专题4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

专题4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 教学目标 1. 知识与技能：了解直线型（一次函数）、幂函数型、指数函数型、对数函数型四类函数模型增长速度的差异；理解“指数爆炸”的含义；掌握当自变量充分大时指数函数、幂函数、对数函数增长快慢的排序规律，并能进行简单的判断、排序与实际模型选择。 2. 过程与方法：通过计算函数值表格、观察函数图象变化趋势，经历由特殊到一般归纳增长规律的过程，提升读图分析、数据比较与数形结合能力；体会临界值（交点）对增长次序的影响。 3. 情感态度与价值观：认识数学模型对描述现实增长（人口、复利、繁殖、信号强度等）的价值，培养用增长趋势预测变化的科学态度，理解“指数爆炸”在生活与科技中的现实意义。 教学重难点 重点：指数函数、幂函数、对数函数增长速度的差异；x充分大时 aˣ＞xᶜ＞ 的排序结论；“指数爆炸”的理解。 难点：理解小区间内增长次序会反复、图象存在交点，而x足够大时次序才确定；根据实际问题特征选择合适的函数增长模型。 知识点01 几类常见增长函数模型回顾 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) “对勾”函数模型 y＝x＋(a>0) 【关键提醒】比较增长快慢要看“增长速度”（增量的快慢），不是只看某一点的函数值大小；函数值大小与增长快慢是两个不同概念。 【即学即练】 1．下列函数中，增长速度恒定（匀速增长）的是（ ） A．y=2ˣ B．y=x² C．y=3x+1 D．y=log₂x 【答案】C 【详解】一次函数图象为直线，斜率k>0表示匀速增长；其余三者增长速度都随x变化。 2．幂函数 y=x³ 在(0,+∞)上的单调性是______，图象经过定点______。 【答案】单调递增；(1,1) 【详解】α=3>0，y=x³在(0,+∞)递增；任意幂函数都过(1,1)。 知识点02 指数函数与幂函数增长的比较——“指数爆炸” 以 y=2ˣ 与 y=x² 为例比较（部分取值）： x=1：2ˣ=2，x²=1；x=2：两者都为4；x=3：2ˣ=8，x²=9；x=4：两者都为16；x=10：2ˣ=1024，x²=100；x=16：2ˣ=65536，x²=256。 【结论】 ① 在较小范围内，两者互有先后、图象可能相交（如 x=2、x=4 时 2ˣ=x²）； ② 当自变量x充分大（超过某个临界值）后，指数函数 y=aˣ（a>1）的增长速度会超过并远远大于任意一个幂函数 y=（c>0）的增长速度； ③ 即使底数a很接近1、幂指数c很大，只要a>1、c>0，在x足够大时仍有 aˣ 的增长速度最终超过 xᶜ； ④ 这种“前期不显眼、后期急剧加速并遥遥领先”的现象称为“指数爆炸”。 【即学即练】 1．关于指数函数 y=2ˣ 的增长速度，下列说法正确的是（ ） A．匀速增长 B．越来越慢 C．越来越快，后期急剧上升 D．先快后慢 【答案】C 【详解】a>1的指数函数增长速度随x增大而越来越快，即指数爆炸。 2．当x足够大时，比较 3ˣ 与 x⁵ 的增长速度，正确的是______（填“3ˣ快”“x⁵快”或“无法比较”）。 【答案】3ˣ快 【详解】x充分大时任意aˣ(a>1)的增长速度都超过幂函数xᶜ(c>0)。 知识点03 对数函数增长的特点 ① y=（b>1）在(0,+∞)上虽然递增，但增长速度越来越慢，图象上升得越来越平缓，其增量随x增大而趋近于0； ② 当x充分大时，幂函数 y=（c>0）的增长速度远远大于对数函数 y= 的增长速度，即 xᶜ 比 增长快； ③ 底数b越大，对数函数在相同区间内增长得越慢（图象越贴近x轴）； ④ 对数函数常用于描述“增长受饱和限制、增大越来越不明显”的量，如声音分贝、地震震级、酸碱度pH、信息量等。 【即学即练】 1．下列函数中，随x增大增长速度最慢、图象越来越平缓的是（ ） A．y=1.1ˣ B．y=x⁴ C．y=log₁₀x D．y=5x 【答案】C 【详解】对数函数递增但增速越来越慢；指数、高次幂、一次函数增速分别为越来越快、越来越快、恒定。 2．判断：当x充分大时，的增长速度大于 lg x。（ ）（填“√”或“×”） 【答案】√ 【详解】只要c>0，xᶜ在x充分大时都比任意增长快，即使c=0.1很小也成立。 知识点04 三类函数增长快慢的总体规律 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 【重要补充】 ① “x充分大”是前提：在小区间内三类函数的函数值大小、增长次序可能反复出现，图象可以有多个交点，不能在小区间直接套用上述排序； ② 判定临界位置的常用方法：计算若干特殊点函数值列表比较；借助函数图象看交点；结合单调性判断超越区间； ③ 函数值大小 ≠ 增长速度：某点处函数值大，不代表它增长得快（如对数函数起点低但持续为正，也可能在某点数值仍为正）。 【即学即练】 1．当x足够大时，下列三者增长速度由快到慢排列正确的是（ ） A．log₂x，x³，2ˣ B．2ˣ，x³，log₂x C．x³，2ˣ，log₂x D．2ˣ，log₂x，x³ 【答案】B 【详解】x充分大时 aˣ(a>1)＞xᶜ(c>0)＞log_b x(b>1)，对应 2ˣ、x³、log₂x。 2．对于 y=2ˣ 与 y=x²，在区间(2,4)内函数值大小关系为______；当x＞4后稳定为______。 【答案】x²＞2ˣ（部分点）；2ˣ＞x² 【详解】如x=3时9＞8；超过临界点x=4后指数函数持续领先并越拉越大。 知识点05 增长模型的选择与实际应用 根据现实对象的变化特征选择模型： ① 指数爆炸型（优先选 y=a˚，a>1）：细胞/细菌繁殖、复利计息、人口按固定比例增长、病毒传播、存储容量增长等“按固定倍数翻番”的过程； ② 幂函数型（选 y=xᶜ，c>0）：与面积、体积、长度幂次相关的几何量，以及按幂次规律缓慢加速的过程； ③ 对数缓慢型（选 y=，b>1）：感官强度随物理量增大而增长逐渐变缓的现象，如地震里氏震级、声音分贝、pH值、信息熵； ④ 直线匀速型（选 y=kx+b）：匀速运动、单价×数量、固定速率变化等线性关系。 【建模步骤】读数据特征 → 描点或列表观察趋势 → 判断增速类型（恒定/越来越快/越来越慢）→ 选定模型 → 检验拟合效果。 【即学即练】 1．下列现实现象最适合用指数函数模型描述的是（ ） A．正方形面积随边长的变化 B．匀速行驶的路程与时间 C．细菌数量按每20分钟翻一番增长 D．声音响度随能量增大而缓慢提升 【答案】C 【详解】翻一番、按倍数增长是典型指数模型；A为幂函数，B为一次函数，D为对数模型。 2．声音分贝数随声音能量增大而增加，但增量越来越小，宜选用______函数模型刻画。 【答案】对数 【详解】增速越来越慢是对数函数(b>1)的典型特征。 题型 01 判断函数增长速度的快慢排序 【典例1】 下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数、幂函数、对数函数及一次函数的性质即可判断. 【详解】根据题意，四个函数分别对应指数函数、对数函数、幂函数和一次函数，且都是增函数， 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数的函数值的增长速度最快． 故选：A． 【变式1】 四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，可知a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数，b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数． 【变式2】 (多选题)对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A．对任意的 B．对任意的 C．一定存在 ，当 时，总有 D． 与 的图象有两个交点 【答案】ABC 【分析】作出函数 的图象，数形结合，结合函数的增长趋势，一一判断各选项，即得答案. 【详解】作出函数 的图象，如图所示： 由图象知，对任意的 ，，A，B选项正确， 由于函数呈爆炸式增长，当x增大到一定程度后的函数值将会超过的函数值，并一直持续， 即一定存在 ，当时，总有 ，C正确； 对于选项，当时， 与 的图象有一个交点， 当时 与 的图象有2个交点，一共有3个交点，D错误， 故选：ABC 【变式3】 在上，随着x的增大，的增长速度会超过并远远大于的增长速度． 【答案】正确 【分析】由指数函数与幂函数的图象与性质判断即可. 【详解】由指数函数与幂函数的图象与性质可知，的增长速度会超过并远远大于的增长速度. 故答案为：正确 题型 02 理解“指数爆炸”及其应用判断 【典例1】 图（1）（2）（3）分别是函数和在不同范围内的图象，则下列说法正确的是（   ） A．由图（1）可知函数的图象增长得越来越快 B．由图（3）可知函数的图象增长得越来越快 C．在（0，2）范围内函数的图象比的图象增长得慢 D．以上均错误 【答案】B 【详解】由图易知C错误；函数的图象增长速度越来越快，的图象增长速度一直不变，均匀增长，故A错误，B正确． 【变式1】 （多选题）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【分析】做出三个函数，，的图象，结合图象，即可求解. 【详解】做出三个函数，，的图象， 如图所示：    通过图象可知三个函数，，中， 当时，增长速度最快，的增长速度最慢， 故B正确，ACD错误. 故选：ACD. 【变式2】 （多选题）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为：，以下说法正确的是（    ） A．当时，乙走在最前面 B．当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面 C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 【答案】BCD 【分析】在同一个坐标系中分别作出函数图象，根据函数图象逐一验证即可. 【详解】作出函数图象如图： 对于A：由图可知当时，因为，，所以甲会赶到乙的前面，故A错误； 对于B：由图可知当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面，故B正确； 对于C：由图可知，丙一直处在中间，所以丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，故C正确； 对于D：由图可知如果它们一直运动下去，因为指数函数的增长速度最快，所以最终走在最前面的是甲，故D正确. 故选：BCD 【变式3】 函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点、，且．请指出示意图中曲线、分别对应哪一个函数. 【答案】对应的函数为，对应的函数为． 【分析】利用指数函数和幂函数的增长速度可得出结论. 【详解】当充分大的时候，指数函数的增长会快于幂函数的增长， 存在，当时，， 所以，对应的函数为，对应的函数为． 题型 03 函数值的大小比较与增长交点（临界分析） 【典例1】 函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求不等式，的解，再求时，的取值，观察各选项确定不满足条件的选项，及满足条件的选项，确定结论. 【详解】令，得或，排除D， 令，得，有两个零点，排除C， 当时，，排除B， 观察可得选项BCD不同时符合以上条件，而选项A符合以上所有条件. 故选：A． 【变式1】 若函数，，，则由表中数据确定、、依次对应（    ） x 1 2 0.2 0.2 5 50 25 3.2 10 200 200 102.4 A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】将表格中对应的值与函数解析式进行比较即可求解. 【详解】因为，所以； 因为，所以； 因为，所以， 故选：. 【变式2】 已知，，，则三者大小关系为（ ） A．a > b > c B．b > a > c C．a > c > b D．c > b > a 【答案】C 【详解】由对数的性质可得：，即， ，即； ，即， 故. 【变式3】 （多选题）对于函数与的图象，下列说法错误的是（   ） A．与有三个交点 B．与有两个交点 C．，当时，恒在的下方 D．，当时，恒在的上方 【答案】BC 【分析】在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得两函数交点个数，即可判断选项A，B；由指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，即可判断选项C，D. 【详解】由，，，， 可在同一坐标系内作出两函数图象如下图所示： 显然两函数有三个交点，故A正确，B错误； 由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，所以当时，恒在的上方，故C错误，D正确. 故选：BC. 题型 04 幂函数的图象与性质辨析 【典例1】 函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性及函数的最值利用排除法即可选出正确选项. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以函数为定义在上的奇函数，排除CD选项； 当时，， 由基本不等式可知，当时，函数， 当且仅当时等号成立， 所以当时，，当且仅当时等号成立，故A错误，B正确. 【变式1】 已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】由幂函数在上单调递减， 得，所以. 【变式2】 若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义，化简得恒成立，得解. 【详解】因为函数为奇函数， 则对于定义域内的任意一个，都有， 即， 化简得恒成立， 所以. 【变式3】 若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义，化简得恒成立，得解. 【详解】因为函数为奇函数， 则对于定义域内的任意一个，都有， 即， 化简得恒成立， 所以. 题型 05 实际问题中的函数模型选择 【典例1】 年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算性质可求得溶液甲的值与溶液乙的值的差. 【详解】由题意可知，溶液甲的值与溶液乙的值的差为 . 故选：C. 【变式1】 大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由结合对数运算可求得的值，由于，可得出、，结合对数函数的单调性可出结论. 【详解】由题意，得， 则，因此， ，则， ，则. 故选：A. 【变式2】 人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（    ）倍．(参考数据：) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得． 【详解】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，则其满足关系和， 两式作差可以得到， 即，所以， 故选：C． 【变式3】 “打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为_____________．（参考数据：） 【答案】4 【分析】根据题意得，即，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可. 【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以,故. 故答案为：4 题型 06 增长趋势的综合分析与数据判断 【典例1】 有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的数据变化情况，逐项判断得解. 【详解】观察表中数据，知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快， 而选项A，B中的函数增长速度越来越慢，AB不正确； 对于C，当x=6时，y≈21.33；对于D，当x=6时，y=18，误差偏大，C最佳. 故选：C 【变式1】 在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据： x 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则，的函数关系式与下列哪类函数最接近？（其中为待定系数）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将对应得在坐标系中点出，由图象形状即可得. 【详解】将对应得在坐标系中点出，得：    根据图形形状可得，其与指数函数图象最为接近. 故选：A. 【变式2】 函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先判断出为奇函数，排除BD；再根据当趋向于时，趋向于0，C错误，A正确. 【详解】恒成立，故的定义域为R， ， 故为奇函数，BD错误； 当趋向于时，的增长速度远大于的速度， 故趋向于0，C错误，A正确. 故选：A 【变式3】 已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．当时，函数均为增函数 B．当时，的增长速度一直快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度一直快于 【答案】A 【分析】根据指对幂函数的图象分析三个函数的增长情况，即可得答案. 【详解】在同一坐标系中画出的图象，如图所示， 结合图象，当时，函数均为增函数，A正确； 当时，的增长速度不是一直快于，B错误； 当时，的增长速度不是一直快于，C错误； 当时，的增长速度不是一直快于，D错误． 故选：A 一、单选题 1．设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数，指数函数单调性结合题设可判断选项正误； 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即. 因为函数在R上单调递减，且，所以，即，所以. 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】单调递增，故， 单调递增，故， ， 对于，，设函数，， 故函数在上单调递增， 所以， 则，所以， 故． 3．从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（    ）（参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据已知分析第次倒出，剩下纯酒精为，再列不等式，结合指数函数的性质求参数值. 【详解】由题意，第一次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第二次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第三次倒出，剩下纯酒精为， ， 连续进行次后，第次倒出，剩下纯酒精为， 令，可得：， 则，则 故至少是4. 故选：B. 二、多选题 4．已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．设函数，则为奇函数 C．当且仅当时， D．若，是函数上任意两点，则 【答案】BC 【分析】对于A：利用赋值法令即可求出；对于B：令可得，结合奇函数定义即可判断；对于C：令可得，利用累加法可得，，令，可解出答案；对于D：根据选项C得结论，举反例说明即可. 【详解】对于A：令代入得，解得，选项A错误； 对于B：令可得，即， 且， 则 所以，故是奇函数，选项B正确； 对于C：令可得：， 将代入，得， 则，，，，， 累加得：，则，， 令可得：， 整理得：，解得：或， 因为，所以，选项C正确； 对于D：因为，， 令，，则， 则，，即，选项D错误. 5．下列说法正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数与的图象关于直线对称 C．，当时，恒有 D．若幂函数在上单调递减，则 【答案】BCD 【分析】由对数函数的性质可判断A；由反函数的性质可判断B；由指数函数的增长速度远远快于一次函数，可判断C；由幂函数的性质可判断D. 【详解】对于A选项，函数恒过定点，故A错误； 对于B选项，函数与的图象关于对称， 即函数与的图象关于直线对称，故B正确； 对于C选项，因为指数函数的增长速度远远快于一次函数， 所以时，恒有，故C正确； 对于D选项，由幂函数性质可得，幂函数在单调递减，则，故D正确. 6．已知幂函数在上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】BCD 【分析】利用幂函数的定义及单调性求出，再逐项判断即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递增，所以，所以，所以A错误，B正确； 由上述分析可得，则，所以为偶函数，C正确； 因为为偶函数，所以，又在上单调递增，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 7．已知是幂函数，且，若，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】通过幂函数的一般形式求出和，并利用单调性求解不等式. 【详解】设，因为，所以，解得，. 又因为，所以. 解，即， 设，，那么，因为，单调递增， 又因为，所以时，即. 8．方程的实数解为____________． 【答案】 【分析】利用换元法将指数方程转化为一元二次方程，求解后结合指数函数的值域舍去负根，再转化为对数形式得到解 【详解】令，由指数函数的性质可知，原方程可变形为： ， 对一元二次方程因式分解得，解得或. 由于，故舍去，即. 根据对数的定义，可得. 9．写出一个满足下列条件的函数的解析式：________． ①； ②对任意正数，，； ③，； ④． 【答案】（答案不唯一） 【分析】分别分析函数的奇偶性，单调性，凹凸性以及函数的运算性质，然后结合常见函数的特点来确定满足条件的函数解析式. 【详解】条件①，表明函数为偶函数，其图像关于轴对称； 条件②对任意正数，，，说明函数在上单调递增； 条件③，，表明函数在上是上凸函数； 条件④，这是对数函数的运算性质，即对数函数满足. 综合条件，首先考虑，（且），满足条件④， 当时，满足条件②，在上是上凸函数，满足条件③，为了满足条件①，需将函数变为， 因此，满足条件的函数的解析式可以为. 四、解答题 10．函数和的图象如图所示.设两函数的图象交于点，，且. (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)求点，的坐标； (3)结合函数图象，判断，，，的大小. 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据幂函数与指数函数性质分析即可； （2）根据幂函数与指数函数图象与性质分析即可； （3）根据幂函数与指数函数图象与性质分析即可. 【详解】（1）当，幂函数增长较指数函数慢，故对应的函数为， 对应的函数为. （2）因为，，，， 所以，. （3）由题图和（2）可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，， 又因为在上为增函数， 所以，故. 一、单选题 1．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用指数函数的单调性比较 与的大小及范围，再利用对数函数的单调性判断 与 的大小关系，进而得出三者的大小关系. 【详解】因为，，，所以. 故选：A. 2．已知函数，若方程的四个由小到大的实数根分别为，，，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．最大值为 【答案】A 【分析】作出函数图象，即可判断选项A，然后求出方程的四个实数根，逐项分析即可. 【详解】作出函数图象    由图可知，故A错误； 且， 所以，，，， 验证可知，故B正确； 在时单调递增，故其范围为，故C正确， ， 取等条件，故D正确. 故选：A. 3．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数为奇函数，然后对函数表达式进行有理化化简，再用“同增异减”法则结合奇偶性判断复合函数单调性，以及利用指数，对数函数的单调性，进而可得解. 【详解】函数的定义域为, ,所以函数为奇函数， 又 ， 在单调递增，可以得到函数在上单调递增， ：因为单调递减，所以，即； ：因为，，即； ：因为，，且，， 要证，等价于证； 因，则等价于证， 因为，不等式两边同乘（不等号方向不变）， 只需证： 因为；；， 结合，得，故， 将上述式子代入，展开得： ， 则= ， 因，即， 因是单调递增函数，故，即， 因此，即，原不等式成立， 因，且单调递增，故，综上， 所以：， 因为单调递增，所以. 故选：A. 4．已知实数a，b满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式，对数的运算法则及指数函数与对数函数的单调性判定即可. 【详解】易知在上单调递增，且， 故， 即 ， 又在R上单调递增，且时有， 所以时有， 故，可排除C、D. 令 ， 故 ， 即有，所以， 即，即，故 ，故. 故选：A. 5．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要是构造函数法，先结合函数单调性来推导变量关系，再利用指数函数、对数函数的性质判断选项即可. 【详解】因为，即：， 设，因为是上的增函数，是上的减函数， 则是增函数，所以在上单调递增， 由，结合单调性可得：，即； 选项AB： 由，得， 因为在时函数值大于0，故A正确，B错误； 选项C： 由，但不一定大于1（比如时，），故C错误； 选项D： 由，是增函数，故，故D错误. 故选： A. 6．设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别判断与0和1的大小关系，再利用特殊值综合比较三者的大小. 【详解】由于，指数函数单调递减， 因此，即； 对数函数单调递增，且， 因此，同时，故，即； 对数函数单调递增，且，因此，即. 综上，. 故选. 二、多选题 7．下列不等关系成立的有（      ） A． B． C．（） D．（且） 【答案】ABD 【分析】根据指数、对数的性质和运算法则，结合函数单调性，判断选项A；利用指数、对数的性质比较大小，判断选项B；利用指数的性质化简不等式，进而判断大小关系，判断选项C；利用换底公式及均值不等式推出大小关系，判断选项D． 【详解】选项A：幂函数，，在上单调递增， ， ，故A成立； 选项B：，，， ，， ，， ，故B正确； 选项C：等价于， 当时，，故不等式不成立，故C不成立； 选项D：不等式可化为，只需证明， 由均值不等式可知：， ，，故， 成立，故D成立 故选：ABD． 三、填空题 8．若，则___________． 【答案】5 【分析】对已知式子合理变形，变成同构式，再借助单调性构建等量关系计算即可. 【详解】由 变形得 ，即 . 由 ，令 ，则 ，代入得 . 构造函数 ，该函数在定义域上单调递增. 因 且 ，故 ，即 . 所以 . 四、解答题 9．定义：对于函数，，，若存在实数，使得，则称为，的生成函数. (1)设，，，写出生成函数在的单调区间（无需证明）； (2)设，，生成一个函数，同时满足下列条件：为偶函数，且的最大值为. ①求函数的解析式； ②已知，，，，对于上的任意值，记，求的最大值. 【答案】(1)单减，单增 (2)； 【分析】根据对勾函数单调性求解即可；先找到的关系，化简整理函数并通过最大值条件求出的值代入即可； 分析在的单调性，利用绝对值的性质化简并求其最大值. 【详解】（1）由题可得， 因为，当且仅当时等号成立，此时， 所以由对勾函数性质可得，在单调递减，在单调递增. （2）①因为， 所以. 由是偶函数，得 ， 即， 因为代入， 化简得， 即对任意成立，故， 将代入中得 ， 化简对数部分， 故令，则， 由对勾函数性质，，当且仅当，即时取等， 故，即， 由的最大值为，分情况讨论， 当时，，解得； 当时，无最大值，舍去. 因此. ②由在处取得最大值，且 故在单调递增，单调递减. 的几何意义为折线段的长度之和，其最大值是函数在上的总变差， 已知，， 则， 所以去绝对值得， ， 即的最大值为. 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 教学目标 1. 知识与技能：了解直线型（一次函数）、幂函数型、指数函数型、对数函数型四类函数模型增长速度的差异；理解“指数爆炸”的含义；掌握当自变量充分大时指数函数、幂函数、对数函数增长快慢的排序规律，并能进行简单的判断、排序与实际模型选择。 2. 过程与方法：通过计算函数值表格、观察函数图象变化趋势，经历由特殊到一般归纳增长规律的过程，提升读图分析、数据比较与数形结合能力；体会临界值（交点）对增长次序的影响。 3. 情感态度与价值观：认识数学模型对描述现实增长（人口、复利、繁殖、信号强度等）的价值，培养用增长趋势预测变化的科学态度，理解“指数爆炸”在生活与科技中的现实意义。 教学重难点 重点：指数函数、幂函数、对数函数增长速度的差异；x充分大时 aˣ＞xᶜ＞ 的排序结论；“指数爆炸”的理解。 难点：理解小区间内增长次序会反复、图象存在交点，而x足够大时次序才确定；根据实际问题特征选择合适的函数增长模型。 知识点01 几类常见增长函数模型回顾 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) “对勾”函数模型 y＝x＋(a>0) 【关键提醒】比较增长快慢要看“增长速度”（增量的快慢），不是只看某一点的函数值大小；函数值大小与增长快慢是两个不同概念。 【即学即练】 1．下列函数中，增长速度恒定（匀速增长）的是（ ） A．y=2ˣ B．y=x² C．y=3x+1 D．y=log₂x 2．幂函数 y=x³ 在(0,+∞)上的单调性是______，图象经过定点______。 知识点02 指数函数与幂函数增长的比较——“指数爆炸” 以 y=2ˣ 与 y=x² 为例比较（部分取值）： x=1：2ˣ=2，x²=1；x=2：两者都为4；x=3：2ˣ=8，x²=9；x=4：两者都为16；x=10：2ˣ=1024，x²=100；x=16：2ˣ=65536，x²=256。 【结论】 ① 在较小范围内，两者互有先后、图象可能相交（如 x=2、x=4 时 2ˣ=x²）； ② 当自变量x充分大（超过某个临界值）后，指数函数 y=aˣ（a>1）的增长速度会超过并远远大于任意一个幂函数 y=（c>0）的增长速度； ③ 即使底数a很接近1、幂指数c很大，只要a>1、c>0，在x足够大时仍有 aˣ 的增长速度最终超过 xᶜ； ④ 这种“前期不显眼、后期急剧加速并遥遥领先”的现象称为“指数爆炸”。 【即学即练】 1．关于指数函数 y=2ˣ 的增长速度，下列说法正确的是（ ） A．匀速增长 B．越来越慢 C．越来越快，后期急剧上升 D．先快后慢 2．当x足够大时，比较 3ˣ 与 x⁵ 的增长速度，正确的是______（填“3ˣ快”“x⁵快”或“无法比较”）。 知识点03 对数函数增长的特点 ① y=（b>1）在(0,+∞)上虽然递增，但增长速度越来越慢，图象上升得越来越平缓，其增量随x增大而趋近于0； ② 当x充分大时，幂函数 y=（c>0）的增长速度远远大于对数函数 y= 的增长速度，即 xᶜ 比 增长快； ③ 底数b越大，对数函数在相同区间内增长得越慢（图象越贴近x轴）； ④ 对数函数常用于描述“增长受饱和限制、增大越来越不明显”的量，如声音分贝、地震震级、酸碱度pH、信息量等。 【即学即练】 1．下列函数中，随x增大增长速度最慢、图象越来越平缓的是（ ） A．y=1.1ˣ B．y=x⁴ C．y=log₁₀x D．y=5x 2．判断：当x充分大时，的增长速度大于 lg x。（ ）（填“√”或“×”） 知识点04 三类函数增长快慢的总体规律 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 【重要补充】 ① “x充分大”是前提：在小区间内三类函数的函数值大小、增长次序可能反复出现，图象可以有多个交点，不能在小区间直接套用上述排序； ② 判定临界位置的常用方法：计算若干特殊点函数值列表比较；借助函数图象看交点；结合单调性判断超越区间； ③ 函数值大小 ≠ 增长速度：某点处函数值大，不代表它增长得快（如对数函数起点低但持续为正，也可能在某点数值仍为正）。 【即学即练】 1．当x足够大时，下列三者增长速度由快到慢排列正确的是（ ） A．log₂x，x³，2ˣ B．2ˣ，x³，log₂x C．x³，2ˣ，log₂x D．2ˣ，log₂x，x³ 2．对于 y=2ˣ 与 y=x²，在区间(2,4)内函数值大小关系为______；当x＞4后稳定为______。 知识点05 增长模型的选择与实际应用 根据现实对象的变化特征选择模型： ① 指数爆炸型（优先选 y=a˚，a>1）：细胞/细菌繁殖、复利计息、人口按固定比例增长、病毒传播、存储容量增长等“按固定倍数翻番”的过程； ② 幂函数型（选 y=xᶜ，c>0）：与面积、体积、长度幂次相关的几何量，以及按幂次规律缓慢加速的过程； ③ 对数缓慢型（选 y=，b>1）：感官强度随物理量增大而增长逐渐变缓的现象，如地震里氏震级、声音分贝、pH值、信息熵； ④ 直线匀速型（选 y=kx+b）：匀速运动、单价×数量、固定速率变化等线性关系。 【建模步骤】读数据特征 → 描点或列表观察趋势 → 判断增速类型（恒定/越来越快/越来越慢）→ 选定模型 → 检验拟合效果。 【即学即练】 1．下列现实现象最适合用指数函数模型描述的是（ ） A．正方形面积随边长的变化 B．匀速行驶的路程与时间 C．细菌数量按每20分钟翻一番增长 D．声音响度随能量增大而缓慢提升 2．声音分贝数随声音能量增大而增加，但增量越来越小，宜选用______函数模型刻画。 题型 01 判断函数增长速度的快慢排序 【典例1】 下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】 (多选题)对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A．对任意的 B．对任意的 C．一定存在 ，当 时，总有 D． 与 的图象有两个交点 【变式3】 在上，随着x的增大，的增长速度会超过并远远大于的增长速度． 题型 02 理解“指数爆炸”及其应用判断 【典例1】 图（1）（2）（3）分别是函数和在不同范围内的图象，则下列说法正确的是（   ） A．由图（1）可知函数的图象增长得越来越快 B．由图（3）可知函数的图象增长得越来越快 C．在（0，2）范围内函数的图象比的图象增长得慢 D．以上均错误 【变式1】 （多选题）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【变式2】 （多选题）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为：，以下说法正确的是（    ） A．当时，乙走在最前面 B．当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面 C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 【变式3】 函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点、，且．请指出示意图中曲线、分别对应哪一个函数. 题型 03 函数值的大小比较与增长交点（临界分析） 【典例1】 函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 若函数，，，则由表中数据确定、、依次对应（    ） x 1 2 0.2 0.2 5 50 25 3.2 10 200 200 102.4 A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式2】 已知，，，则三者大小关系为（ ） A．a > b > c B．b > a > c C．a > c > b D．c > b > a 【变式3】 （多选题）对于函数与的图象，下列说法错误的是（   ） A．与有三个交点 B．与有两个交点 C．，当时，恒在的下方 D．，当时，恒在的上方 题型 04 幂函数的图象与性质辨析 【典例1】 函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式1】 已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B． C．或 D． 【变式2】 若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】 若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 题型 05 实际问题中的函数模型选择 【典例1】 年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（    ） A． B． C． D． 【变式1】 大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】 人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（    ）倍．(参考数据：) A． B． C． D． 【变式3】 “打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为_____________．（参考数据：） 题型 06 增长趋势的综合分析与数据判断 【典例1】 有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是（　　） A． B． C． D． 【变式1】 在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据： x 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则，的函数关系式与下列哪类函数最接近？（其中为待定系数）（    ） A． B． C． D． 【变式2】 函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【变式3】 已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．当时，函数均为增函数 B．当时，的增长速度一直快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度一直快于 一、单选题 1．设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（    ）（参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 4．已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．设函数，则为奇函数 C．当且仅当时， D．若，是函数上任意两点，则 5．下列说法正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数与的图象关于直线对称 C．，当时，恒有 D．若幂函数在上单调递减，则 6．已知幂函数在上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D． 三、填空题 7．已知是幂函数，且，若，则不等式的解集为______. 8．方程的实数解为____________． 9．写出一个满足下列条件的函数的解析式：________． ①； ②对任意正数，，； ③，； ④． 四、解答题 10．函数和的图象如图所示.设两函数的图象交于点，，且. (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)求点，的坐标； (3)结合函数图象，判断，，，的大小. 一、单选题 1．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若方程的四个由小到大的实数根分别为，，，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．最大值为 3．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知实数a，b满足，，则（ ） A． B． C． D． 5．若，则（   ） A． B． C． D． 6．设，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列不等关系成立的有（      ） A． B． C．（） D．（且） 三、填空题 8．若，则___________． 四、解答题 9．定义：对于函数，，，若存在实数，使得，则称为，的生成函数. (1)设，，，写出生成函数在的单调区间（无需证明）； (2)设，，生成一个函数，同时满足下列条件：为偶函数，且的最大值为. ①求函数的解析式； ②已知，，，，对于上的任意值，记，求的最大值. 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $