3.3一元一次方程的应用（讲义，知识点&3大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制六年级上册

第三章 一元一次方程 3.3 一元一次方程的应用 课标要点 1.能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. 2.掌握列方程解决实际问题的一般步骤，会检验方程的解是否符合实际意义. 3.能运用一元一次方程解决配套、工程、销售、行程、和差倍分等实际问题. 思维导图 知识点1 列方程解决实际问题的一般步骤 1．审题：弄清题意及题目中的等量关系． 2．设元：用字母表示题目中的一个未知数． 3．列方程：根据题目中的等量关系列方程． 4．解方程：求出未知数． 5．检验：检验所求解是否符合题意． 6．作答． 在“设”与“答”这两个过程中必须写清单位名称．列方程解应用题的关键是仔细审题，弄清题意，找出能够表示题目全部含义的一个等量关系，并把这个等量关系转化为方程． 列方程解应用题的“六步法” （1）审：读题两遍，圈出已知量、未知量，用一句话写出等量关系； （2）设：优先直接设元（问什么设什么）；直接设元列式困难时改间接设元（设中间量，或设“一份”为x）； （3）列：把等量关系中的每个量都用含x的式子表示出来再代入，注意单位统一； （4）解：按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序求解； （5）验：先检验所求是否为方程的解，再检验是否符合实际意义（人数、件数为正整数，长度、时间为正数），不合题意的解必须舍去； （6）答：语句完整、写清单位名称． 设未知数的四种常用方法 ①直接设元：求什么就设什么，最常用； ②间接设元：设关键的中间量，如数字问题设某数位上的数字，而不是设整个数； ③参数法（设“一份”为x）：遇到型的比例关系时，设一份为，则三个量可分别表示为； ④设辅助元：为便于表述而临时设元，列式后设法消去． ①“设”与“答”中必须写清单位，中途换单位要统一； ②同一个量用两种方法表示得到两个式子，这两个式子相等，是列方程最常用的思路； ③从不同角度可以找出不同的等量关系，列出的方程不同，但答案应当一致，可用此自查． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海虹口·期末）已知与互补，比的小，求的度数． 知识点2 总量和分量关系问题 相等关系：总量＝各部分量的和． （1）设未知数列方程时，要注意单位的统一． （2）对于实际问题中的方程的解，既要检验求出的值是否为方程的解，也要检验求出的值是否符合实际意义．对于与现实生活不符的结果，要进行必要的取舍． “分率”问题的三个要点 （1）认准“单位1”：第一次“用去总数的二分之一”以总数为单位1，第二次“用去剩下的二分之一”以前一次的剩余为单位1，两次的单位1不同，不能把分率直接相加； （2）总量＝各部分量之和，是这类问题最常用的等量关系； （3）单位要统一：先统一单位再列方程，答语中也要带单位． 求得的结果既要满足方程，又要符合实际意义（人数、件数必须为正整数），不符合实际意义的解必须舍去． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）将正整数按如下方式排列：    在这个数阵里用长方形框出两行六个数（图中长方形框仅为示意）．如果框出来的六个数的和是432，则框出的六个数中，最小的数是最大的数的__________（填几分之几）． 知识点3 工程问题 1.工程问题中的基本数量关系： 工作量＝工作效率×工作时间（工作量＝人均效率×时间×人数）； 合作的效率＝各部分单独做的效率之和； 总工作量＝各部分工作量之和． （1）当工程类应用题中的工作总量不是具体数量时，往往把工作总量看作“1”；（2）当把工作总量看作“1”时，工作效率＝1÷工作时间，工作时间＝1÷工作效率． 工程问题的三个基本关系 （1）工作量＝工作效率×工作时间；若给出人数，则工作量＝人均效率×工作时间×人数； （2）总工作量＝各部分工作量之和；工作总量没有给出具体数量时，通常把总工作量看作“1”，此时工作效率＝1÷完成全部工作所需的时间； （3）合作的效率＝各部分单独做的效率之和． “甲先做、乙接着做”型问题的处理 按时间段把整个过程分段，分别表示出每一段完成的工作量，再把各段工作量相加等于总工作量（或等于1）．若中途有人离开、有人加入，注意各段的工作时间不同，不能一律用同一个时间． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海静安·期末）完成某工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再加入合作，直至完成这项工程，求甲、乙合作完成这项工程所用的时间；若设甲、乙合作完成此项工程一共用x天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C．1 D．1 2．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）甲、乙两个工程队安装排污管道，甲队单独安装需要4天完成，乙队单独安装需要8天完成．如果甲队先安装1天，剩下的管道由甲、乙两队合作完成，那么还需要几天才能安装完这些管道？设甲、乙两队合作x天完成安装，可列出方程：________________． 知识点4 盈与不足问题 相等关系：表示同一个量的两个不同的式子相等． 在分配问题（盈与不足问题）中，因分配的总量不变，可由不同的分配方法表示出同一种量，进而列出方程求解． “同一个量的两种表示” （1）盈与不足（分配）问题中，被分配的总量不变，用两种分配方案分别表示这个总量，令两式相等即可列出方程； （2）从“人数”或“物品数”两个不同角度设元，会得到形式不同的方程，但答案一致； （3）比例问题用参数法：设一份为x，再按比例表示出其余各量． “多一个”“少两个”要分清是在哪个量的基础上多（少），避免符号写反；用两种方案表示同一个量时，两种方案的“基准”必须相同． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）某学生在求代数式的值时，误将代数式里的“”看成了“”，结果得63，则代数式的值的正确结果是__________． 知识点5 行程问题 相等关系：路程＝时间×速度． （1）相遇问题：甲的行程＋乙的行程＝甲、乙出发点之间的距离；若甲、乙同时出发，则甲用的时间＝乙用的时间． （2）追及问题：快者走的路程－慢者走的路程＝追及路程；若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间＝慢者用的时间． （3）航行问题：顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度． 环形相遇，同时同地反向出发，第一次相遇时，路程之和等于环形路总长；环形追及，同时同地同向出发，第一次相遇时，快者行程－慢者行程＝环形路总长． 行程问题的四类模型 基本关系：路程＝速度×时间． （1）相遇（相向而行）：甲走的路程＋乙走的路程＝两地间的距离；同时出发时，两人所用的时间相等； （2）追及（同向而行）：快者走的路程－慢者走的路程＝出发时两者相距的路程；同时出发时，两人所用的时间相等； （3）环形跑道：同时同地反向出发，第一次相遇时两人路程之和＝一圈的长；同时同地同向出发，第一次相遇时快者路程－慢者路程＝一圈的长； （4）航行与过桥：顺流速度＝静水速度＋水流速度，逆流速度＝静水速度－水流速度；火车过桥（隧道）时，火车行驶的路程＝车长＋桥（隧道）长． 画线段图 行程问题尽量画线段图，把各段路程、各个时刻标在图上，“图上找等量关系，式中设未知数”，可以避免漏项、错项． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海金山·期末）以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票： (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是________（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车________（填“早”或“晚”）． (2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为，，两列火车的长度不计，高铁比动车早到，求A，B两地之间的距离． (3)在（2）的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距． 知识点6 其他常见的等量关系 配套问题 配套物品的数量比等于配套比例． 销售问题 利润＝售价－进价；利润率＝利润÷进价×100%；售价＝进价×(1＋利润率)． 和差倍分问题 抓住“是几倍”“多多少”“少多少”“共多少”等关键词，用含 的式子表示其他各量． 数字问题 两位数＝10十位数字＋个位数字；三个连续整数可表示为 ． 分段计费问题 按分段标准分别计算各段费用，再把各段费用相加． 比赛积分问题 总积分＝胜场得分＋平场得分＋负场得分． 方案选择问题 分别用含 的式子表示各方案的结果，再比较大小． 几何问题 利用周长、面积、体积公式以及图形的性质建立等量关系． 常见实际问题的等量关系速查 配套问题：加工出的各种零件的数量成固定比例，如“1个螺丝配2个螺母”，则螺母数＝2×螺丝数； 销售问题：利润＝售价－进价，利润率＝利润÷进价×100%，售价＝标价×折扣，销售额＝单价×数量； 和差倍分：抓住“是……的几倍”“比……多（少）”等关键词，先确定“1倍量”，再用它表示其余各量； 数字问题：两位数＝10十位数字＋个位数字，三位数＝100×百位数字＋10×十位数字＋个位数字； 日历问题：同一列相邻两数相差7，同一行相邻两数相差1； 分段计费：先判断所给数量落在哪一段，再按该段的标准列式，注意各段的分界点； 比赛积分：总积分＝胜场积分＋平场积分＋负场积分，场次总和不变； 方案选择：分别用含x的式子表示各方案的费用（或收益），再比较——求相等点用方程，定范围用不等式． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海静安·期末）小王与家人去某火锅店吃火锅．火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张80元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部折． 小王点了270元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了224元 (1)根据题意，若用方式一买单，应付款________元；的值为_________ (2)若小王点了285元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小王一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 题型1 配套问题 ▌例1（25-26六年级上·上海浦东新·期末）某车间12位木工师傅制作方凳零件，每位师傅一天可以制作45个凳面或者60条凳腿，1个凳面可以和4条凳腿配套组装成一个方凳，那么安排几位师傅制作凳面，几位师傅制作凳腿能够使得每天生产的凳面和凳腿恰好配套？ ▌对点练1-1（24-25六年级上·上海·阶段检测）自上海迪斯尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配一副手套．如果某车间有28名工人，每人一天平均能生产手套24个或米老鼠玩具16个．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ ▌对点练1-2某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 题型2 工程问题 ▌例2（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）某项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要的天数比甲多．原计划由乙单独完成这项工程，实际上乙工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙合作完成，若完成此项工程甲工作的总天数是乙工作总天数的，则实际完成这项工程甲、乙各施工多少天？ ▌对点练2-1（25-26六年级上·上海·阶段检测）周一中午教室大扫除，如果10位同学做需要30分钟才能完成值日工作，照此进度，如果人数减少7人，那么做完大扫除工作需要增加_____分钟． ▌对点练2-2（24-25六年级上·上海·阶段检测）为更好地完成某市民健身步道改造任务，甲乙两个施工队合作施工．已知甲单独施工9天可以完成，乙单独施工6天可以完成．现在甲先单独施工1天，再由甲、乙合作施工2天，余下的工作由乙单独完成，那么乙队还需要施工多少天才可以完成任务？ 题型3 销售问题 ▌例3（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）临近圣诞节，某商场计划用3800元购进两种装饰灯共120只，甲灯每只25元，乙灯每只45元，求甲灯购进多少只？设购进甲灯x只，根据题意可列出的方程为：________． ▌对点练3-1（24-25六年级上·上海浦东新·期中）某商店两件衣服均卖元，其中一件赚了，而另一件亏了，这两件衣服合在一起是 ______．(填“不赚也不亏”或“赚了多少（具体数据）元”或“亏了多少元”) ▌对点练3-2（24-25六年级上·上海·阶段检测）参观上海科技馆的成人票、学生票分别为60元、45元．某天科技馆卖出成人票、学生票共1000张，票务收入51000元，问这两种票各卖多少张？ 题型4 比赛积分问题 ▌例4（24-25六年级上·上海金山·期末）预备年级组织数学计算知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录的是名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 听听 欢欢 乐乐 (1)由表格知，答对一题得________分，答错一题扣________分． (2)乐乐得了分，他答对了几道题？（请用方程作答） (3)小华说他得了分，你认为可能吗？为什么？ ▌对点练4-1（24-25六年级上·上海·期末）一次乒乓球比赛上，一天的单打（一对一）比赛和双打（二对二）比赛共举行了68场，参赛运动员共有208人次，每人只参加一场比赛，这一天举行了几场单打比赛、几场双打比赛? 题型5 方案选择问题 ▌例5（25-26六年级上·上海金山·期末）某校六年级学生正在制定“上海一日游计划”，经过调查，上海某旅游景点团体票团购价格如下表．如果该校六年级1班和2班共102人去游玩（其中1班人数大于40但不足50），经计算，如果两个班都以班为单位购买团体票，则一共应付1365元． 购票数量 张 张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 (1)求该校六年级1班和2班的人数． (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，能省多少钱？ (3)如果六年级1班单独组织游玩，作为组织者，选择你认为最合适的购票方案，并说明理由． ▌对点练5-1（24-25六年级上·上海松江·期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． ▌对点练5-2（23-24六年级上·上海杨浦·期末）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： ①如果一次购物少于200元，则不予优惠； ②如果一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； ③如果一次购物超过500元，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠；小明两次去该超市购物；分别付款252元和554元，现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他可比小明少付多少元？（请通过计算说明） 题型6 数字问题 ▌例6（26-27六年级上·上海·阶段检测）如果一个分数的分母减去1后，所得分数的值为1；如果将原分数的分子减去1，那么结果就为，原来这个分数是__________． ▌对点练6-1（26-27六年级上·上海·阶段检测）如果三个连续奇数的和是111，那么这三个奇数中最小的是__________． ▌对点练6-2（25-26六年级上·上海松江·期末）中国古代“洛书”记载的三阶幻方，是世界上最早的组合数学实例之一，其“每行、每列、对角线三数之和相等”的规律，蕴含着对称与均衡的数学美．在三阶幻方中，每行、每列及两条对角线上的三个数之和相等（该和称为幻和）．现有如图三阶幻方，其中所有数均为整数，则表中字母n的值为______． 10 5 8 4 7 题型7 几何问题 ▌例7（25-26六年级上·上海·期中）如图，将一把刻度尺紧贴数轴（隐去原点和），刻度尺上“1”和“8”分别对应数轴上的x和，那么x的值是____________． ▌对点练7-1（25-26六年级上·上海普陀·期末）利用数轴和绝对值的知识我们可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算也有密切关联，借助对数轴的研究，可以迁移到角度的研究． 【观察】已知数轴上有两点． （1）如图，点表示的数是，点表示的数是，线段的长度是，可以理解为；如图，点表示的数是，点表示的数是，线段的长度是，可以理解为_____________． 【归纳】（2）由此小华得出结论：若点表示的数是，点表示的数是，则与两点之间的距离_____________． （3）若点表示的数是，点表示的数是，，则，得_____________． 【迁移】小华根据数轴的定义结合圆规设计了一种“曲形数轴”用来解决角度问题．如图，标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位长度．例如：射线表示，射线表示，则可以得到． （4）若射线表示，射线表示，则_____________（用含，的式子表示）； 【应用】如图，已知，，，射线，同时绕点以秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒； （5）当秒时，_____________ （6）当时，求出的值． ▌对点练7-2（25-26六年级上·上海普陀·期末）某小区有一块正方形空地，现将该空地分成三块长方形（如图所示）区域，分别种上三种不同花草，经测量，，通过计算发现长方形的面积与长方形的面积相等．求长方形的面积． 题型8 动点问题 ▌例8（25-26六年级上·上海·期末）已知在数轴上对应的点为，数轴上点、在点的两侧（点在点的右侧），且它们到点的距离相等，现将点向左移动2个单位到点处，将点向右移动1个单位到点处，此时点到点的距离等于点到点的距离的一半，则点所对应的数是________． ▌对点练8-1（25-26六年级上·上海·期末）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足． (1)直接写出两点表示的数； (2)动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒，分别为的中点． ①当时，求t的值； ②当t取何值或何范围时，取最小值？请求出这个最小值以及t的取值或取值范围； ③若在两点各添加一块挡板，在O点添加一块减速板，两动点在之间来回运动．遇到挡板，就原速度返回，遇到减速板，速度就减少2个单位长度每秒．若速度没超过2个单位长度每秒，就停在减速板处．当时，直接写出t的值． ▌对点练8-2（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示16，我们称点和点在数轴上相距26个长度单位．动点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．点运动到点时停止，此时点也随之停止．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点需要多少时间？ (2)、两点相遇时，求出相遇点所对应的数是多少； (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等 题型9 和差倍分问题 ▌例9一天，东东去问爸爸的年龄，爸爸说：“我的年龄是你年龄的3.5倍，咱们俩的年龄和是54岁！” (1)东东和爸爸各多少岁？ (2)东东又去询问了妈妈和奶奶的年龄，请你仿照上述例题，编写一道与妈妈和奶奶年龄有关的试题，并解答．（要求：用到合并同类项解方程） ▌对点练9-1（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知y的2倍与3的差是y的3倍与5的和的，求y的值． ▌对点练9-2（25-26六年级上·上海·阶段检测）一张桌子售价86元，比一把椅子的售价的3倍多5元，一把椅子售价多少元？ 题型10 分段计费问题 ▌例10（25-26六年级上·上海·期末）为了增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的．该市自来水收费价格如表： 水费收费标准一览表 档次 每年用水量 水价（元/） 第一阶段 不超出 a 第二阶段 超出不超出的部分 第三阶段 超出的部分 某用户前年全年共用水，缴纳水费405元． (1)求a的值； (2)若该用户去年缴纳水费1239元，求该用户去年的用水量．（用一元一次方程求解） ▌对点练10-1现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．武汉经开区的新型网约车“萝卜快跑”的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 元/分钟 1元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若逸轩乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若子怡两次乘坐新型网约车，第一次行车里程为18公里，第二次行车里程为8公里，发现第一次行车时间是第二次的两倍且所付车费比第二次多元，则子怡第一次乘坐网约车的行车时间为多少分钟？ (3)正贤和明哲各自乘坐新型网约车，正贤比明哲的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差________分钟． 题型11 行程问题 ▌例11（25-26六年级上·上海·期末）列一元一次方程解决问题：一辆客车和一辆轿车先后沿着相同道路从A地去B地，客车先行50千米后轿车出发，客车的速度是每小时80千米，轿车的速度是每小时100千米，问：经过多久轿车能追上客车？ ▌对点练11-1（25-26六年级上·上海崇明·期末）如图是某公园部分景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，A、E为路的交叉点，图中所有的连线路段为双向通行的游览路线，可沿任意方向行走．图中标注的数据为相应两点间的路程（单位：千米）．小丽从A点出发，沿着路线方向，以2千米/小时的速度游览，每个风景点的逗留时间均为小时，游览回到A处时，共用小时． (1)求路线（按顺时针方向）的路程； (2)若小丽出发小时后，小杰从A处出发，以3千米/小时的速度把照相机送给小丽（小杰在景点不逗留），那么小杰最快用多长时间能遇到小丽，他走的路线是怎样的？ ▌对点练11-2（25-26六年级上·上海杨浦·期末）一艘轮船从甲码头顺流而行到达乙码头，所用时间比从乙码头逆流而行到达甲码头少小时，已知该轮船在静水中的速度为千米/小时，水流的速度是千米/小时，求甲、乙两地的距离．设甲乙两地的距离是千米，根据题意填写以下表格： 速度（千米/小时） 时间（小时） 路程（千米） 顺流 逆流 所列方程 题型12 日历问题 ▌例12（25-26六年级上·上海长宁·期末）在月历表中，用如图所示的“”型框任意框出表中四个数，这四个数的和可能是（   ） A． B． C． D． ▌对点练12-1（25-26六年级上·上海·期末）小明在某月的日历上圈出了三个数，并求出了它们的和为34，则这三个数在日历中的排位位置可能的是（    ） A． B． C． D． 题型13 古代问题 ▌例13（25-26六年级上·上海金山·期末）《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其大意为：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，木头还剩余1尺．设木头长为x尺，则可列方程为____________________ ． ▌对点练13-1（25-26六年级上·上海长宁·期末）《孙子算经》中有个问题：“今有四人共车，车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？大意是：今有若干个人，每四个人乘坐一辆车，还剩一辆车没人坐；如果每两人乘坐一辆车，有八个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？如果设共有辆车，根据题意可列方程___________． ▌对点练13-2（25-26六年级上·上海杨浦·期末）《孙子算经》中记载了一道数学题，大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？设长木尺，则可列出方程_____． 题型14 其他问题 ▌例14（25-26六年级上·上海浦东新·期末）素材1：如图是一款单肩背包的背带，背带由双层部分、单层部分、调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2：对该单肩背包背带的单层部分长度和双层部分的长度进行测量，得到下表数据： 单层部分的长度 0 2 4 6 …… 10 …… 150 双层部分的长度 75 74 73 72 …… a …… 0 素材3：根据小明同学的身高，背带的总长度为时，背起来最舒适，此时单层部分的长度为，周末小明妈妈已经帮小明调到最舒适的长度，可小明出门时还是习惯性把调节扣调整了五次，下表是五次调节的情况（调节扣向单层方向移动记为正，向双层方向移动记为负，单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 请根据上述素材，解答以下问题： (1)素材2的表格中 ； (2)在小明的五次调节中第 次最接近舒适长度；此时背带的总长度为 ； (3)小明的哥哥想临时借用这个背包，根据哥哥的身高，背带的总长度为时最舒适，那么此时背带单层部分的长度为 ． ▌对点练14-1（25-26六年级上·上海·期末）列一元一次方程解决问题：小陈计划在上海进行一日游．他从上午开始游览，下午6点结束，中午预留1小时用餐和休息．已知每个景点的平均游览时间为1.5小时，相邻景点之间的交通时间为0.5小时．从酒店到第一个景点以及从最后一个景点返回酒店各需0.5小时．求当小陈充分利用时间时，他能参观的最多景点个数．（景点数为整数） ▌对点练14-2（25-26六年级上·上海·期末）某班同学春季植树，若每人种4棵树，还剩下12棵；若每人种5棵树，还少18棵树，若设共植树x棵，则可列方程（    ） A． B． C． D． 基础通关 1．（24-25六年级上·上海·期末）一项工程，甲单独做需8天完成，乙单独做需6天完成，现在甲先做3天，然后乙再加入，设此项工程共用x天完成，由题意得方程（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）一件衣服以原件的出售是30元，则原价是（   ） A．12元 B．75元 C．57元 D．100元 3．（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，把正整数1、2、3、4、…、按照一定规律排列，并用一个正方形框在其中上下、左右移动，且始终框住4个数，那么被框住的四个数字之和不可能是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海虹口·期中）【数学背景】幻方是一种中国传统益智游戏，它是将数字安排在正方形格子中使每行、每列及对角线上的数字和都相等的方法． 【问题提出】 （1）如表①，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到的方格内，使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是______． 表① 【模型迁移】 （2）表②是显示部分式子的幻方，用含的式子表示． 表② （3）表③是显示部分式子的幻方，求的值． 表③ 5．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）一个分数的分子与分母的和是52，经过约分后得，原来的分数是_____． 6．（24-25六年级上·上海·阶段检测）探索题： 如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当聪聪输入6时，输出的结果是__________；当聪聪输入时，输出的结果是_________；当聪聪输入2024时，输出的结果是___________． (2)有一次，聪聪在操作的时候，输入有理数，输出的结果是2，且知道．你判断一下，聪聪可能输入的是什么数？直接写出所有可能的值． 7．（25-26六年级上·上海闵行·期中）定义：数轴上两点间的距离是指这两点所对应数的差的绝对值，即如果数m、n在数轴上对应的点分别是M、N，那么点M、N之间的距离． 已知，求的值．为了求出，可以用如下方法： 在数轴上，数对应的点分别是点A、B，数对应点． (1)点A、B之间的距离，当点在线段上时，，即当时，__________（填含的式子）； (2)根据可知，此时点到点A、B的距离之和比线段上的点到A、B的距离之和大，因此点不在线段上，根据上述信息，求点对应的数； (3)已知，求的值． 素养提升 1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）某个工程甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，甲乙两人先合作3天，剩下的由甲一个人完成，问甲单独做了几天？设甲与乙合作3天后，又单独做了天，则可以列出方程______． 2．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）一个两位数，个位上的数字是6，如果把十位上的数字与个位上的数字对换，那么新的两位数比原来的两位数大18，那么这个原来的两位数是___________． 3．（25-26六年级上·上海崇明·期末）某水果店用1000元购进苹果、金桔两种水果共140千克，这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 苹果 6 9 金桔 8 12 (1)求该水果店这两种水果各购进多少千克？ (2)如果该水果店按表中售价销售完这两种水果，不计损耗，获得的利润是多少元？ 4．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1850元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的2倍，魔方、数独棋的进价和标价如下表： 魔方 数独棋 进价（元／个） 6 25 标价（元／个） 10 40 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 5．（24-25六年级上·上海闵行·期末）某汽车企业第一季度销售x万辆新能源汽车，第二季度销售的新能源汽车比第一季度的倍少1万辆，第三季度销售的新能源汽车比第一季度的2倍多6万辆． (1)求该汽车企业前三季度一共销售的新能源汽车的数量（用含有x的代数式表示）； (2)如果该汽车企业第三季度比第二季度多销售万辆新能源汽车，求该企业前三季度销售的新能源汽车数量． 迁移创新 1．（24-25六年级上·上海长宁·期中）幻方历史悠久，是我国的传统游戏．幻方的游戏规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图是一个的幻方的一部分，则的值是______． 2．（25-26六年级上·上海·期中）等候公共汽车的人整齐地排成一列，小明也在其中，他数了数人数，排在他前面的人数是总人数的，排在他后面的人数是总人数的，从前面数小明排在第______个． 3．（25-26六年级上·上海普陀·期末）综合与实践： 周末小普同学和6名好友租了两辆专车从地一起去地看演出，途中一辆专车在离地还有18千米处发生故障，只得由另一辆专车将大家送达地，但此时距离地的演出开始还剩下50分钟，这时司机提出了如下两种方案： 方案一 先送4人，其余3人原地不动等待专车返回接送 相关数据： 专车行驶的平均速度：60千米/时． 乘客行走的平均速度：5千米/时． 每辆专车限乘5人（含司机）． 方案二 先送4人，其余3人先步行，途中与专车相遇后上车前行 (1)如果按方案一实施，那么他们能否赶上地的演出？并说明理由； (2)通过计算说明方案二能否保证他们在规定的时间到达地的演出现场； (3)小普同学认为方案一和方案二都不是最节省时间的方案，请你帮他设计一个方案并求出从故障地到达地演出现场的最短时间． 4．（25-26六年级上·上海虹口·期末）甲外卖平台外卖员小王、乙外卖平台外卖员小李、丙外卖平台外卖员小郭是好朋友，在一次聚会上，小王看到小李和小郭的工资都比自己高，于是思考是否应该跳槽去那两家公司中的一家．如果不考虑其他因素，仅根据以下信息，请你帮助小王，完成以下任务． 信息1 税前月工资收入的计算方式： 税前月工资收入（每日底薪每单提成日均送单数）月送单天数月违规扣款． 信息2 甲外卖员每日底薪60元，乙外卖员每日底薪50元，丙外卖员没有每日底薪，但每月完成1000单送单任务有一笔一次性的达标奖金． 信息3 甲、乙、丙三家公司的10月送单天数均是t天． 乙、丙外卖平台外卖员小李和小郭的10月工资单明细如表： 人员 每单提成（元） 日均送单数 月违规扣款 税前月工资收入（元） 每单违规扣款（元） 月总违规单数 乙公司小李 50 25 12 8700 丙公司小郭 7 47 20 5 8596 信息4 甲公司小王每单提成6元，10月日均送单数48单，月总违规单数22单，10月税前月工资收入8000元，如果按小王10月份的日均送单数与月总违规单数来算，更换平台后，新的税前月工资收入能提高，那么小王就决定跳槽． 任务 （1）根据乙公司小李的信息，求出三家外卖平台10月的送单天数t的值； （2）通过计算说明小王是否需要跳槽到乙或者丙外卖平台，写一条给小王的建议． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次方程 3.3 一元一次方程的应用 课标要点 1.能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. 2.掌握列方程解决实际问题的一般步骤，会检验方程的解是否符合实际意义. 3.能运用一元一次方程解决配套、工程、销售、行程、和差倍分等实际问题. 思维导图 知识点1 列方程解决实际问题的一般步骤 1．审题：弄清题意及题目中的等量关系． 2．设元：用字母表示题目中的一个未知数． 3．列方程：根据题目中的等量关系列方程． 4．解方程：求出未知数． 5．检验：检验所求解是否符合题意． 6．作答． 在“设”与“答”这两个过程中必须写清单位名称．列方程解应用题的关键是仔细审题，弄清题意，找出能够表示题目全部含义的一个等量关系，并把这个等量关系转化为方程． 列方程解应用题的“六步法” （1）审：读题两遍，圈出已知量、未知量，用一句话写出等量关系； （2）设：优先直接设元（问什么设什么）；直接设元列式困难时改间接设元（设中间量，或设“一份”为x）； （3）列：把等量关系中的每个量都用含x的式子表示出来再代入，注意单位统一； （4）解：按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序求解； （5）验：先检验所求是否为方程的解，再检验是否符合实际意义（人数、件数为正整数，长度、时间为正数），不合题意的解必须舍去； （6）答：语句完整、写清单位名称． 设未知数的四种常用方法 ①直接设元：求什么就设什么，最常用； ②间接设元：设关键的中间量，如数字问题设某数位上的数字，而不是设整个数； ③参数法（设“一份”为x）：遇到型的比例关系时，设一份为，则三个量可分别表示为； ④设辅助元：为便于表述而临时设元，列式后设法消去． ①“设”与“答”中必须写清单位，中途换单位要统一； ②同一个量用两种方法表示得到两个式子，这两个式子相等，是列方程最常用的思路； ③从不同角度可以找出不同的等量关系，列出的方程不同，但答案应当一致，可用此自查． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海虹口·期末）已知与互补，比的小，求的度数． 【答案】 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查补角的概念，解一元一次方程，熟练掌握相关知识是关键． 设，根据补角的性质，可用表示，根据比的小，可得关于的方程，解方程求出答案． 【详解】解：设， ∵与互补， ∴， ∵比的小， ∴， 解得，， ∴． 知识点2 总量和分量关系问题 相等关系：总量＝各部分量的和． （1）设未知数列方程时，要注意单位的统一． （2）对于实际问题中的方程的解，既要检验求出的值是否为方程的解，也要检验求出的值是否符合实际意义．对于与现实生活不符的结果，要进行必要的取舍． “分率”问题的三个要点 （1）认准“单位1”：第一次“用去总数的二分之一”以总数为单位1，第二次“用去剩下的二分之一”以前一次的剩余为单位1，两次的单位1不同，不能把分率直接相加； （2）总量＝各部分量之和，是这类问题最常用的等量关系； （3）单位要统一：先统一单位再列方程，答语中也要带单位． 求得的结果既要满足方程，又要符合实际意义（人数、件数必须为正整数），不符合实际意义的解必须舍去． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）将正整数按如下方式排列：    在这个数阵里用长方形框出两行六个数（图中长方形框仅为示意）．如果框出来的六个数的和是432，则框出的六个数中，最小的数是最大的数的__________（填几分之几）． 【答案】 【详解】设最小的数为，则这六个数为， ， ， 解得， 所以最小的数为，最大的数为， 则最小的数是最大的数的． 知识点3 工程问题 1.工程问题中的基本数量关系： 工作量＝工作效率×工作时间（工作量＝人均效率×时间×人数）； 合作的效率＝各部分单独做的效率之和； 总工作量＝各部分工作量之和． （1）当工程类应用题中的工作总量不是具体数量时，往往把工作总量看作“1”；（2）当把工作总量看作“1”时，工作效率＝1÷工作时间，工作时间＝1÷工作效率． 工程问题的三个基本关系 （1）工作量＝工作效率×工作时间；若给出人数，则工作量＝人均效率×工作时间×人数； （2）总工作量＝各部分工作量之和；工作总量没有给出具体数量时，通常把总工作量看作“1”，此时工作效率＝1÷完成全部工作所需的时间； （3）合作的效率＝各部分单独做的效率之和． “甲先做、乙接着做”型问题的处理 按时间段把整个过程分段，分别表示出每一段完成的工作量，再把各段工作量相加等于总工作量（或等于1）．若中途有人离开、有人加入，注意各段的工作时间不同，不能一律用同一个时间． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海静安·期末）完成某工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再加入合作，直至完成这项工程，求甲、乙合作完成这项工程所用的时间；若设甲、乙合作完成此项工程一共用x天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C．1 D．1 【答案】A 【详解】解：设甲、乙合作完成此项工程一共用x天，由题意，得：； 故选A． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）甲、乙两个工程队安装排污管道，甲队单独安装需要4天完成，乙队单独安装需要8天完成．如果甲队先安装1天，剩下的管道由甲、乙两队合作完成，那么还需要几天才能安装完这些管道？设甲、乙两队合作x天完成安装，可列出方程：________________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程； 根据题意可得等量关系：甲的工作量+乙的工作量=总工作量，由等量关系可列出方程，解方程即可 【详解】解：根据题意得，， 故答案为： 知识点4 盈与不足问题 相等关系：表示同一个量的两个不同的式子相等． 在分配问题（盈与不足问题）中，因分配的总量不变，可由不同的分配方法表示出同一种量，进而列出方程求解． “同一个量的两种表示” （1）盈与不足（分配）问题中，被分配的总量不变，用两种分配方案分别表示这个总量，令两式相等即可列出方程； （2）从“人数”或“物品数”两个不同角度设元，会得到形式不同的方程，但答案一致； （3）比例问题用参数法：设一份为x，再按比例表示出其余各量． “多一个”“少两个”要分清是在哪个量的基础上多（少），避免符号写反；用两种方案表示同一个量时，两种方案的“基准”必须相同． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）某学生在求代数式的值时，误将代数式里的“”看成了“”，结果得63，则代数式的值的正确结果是__________． 【答案】7 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查代数式求值，一元一次方程的应用，解题的关键是利用错误运算的结果反推未知字母的值． 根据错误运算建立方程求出的值，再代入正确表达式计算． 【详解】解：∵学生误将“”看成了“”，计算了，得到63， ∴， 解得， ∴正确代数式． 故答案为：7． 知识点5 行程问题 相等关系：路程＝时间×速度． （1）相遇问题：甲的行程＋乙的行程＝甲、乙出发点之间的距离；若甲、乙同时出发，则甲用的时间＝乙用的时间． （2）追及问题：快者走的路程－慢者走的路程＝追及路程；若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间＝慢者用的时间． （3）航行问题：顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度． 环形相遇，同时同地反向出发，第一次相遇时，路程之和等于环形路总长；环形追及，同时同地同向出发，第一次相遇时，快者行程－慢者行程＝环形路总长． 行程问题的四类模型 基本关系：路程＝速度×时间． （1）相遇（相向而行）：甲走的路程＋乙走的路程＝两地间的距离；同时出发时，两人所用的时间相等； （2）追及（同向而行）：快者走的路程－慢者走的路程＝出发时两者相距的路程；同时出发时，两人所用的时间相等； （3）环形跑道：同时同地反向出发，第一次相遇时两人路程之和＝一圈的长；同时同地同向出发，第一次相遇时快者路程－慢者路程＝一圈的长； （4）航行与过桥：顺流速度＝静水速度＋水流速度，逆流速度＝静水速度－水流速度；火车过桥（隧道）时，火车行驶的路程＝车长＋桥（隧道）长． 画线段图 行程问题尽量画线段图，把各段路程、各个时刻标在图上，“图上找等量关系，式中设未知数”，可以避免漏项、错项． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海金山·期末）以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票： (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是________（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车________（填“早”或“晚”）． (2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为，，两列火车的长度不计，高铁比动车早到，求A，B两地之间的距离． (3)在（2）的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距． 【答案】(1)同，早 (2) (3)小时或小时或小时 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据车票信息即可求解； （2）设高铁所用时间为，则动车所用时间为，根据题意列出方程，求解即可； （3）设高铁出发小时，则动车出发小时，根据两车相距，分三种情况讨论，分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据车票信息可知，动车和高铁都是从A地到B地；所以两车同向行； 动车出发时间为，高铁出发时间为，所以动车比高铁发车早； 故答案为：同，早； （2）设高铁所用时间为， 由图可知，动车早出发，则动车所用时间为， 根据题意，得，解得， ， 答：A，B两地之间的距离； （3）设高铁出发小时，则动车出发小时， 第一种情况，相遇前两车相距， ，解得， 第二种情况，相遇后两车相距， ，解得， 第三种情况，高铁到达B地后，两车相距， ，解得， 答：高铁出发小时或小时或小时后两车相距． 知识点6 其他常见的等量关系 配套问题 配套物品的数量比等于配套比例． 销售问题 利润＝售价－进价；利润率＝利润÷进价×100%；售价＝进价×(1＋利润率)． 和差倍分问题 抓住“是几倍”“多多少”“少多少”“共多少”等关键词，用含 的式子表示其他各量． 数字问题 两位数＝10十位数字＋个位数字；三个连续整数可表示为 ． 分段计费问题 按分段标准分别计算各段费用，再把各段费用相加． 比赛积分问题 总积分＝胜场得分＋平场得分＋负场得分． 方案选择问题 分别用含 的式子表示各方案的结果，再比较大小． 几何问题 利用周长、面积、体积公式以及图形的性质建立等量关系． 常见实际问题的等量关系速查 配套问题：加工出的各种零件的数量成固定比例，如“1个螺丝配2个螺母”，则螺母数＝2×螺丝数； 销售问题：利润＝售价－进价，利润率＝利润÷进价×100%，售价＝标价×折扣，销售额＝单价×数量； 和差倍分：抓住“是……的几倍”“比……多（少）”等关键词，先确定“1倍量”，再用它表示其余各量； 数字问题：两位数＝10十位数字＋个位数字，三位数＝100×百位数字＋10×十位数字＋个位数字； 日历问题：同一列相邻两数相差7，同一行相邻两数相差1； 分段计费：先判断所给数量落在哪一段，再按该段的标准列式，注意各段的分界点； 比赛积分：总积分＝胜场积分＋平场积分＋负场积分，场次总和不变； 方案选择：分别用含x的式子表示各方案的费用（或收益），再比较——求相等点用方程，定范围用不等式． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海静安·期末）小王与家人去某火锅店吃火锅．火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张80元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部折． 小王点了270元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了224元 (1)根据题意，若用方式一买单，应付款________元；的值为_________ (2)若小王点了285元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小王一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 【答案】(1)230；8 (2)方式二更优惠 (3)点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等． 【分析】本题考查了一元一次方程应用题中的方案选择类问题，解题的关键是列出每种方案费用的表达式． （1）依题意，直接求解即可； （2）根据两种付款方式计算出付款，再比较即可得解； （3）根据、、、四种情况求出两种方式付款，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵菜品总价270元，其中锅底40元， ∴其余菜品（元）， 又每次最多用3张100元代金券，270元最多用2张代金券，每张代金券80元， 所以代金券花费元， 剩余（元）需现场支付， 方式一总付款为（元）； 方式二总付款为224元，则有：， 解得：， 故答案为：230；8； （2）解：方式一付款： ∵菜品总价285元，最多用2张代金券， ∴代金券花费（元），剩余（元）， ∴总付款（元）； 方式二付款： ∵菜品价格为（元），打8折后：（元）， ∴总付款（元）， ∴， 所以方式二更优惠； （3）解：设菜品总价为元（含40元锅底），其余菜品为元．分情况讨论： 情况1： 方式一无法使用代金券，付款元； 方式二付款元； 根据题意可得方程：， 解得：； 情况2： 方式一用1张代金券，付款元； 方式二付款元． 根据题意得方程：； 解得： ； 情况3： 方式一用2张代金券，付款元． 方式二付款元． 根据题意得方程， 解得 ； 情况4： 方式一用3张代金券，付款元， 方式二付款元， 根据题意得方程： 解得：． 综上，点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等． 题型1 配套问题 ▌例1（25-26六年级上·上海浦东新·期末）某车间12位木工师傅制作方凳零件，每位师傅一天可以制作45个凳面或者60条凳腿，1个凳面可以和4条凳腿配套组装成一个方凳，那么安排几位师傅制作凳面，几位师傅制作凳腿能够使得每天生产的凳面和凳腿恰好配套？ 【答案】安排3位师傅制作凳面，安排9位师傅制作凳腿能够使得每天生产的凳面和凳腿恰好配套 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设安排x位师傅制作凳面，则安排位师傅制作凳腿，则一共制作凳面个，制作凳腿个，再根据1个凳面可以和4条凳腿配套组装成一个方凳建立方程求解即可． 【详解】解：设安排x位师傅制作凳面，则安排位师傅制作凳腿 由题意得，， 解得， ∴， 答：安排3位师傅制作凳面，安排9位师傅制作凳腿能够使得每天生产的凳面和凳腿恰好配套． ▌对点练1-1（24-25六年级上·上海·阶段检测）自上海迪斯尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配一副手套．如果某车间有28名工人，每人一天平均能生产手套24个或米老鼠玩具16个．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 【答案】应分配16名工人生产手套，则12名工人生产玩具． 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题，得到手套和米老鼠玩具的等量关系是解决本题的关键． 设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具， 根据题意得，， 解得， ∴（名）， ∴应分配16名工人生产手套，则12名工人生产玩具． ▌对点练1-2某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【答案】安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套， 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板，根据“每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板”，即可求解． 【详解】解：设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板， 由题意，得， 解得， （人）． 答：安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套， 题型2 工程问题 ▌例2（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）某项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要的天数比甲多．原计划由乙单独完成这项工程，实际上乙工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙合作完成，若完成此项工程甲工作的总天数是乙工作总天数的，则实际完成这项工程甲、乙各施工多少天？ 【答案】甲施工10天，乙施工15天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设实际完成这项工程乙施工x天，依题意列出一元一次方程，求出x的值，即可解答． 【详解】解：设实际完成这项工程乙施工x天，依题意，得 ， ， 解得， ∴（天）， 答：实际完成这项工程甲施工10天，乙施工15天． ▌对点练2-1（25-26六年级上·上海·阶段检测）周一中午教室大扫除，如果10位同学做需要30分钟才能完成值日工作，照此进度，如果人数减少7人，那么做完大扫除工作需要增加_____分钟． 【答案】 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出算式是解题关键．将这项工程总量看作“1”，先求出每人每分钟的工作效率从而列出方程，再求出减少7人后完成这项工程所需时间即可求解． 【详解】解：将这项工程总量看作“1”， 由题意得：每人每分钟的工作效率是， 设减少7人，做完大扫除工作时间为x分钟， 由题意可得：， 解得：， 所以做完大扫除工作需要增加分钟， 故答案为：． ▌对点练2-2（24-25六年级上·上海·阶段检测）为更好地完成某市民健身步道改造任务，甲乙两个施工队合作施工．已知甲单独施工9天可以完成，乙单独施工6天可以完成．现在甲先单独施工1天，再由甲、乙合作施工2天，余下的工作由乙单独完成，那么乙队还需要施工多少天才可以完成任务？ 【答案】 2 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 设乙队还需要施工天才可以完成任务，由此列方程求解即可． 【详解】解：设乙队还需要施工天才可以完成任务， ∴， 解得，， ∴乙队还需要施工天才可以完成任务． 题型3 销售问题 ▌例3（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）临近圣诞节，某商场计划用3800元购进两种装饰灯共120只，甲灯每只25元，乙灯每只45元，求甲灯购进多少只？设购进甲灯x只，根据题意可列出的方程为：________． 【答案】 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设购进甲灯只，则购进乙灯只，根据进货款恰好为3800元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设购进甲灯只，则购进乙灯只， 由题意得： 故答案为：． ▌对点练3-1（24-25六年级上·上海浦东新·期中）某商店两件衣服均卖元，其中一件赚了，而另一件亏了，这两件衣服合在一起是 ______．(填“不赚也不亏”或“赚了多少（具体数据）元”或“亏了多少元”) 【答案】亏了元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了分数应用题中的成本、售价、利润的计算，以及盈亏问题的综合运用．分别计算两件衣服的成本价，第一件赚了成本的，成本为元；第二件亏了成本的，成本为元；总成本元，总售价元，故亏了元． 【详解】解：设第一件衣服成本为元，根据赚了成本的，有， 解得元， 设第二件衣服成本为元，根据亏了成本的，有， 解得元， 总成本为元， 总售价为元， 元， 亏了元， 故答案为：亏了元． ▌对点练3-2（24-25六年级上·上海·阶段检测）参观上海科技馆的成人票、学生票分别为60元、45元．某天科技馆卖出成人票、学生票共1000张，票务收入51000元，问这两种票各卖多少张？ 【答案】成人票卖出张，学生票卖出张 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设成人票卖出张，则学生票卖出张，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设成人票卖出张，则学生票卖出张， 由题意可得：， 解得：， ∴， ∴成人票卖出张，学生票卖出张． 题型4 比赛积分问题 ▌例4（24-25六年级上·上海金山·期末）预备年级组织数学计算知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录的是名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 听听 欢欢 乐乐 (1)由表格知，答对一题得________分，答错一题扣________分． (2)乐乐得了分，他答对了几道题？（请用方程作答） (3)小华说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1) (2)16道题 (3) 解：小华不可能得分，理由如下： 假设小华得分，设他答对题，则答错题， 列方程：， ， ， ， ∵不是整数，不符合题数为整数的实际情况， ∴小华不可能得分． 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、有理数的运算，熟练掌握“得分规则（答对得分答错扣分总得分）”并建立方程是解题的关键． （1）通过听听全对的得分求答对一题的分数，再结合欢欢的得分算答错一题的扣分． （2）设乐乐答对题数为未知数，根据“答对得分答错扣分总得分”列方程求解． （3）假设小华得分分，设答对题数为未知数，列方程后判断解是否为整数且符合题数范围． 【详解】（1）解：∵听听答对题得分， ∴答对一题得分：分， 设答错一题扣分，欢欢答对题、答错题得分， 则， 解得， 故答案为：，； （2）解：设乐乐答对题，则答错题， 根据题意得， 解得， ∴他答对了道题； （3）略 ▌对点练4-1（24-25六年级上·上海·期末）一次乒乓球比赛上，一天的单打（一对一）比赛和双打（二对二）比赛共举行了68场，参赛运动员共有208人次，每人只参加一场比赛，这一天举行了几场单打比赛、几场双打比赛? 【答案】这一天举行了32场单打比赛、36场双打比赛 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设这一天举行了场单打比赛，则举行了场双打比赛，根据题意列出一元一次方程并求解即可获得答案． 【详解】解：设这一天举行了场单打比赛，则举行了场双打比赛， 根据题意，可得 ， 解得 （场）， 所以 （场）． 答：这一天举行了32场单打比赛、36场双打比赛． 题型5 方案选择问题 ▌例5（25-26六年级上·上海金山·期末）某校六年级学生正在制定“上海一日游计划”，经过调查，上海某旅游景点团体票团购价格如下表．如果该校六年级1班和2班共102人去游玩（其中1班人数大于40但不足50），经计算，如果两个班都以班为单位购买团体票，则一共应付1365元． 购票数量 张 张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 (1)求该校六年级1班和2班的人数． (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，能省多少钱？ (3)如果六年级1班单独组织游玩，作为组织者，选择你认为最合适的购票方案，并说明理由． 【答案】(1)该校六年级1班有47人，六年级2班有55人 (2)两班联合购票能省345元 (3)六年级1班选择购买51张票最合适，理由： 六年级1班有47人，若按实际人数购票，购票单价为15元/张． 购票费用是：（元） 若购买51张票，单价为12元/张． 购票费用是：（元） 比较两种方案： 答：六年级1班选择购买51张票最合适，因为更省钱． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设该校六年级1班有x人，那么六年级2班有人，根据题意建立一元一次方程求解即可； （2）用以班为单位的费用减去两个班联合起来的费用即可； （3）计算购买51张票的费用与原来费用比较即可解决问题． 【详解】（1）解：设该校六年级1班有x人，那么六年级2班有人． 根据题意，可列方程 整理得， 解得 六年级2班的人数是（人） 答：该校六年级1班有47人，六年级2班有55人． （2）解：两班联合购票，总人数为102人，超过100人，因此购票单价为10元/张． 团体购票总费用：（元） 节省金额：（元） 答：两班联合购票能省345元． （3）略 ▌对点练5-1（24-25六年级上·上海松江·期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 【答案】(1)套餐每月需缴的费用：（元）；套餐每月需缴的费用：（元） (2)80分钟 (3)选择哪种套餐更合算 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查列代数式和求值，解一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出关系式． （1）根据两种通话套餐业务的计费方式表示即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）将分 别代入和求解后比较即可． 【详解】（1）解：套餐每月需缴的费用：（元）， 套餐每月需缴的费用：（元）； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：一个月内本地通话80分钟，两种套餐费用相同； （3）解：当时，套餐每月需缴的费用为：（元）， 当时，B套餐每月需缴的费用为：（元）， ∵， ∴选择哪种套餐更合算． ▌对点练5-2（23-24六年级上·上海杨浦·期末）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： ①如果一次购物少于200元，则不予优惠； ②如果一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； ③如果一次购物超过500元，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠；小明两次去该超市购物；分别付款252元和554元，现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他可比小明少付多少元？（请通过计算说明） 【答案】28元 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．先根据题意分析清楚小明所付的252元和554元的实际价值是多少，然后再分别代入对应的优惠方案中求得其实际价值后再计算小亮所要购物的实际价值是多少，代入对应优惠方案中即可求解． 【详解】解：∵，， ∴小明付款252元所购的实际价值为元， ∵， ∴可设小明付款554元所购的实际价值设为x元，根据题意得： ， 解得：， ∴小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，实际价值为（元）， 即所付款数为（元）， 元， 答：他可比小明少付28元． 题型6 数字问题 ▌例6（26-27六年级上·上海·阶段检测）如果一个分数的分母减去1后，所得分数的值为1；如果将原分数的分子减去1，那么结果就为，原来这个分数是__________． 【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】设原分数的分子为，根据题意列方程，求解即可． 【详解】解：设原分数的分子为，由原分数的分母减去，值为，可知分母为， 因为原分数的分子减去，结果为， 所以 解得， 分母为， 所以原来的分数为． ▌对点练6-1（26-27六年级上·上海·阶段检测）如果三个连续奇数的和是111，那么这三个奇数中最小的是__________． 【答案】35 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】相邻两个奇数相差2，设中间的奇数为，可表示出另外两个奇数，根据三个数的和为111列方程求解，即可得到最小奇数的值． 【详解】解：设中间的奇数为，则三个连续奇数中最小的为，最大的为 根据题意列方程得 整理得 解得 因此最小的奇数为． ▌对点练6-2（25-26六年级上·上海松江·期末）中国古代“洛书”记载的三阶幻方，是世界上最早的组合数学实例之一，其“每行、每列、对角线三数之和相等”的规律，蕴含着对称与均衡的数学美．在三阶幻方中，每行、每列及两条对角线上的三个数之和相等（该和称为幻和）．现有如图三阶幻方，其中所有数均为整数，则表中字母n的值为______． 10 5 8 4 7 【答案】3 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；利用幻和相等，建立方程求解即可． 【详解】解：设幻和为S，第二行第二列数为，第三行第二列数为，第三行第三列数为， 由第一行得，即； 由第二行得，即； 由右上到左下对角线得，即， 由得， 由第三列得，即，代入， 得，即， 由第二列得，代入得，即， 由左上到右下对角线得，代入，， 得， 又， 所以， 解得， 则， 验证幻和，所有行、列、对角线之和均为，符合条件； 故答案为：． 题型7 几何问题 ▌例7（25-26六年级上·上海·期中）如图，将一把刻度尺紧贴数轴（隐去原点和），刻度尺上“1”和“8”分别对应数轴上的x和，那么x的值是____________． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【详解】解：由题意得， 解得． ▌对点练7-1（25-26六年级上·上海普陀·期末）利用数轴和绝对值的知识我们可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算也有密切关联，借助对数轴的研究，可以迁移到角度的研究． 【观察】已知数轴上有两点． （1）如图，点表示的数是，点表示的数是，线段的长度是，可以理解为；如图，点表示的数是，点表示的数是，线段的长度是，可以理解为_____________． 【归纳】（2）由此小华得出结论：若点表示的数是，点表示的数是，则与两点之间的距离_____________． （3）若点表示的数是，点表示的数是，，则，得_____________． 【迁移】小华根据数轴的定义结合圆规设计了一种“曲形数轴”用来解决角度问题．如图，标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位长度．例如：射线表示，射线表示，则可以得到． （4）若射线表示，射线表示，则_____________（用含，的式子表示）； 【应用】如图，已知，，，射线，同时绕点以秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒； （5）当秒时，_____________ （6）当时，求出的值． 【答案】（）；（）；（）或；（）；（）；（）当时，的值为或． 【知识点】绝对值的几何意义、几何图形中角度计算问题、数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴，两点间距离，角的和差倍分运算，一元一次方程等知识，利用数形结合建立方程求解是解题的关键． （）根据数轴上两点，表示的数可求解； （）根据题意可得，两点之间的距离； （）解绝对值方程即可求解； （）利用角的和差即可求解； （）当秒时，，然后通过角度和差求解即可； （）分两种情况：重合前，重合后，分别求解即可． 【详解】解：（）点表示的数是，点表示的数是，线段的长度是，可以理解为， 故答案为：； （）若点表示的数是，点表示的数是， 则与两点之间的距离， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）∵射线表示，射线表示， ∴， 故答案为：； （）∵，，，射线，同时绕点以秒的速度顺时针旋转， 当秒时，， ∴， 故答案为：； （）由题意得：， 重合前，， ∵， ∴， 解得：； 重合后，， ∵， ∴， 解得：； 综上可得：当时，的值为或． ▌对点练7-2（25-26六年级上·上海普陀·期末）某小区有一块正方形空地，现将该空地分成三块长方形（如图所示）区域，分别种上三种不同花草，经测量，，通过计算发现长方形的面积与长方形的面积相等．求长方形的面积． 【答案】长方形的面积为． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设正方形的边长为，则，根据“长方形的面积与长方形的面积相等”列方程求得，进一步计算求解，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 由题意得：， 解得：， ∴，， ∴长方形的面积为， 答：长方形的面积为． 题型8 动点问题 ▌例8（25-26六年级上·上海·期末）已知在数轴上对应的点为，数轴上点、在点的两侧（点在点的右侧），且它们到点的距离相等，现将点向左移动2个单位到点处，将点向右移动1个单位到点处，此时点到点的距离等于点到点的距离的一半，则点所对应的数是________． 【答案】 2或 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上的点表示的数及点对应的线段之间的和差、倍数关系、一元一次方程的解法，掌握数轴上点对应的线段之间的和差、倍数关系是解题关键，注意分类讨论的应用．设点所对应的数是，，则点所对应的数是，根据点到点的距离等于点到点的距离的一半，列出方程，求解即可． 【详解】解：设点所对应的数是，，则点所对应的数是． 点所对应的数是，点所对应的数是． 点到点的距离为， 点到点的距离为． ∵点到点的距离等于点到点的距离的一半， ∴． ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得，但不在范围内，舍去． 综上，点所对应的数是或． 故答案为：或． ▌对点练8-1（25-26六年级上·上海·期末）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足． (1)直接写出两点表示的数； (2)动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒，分别为的中点． ①当时，求t的值； ②当t取何值或何范围时，取最小值？请求出这个最小值以及t的取值或取值范围； ③若在两点各添加一块挡板，在O点添加一块减速板，两动点在之间来回运动．遇到挡板，就原速度返回，遇到减速板，速度就减少2个单位长度每秒．若速度没超过2个单位长度每秒，就停在减速板处．当时，直接写出t的值． 【答案】(1)点表示的数为15，点表示的数为 (2)①或；②当时，取最小值；③或或或 【知识点】绝对值非负性、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决数轴动点问题、两点间的距离等内容，熟练掌握分类讨论是解题的关键． （1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可； （2）①先用表示出动点、、、，再表示出和，依题意建立方程求解即可； ②由题可得，即可得解； ③根据点运动方向和速度，分类讨论，分别表示出和的长度，建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ，，， ，， 点表示的数为15，点表示的数为； （2）解：①由题意知；， 分别为的中点， 点表示的点为，点表示的点为 ， 则， 解得：或； ②， 时，取最小值． 即当时，取最小值． ③当时，点向左运动，点向右运动，， 则， 解得（成立）； 当时，点向左运动，点向左运动，且点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位，， 则， 解得（成立）； 当时，点向右运动，点向左运动，且点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位，， 方程无解； 当时，点向左运动，点向右运动，且点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位，， 则， 方程无解； 当时，点向右运动，点向右运动，且点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位，， 则， 解得； 当时，点运动，点在点处静止， 当时，点在点处静止，此时，符合题意， 综上，或或或． ▌对点练8-2（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示16，我们称点和点在数轴上相距26个长度单位．动点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．点运动到点时停止，此时点也随之停止．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点需要多少时间？ (2)、两点相遇时，求出相遇点所对应的数是多少； (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等 【答案】(1) (2)4 (3)的值为、或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏． （1）由路程、速度、时间三者关系分两段求出各段时间，再相加求出总时间为即可； （2）根据相遇时、的时间相等列方程求解即可； （3）分四种情况讨论：动点在上，动点在上；动点在上，动点在上③动点在上，动点在；动点在上，动点在上，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：点P从到O用时，到用时； 点从C到B用时，B到O用时 ∴、两点相遇在线段上处，设， 则， 解得， 故相遇点所对应的数是； （3）解：、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等有种可能： ①动点在上，动点在上，则：，解得：， ②动点在上，动点在上，则：，解得：， ③动点在上，动点在上，则：，解得：， ④动点在上，动点在上，则：，解得：， ∵点运动到点时停止，用时， ∴舍去； 综上所述：的值为、或． 题型9 和差倍分问题 ▌例9一天，东东去问爸爸的年龄，爸爸说：“我的年龄是你年龄的3.5倍，咱们俩的年龄和是54岁！” (1)东东和爸爸各多少岁？ (2)东东又去询问了妈妈和奶奶的年龄，请你仿照上述例题，编写一道与妈妈和奶奶年龄有关的试题，并解答．（要求：用到合并同类项解方程） 【答案】(1)东东12岁，爸爸42岁 (2)示例：奶奶说：“我比你妈妈大27岁．”妈妈说：“我与奶奶的年龄和再加上我与你的年龄和刚好是你与爸爸年龄和的3倍！”问：妈妈和奶奶各多少岁？ 妈妈的年龄为41岁，奶奶的年龄为68岁 【分析】（1）根据题意列出一元一次方程，即可解答； （2）先写出示例，然后根据示例，列出一元一次方程，即可解答． 【详解】（1）解：设东东的年龄是岁，则爸爸的年龄是岁， 由题意得，， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴， 答：东东12岁，爸爸42岁； （2）解：示例：奶奶说：“我比你妈妈大27岁．”妈妈说：“我与奶奶的年龄和再加上我与你的年龄和刚好是你与爸爸年龄和的3倍！”问：妈妈和奶奶各多少岁？ 由（1）可得，东东的年龄为12岁，爸爸的年龄为42岁， 设妈妈的年龄为岁，则奶奶的年龄为岁， 根据题意，得， 合并同类项，得， 解得， ∴， 答：妈妈的年龄为41岁，奶奶的年龄为68岁． ▌对点练9-1（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知y的2倍与3的差是y的3倍与5的和的，求y的值． 【答案】 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查解一元一次方程的应用，根据题意列一元一次方程并求解是解题的关键． 根据题意，列一元一次方程并求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ． ▌对点练9-2（25-26六年级上·上海·阶段检测）一张桌子售价86元，比一把椅子的售价的3倍多5元，一把椅子售价多少元？ 【答案】27元 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确找到等量关系求解． 设一把椅子售价x元，根据题意，得，再解方程即可． 【详解】解：设一把椅子售价x元， 根据题意，得 答：一把椅子售价27元 题型10 分段计费问题 ▌例10（25-26六年级上·上海·期末）为了增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的．该市自来水收费价格如表： 水费收费标准一览表 档次 每年用水量 水价（元/） 第一阶段 不超出 a 第二阶段 超出不超出的部分 第三阶段 超出的部分 某用户前年全年共用水，缴纳水费405元． (1)求a的值； (2)若该用户去年缴纳水费1239元，求该用户去年的用水量．（用一元一次方程求解） 【答案】(1) (2) 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）根据第一阶段的收费标准建立方程求解即可； （2）设该用户去年的用水量为，根据题意可推出，据此根据第一和第二阶段的收费标准建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； （2）解：设该用户去年的用水量为， ，， ∵， ∴， 由题意得，， 解得， 答：该用户去年的用水量为． ▌对点练10-1现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．武汉经开区的新型网约车“萝卜快跑”的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 元/分钟 1元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若逸轩乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若子怡两次乘坐新型网约车，第一次行车里程为18公里，第二次行车里程为8公里，发现第一次行车时间是第二次的两倍且所付车费比第二次多元，则子怡第一次乘坐网约车的行车时间为多少分钟？ (3)正贤和明哲各自乘坐新型网约车，正贤比明哲的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差________分钟． 【答案】(1)55元 (2)22分钟 (3)24或30 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据车费计算规则列式求解即可； （2）设子怡第一次乘坐网约车的行车时间为x分钟，则子怡第二次乘坐网约车的行车时间为分钟，分别表示出两次乘坐网约车的车费，再根据第一次所付车费比第二次多元建立方程求解即可； （3）设这两辆新型网约车的行车时长相差y分钟，分“两人都没有远途费”和“两人都有远途费”两种情况，分别根据费用差列方程求解即可． 【详解】（1）解：元， 答：需付车费55元； （2）解：设子怡第一次乘坐网约车的行车时间为x分钟，则子怡第二次乘坐网约车的行车时间为分钟， 由题意得，， 解得， 答：子怡第一次乘坐网约车的行车时间为22分钟； （3）解：设这两辆新型网约车的行车时长相差y分钟， 当都没有远途费时，则， 解得； 当都有远途费时，则， 解得； 综上所述，这两辆新型网约车的行车时长相差24分钟或30分钟． 题型11 行程问题 ▌例11（25-26六年级上·上海·期末）列一元一次方程解决问题：一辆客车和一辆轿车先后沿着相同道路从A地去B地，客车先行50千米后轿车出发，客车的速度是每小时80千米，轿车的速度是每小时100千米，问：经过多久轿车能追上客车？ 【答案】小时 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题属于追及问题，核心等量关系为轿车行驶的路程等于客车先行的路程加上客车在轿车行驶时间内行驶的路程，通过设未知数，根据等量关系列一元一次方程求解即可. 【详解】解：设经过x小时轿车能追上客车，根据题意得， 答：经过小时轿车能追上客车. ▌对点练11-1（25-26六年级上·上海崇明·期末）如图是某公园部分景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，A、E为路的交叉点，图中所有的连线路段为双向通行的游览路线，可沿任意方向行走．图中标注的数据为相应两点间的路程（单位：千米）．小丽从A点出发，沿着路线方向，以2千米/小时的速度游览，每个风景点的逗留时间均为小时，游览回到A处时，共用小时． (1)求路线（按顺时针方向）的路程； (2)若小丽出发小时后，小杰从A处出发，以3千米/小时的速度把照相机送给小丽（小杰在景点不逗留），那么小杰最快用多长时间能遇到小丽，他走的路线是怎样的？ 【答案】(1)千米 (2)小杰应选择的方向，最快用小时遇到小丽 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设路线（按顺时针方向）的路程为x千米，根据时间等于路程除以速度建立方程求解即可； （2）设小杰用t小时遇到小丽，根据题意可求出小丽出发小时后，刚到达B点，分两种情况：选择路线的方向和选择路线的方向，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设路线（按顺时针方向）的路程为x千米， 由题意得，， 解得， 答：路线（按顺时针方向）的路程为千米； （2）解：设小杰用t小时遇到小丽， 因为小时， 所以小丽出发小时后，刚到达B点， 所以小杰有两种路线选择： ①选择路线的方向， 则                      解得， 因为，且，小杰在从B到E的路上 ，小丽在从B到E的路上 所以本路线合适． ②选择路线的方向， 则 解得， 因为，，小丽在从B到E的路上 ，小杰在E到B的路上 所以本路线合适． 因为， 所以小杰应选择的方向，最快用小时遇到小丽． ▌对点练11-2（25-26六年级上·上海杨浦·期末）一艘轮船从甲码头顺流而行到达乙码头，所用时间比从乙码头逆流而行到达甲码头少小时，已知该轮船在静水中的速度为千米/小时，水流的速度是千米/小时，求甲、乙两地的距离．设甲乙两地的距离是千米，根据题意填写以下表格： 速度（千米/小时） 时间（小时） 路程（千米） 顺流 逆流 所列方程 【答案】 表格如图： 速度（千米/小时） 时间（小时） 路程（千米） 顺流 逆流 所列方程 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查流水行船问题的速度：关系(顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度)、路程-速度-时间的数量关系，以及分式方程的建立与求解，先根据船在静水中的速度与水流速度，分别算出顺流、逆流速度，再用路程：表示出两种航行的时间，结合“逆流比顺流多小时”的等量关系列分式方程，最后通过通分、化简求解路程． 【详解】解：设甲乙两地的距离是千米， ∵该轮船在静水中的速度为千米/小时，水流的速度是千米/小时， ∴顺流的速度：，时间：， 逆流的速度：，时间：， ∵从甲码头顺流而行到达乙码头，所用时间比从乙码头逆流而行到达甲码头少小时， ∴， 解得：． 题型12 日历问题 ▌例12（25-26六年级上·上海长宁·期末）在月历表中，用如图所示的“”型框任意框出表中四个数，这四个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程解决月历表中数字的规律，通过设未知数表示出型框内四个数的和，再结合选项验证求解． 【详解】解：设型框中左上角的数为，可知框内另外三个数为、、． 则四个数的和为：． 接下来分别验证选项： 对于选项A：令，解得，验证的位置，符合条件． 对于选项B：令，解得，不是整数，不符合日期为正整数的要求． 对于选项C：令，解得，不是整数，不符合日期为正整数的要求． 对于选项D：令，解得，不是整数，不符合日期为正整数的要求． 故选：A． ▌对点练12-1（25-26六年级上·上海·期末）小明在某月的日历上圈出了三个数，并求出了它们的和为34，则这三个数在日历中的排位位置可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据各选项中三个数的位置，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设， A、由图可知：，，解得；不符合题意； B、由图可知：，，解得；符合题意； C、由图可知：，，解得；不符合题意； D、由图可知：，，解得；不符合题意； 故选B． 题型13 古代问题 ▌例13（25-26六年级上·上海金山·期末）《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其大意为：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，木头还剩余1尺．设木头长为x尺，则可列方程为____________________ ． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设木头长为尺，根据“余绳四尺五寸”可得绳长为尺；根据“屈绳量之，不足一尺”可得对折后绳长为尺，则原绳长为尺，据此列方程即可． 【详解】解：设木头长为尺，则绳长为尺． 由题意得， 故答案为：． ▌对点练13-1（25-26六年级上·上海长宁·期末）《孙子算经》中有个问题：“今有四人共车，车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？大意是：今有若干个人，每四个人乘坐一辆车，还剩一辆车没人坐；如果每两人乘坐一辆车，有八个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？如果设共有辆车，根据题意可列方程___________． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，关键是抓住两种乘车方案下“总人数相等”这一等量关系，分别用含车辆数的代数式表示人数，再建立方程． 【详解】解：设共有辆车． 第一种乘车方式：每4人一辆车，剩1辆车空着，实际使用辆车，因此总人数为； 第二种乘车方式：每2人一辆车，有8人无车可乘，因此总人数为． ∵两种方式的总人数相等， ∴可列方程． 故答案为：． ▌对点练13-2（25-26六年级上·上海杨浦·期末）《孙子算经》中记载了一道数学题，大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？设长木尺，则可列出方程_____． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系建立方程是解题的关键． 先根据“绳子量长木剩余4.5尺”得出绳子长度与长木长度的关系，再根据“绳子对折后量长木剩余1尺”，得出对折后绳子长度与长木长度的关系，从而建立方程． 【详解】解：设长木长为 尺．则绳子长度为 尺，对折后绳子长度为 尺．由题意可得 ， 故答案为：． 题型14 其他问题 ▌例14（25-26六年级上·上海浦东新·期末）素材1：如图是一款单肩背包的背带，背带由双层部分、单层部分、调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2：对该单肩背包背带的单层部分长度和双层部分的长度进行测量，得到下表数据： 单层部分的长度 0 2 4 6 …… 10 …… 150 双层部分的长度 75 74 73 72 …… a …… 0 素材3：根据小明同学的身高，背带的总长度为时，背起来最舒适，此时单层部分的长度为，周末小明妈妈已经帮小明调到最舒适的长度，可小明出门时还是习惯性把调节扣调整了五次，下表是五次调节的情况（调节扣向单层方向移动记为正，向双层方向移动记为负，单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 请根据上述素材，解答以下问题： (1)素材2的表格中 ； (2)在小明的五次调节中第 次最接近舒适长度；此时背带的总长度为 ； (3)小明的哥哥想临时借用这个背包，根据哥哥的身高，背带的总长度为时最舒适，那么此时背带单层部分的长度为 ． 【答案】(1)70 (2)三， (3) 【知识点】有理数加法在生活中的应用、其他问题(一元一次方程的应用)、有理数减法的实际应用 【分析】（1）根据表格得到单层长度每增加，双层长度减少，进行求解即可； （2）求出每一次调整后的长度，进行判断即可； （3）设单层部分的长度为x，表示出双层部分的长度，然后根据背带的总长度为列方程求解． 【详解】（1）解：由表格可知，单层长度每增加，双层长度减少， ， ∴； （2）解：舒适状态：单层初始长度，总长度， 每次调节的数值是单层长度的变化量，依次计算每次调节后的单层长度： 第一次：，变化量绝对值； 第二次：，累计变化，绝对值； 第三次：，累计变化，绝对值； 第四次：，累计变化，绝对值； 第五次：，累计变化，绝对值； 第三次累计变化的绝对值最小1，最接近舒适长度； 此时单层长，双层长； 总长度； （3）解：设单层部分的长度为x，则双层部分的长度为， 当背带的总长度为时，， 解得， ∴此时背带单层部分的长度为． ▌对点练14-1（25-26六年级上·上海·期末）列一元一次方程解决问题：小陈计划在上海进行一日游．他从上午开始游览，下午6点结束，中午预留1小时用餐和休息．已知每个景点的平均游览时间为1.5小时，相邻景点之间的交通时间为0.5小时．从酒店到第一个景点以及从最后一个景点返回酒店各需0.5小时．求当小陈充分利用时间时，他能参观的最多景点个数．（景点数为整数） 【答案】4个 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用题，先计算小陈可用于景点游览及交通的总时间，设景点个数为未知数，根据游览总时间与交通总时间之和等于可用时间列一元一次方程求解，取符合条件的整数解即可. 【详解】解：下午6点换算为24小时制是18点. 从上午到18点的时长为(小时)， 扣除1小时用餐休息时间，可用于游览和交通的时间为(小时). 设小陈能参观的景点个数为x个. 根据题意列方程 解得 答：小陈能参观的最多景点个数为4个. ▌对点练14-2（25-26六年级上·上海·期末）某班同学春季植树，若每人种4棵树，还剩下12棵；若每人种5棵树，还少18棵树，若设共植树x棵，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了根据实际问题列一元一次方程，根据班级人数不变这一等量关系列方程，先分别用两种植树情况表示出班级人数，再令其相等即可． 【详解】解：∵设共植树棵， ∵每人种4棵树还剩12棵，∴班级人数为， ∵每人种5棵树还少18棵，∴班级人数为， ∵班级人数是固定不变的， ∴可列方程， 故选：C． 基础通关 1．（24-25六年级上·上海·期末）一项工程，甲单独做需8天完成，乙单独做需6天完成，现在甲先做3天，然后乙再加入，设此项工程共用x天完成，由题意得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据工程问题进行列方程即可 【详解】解：由题意可得方程为； 故选：A ． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）一件衣服以原件的出售是30元，则原价是（   ） A．12元 B．75元 C．57元 D．100元 【答案】B 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据原价的等于30，列方程求解． 【详解】解：设原价是元， 根据题意得：， 解得：， 故选：B． 3．（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，把正整数1、2、3、4、…、按照一定规律排列，并用一个正方形框在其中上下、左右移动，且始终框住4个数，那么被框住的四个数字之和不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设最小的数值为，根据被框住的4个数之和等于，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设最小的数值为，则其它三个数值分别为：，由题意，得： ， 当，解得，符合题意； 当，解得，但是第8行最后一个数，不符合题意， 当，解得，符合题意； 当，解得，符合题意； 故选：B． 4．（25-26七年级上·上海虹口·期中）【数学背景】幻方是一种中国传统益智游戏，它是将数字安排在正方形格子中使每行、每列及对角线上的数字和都相等的方法． 【问题提出】 （1）如表①，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到的方格内，使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是______． 表① 【模型迁移】 （2）表②是显示部分式子的幻方，用含的式子表示． 表② （3）表③是显示部分式子的幻方，求的值． 表③ 【答案】（1）15；（2）；（3）18 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确的列出算式和方程是解题的关键： （1）（1）分析题意，确定答案即可；填入符合要求的数字即可； （2）根据题意可得，整理即可获得答案； （3）结合题意，先求得，进而计算出，然后整体代入求值即可． 【详解】解：（1）将九个数填入到的方格内， 若使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是． 故答案为：15； 在图①中填入数字，如下图； 2 9 4 7 5 3 6 1 8 （2）根据题意，可得， 整理可得； （3）根据题意，可有， 整理，可得， 又因为， 所以． 5．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）一个分数的分子与分母的和是52，经过约分后得，原来的分数是_____． 【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了分数的约分，一元一次方程的应用，正确根据题意列出方程是解题的关键． 设原分数为，根据分子与分母的和为52，列出方程求解，再代入得到原分数． 【详解】设原分数的分子为，分母为（为正整数），则 故原分子为，原分母为 ，原分数为， 故答案为：． 6．（24-25六年级上·上海·阶段检测）探索题： 如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当聪聪输入6时，输出的结果是__________；当聪聪输入时，输出的结果是_________；当聪聪输入2024时，输出的结果是___________． (2)有一次，聪聪在操作的时候，输入有理数，输出的结果是2，且知道．你判断一下，聪聪可能输入的是什么数？直接写出所有可能的值． 【答案】(1)，，； (2)或或或9或或16或． 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了有理数的混合运算及一元一次方程的应用，弄清“有理数转换器”中的路径是解本题的关键． （1）把各自的数字输入“有理数转换器”，根据相应的路径确定出输出的结果即可； （2）分八种情况：①当时，②当时，③当、、时，④当时，⑤当时，⑥当时，⑦当时，⑧当时，；按照“有理数转换器”分别进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）， 当输入时，， 的相反数是，的倒数为， 当聪聪输入6时，输出的结果是； ， 当输入时，的相反数是，的倒数为， 当聪聪输入时，输出的结果是； ， 当输入2024时，， ….. ， 1的相反数为，， 当聪聪输入时，输出的结果是1； 故答案为：，，； （2）解：分八种情况： ①当时，的相反数是，， 解得：； ②当时，的相反数是，， 解得：； ③当、、时，输出，此时不符合题意； ④当时，，的相反数是，的倒数是， ， 解得：； ⑤当时，，且， 的相反数为，且， ∵输出结果为2， ∴，即； ⑥当时，，的相反数是，的倒数是， ， 解得：； ⑦当时，，且， 的相反数为，且， ∵输出结果为2， ∴，即n=16； ⑧当时，，的相反数是，的倒数是， ， 解得：； 综上所述，的值可能是或或或9或或16或． 7．（25-26六年级上·上海闵行·期中）定义：数轴上两点间的距离是指这两点所对应数的差的绝对值，即如果数m、n在数轴上对应的点分别是M、N，那么点M、N之间的距离． 已知，求的值．为了求出，可以用如下方法： 在数轴上，数对应的点分别是点A、B，数对应点． (1)点A、B之间的距离，当点在线段上时，，即当时，__________（填含的式子）； (2)根据可知，此时点到点A、B的距离之和比线段上的点到A、B的距离之和大，因此点不在线段上，根据上述信息，求点对应的数； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查的是绝对值的定义，涉及到数轴、代数式、一元一次方程的应用等知识，掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据距离公式可知； （2）根据题意知，点不在线段上，则分和两种情况求解； （3）根据题意知，点不在线段上，则分和两种情况求解； 【详解】（1）当点在线段上时，，即， 所以当时，． 故答案为：． （2）根据题意，点不在线段上， 当时，， 则， 解得； 当时，， 则， 解得； 综上，点对应的数为或； （3）设数对应的点分别是点，， ， 点在线段外， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，或． 素养提升 1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）某个工程甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，甲乙两人先合作3天，剩下的由甲一个人完成，问甲单独做了几天？设甲与乙合作3天后，又单独做了天，则可以列出方程______． 【答案】 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲与乙合作3天后，又单独做了天，把工作总量看做单位“1”，那么甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据题意可知，甲一共工作天，乙一共工作3天，最后根据甲、乙的工作总量之和为1列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 2．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）一个两位数，个位上的数字是6，如果把十位上的数字与个位上的数字对换，那么新的两位数比原来的两位数大18，那么这个原来的两位数是___________． 【答案】46 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题涉及两位数的表示方法，两位数的数值十位数字个位数字． 设十位数字为，根据新两位数比原两位数大18列方程求解． 【详解】解：设十位数字为，则原两位数，新两位数为， 根据题意得方程， 化简得，解得， 故原两位数为． 故答案为：46． 3．（25-26六年级上·上海崇明·期末）某水果店用1000元购进苹果、金桔两种水果共140千克，这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 苹果 6 9 金桔 8 12 (1)求该水果店这两种水果各购进多少千克？ (2)如果该水果店按表中售价销售完这两种水果，不计损耗，获得的利润是多少元？ 【答案】(1)苹果有60千克，金桔有80千克 (2)500元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设购进苹果千克，根据水果店用1000元购进苹果、金桔两种水果共140千克，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于两种水果的利润之和，列式计算即可． 【详解】（1）解：设购进苹果千克，则购进金桔千克， 由题意得，， 解得； ； 答：苹果有60千克，金桔有80千克； （2）解：元 答：获得利润500元． 4．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1850元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的2倍，魔方、数独棋的进价和标价如下表： 魔方 数独棋 进价（元／个） 6 25 标价（元／个） 10 40 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)该商店购进魔方100个，数独棋50个 (2)450元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用和利润计算． （1）设数独棋数量为未知数，根据总进价列方程求解． （2）先计算打折后的售价，再计算总售价和总进价的差得到利润． 【详解】（1）解：设数独棋购进个，则魔方购进个 根据题意，得 解得： 则魔方购进（个） 答：该商店购进魔方个，数独棋个 （2）解：魔方售价为（元/个）， 数独棋售价为（元/个）， 总售价为（元）， ∴获利为（元）， 答：该商店共获利450元． 5．（24-25六年级上·上海闵行·期末）某汽车企业第一季度销售x万辆新能源汽车，第二季度销售的新能源汽车比第一季度的倍少1万辆，第三季度销售的新能源汽车比第一季度的2倍多6万辆． (1)求该汽车企业前三季度一共销售的新能源汽车的数量（用含有x的代数式表示）； (2)如果该汽车企业第三季度比第二季度多销售万辆新能源汽车，求该企业前三季度销售的新能源汽车数量． 【答案】(1)万辆 (2)万辆 【知识点】列代数式、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意得出第二、第三季度销售的新能源汽车数量，再将前三季度的数量相加即可； （2）根据第三季度比第二季度多销售万辆新能源汽车，列出方程求出的值，再代入（1）中的代数式即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，第二季度销售的新能源汽车数量为万辆，第三季度销售的新能源汽车数量为万辆， 前三季度一共销售的新能源汽车的数量为万辆． 答：该汽车企业前三季度一共销售的新能源汽车的数量为万辆． （2）解：由题意得，， 解得：， 代入，则， 答：该企业前三季度销售的新能源汽车数量为万辆． 迁移创新 1．（24-25六年级上·上海长宁·期中）幻方历史悠久，是我国的传统游戏．幻方的游戏规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图是一个的幻方的一部分，则的值是______． 【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了有理数加法的运算方法，一元一次方程的应用，以及幻方的特征和应用，首先根据图示，判断出它是一个三阶幻方，然后根据：三阶幻方的中心对称两数之和中间格的数，分别列方程求出、的值各是多少，再把求出的、的值相加即可． 【详解】解：根据图示，判断出它是一个三阶幻方， 由，可得：， 由，可得：， ∴． 故答案为：． 2．（25-26六年级上·上海·期中）等候公共汽车的人整齐地排成一列，小明也在其中，他数了数人数，排在他前面的人数是总人数的，排在他后面的人数是总人数的，从前面数小明排在第______个． 【答案】 9 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解数量关系正确列式求解是关键． 设总人数为x，根据排在小明前面和后面的人数与总人数的关系，列出方程求解总人数，再计算小明前面的认识，确定小明的位置． 【详解】解：设总人数为x人，排在小明前面的人数为，后面的人数为，小明自己占1人， 因此有方程：， 计算 ， ∴， 移项得：， 合并同类项得， 解得：， 前面人数为， ∴小明排在第9个， 故答案为：9． 3．（25-26六年级上·上海普陀·期末）综合与实践： 周末小普同学和6名好友租了两辆专车从地一起去地看演出，途中一辆专车在离地还有18千米处发生故障，只得由另一辆专车将大家送达地，但此时距离地的演出开始还剩下50分钟，这时司机提出了如下两种方案： 方案一 先送4人，其余3人原地不动等待专车返回接送 相关数据： 专车行驶的平均速度：60千米/时． 乘客行走的平均速度：5千米/时． 每辆专车限乘5人（含司机）． 方案二 先送4人，其余3人先步行，途中与专车相遇后上车前行 (1)如果按方案一实施，那么他们能否赶上地的演出？并说明理由； (2)通过计算说明方案二能否保证他们在规定的时间到达地的演出现场； (3)小普同学认为方案一和方案二都不是最节省时间的方案，请你帮他设计一个方案并求出从故障地到达地演出现场的最短时间． 【答案】(1) 解：不能赶上， 专车行驶总路程为（千米） 所需时间为（小时）（分钟） ∵， ∴不能赶上； (2)能 (3) 专车先送4人到离故障点千米的点P，此时4人下车步行至B地，专车返回接3人，最后和前面4人同时到达B地； 最短时间为分钟． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及优化方案设计， （1）方案一中，专车需要行驶的总路程为54公里，所需时间54分钟，大于50分钟，因此不能赶上； （2）方案二中，通过建立方程求解步行距离，计算总时间约为48.46分钟，小于50分钟，因此能赶上； （3）通过优化设计，让专车先送4人到离B地一定距离的点，然后返回接3人，使得4人和3人同时到达B地，计算得最短时间为分钟； 【详解】（1）略 （2）解：设其余3人步行了x千米，由题意得： ， 解得：， 总时间分钟数为， 代入，得（分钟）， ， ∴能保证他们在规定的时间到达地的演出现场； （3）解：设专车先送4人到离故障点s千米的点P（），此时4人下车步行至B地，专车返回接3人， 专车送4人到P点时间为小时，4人步行至B地时间：小时， 4人到达B地时间：小时， 专车返回时，3人已步行距离：千米， 专车与3人相对距离：千米， 相对速度：千米/时， 相遇时间：小时， 相遇点离故障点距离：千米， 专车从相遇点至B地时间：小时， 3人到达B地时间：小时， 令， 解得：， 代入得最短时间：小时分钟， ∴最短时间为分钟． 4．（25-26六年级上·上海虹口·期末）甲外卖平台外卖员小王、乙外卖平台外卖员小李、丙外卖平台外卖员小郭是好朋友，在一次聚会上，小王看到小李和小郭的工资都比自己高，于是思考是否应该跳槽去那两家公司中的一家．如果不考虑其他因素，仅根据以下信息，请你帮助小王，完成以下任务． 信息1 税前月工资收入的计算方式： 税前月工资收入（每日底薪每单提成日均送单数）月送单天数月违规扣款． 信息2 甲外卖员每日底薪60元，乙外卖员每日底薪50元，丙外卖员没有每日底薪，但每月完成1000单送单任务有一笔一次性的达标奖金． 信息3 甲、乙、丙三家公司的10月送单天数均是t天． 乙、丙外卖平台外卖员小李和小郭的10月工资单明细如表： 人员 每单提成（元） 日均送单数 月违规扣款 税前月工资收入（元） 每单违规扣款（元） 月总违规单数 乙公司小李 50 25 12 8700 丙公司小郭 7 47 20 5 8596 信息4 甲公司小王每单提成6元，10月日均送单数48单，月总违规单数22单，10月税前月工资收入8000元，如果按小王10月份的日均送单数与月总违规单数来算，更换平台后，新的税前月工资收入能提高，那么小王就决定跳槽． 任务 （1）根据乙公司小李的信息，求出三家外卖平台10月的送单天数t的值； （2）通过计算说明小王是否需要跳槽到乙或者丙外卖平台，写一条给小王的建议． 【答案】（1）三家外卖平台10月的送单天数的t值为24；（2）小王需要跳槽到丙外卖平台；建议：控制好违规单量 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数混合运算的应用； （1）根据信息1的工资收入计算方式结合信息3，建立方程求解即可； （2）先求出当工资收入达到8400元即可跳槽，再分别计算在乙、丙公司能获得的工资收入，进行比较即可． 【详解】解：（1）由题意可得， 整理得， 解得：， 答：三家外卖平台10月的送单天数的t值为24； （2）∵元， ∴元， 即当工资收入达到8400元即可跳槽， 小王在乙公司能获得的工资收入为：元元； 小王在丙公司能获得的工资收入为：， 由丙的收入可得到达标奖金为：元， 则元元； 综上，小王需要跳槽到丙外卖平台； 给小王的建议：控制好违规单量． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $