让单调，需恒正或恒负对所有成立， 当时，恒成立，此时当时，恒正或恒负不成立， 当时，若恒正或恒负对所有成立， 需满足和有相同零点， 有正根​​，，得， 即，解得​； 此时 对所有恒成立， 仅处等号成立，在单调递减，且，， 故对任意，方程仅有一个解，符合要求； 因此. 8． 【分析】根据两条曲线的其中一条公切线为，结合导数的几何意义求出，设出另一条切线的两条曲线的切点坐标，得到切线方程，联立方程组求解即可. 【详解】对，求导得， 设切点为，切线斜率，解得，则切点为，切线方程为，满足条件. 对，求导得. 设切点为，则切线斜率为，所以，故切点坐标为， 代入切线中得，，则. 设另一条公切线与相切于，则切线方程为， 即. 设该公切线与相切于，则切线方程为， 即. 所以，解得或. 当时，对应切线方程为，即已知切线方程； 当时，对应切线方程为. 故另外一条公切线的方程为. 9． 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以． 故切线方程为． 故答案为：． 10． 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 11． 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 12． 【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】， 由切点在直线上，也在函数图象上， 可知且，可得； 由，则切线的斜率为， 解得； 故. 13．D 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，由已知建立方程，利用方程无解列式求解. 【详解】函数，求导得， 则函数的图象在处的切线方程为， 由原点不在该切线上，得关于切点横坐标的方程无解， 即无解，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 14．A 【分析】设公切线方程为，分别与的图象切于点，与的图象切于点，根据导数的几何意义得出，消去得关于的方程，两边取自然对数后令，定义函数，其定义域为（当）或（当）．利用导数求出的极小值，再根据极小值的正负讨论的解的个数得出参数范围. 【详解】，， 设公切线方程为，直线与的图象切于点，与的图象切于点， 则，，， 所以． 即，由， 得，代入，得关于的方程． 等式两边取对数得， 令，定义函数， 其定义域为（当）或（当）． 则， 当时，在单调递减，在上单调递增，此时在处取极小值； 当时，同理可得在处取极小值， 故有唯一极小值点，极小值为． 的解的个数对应公切线的条数： 若，则有两个解，即有两条公切线； 若，则有一个解，即一条公切线； 若，则无解，即无公切线． 当时，则，分子（因恒成立），故； 当时，可得，令可得，即，解得． 此外，时无公切线，时仅一条． 因此，恰好有两条公切线时的取值范围是． 15．## 【分析】设出公切线在两函数图象上的切点，用两种方式表示出公切线，得到对应等量关系，据此可得答案. 【详解】设公切线在图象上的切点为，结合， 可得公切线方程为：； 设公切线在图象上的切点为，结合， 可得公切线方程还可表示为：. 依题意可得，由②得，即， 代入①，得， 又，，从而. 令，则. 令，则， 则在上单调递减，注意到， 则， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而，即实数m的最大值为. 16．2 【分析】利用切点导数相等结合切点在直线上的截距列等式，利用换元法得出参数约束方程及，再利用隐含条件，找到所有零点，再代入比较大小． 【详解】设直线l与的图象相切于点， 直线l与的图象相切于点， 则，，得，得 ，令，则，， ，故， 设，显然为的一个零点，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，故， 而，，， 的两根位于两侧，已知一根为1， 另一根位于区间内， 当时，， ，求导得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，， 的最大值为2． 17．B 【详解】由，得． 由曲线在处的切线的倾斜角为， 可得，解得或． 故“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的必要不充分条件． 18． 【详解】已知 ， ，分别代入 ，， ， ， 因为，所以 19． 【详解】求导得，令，则. 由，可设，，则， ，其值域为. 性质要求存在不同的两点，其切线斜率乘积为，即存在使得. 由于乘积为负，与异号，故区间必须包含正数和负数，即，解得. 存在异号两数乘积为等价于存在使得且，即且， 结合得，即，所以，故. 因此性质成立当且仅当，此时，由柯西不等式，得， 当时取等，于是，故的最大值为. 20． 【分析】利用导数几何意义求得切线方程，然后求得两点坐标，利用等腰直角三角形确定解满足，换元，然后分类讨论去绝对值符号，并引入新函数，利用导数及零点存在定理确定出方程的解，从而得出，计算出三角形面积. 【详解】函数求导得.     所以，切线：. 化简得. 所以由题可知分别令可得，. 为等腰直角三角形，且，故. 即， 因为，所以化简得. 若 即 . 代入：左边 ，右边 . 此时 都与原点重合，不能构成三角形，舍去. 若两边约去 ，得： 令 ，则 ，方程变为：. 情况1： ，即 ， 设 ， 时， ， ， 单调递增. 因为 ，故有唯一解 ，即，此时 ，. 等腰直角三角形面积. 情况2： ，即 ， 设 ， 单调递增； ， ，单调递减. 函数 有极大值同时也为最大值 . 所以 恒成立，方程无解. 综上，方程只有唯一解 ， ， ，面积 . 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄金考点18  导数的几何意义及其应用【讲】 2026年真题深入解读 【题源】（2026·全国I卷·高考真题第4题）曲线在点处的切线方程为（    ） A.    B.    C.    D. 【高考新趋势】 1.复合函数常态化：切线载体不再是单一多项式，融合指数函数+三角函数复合，强化复合求导运算素养，贴合2026全国Ⅰ、Ⅱ卷导数基础题命题风格； 2.切线为大题前置送分问：导数压轴固定以切线作为第1小问，分值4分，为第（2）问切线放缩证明铺垫，体现“梯度分层”命题思路； 3.运算严谨性导向：结合特殊三角函数值、指数基础运算，侧重检验学生基础计算准确率，区分粗心失分人群； 4.数形结合落地：依托切线斜率直观体现瞬时变化率，同步考查直观想象、数学运算两大核心素养. 【命题分析】 （1）考查角度：导数几何定义、指数与三角函数复合求导、直线点斜式标准化书写； （2）难度定位：基础送分小问，全卷导数大题入门门槛，面向全体考生，无复杂思维门槛； （3）命题逻辑：三步标准化解题流程（求切点→求导算斜率→整理切线），完整考查切线基础解题范式，同时隐性检验复合求导易错点. 【知识总结】 1.核心公式： 若函数在可导，则切线斜率，切线点斜式； 2.基础求导公式： ，加减求导逐项运算； 3.通用解题流程： ①代入横坐标求切点纵坐标； ②求导函数，代入切点横坐标计算切线斜率； ③点斜式整理为斜截式或一般式. 【分步解析】 第一步，明确切点（求切点的坐标）： 切点为， 第二步，求导函数并计算切线斜率： 因为，则，当时，， 第三步，代入点斜式整理切线方程： 曲线在点处的切线方程为， 化简为一般式：.故选D. 2027年命题维度与预判 考情维度 2027命题预判 分值位置 客观题：一般为单选第3-6题或填空第11-13题，固定5分；解答题：导数大题第（1）小问，4~6分，必考前置基础设问. 核心考点 （1）基础必考：定点切点切线标准化求解；（2）中档高频：切线条件反求单、双参数、双曲线公切线； （3）压轴配套：切线边界不等式放缩证明； （4）创新载体：指数、三角、对数混合复合函数求切线. 命题特点 （1）梯度稳定：切线作为导数大题入门送分问，降低压轴准入门槛；（2）复合函数成为主流载体，纯多项式切线大幅减少； （3）中档区分点：公切线、过点切线多解问题稳定设置； （4）压轴联动：切线结论直接用于第二问恒成立不等式证明； （5）易错陷阱集中：复合求导漏层、过点切线漏多解、放缩方向错误备考策略. 备考策略 （1）基础限时训练：定点切线三步标准化书写，杜绝计算失误；（2）区分两类切线专项：对比训练“在点切线”“过点切线”，理清切点逻辑； （3）中档突破：系统掌握双切点公切线方程组模板，强化消元运算； （4）压轴衔接：熟记切线放缩结论，配套证明训练； （5）错题归类：单独整理复合求导、多解切线、放缩失误三类错题. 考法一  定点切点切线标准化运算 【十年真题*精选】 真题1-1（2023·全国甲卷文科数学·高考真题第8题） 1．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 真题1-2（2026·上海·春季高考真题第19题节选） 2．已知函数.当，，求函数在处的切线方程. 真题1-3（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题第14题） 3．曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【解题规律*总结】 题源 考查角度 规律总结 2023全国甲卷文科数学第8题 分式型（指数函数与一次函数运算复合）在已知点处的切线方程的求解 1.定点切线：直接求导代值算斜率，点斜式化简即可，无多解陷阱；2.分段函数切线：需分段讨论，不可直接套用统一解析式； 3.偶函数切线可利用对称性简化运算，减少计算量； 4.核心流程：定切点→求导算斜率→代点整理方程，三步通用. 2026上海春季高考第19题节选 正弦型三角函数在已知点处的切线方程的求解 2022新高考全国Ⅱ卷第14题 绝对值对数型函数过已知点切线方程的求解 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2026·第21届中国北方数学奥林匹克） 4．已知函数，则曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 模拟1-2（2025·四川成都·一模） 5．函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 模拟1-3（24高三上·河北衡水·开学考试） 6．已知，则在点处切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 考法二  依托切线等量条件反求函数参数 【十年真题*精选】 真题2-1（2026·全国II卷·高考真题第19题节选） 7．已知函数，曲线在点处的切线为.求，. 真题2-2（2025·全国I卷·高考真题第12题） 8．若直线是曲线的一条切线，则_________. 真题2-3（2022·新高考II 卷·第16题） 9．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【解题规律*总结】 题源 考查角度 规律总结 2026全国II卷第19题节选 已知切线方程反求双参数 1.核心等量关系：切点在曲线、切线上，切点处导数值=切线斜率；2.单参数求解：列一元一次、一元二次方程直接求解； 3.切线条数问题：转化为方程实根个数问题，结合判别式、函数零点求解参数范围； 4.易错点：区分“在点切线”“过点切线”，避免漏解、多解. 2025全国I卷第12题 已知切线方程反求单参数 2022新高考II卷第16题 已知切线条数求参数范围 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2026·广西名校联盟·模拟预测） 10．将曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与x轴相切，则（    ）． A．e B． C．3e D． 模拟2-2（2025·河南许昌·三模） 11．若直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 模拟2-3（24高三上·江苏南通·开学考试） 12．已知直线与曲线相切，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．5 考法三  双曲线公切线参数与范围、最值求解 【十年真题*精选】 真题3-1（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题第13题） 13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 真题3-2（2022·全国甲卷文科数学·高考真题第20题） 14．已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； (2)求a的取值范围． 真题3-3（2020·全国III卷理科数学·高考真题第10题） 15．若直线l与曲线和都相切，则l的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题规律*总结】 题源 考查角度 规律总结 2024新高考Ⅰ卷第13题 指数型与对数型复合函数公切线求参数 1.公切线核心条件：两条切线斜率相等、截距相等；2.解题模板：分别设双切点→求导写切线方程→联立斜率、截距等量关系→构造函数求值域、最值； 3.结合直线与圆、抛物线、双曲线位置关系综合考查； 4.难点突破：多变量消元，转化为单函数单调性、最值问题. 2022全国甲卷文科数学第20题 二次函数与三次函数公切线求参数取值范围 2020全国III卷理科数学第10题 求幂函数与圆的公切线 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（2026高三·全国·一轮复习） 16．直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（    ） A． B． C．2e D．4e 模拟3-2（2025湖南长沙四大名校猜题卷） 17．若曲线与有公共的切线，则的最大值为（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 模拟3-3（2024·四川宜宾·模拟预测） 18．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 考法四  导数几何意义应用的其它综合问题 【十年真题*精选】 真题4-1（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题第7题） 19．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 真题4-2（2019·江苏·高考真题第10题） 20．在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是_____. 真题4-3（2025·北京·高考真题第20题） 21．已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【解题规律*总结】 题源 考查角度 规律总结 2021新高考全国Ⅰ卷第7题 过定点作曲线多条切线（2 条），转化为方程零点个数 1.核心模型：设切点→写切线方程→代入定点→整理为单变量方程→构造函数用极值判断零点个数；n 条切线对应方程 n 个不同实根.2.固定套路：求与定直线平行的切线→求切点→点到直线距离即为最小值. 3.综合性压轴考法，嵌套导数求最值、构造函数证明不等式、两直线垂直斜率关系、含参范围求解，多小问层层递进，前一问结论为后一问铺垫. 2019江苏卷第10题 曲线上动点到定直线最小距离 2025北京卷第20题 切线最值、切线放缩证明不等式、切线垂线与坐标轴交点范围 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1（2026高二下·河北沧州·期末考试） 22．已知函数，若过点可作曲线的3条不同切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模拟4-2（2025·江苏南京·二模） 23．已知，则的最小值为（  ） A．2 B．1 C． D． 模拟4-3（2024·海南·模拟预测） 24．已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考法一  两条切线与垂直 【十年真题*精选】 真题1-1（2026·上海·秋季高考真题第19题） 25．已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 真题1-2（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题第16题） 26．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 真题1-3（2018·北京理科数学·高考真题第18题节选） 27．设函数=[]．若曲线y=f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a； 【解题规律*总结】 题源 考查角度 规律总结 2026上海秋季高考第19题 切线垂线与曲线无交点，导数 + 恒成立无解 1.切线垂直斜率互为负倒数；方程无正根优先分离参数，构造函数求最值；2.切线平行轴切点处导函数值为0；复杂乘积型导数注意逐项展开. 2021新高考Ⅱ卷第16题 两切线垂直，求 y 轴截距距离范围 2018北京理科第18题 切线水平（平行 x 轴）求参数 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2026高二下·吉林长春·期末考试） 28．已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是________． 模拟1-2（2025高二上·江苏连云港·阶段检测） 29．已知曲线． (1)若在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 模拟1-3（2024高三上·陕西西安·阶段检测） 30．已知函数，直线，若直线与的图象交于点，与直线交于点，则之间的最短距离是__________. 考法二  切线衍生几何量计算（截距、面积、倾斜角） 【十年真题*精选】 真题1-1（2024·全国甲卷理科数学·高考真题第6题） 31．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 真题1-2（2019·江苏·高考真题第11题） 32．在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（为自然对数的底数），则点的坐标是____. 真题1-3（2016·四川理科数学·高考真题第9题） 33．设直线分别是函数 图象上点处的切线，与垂直相交于点P，且分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是 A． B． C． D． 【解题规律*总结】 题源 考查角度 规律总结 2024全国甲卷第6题 切线围坐标轴三角形面积 固定三步：求导切线方程求双截距求围成的三角形面积 2019江苏第11题 切线过定点反求切点 设切点、切线方程代入定点方程零点判定 2016四川理科第9题 双切线垂直，围成三角形面积范围 双切线问题：斜率约束截距交点面积表达式值域 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2026高三上·云南师范大学附中·适应性考试） 34．已知函数. (1)当时，求在处的切线与坐标轴围成的三角形面积； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 模拟1-2（2025·山东泰安·模拟预测） 35．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________. 模拟1-3（2024·山西·三模） 36．已知函数，当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 预测角度 预测缘由 试题指引 备考提醒 切点切线与坐标轴围成三角形面积计算 2024 全国甲卷、多省模拟反复考查，属于导数几何意义最基础必考小题模型，计算量适中，侧重运算素养 给出具体多项式、指数对数函数，指定某一点求切线，算截距求面积，多为单选第 6-8 题 熟练三步法：求导算斜率→点斜式化截距式→截距绝对值乘积除以 2；注意符号取绝对值 两曲线公切线求参数最值 新高考对公切线综合题青睐度逐年上升，融合方程零点、导数求函数最值，区分度高，常作为填空压轴 两个含参函数存在公共切点且切线相同，联立切点等式消元，构造单变量函数求参数最大、最小值 公切线两大核心等式：①切点函数值相等；②切点导数值（切线斜率）相等；消元后用导数求值域 多处切线垂直、平行求参数范围 2026 上海秋考均出现切线垂直模型，易结合二次函数、均值不等式求范围 抛物线、三次函数两个极值点处切线平行于 y 轴，连线斜率给定，反求二次项参数范围 切线垂直：；切线平行：；导数为 0 对应切线垂直 x 轴 过定点作曲线多条切线（2 条、3 条）+ 切线方程综合 2021 新高考 Ⅰ 卷经典母题，模拟卷高频改编，导数零点转化方程根的个数是导数核心转化思想 含参函数，已知定点可作 n 条切线，求参数取值范围；嵌套切线过定点反求参数 万能模板：设切点→切线方程→代入定点→整理为关于切点横坐标的方程→构造函数用极值判定零点个数 【押题1：在曲线上一点处的切线、围成三角形面积计算】 37．设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【押题2：公切线问题、在曲线上一点处的切线、求参数的最值】 38．若存在，函数与的图象在公共点处的切线相同，则b的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【押题3：在曲线两点处的切线垂直于y轴、根据直线斜率求参数范围】 39．已知曲线在A，B两点处的切线垂直于y轴．若直线AB的斜率为，则实数c的取值范围为_____． 【押题4：导数几何意义的应用、应用导数研究函数性质】 40．已知函数，直线l是曲线在点处的切线． (1)讨论的单调性； (2)若存在直线l经过点，求实数a的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《黄金考点18 导数的几何意义及其应用【讲】2027届黄金考点总动员》参考答案： 1．C 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 2． 【分析】先由已知条件求得函数解析式，然后根据导数的几何意义求解. 【详解】当时，则， 由可得，故，故， 由于，故，故， ，则，又， 所以函数在处的切线方程为，即. 3． 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 4．A 【分析】先对函数求导，求出的值，然后求切点坐标与切线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，故切点为， 又切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：即. 5．C 【分析】对函数求导，然后根据切点坐标求出切线的斜率和切线方程. 【详解】因为，所以. 所以，而. 所以切线方程为，即. 故选：C. 6．D 【分析】求出函数的导函数，再把点的横坐标代入求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以函数在点处切线的斜率为， 故选：D. 7． 【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】， 由切点在直线上，也在函数图象上， 可知且，可得； 由，则切线的斜率为， 解得； 故. 8． 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 9． 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 10．C 【分析】设直线与曲线相切，且切点为，由导数几何意义得到切线斜率，进而得到方程，求出，切点为，则． 【详解】曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与x轴相切， 等价于直线与曲线相切， 设切点为，则切线斜率， 又，则， 故，解得，切点为， 则. 11．A 【分析】设切点为，根据导数的几何意义求得，再由切点在直线和曲线上有，即可求. 【详解】设直线与曲线的切点为， 对求导，得，直线的斜率为1， 导数的几何意义知，在切点处，即． 又切点既在直线上又在曲线上， 且，即． 将代入，得：，即． 故选：A 12．C 【分析】设切点切点横坐标为，由题意列出的关系，进而得到，再由二次函数求最值即可. 【详解】设切点横坐标为，求导： 得， 由题意可得解得：， 所以， 所以时，的最大值为. 故选:C 13． 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 14．(1)3 (2) 【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可； （2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得； （2），则在点处的切线方程为，整理得， 设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得， 则，整理得， 令，则，令，解得或， 令，解得或，则变化时，的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 则的值域为，故的取值范围为. 15．D 【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线的方程为，即. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 16．B 【分析】令，，由题意可得，结合计算可求得的最大值. 【详解】令，， 设切点分别为和，则， 由，可得，则， 由同理，则，所以， 可得，即， 此时，所以，所以. 17．D 【分析】设直线与相切于求出切线方程，直线与相切于求出切线方程，让两条切线方程的斜率、截距相同可得.令，构造函数，利用导数求出最小值可得答案. 【详解】设直线与相切于， 则直线：， 直线与相切于， 则直线：， 因为曲线与有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同， 故， 则. 令，， 则在单调递增，且， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，于是有， 即. 故选：D. 18．A 【分析】求出的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为，求得函数的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得的值，进而得到的值. 【详解】由曲线，得， 在处的切线斜率为，当时，， 曲线在处的，即， 曲线，导数为， 设切点为，则，解得，切点在切线上， 即有，得. 故选：A. 19．D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 20．4. 【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小. 由，得，， 即切点， 则切点Q到直线的距离为， 故答案为． 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 21．(1) (2)证明：因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； (3) 【分析】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值； （2）求出直线的方程，再构造函数，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可； （3）求出直线的方程，即可由题意得到的表示，从而用字母表示出，从而求出范围. 【详解】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. （2）略； （3）解法一：由题意，直线，直线， 所以，， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以 ， 由（1）可得当时，， 所以， 所以. 解法二：由可设，又，所以，即， 因为直线的方程为，易知， 所以直线的方程为, ，. 所以 ,由（1）知,当时，，所以, 所以. 22．A 【分析】求出函数的导数并设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再构造函数并利用导数求出极值，结合三次函数的特征求出范围. 【详解】函数，设切点坐标为，求导得， 则切线方程为，由切线过点， 得，化简得， “过点可作曲线的3条不同切线”等价于“关于的方程有3个不同的实根”， 即函数的图象与直线有3个不同的交点， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，， 所以当时，直线与函数的图象有3个交点，对应3条不同的切线． 23．A 【分析】先设点及点，应用两点间距离，再应用导函数计算得出切线斜率得出切点，最后应用点到直线距离计算求解. 【详解】设点是函数图象上的点，点是直线上的点， 则，所以， 因为，设函数在点处的切线与直线平行， 则，解得，则点， 所以的最小值为点到直线的距离， 所以的最小值为2， 故选： 24．B 【分析】本题考查导数的计算及几何意义． 【详解】由题意知， 因为与曲线相切， 所以，整理得， 同理， 则，是方程的两个实数根， 所以， 所以． 故选：. 25．(1) (2) 【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围； （2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，.在与中， ，解得，∴， ∵， ∴，解得或或， ∴不等式的解集为. （2）由题意知，由，得， ∴. ∵直线为在点的切线， ∴直线的方程为，即， ∵是过点且垂直于的直线， ∴直线的方程为：，即， 对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点， ∴与无正实数解， 分离参数得，，， ∴直线与与曲线在内均无交点， 而， 当时，解得（舍）或， ∴当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取最小值，. 当时，，当时，， ∴且，即或， ∴实数的取值范围为. 26． 【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解. 【详解】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解. 27．a的值为1． 【解析】首先求函数的导数，利用且，求的值. 【详解】（Ⅰ）因为， 所以 ． ． 此时． 所以a的值为1． 【点睛】本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型. 28． 【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，并得到；根据切线互相垂直可得，由此得到，令，根据二次函数的性质求范围，从而得解. 【详解】当时，，， ，， ∴在处的切线方程为，即， 令可得，； 当时，，，所以，， 所以在处的切线方程为：，即， 令可得，， ∵两条切线互相垂直，，， ， 令，，. 29．(1)0 (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）设公共点为，由题设可得，可得，，再将公共点代入两曲线方程化简可得，进而求解即可. 【详解】（1）由，则， 而直线的斜率为3， 所以，解得. （2）由题意，，， 设公共点为，则，， 由于曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直， 所以，则，， 又，则， 所以，解得. 30． 【分析】由题意，函数图象上的点到直线的最短距离，利用相切时到的最短距离即可求解． 【详解】函数，直线， 若直线与的图象交于点，与直线交于点， 直线的斜率为，直线的斜率为，两直线垂直， 则函数图象上的点到直线的最短距离，即为，之间的最短距离， 由题意可得，． 令，则，解得， ，取点， 点到直线的距离， 则，之间的最短距离是． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是发现两条直线垂直，将两点的距离转化为点到直线的距离. 31．A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 32． 【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点，则. 又，当时，， 点在曲线上的切线为，即， 代入点，得，即， 令，当时，，当时，， 又，当时，，单调递增， 所以在单调递增，所以存在唯一实数根. 又，故存在唯一的实数根，此时， 故点的坐标为. 33．A 【详解】设（不妨设）， 则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为 由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即． 分别令得 又与的交点为，故选A． 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围. 34．(1)函数在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为； (2)的取值范围为. 【分析】（1）结合导数的几何意义求函数在处的切线方程，再求切线与坐标轴的交点，由此可求结论； （2）由已知当时，不等式恒成立，证明函数，的单调性，由此可得当时，恒成立，利用导数求函数，的最大值，由此可得结论. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以函数的定义域为，，， 所以， 所以函数在处的切线方程为，即， 取，可得，所以直线与轴的交点为， 取，可得，所以直线与轴的交点为， 所以函数在处的切线与坐标轴围成的三角形面积， （2）因为， 不等式，又， 所以不等式， 由已知当时，不等式恒成立，故， 设，，则， 函数在上单调递增， 当时，，，， 所以不等式， 所以当时，恒成立， 设，，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，， 所以. 所以的取值范围为. 35．##0.25 【分析】先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程，进而得出截距求出面积即可. 【详解】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为， 所以，曲线在处的切线方程为， 该切线交轴于点，交轴于点， 因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故答案为：. 36． 【分析】直接代入求导，计算出切线方程，求出截距计算面积即可． 【详解】当时，， 曲线在点处的切线方程为， 即， 直线在轴，轴上的截距分别为， 因此所求三角形的面积为． 37．A 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为，则，所以切线斜率为， 故所求切线方程为，该直线交轴于点，交轴于点， 因此，切线与两坐标轴围成的三角形面积为. 故选：A. 38．A 【分析】设切点为，由题意得解得，令，利用导数研究的单调性求最大值即可求解. 【详解】由题意有：设切点为， 所以，所以，解得，， 令，所以， 令有，由有，有， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，故b的最大值为1. 故选：A. 39． 【分析】令，得到，求得，再由平均变化率的计算公式，化简得到，得到，进而求得实数的取值范围. 【详解】由函数，可得， 令，可得，设, 则，可得， 故 ， 化简得：， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 40．(1) 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增； (2). 【分析】（1）对函数求导，讨论、研究函数的单调性即可； （2）应用导数的几何意义求切线方程，根据点在切线上得，再应用导数研究右侧的值域，即可得参数范围. 【详解】（1）函数定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，，解得， 由，解得，由，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增； （2）因为，所以， 因为，所以， 所以直线l的方程为， 因为l经过点，所以，化简得， 显然，所以， 设，又， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 所以在时取得最小值，，则， 即，解得或， 所以a的取值范围是． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $