精品解析：山东烟台市福山区2026-2027学年七年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年度第一学期期中学业水平考试 初二数学试题 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 2. 下列各组数据是勾股数的是（ ） A. ，， B. 4，5，6 C. 0.3，0.4，0.5 D. 9，40，41 3. 在中，若，且的长为整数，则的周长可能是（ ） A. 8 B. 11 C. 12 D. 15 4. 如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 垂线段最短 5. 用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示，说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. 角平分线上的点到角两边距离相等 6. 如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，、的垂直平分线分别交于点E、F，连接、，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 9. 如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ） A. 15 B. 25 C. 35 D. 45 10. 如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接．有下列结论①，②垂直平分，③，④平分，⑤．则下列结论正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 若，则以，为边长的等腰三角形的周长是______． 12. 已知一直角三角形中两边长分别为和，则第三边的平方是________． 13. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为_____． 14. 如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为，则等于________ 15. 如图，，交于 M，于 D，若，则 ____________． 16. 如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点从点出发在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在、运动到某处时，有与全等，则此时的长度为______． 三、解答题（本大题共9个题，满分72分） 17. 如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）作关于直线对称的图形． （2）若网格中最小正方形的边长为1，则的面积为_______． （3）在直线上找一点P，使最短． 18. 如下图，在中，，点D在的延长线上． （1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） ①作的平分线． ②作边上的中线，并延长交于点F． （2）由（1）得与边的位置关系是________ 19. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为22，求的周长． 20. 已知a，b，c是的三边长． （1）若a，b，c满足，试判断的形状； （2）化简： 21. 如图，某小区在临街的拐角建造了一块绿化地阴影部分，测得，，，，且， （1）小区居民每天必须从点A经过点B再到点C的位置，为了便于出行，开辟了一条从点A直通点C的小路，请问施工完成后，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）求这块绿地的面积． 22. 如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：BD＝CE； （2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度数． 23. 如图，在等边中，D、E分别为边，上的点，，、相交于点F，，垂足为点G． （1）与全等吗？请说明理由； （2）求的度数． （3）若，，求的长． 24. 如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． （1）为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． （2）为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 25. 结合图形完成下列各题： （1）如图1：已知中，以，为直角边向外作等腰直角和等腰直角，连接，，则与的关系为：________；（直接填写结果，不需要说明理由） （2）如图2，已知，以，为边向外作等边和等边，连接，，试判断与有什么数量关系？并说明理由； （3）如图3，要测量池塘两岸相对的两点D，C之间的距离，已经测得，，米，米，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中学业水平考试 初二数学试题 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形． 2. 下列各组数据是勾股数的是（ ） A. ，， B. 4，5，6 C. 0.3，0.4，0.5 D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解 【详解】解：A、不是正整数，则，，不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，则4，5，6不是勾股数，故本选项不符合题意； C、不是正整数，则0.3，0.4，0.5不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，，则是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 3. 在中，若，且的长为整数，则的周长可能是（ ） A. 8 B. 11 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形的三边关系可得，即可确定的长度可以为3、4、5，再求出三角形周长的可能取值即可解答． 【详解】解：∵在中，若， ，即， ∴， ∵的长度为整数， ∴的长度可以为3、4、5， ∴的周长可能是9、10、11． 故选：B． 4. 如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，理解并掌握“三角形具有稳定性”的概念是解题的关键． 根据图示，三角形的性质即可求解． 【详解】解：自行车的车架焊接横梁，运用的数学原理是“三角形具有稳定性”， 选项A、选项C和选项D都与题干不符， 故选：B． 5. 用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示，说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. 角平分线上的点到角两边距离相等 【答案】A 【解析】 【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案． 【详解】连接NC，MC， 在△ONC和△OMC中，， ∴△ONC≌△OMC（SSS）， ∴∠AOC=∠BOC． 故选：A 6. 如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A．由于，，添加条件，不能用证明，故本选项符合题意； B．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； C．由于，，添加条件，可得，即，可以利用证明，故本选项不符合题意； D．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； 故选：A． 7. 如图，中，，、的垂直平分线分别交于点E、F，连接、，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，结合图形计算即可． 【详解】解：， ， 、的垂直平分线分别交于点、， ，， ，， ， ． 故选：B． 8. 如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短线段问题，将的最小值转化为的长是解题关键．连接、，根据等腰三角形三线合一的性质，求出，再根据垂直平分线的性质，得到，从而得出的最小值为的长，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 等腰的底边，D为边的中点， ，， 面积为， ， ， 垂直平分， ， ， 的最小值为的长， 周长的最小值是， 故选：C． 9. 如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ） A. 15 B. 25 C. 35 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理，关键是知道求那一条线段的长． 根据题意画出图形，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图展开，连接，则线段的长就是小虫爬的最短路线， 在中，，， 由勾股定理得：． 故选：B． 10. 如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接．有下列结论①，②垂直平分，③，④平分，⑤．则下列结论正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线作图过程即可判断④，结合题意证明，利用全等三角形性质即可判断①，利用等腰三角形性质和判定即可判断②，利用勾股定理即可判断③，结合三角形中线性质即可判断⑤． 【详解】解：由作图过程可知， 射线平分， 平分， 故④正确； 在中，， ， ， ，， ， ，， 故①正确； ， ， ， ， 垂直平分，无法证明垂直平分； 故②错误； ， 故③正确； ， ， ， ， ， ∴． 故⑤正确； 综上所述，结论正确的个数有4个． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 若，则以，为边长的等腰三角形的周长是______． 【答案】11或13 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的概念，非负数的性质，以及三角形的三边关系，注意利用分类讨论思想解题．根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a，b的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案． 【详解】解：，且， 解得：， 设三角形的第三边为， 当时，，能构成三角形， 此时，三角形的周长； 当时，，能构成三角形； 此时，三角形的周长， 综上，该等腰三角形的周长是11或13， 故答案为：11或13． 12. 已知一直角三角形中两边长分别为和，则第三边的平方是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边13既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即13是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x， （1）若13是直角边，则第三边x是斜边， 由勾股定理得：， ∴； （2）若13是斜边，则第三边x为直角边， 由勾股定理得：， ∴, ∴第三边的平方是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，解题的关键是掌握当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解． 13. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理，得正方形E的面积=正方形B的面积+正方形A的面积，得正方形E的面积=正方形D的面积-正方形C的面积， 则正方形A的面积， 故答案为：4． 14. 如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为，则等于________ 【答案】 【解析】 【分析】首先根据折叠可得，设，则，根据勾股定理可得，可得x的值． 【详解】解：由折叠可知：， 设，则， 直角中： ， 解得：． 15. 如图，，交于 M，于 D，若，则 ____________． 【答案】10 【解析】 【分析】过点作，角平分线的性质得到，角平分线和平行线的性质，得到， ，再利用含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：10． 【点睛】本题考查角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，构造特殊三角形． 16. 如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点从点出发在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在、运动到某处时，有与全等，则此时的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长度为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9个题，满分72分） 17. 如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）作关于直线对称的图形． （2）若网格中最小正方形的边长为1，则的面积为_______． （3）在直线上找一点P，使最短． 【答案】（1） 如图1，即为所作； （2） （3） 如图2，点即为所作 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，利用网格求三角形面积，轴对称的性质．熟练掌握作轴对称图形，轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质作图即可； （2）根据，求解作答即可； （3）记交于，连接，由轴对称的性质可知点即为所作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：记交于，连接， ∴， ∴， ∴此时最短，点即为所作． 18. 如下图，在中，，点D在的延长线上． （1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） ①作的平分线． ②作边上的中线，并延长交于点F． （2）由（1）得与边的位置关系是________ 【答案】（1）①如下图，为的平分线 ②如下图，为边上的中线． （2）平行 【解析】 【分析】（1）①直接利用角平分线的作法即可作图； ②先作的中垂线，得到的中点E，连接即可； （2）根据等边对等角得到，利用平行的判定方法得出与的关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由得，， 由（1）得，， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为22，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键． （1）根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，再根据垂直平分线的性质，推出，即可求出的度数； （2）根据垂直平分线的性质，得出，，再结合的周长，推出，即可求出的周长． 【小问1详解】 解：，， ， 垂直平分， ， ， ； 【小问2详解】 解：垂直平分， ，， 的周长为22， ， 的周长． 20. 已知a，b，c是的三边长． （1）若a，b，c满足，试判断的形状； （2）化简： 【答案】（1）是等边三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得且，进而可以判断三角形的形状； （2）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可． 【小问1详解】 解：，且， ∴ ，， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 解：，，是的三边长，， ． 21. 如图，某小区在临街的拐角建造了一块绿化地阴影部分，测得，，，，且， （1）小区居民每天必须从点A经过点B再到点C的位置，为了便于出行，开辟了一条从点A直通点C的小路，请问施工完成后，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）求这块绿地的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 22. 如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：BD＝CE； （2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度数． 【答案】 （1）证明∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2） 【解析】 【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质可得出BD＝CE； （2）由全等三角形的性质及三角形内角和定理求出∠CAE＝60°，由等腰三角形的性质求出∠DAE＝20°，则可求出答案． 【详解】解：（1） 略 （2）∵△ABD≌△ACE， ∴∠B＝∠C＝40°， ∵∠E＝80°， ∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠E， ∴∠DAE＝180°﹣2∠E＝180°﹣160°＝20°， ∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝60°﹣20°＝40°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图，在等边中，D、E分别为边，上的点，，、相交于点F，，垂足为点G． （1）与全等吗？请说明理由； （2）求的度数． （3）若，，求的长． 【答案】（1）解：与全等，理由如下： 是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用“”即可证明与全等； （2）根据全等三角形的性质，得到，，进而得出； （3）结合垂直，得到，进而得出，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ∵， ， ， ． 24. 如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． （1）为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． （2）为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】（1）见解析，新路长度是80米 （2） 解：该车没有超速． 理由：在中，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， 该车经过区间用时， ∴该车的速度为， ∵． ∴该车没有超速． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据垂线段最短，过点A作，交l于点D，则即为所求；根据等腰三角形和勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得出，求出该车的速度为，然后再进行比较即可． 【小问1详解】 解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴新路长度是80米． 【小问2详解】 略 25. 结合图形完成下列各题： （1）如图1：已知中，以，为直角边向外作等腰直角和等腰直角，连接，，则与的关系为：________；（直接填写结果，不需要说明理由） （2）如图2，已知，以，为边向外作等边和等边，连接，，试判断与有什么数量关系？并说明理由； （3）如图3，要测量池塘两岸相对的两点D，C之间的距离，已经测得，，米，米，且，求的长． 【答案】（1）垂直且相等 （2）解：， 理由：和是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴； （3）米 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法得出，根据全等三角形的性质即可得出，根据角的和差可知； （2）根据和都是等边三角形，证明，得； （3）如图中，在的上方作等边，连接，，证明，利用勾股定理求出，可得结论． 【小问1详解】 解：如图， 和是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 即； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图3中，在的上方作等边，连接，． ，， 是等边三角形， 同（1）可证， ∴， ，， ， 在中，米，米， （米）． 米，即的长为500米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $