3.1.1 基本计数原理（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第二册

第二章 排列、组合与二项式定理 3.1.1 基本计数原理 3.1排列与组合 【新教材】人教B版·高二选修第二册 学 习 目 标 1 2 3 通过实例抽象出分类加法计数原理、分步乘法计数原理，理解两个计数原理的含义，分清“分类”与“分步”的区别；能记住原理的文字表述与公式形式。 面对实际计数问题，能判断是用加法还是乘法原理，规范解决简单计数问题，做到计数不重不漏；提升数学建模、逻辑推理能力。 重点：两个计数原理的理解； 难点：区分分类与分步，合理选用原理。 同学们，生活里我们经常会问“一共有多少种不同情况”。 问题1：从A地到B地，乘高铁有4班车，坐大巴有3班车，任选一种出行方式，一共多少种走法？ 问题2：从A地先到C地，再从C地到B地，A到C有4条路线，C到B有3条路线，分两步走，一共多少条路线？ 生活情境 大家可以先口算：第1题是4+3，第2题是4×3。 同样是数字4和3，为什么一个用加法、一个用乘法？ 这就是本节课要研究的两个基本计数原理——分类加法计数原理与分步乘法计数原理，也是后面学习排列、组合的根基。 目标一：分类加法计数原理 实例 知识讲解 互动探究 新课引入 你能解答下述两个问题吗？试着由此归纳出一般的规律. (1)已知某天从北京到上海的G字头列车有43班，D字头列车有2班，其他列车有3班，小张想在这一天坐火车从北京到上海旅游，不考虑其他因素，小张有多少种不同的选择？ 小张乘坐的列车可以分为3类，即G字头列车、D字头列车或其他列车，其中任何一类的任何一班车都可以让小张从北京到达上海， 因此不同的选择有43+2+3=48种. 5 实例 知识讲解 互动探究 新课引入 你能解答下述两个问题吗？试着由此归纳出一般的规律. (2)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.假定火车每日有1班，汽车每日有3班，轮船每日有2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法呢？ 从甲地到乙地，可乘坐三类交通工具：火车、汽车或轮船，每类交通工具又各有若干个班次，选择其中任何一类的任何一个班次都可以从甲地到达乙地， 因此一天中不同的走法有1+3+2=6种. 6 分类加法计数原理 知识讲解 互动探究 新课引入 完成一件事，如果有 n 类办法，且：第一类办法中有 种不同的方法，第二类办法中有 种不同的方法……第 n 类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+⋯+mn 种不同的方法. 原理的特点分： 完成这件事有 n 类不同的办法 每一类办法中的每一种方法都可以完成这件事 将这 n 类办法中的方法数相加，即得完成这件事的方法数 7 对点体验 一个三层书架，分别放置语文类读物 12 本、政治类读物 14 本、英语类读物 11 本，每本图书各不相同，从中取出 1 本，则不同的取法共有（ ）。 A. 3 种 B. 1 848 种 C. 37 种 D. 6 种 解 由题意可知选择语文类读物有 12 种不同的取法，选择政治类读物有 14 种不同的取法，选择英语类读物有 11 种不同的取法，则不同的取法共有 12+14+11=37（种）。 归纳总结 知识讲解 互动探究 新课引入 ①明确“完成一件事”的含义，如书架上、中、下三层各放语、数、英课本 a,b,c 本，某人从书架中取出一本书有多少种取法的问题。“完成一件事”是指“从书架中取出一本书”，这本书既可以从上层取，也可以从中层取，还可以从下层取，因而它是一个分类问题，用分类加法计数原理即可求解。 ②分类加法计数原理中各类办法相互独立，各类办法中的各种方法也相互独立，用任何一类办法中的任何一种方法都可以单独完成这件事。 ③分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类，不同类的任意两种方法是不同的方法，这是分类问题中所要求的“不重复”“不遗漏”。 9 对点体验 在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子（如图所示），要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法？ □□□□ 用R表示红色，用B表示蓝色，例如：RBRB表示第一个和第三个格子涂红色，第二个和第四个格子涂蓝色.因为红色和蓝色都要用两次，为了简化问题，考虑涂红色的格子是否相邻，则填涂结果可以分为两类：涂红色的格子相邻，涂红色的格子不相邻. 涂红色的格子相邻的方法有：RRBB，BRRB，BBRR，共3种；涂红色的格子不相邻的方法有：RBRB，BRBR，RBBR，共3种.依据分类加法计数原理，李明共有3+3=6种不同的涂法. 目标二：分步乘法计数原理 实例 知识讲解 互动探究 新课引入 已知某公园的示意图如图所示，其中从西门到景点A共有3条不同的路，从景点A到东门共有两条不同的路. 李浩从公园的西门进入公园后，想去A景点游玩，然后从东门出公园. 只考虑路的选择，李浩共有多少种不同的走法？你能用适当的符号表示出所有的情况吗？ 如果把从西门到景点A的三条路分别记为 ，，，把从景点A到东门的路记为 ，，用 表示王瑞经 到景点A，然后经 到东门.注意到不管王瑞选择哪条路到景点A，其去东门都有两种不同的选择方法，因此不同的走法为 ，，，，，，共有6种.可以看出，这里的6能看成3和2的乘积，即 ，这样，不同的走法可以用下图直观地表示出来. 12 分步乘法计数原理 知识讲解 互动探究 新课引入 分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成 n 个步骤，且：做第一步有 种不同的方法，做第二步有 种不同的方法……做第 n 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. 分类加法计数原理和分步乘法计数原理合称为基本计数原理. 原理的特点分析 完成这件事需要 n 个步骤，缺一不可 完成每一步有若干种方法 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的方法数 13 对点体验 设从东、西、南、北四个方向通往山顶的路分别有 2，3，3，4 条，若要使从四个方向中的任一方向上 山，而从剩余的三个方向中的任一方向下山的走法最多，则应（ ）。 A. 从东边上山 B. 从西边上山 C. 从南边上山 D. 从北边上山 解 从东边上山的走法有 2×10=20（种）； 从西边上山的走法有 3×9=27（种）； 从南边上山的走法有 3×9=27（种）； 从北边上山的走法有 4×8=32（种）。 所以应从北边上山。 答 D 对点体验 用 1，2，3，4，5 可以排成多少个数字不重复的三位数？ 排成一个三位数，可以分为三步： 第一步，确定百位上的数字，共有 5 种方法； 第二步，确定十位上的数字，因为数字不能重复，所以不能是百位上已有的数字，共有 4 种方法； 第三步，确定个位上的数字，共有 3 种方法. 依据分步乘法计数原理，可以排成数字不重复的三位数的个数为 5×4×3=60。 分析：要排成一个三位数，只需分别指定这个三位数的百位、十位、个位上的数字即可，因此可以分为三步完成. 对点体验 思考一下：由3个数字组成的密码锁，如果忘记了密码，最多要试多少次才能打开密码锁？ 从左起第一个位置开始，逐步确定各个位置上的数字，需分三步完成. 第一步：确定第一个位置上数字，共 10 种选择； 第二步：确定第二个位置上数字，共 10 种选择； 第三步：确定第三个位置上数字，共 10 种选择. 根据分步乘法计数原理：最多试 10×10×10=1000 次. （右侧附有 3 个方格，每个方格下对应 10 种） 对点体验 思考一下：有4位同学和1位老师站成一排照相，如果老师要站在正中间，则有多少种不同的方法？ 分四步完成： 第一步：确定第一个位置上的同学，有 4 种选择； 第二步：确定第二个位置上的同学，有 3 种选择； 第三步：确定第三个位置上的同学，有 2 种选择； 第四步：确定第四个位置上的同学，有 1 种选择； 根据分步乘法计数原理：共 4×3×2×1=24 种. （右侧附有 5 个方格，中间标记为“老师”，其余方格下分别对应 4 种、3 种、2 种、1 种） 根据分步乘法计数原理：共 4×3×2×1=24 种. 归纳总结 知识讲解 互动探究 新课引入 ①分步乘法计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤依次完成了，这件事才算完成，但各个步骤中可以有多种方法，且这些方法是相互独立的。把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数。 ②分步是分步乘法计数原理计数的关键，要从以下几点加以理解：a. 准确确定分步的标准，一般地，分步的标准不同，分成的步骤数也会不同；b. 要注意各步骤之间必须连续；c. 各步骤之间既不能重复，也不能遗漏。 18 目标三：两个计数原理的关系 关联 知识讲解 互动探究 新课引入 (1) 联系 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的共同点是把一个原始的事件分解成若干个分事件来完成，都是关于做一件事的不同方法种数的问题。 (2) 区别 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。另外，分类加法计数原理每次得到的是最后结果，分步乘法计数原理每次得到的是中间结果。 20 两个计数原理的综合运用 知识讲解 互动探究 新课引入 (1) 两个计数原理的综合问题中往往既有分类又有分步，这时，首先要理解题意，弄清“完成哪件事”，弄清是类的趋势大，还是步的趋势大，再决定是先分步还是先分类。若既可用分类加法计数原理解决问题，又可用分步乘法计数原理解决问题，则要注意权衡用哪种方法解决问题较为简单。 (2) 类中有步 用流程图描述类中有步的计数问题， 21 两个计数原理的综合运用 知识讲解 互动探究 新课引入 具体意义如下： 从 A 到 B 算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图3-1-1-4，所以完成这件事的方法数为 。 “类”与“步”可进一步理解为： “类”用“+”连接，“步”用“×”连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可。 (3) 步中有类 用流程图描述步中有类的计数问题， 22 两个计数原理的综合运用 知识讲解 互动探究 新课引入 具体意义如下： 从计数的角度看，由 A 到 D 算作完成一件事，可简单地记为 A→D。 完成 A→D 这件事，需要经历3步，即 A→B，B→C，C→D。其中 B→C 这一步又分为3类，这就是步中有类。 (i=1,2,3,4,5) 表示相应步的方法数，所以完成 A→D 这件事的方法数为 。 归纳总结 ①合理选择计数原理 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前仔细分析——需要分类还是需要分步。 ②从思想方法的角度看，分类加法计数原理是将问题进行“分类”思考，分步乘法计数原理是将问题进行“分步”思考，这两种思想方法贯穿于解决这类应用问题的始终。 23 对点体验 求解下列问题： (1) 在图①的电路中，只合上一个开关，接通电源使灯泡发光的不同方法有多少种？ (2) 在图②的电路中，合上两个开关，接通电源使灯泡发光的不同方法有多少种？ 答 (1)要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，在由开关组A与B组成的并联电路中，只要合上图①中的任意一个开关，接通电源，灯泡就会发光。因此要完成这件事可分两类，而每一类都可以独立完成这件事，所以只合上一个开关，接通电源使灯泡发光的不同方法有 2+3=5（种）。 (2)要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，在由开关组A与B组成的串联电路中，只有先合上图②A组中两个开关中的任意一个，再合上B组中三个开关中的任意一个后，接通电源，灯泡才能发光。因此要完成这件事，需要分两步，所以合上两个开关，接通电源使灯泡发光的不同方法有 2×3=6（种）。 对点体验 某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种？ 按照选择的女同学人数分为两种情况，即2位都是女同学和只有1位女同学. 2位都是女同学的选法显然只有1种. 只有1位女同学的选法，可以分为两步完成：先从2位女同学中选出1人，有2种选法；再从3位男同学中选出1人，有3种选法. 依据分步乘法计数原理，共有不同的选法 2×3=6 种. 依据分类加法计数原理，不同的选法共有 1+6=7 种. 对点体验 将3种农作物全部种植在如图的5块试验田里，每块试验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同的种植方法共有______种。 方法一：分别用 a,b,c 代表3种农作物。 先安排第1块田（从左往右数，下同），有3种种植方法，不妨设种植 a。 再安排第2块田，可种植 b 或 c，有2种种植方法，不妨设种植 b。 再安排第3块田，若第3块田种植 c，则第4,5块田各有2种种植方法，即此时第4,5块田的种植方法种数为 2×2=4；若第3块田种植 a，则第4块田可种植 b 或 c，①若第4块田种植 c，则第5块田有2种种植方法，②若第4块田种植 b，则第5块田只能种植 c，有1种种植方法。 综上所述，不同的种植方法种数为 3×2×(4+2+1)=42。 对点体验 将3种农作物全部种植在如图的5块试验田里，每块试验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同的种植方法共有______种。 方法二（间接法）：从左往右5块试验田分别有 3,2,2,2,2 种种植方法，所以不同的种植方法种数为 3×2×2×2×2=48，这些方法中包含“5块试验田只种植2种农作物”的情况种数为 3×2×1×1×1=6。所以满足题意的不同的种植方法种数为 48-6=42。 对点体验 从正方体六个面的对角线中任取2条作为1对，其中所成的角为 的共有（ ）。 A. 24对 B. 30对 C. 48对 D. 60对 解 如图，在正方体 中， 与面对角线 成 角的面对角线为与这个面相邻的4个面上的对角线，共8条； 同理与 成 角的面对角因此一个面上的2条对角线和与这个面相邻的4个面上的8条对角线共组成16对。 又正方体共有6个面，所以共有 （对），而每对面对角线计算了2次，因此所成 角的面对角线有 （对）。 目标四： 应用两个计数原理解决实际应用题的常用方法 常用方法 知识讲解 互动探究 新课引入 ① 列举法 当完成一件事的方法不是很多时，可以一一列举出来，然后再一种一种地计数，进而确定完成这件事共有多少种方法。此法是解决问题的基本方法。常用的研究顺序的方法有字典排序法和树形图法。 (1) 字典排序法。把所有的字母分前后次序，先排前面的字母，再依次排后面的字母。利用字典排序法并结合计数原理不仅可以解决与排列顺序有关的计数问题，还可以把这些排列不重不漏地一一列举出来。 (2) 树形图法。当完成一件事的各个步骤有多种方法时，可按步骤顺序把各种情形在一个图形上画出来。如甲、乙、丙三人传球，每传一次球从一人手中到另一人手中，球开始在甲手中，传了三次，则这个传球问题的树形图如图 。 30 常用方法 知识讲解 互动探究 新课引入 字典排序法和树形图法虽然麻烦，但能防止重复和遗漏。 特别提醒 画等可能结果的树形图时，需要注意画出的同一级的每一个“枝条”必须是等可能的，即每一个“枝条”发生的概率是相等的，这是列举所有等可能结果的保障。要统计最终结果，只要数最后“树梢”上共有几个“果子”即可。 ② 间接法 对含有“至少”“不少于”“不超过”“不都”“不全”等关键词的题目，要从正面和反面去比较，当用直接法不易求解时可采用间接法求解，即从方法总数中去掉不符合条件的方法数，从而得到符合条件的方法数。间接法是解决计数问题的一种重要技巧，体现了“正难则反”的转换思想。 31 常用方法 知识讲解 互动探究 新课引入 ③ 模型法 模型法可以通过构建相关图形，利用图形的直观形象来构建两个计数原理的模型。模型法不仅可以帮助我们准确理解题意，而且还可以帮助我们有效地分析问题，从而通过模型使问题顺利解决。 32 对点体验 甲、乙、丙、丁四个好朋友每人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有______种。 解 方法一（字典排序法）：甲、乙、丙、丁四人的贺年卡分别用编号①②③④代替。根据要求按字典排序法列举出来：②①④③，②③④①，②④①③，③①④②，③④①②，③④②①，④①②③，④③①②，④③②①，共9种。 方法二（表格法）：当甲取得乙卡时，分配方案如下表所示，此时乙有甲卡、丙卡、丁卡3种取法。若乙确定，则丙、丁也确定。故有3种不同取法。 （表格内容：人 甲 乙 丙 丁；卡 乙 甲 丁 丙 / 丙 丁 甲 / 丁 甲 丙） 第七张图： 类似地，当甲取得丙卡时，甲、乙、丙、丁四人依次可取贺卡如下：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲，共有3种不同取法；当甲取得丁卡时，甲、乙、丙、丁四人依次可取贺卡如下：丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲，共有3种不同取法。由分类加法计数原理，得共有 3+3+3=9（种）不同的取法。 答 9 对点体验 若直线方程 Ax+By=0 中，A,B 是从 0,1,2,3,5 这5个数中任取的2个不同的数，则方程所表示的不同直线共有______条。 解（间接法）分两步： 第一步，确定 A 的值，有5种不同的方法； 第二步，确定 B 的值，有4种不同的方法。 由分步乘法计数原理知，可以确定的直线有 5×4=20（条）。在这20条直线中，当 A=0,B=1,2,3,5 时，表示同一条直线（直线 y=0）；当 B=0,A=1,2,3,5 时，表示同一条直线（直线 x=0）。因此有2条直线分别被多计算3次，故符合条件的不同直线共有 20-2×3=14（条）。 目标五 ： 针对训练 举一反三 1.某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数为() A.18 B.9 C.8 D.7 解析：由分类加法计数原理，得不同的选法种数为 3+2+3=8 .故选 C. 2.如图，某设备内部从 a 到 b 的电路包含三个元件 A,B,C，现该设备从 a 到 b 的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件 A,B,C 的工作状态（通路/断路）共有 n 种不同情况，则 n 为() A.4 B.5 C.6 D.7 解析：元件A不通，设备从 a 到 b 的电路工作不正常，共有 2×2 种，元件A正常，当且仅当元件 B,C 都不通，设备从 a 到 b 的电路工作不正常，只有1种，所以 n=1+4=5 .故选：B 举一反三 3.将3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子内至多放1个小球，共有()种放法， A.36 B.60 C.64 D.81 解析：解法1：以小球为研究对象，分三步完成.(1)第一个小球有5种放法；(2)第二个小球有4种放法；(3)第三个小球有3种放法. 根据分步乘法计数原理，共有 5×4×3=60 种不同的放法. 解法2：以盒子为研究对象，盒子序号记为 1，2，3，4，5. 当3个小球放入后还剩2个空盒，通过列举法可知空盒有10种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5).每种情况下小球均有 3×2×1=6 种放法，所以共有 6×10=60 种放法，故选：B. 举一反三 4.一项工作可以用两种方法完成，有5人只会用第一种方法完成，另有10人只会用第二种方法完成，现从中选出1人来完成这项工作，则不同选法的种数为() A.60 B.50 C.16 D.15 解析：选只会第一种方法的人，共5种不同选法；选只会第二种方法的人，共10种不同选法，总选法为两类选法相加，即 5+10=15 . 5.现要用5种不同颜色对如图所示的五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有() A.180种 B.192种 C.300种 D.420种 解析：先涂区域1有5种选择，再涂区域2有4种选择，然后涂区域3有3种选择，若区域4与区域2同色，此时区域5有3种选择， 若区域4与区域2不同色，则区域4有2种选择，区域5有2种选择，故有 5×4×3×(1×3+2×2)=420 种涂色方法.故选：D 目标六：小结 学海拾贝 知识小结 本节课我们学习了两个计数原理： 分类加法计数原理：完成一件事，分成若干类办法，每一类里任意一种方法都能独立做完这件事，类与类之间相互独立，总数是各类方法数相加；关键词：类、独立、或。 2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要依次分成若干步骤，只有做完所有步骤，这件事才算完成，步骤之间相互依存，总数是各步方法数相乘；关键词：步、先后、且。 学海拾贝 一句话区分：分类可以一步到位，用加法；分步缺一不可，用乘法。 后续我们学习排列、组合，本质上都是这两个原理的综合运用，解决计数问题的核心就是先弄清：完成这件事，是分类，还是分步。 两个计数原理是排列、组合(后面将学习)的基础和依据，主要考查利用分类、分步两个计数原理解决实际生活中的简单计数问题。该部分内容在高考试题中主要是以选择题和填空题的形式出现，命题形式主要有：一是单独命题，二是与排列、组合或概率等内容结合起来命题。 【新教材】人教B版·高二选修第二册 感谢聆听! $