精品解析：西藏昌都市第二高级中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试卷

2026-2027学年度昌都市第二高级中学期中考试卷 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 6 4. 设向量，则与平行的向量可以是（ ） A. B. C. D. 5. 经过点和的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线方程为，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 4 7. 已知空间向量，则的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 与的取值有关 8. 直线和圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不确定. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知复数满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的共轭复数 B. 是方程的一个根 C. 在复平面内对应的点位于第一象限 D. 是纯虚数 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角为 D. 向量在向量上的投影向量为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，为的中点，点为线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积不是定值 C. 三棱锥的外接球的表面积是 D. 当直线与平面所成角最大时，线段长为2 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 直线与直线平行，则它们之间的距离是______． 13. 已知，则以线段AB为直径的圆的方程是___________. 14. 若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为_________． 四、解答题（15题13分，16、17每题15分、18、19每题17分） 15. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； 16. 已知空间中三点，，. （1）若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标； （2）求的面积. 17. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 18. 平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点与圆相切的直线方程； （2）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 19. 已知 （1）求； （2）若，求a的值； （3）若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度昌都市第二高级中学期中考试卷 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为集合， 所以. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依复数四则运算法则及复数模的意义即可得解. 【详解】, , 故选: C. 3. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由两向量垂直，其数量积为零，再根据数量积的坐标表示，列式求出即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 4. 设向量，则与平行的向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：，设， 令，则，即，对照选项只有C满足，故选C. 5. 经过点和的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点式可得答案. 【详解】解析 所求直线的方程为， 即. 故选：A 6. 已知直线方程为，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线与两坐标轴的交点，再求三角形面积即可. 【详解】令得，则该直线与轴交点； 令得，则该直线与轴交点； 所求三角形的面积. 故选：A. 7. 已知空间向量，则的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 与的取值有关 【答案】B 【解析】 【详解】，所以. 8. 直线和圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不确定. 【答案】C 【解析】 【详解】圆化为标准方程， 故圆心坐标为，半径， 则圆心到直线的距离 ， 故直线与圆相切. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知复数满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的共轭复数 B. 是方程的一个根 C. 在复平面内对应的点位于第一象限 D. 是纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据除法运算化简复数，再结合选项判断. 【详解】A.，，故A正确； B.，所以不是方程的一个根，故B错误； C.复数对应的点为，位于第一象限，故C正确； D.为纯虚数，故D正确. 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【详解】 选项A：计算得， 若，则存在实数满足，显然无实解，故A错误； 选项B：由模长公式得，故B正确； 选项C：因，， 则，又因，则，故C错误； 选项D：因，， 则向量在向量上的投影向量为，故D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，为的中点，点为线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积不是定值 C. 三棱锥的外接球的表面积是 D. 当直线与平面所成角最大时，线段长为2 【答案】AC 【解析】 【分析】利用线线垂直可证明平面判断A；利用可判断B；取中点为，连接，利用四棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，计算求得外接球的表面积判断C；由A可证明（或其补角）为直线与平面所成角，进而计算得当与重合时，直线与平面所成角最大可判断D. 【详解】对于A，连接， 由题意可得， ， ， 所以，所以， 由正方体，可得平面，又平面， 所以平面平面， 又因为，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，平面，所以平面，故A正确； 对于B，设到平面的距离为，， 因为为的中点，所以为定值，又（定值）， 所以为定值，故B错误； 对于C，取中点为，连接， 因为为的中点，所以四边形为矩形， 又为的中点，所以， 又由正方体，可得平面，所以平面， 所以四棱锥的外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积是，故C正确； 对于D，连接，因为平面，又平面， 所以平面平面， 所以（或其补角）为直线与平面所成角， 当与重合时，最大，此时， 又，所以为锐角， 所以当与重合时，直线与平面所成角最大，此时，故D错误. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 直线与直线平行，则它们之间的距离是______． 【答案】2 【解析】 【详解】直线与直线平行， 则它们之间的距离是 13. 已知，则以线段AB为直径的圆的方程是___________. 【答案】 【解析】 【详解】点的中点为，则以线段AB为直径的圆的圆心为，半径为，圆的方程为. 14. 若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【详解】时，两直线不垂直，不合题意，所以直线的斜率为， 又直线的斜率为3，且两条直线互相垂直，所以，解得． 由，解得，即这两条直线的交点坐标为． 四、解答题（15题13分，16、17每题15分、18、19每题17分） 15. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求中点，再利用点斜式求所求直线方程. （2）分直线过原点和不过原点两种情况讨论求解. 【小问1详解】 因，， 设中点为，则得，即 则直线的方程为，即. 【小问2详解】 ①当截距为时，直线经过原点和点，则其方程为，即 ②当截距不为时，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或. 16. 已知空间中三点，，. （1）若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是平行四边形得到，通过计算得解； （2）利用向量的数量积求出，结合向量的夹角的范围求出，利用三角形面积公式求出的面积． 【小问1详解】 设，因为是平行四边形，所以， 由，，， 得，， 所以，故． 【小问2详解】 由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积． 17. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）如图，设交于点，连接， 因为正方形中，， 因为为等腰三角形，所以， 因为，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由已知易得出，，即可证明； （2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量关系即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：，， 所以，，且，故平面． 以为原点，为轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则． ， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 又因为平面， 所以平面的法向量可取， 设二面角的大小为， 则． 由图可知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为． 方法二： （等体积法）由，，得，，故平面． 由正方形边长为2，得；又，故． ，所以；同理． 四面体的体积． 设二面角为，则点到平面的距离， 点到直线的距离． 由垂直于棱的截面关系，． 由图可知为锐角，故． 所以二面角的余弦值为． 18. 平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点与圆相切的直线方程； （2）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】（1）和. （2）或 （3）是定值，定值为． 【解析】 【分析】（1）通过点到直线的距离公式分类讨论. （2）通过弦长计算出圆心到直线的距离后，利用点到直线距离公式求解. （3）设出直线方程，通过联立直线与圆方程，利用韦达定理建立起交点坐标间的定量关系，最后表示出两直线斜率之和. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为2， 若过点垂直于轴的直线，恰与圆相切，符合题意； 设另一条直线的斜率为，其方程为，即， 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得， 则该切线方程为. 综上，过点与圆相切的直线方程为和. 【小问2详解】 因为截得的弦长为且半径，所以圆心到直线的距离为， 由，解得或， 即所求直线为或. 【小问3详解】 由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且，解得， 设直线QA，QB的斜率分别为， ， 所以是定值，定值为． 19. 已知 （1）求； （2）若，求a的值； （3）若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围. 【答案】（1）3 （2）12 （3） 【解析】 【分析】（1）根据分段函数解析式直接求解； （2）根据函数解析式，分段讨论，解方程即可； （3）作出函数图象，数形结合即可. 【小问1详解】 ， ∴ 【小问2详解】 当时，， 当时，，该方程实数范围内无解 综上， 【小问3详解】 作出 的图象，如图， 由图象可知，当时，与有三个交点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $