精品解析：黑龙江哈尔滨市德强中学校2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

九年级数学 一．选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列标志中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数（其中），当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如果将抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，那么所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 关于抛物线图象的性质，下列说法错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴 C. 顶点坐标是 D. 与轴没有交点 7. 如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E．若，则的长为（　　） A. B. C. 4 D. 9. 如图，点E是平行四边形的边上一点，射线交延长线于点F，则下列比例式错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的边长为3cm，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若反比例函数图象的一支在第三象限，则k的取值范围是 ________． 12. 二次函数的对称轴为直线，则________． 13. 定义一种新运算：，例如．则的值为________ 14. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为，则________． 15. 一个扇形的面积是，弧长为，则此扇形的圆心角度数为________． 16. 一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星……，第12个图案有_____个五角星． 17. 某校决定从三名男生和一名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人．则选出的恰好为一男一女的概率是________． 18. 已知抛物线y=与x轴相交时两交点间的线段长为4，则m的值是________． 19. 正方形中，，点在直线上，且，连、交于，则________． 20. 如图，在矩形中，交于点，点在的延长线上，连接，，则下列结论：①；②；③若，，则；④若，，为边上一点，则的最小值为．其中正确的结论序号有________． 三．解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，、均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）画，点在格点上； （2）连接，在上找一点，连接，使，并直接写出的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 24. 在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点、重合），点为的中点，连接、． （1）如图，求证：； （2）如图，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 25. 挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”深得大家喜欢，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． （1）A型、B型挂面的单价分别是多少元？ （2）为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，求购买多少袋B种挂面时，所需费用最小，并求出最小的购买费用． 26. 如图，内接于，连接，． （1）求证：； （2）如图，为弧上一点，连接交于点，连接交于点，，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，若，，求的长． 27. 如图，平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点、，交轴于点，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，为第三象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的长为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（2）的条件下，为上一点，连接交于点，，，为第二象限内一点，连接、、，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一．选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列标志中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对选项进行一一分析即可得到答案． 【详解】A．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的概念． 2. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图是： ． 3. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在反比例函数的图象上，求得k=-6，根据反比例函数图象上的点都满足xy=k，依次计算各选项后即可解答. 【详解】∵点（2，-3）在反比例函数y=的图象上，∴k=2×（-3）=-6． 选项A，∵2×3=6≠-6，∴此点不在函数图象上； 选项B，∵3×（-2）=-6，∴此点在函数图象上； 选项C，∵（-2）×（-3）=6≠-6，此点不在函数图象上； 选项D，∵（-6）×（-1）=6≠-6，此点不在函数图象上． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是关键． 4. 反比例函数（其中），当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：反比例函数，当时，y随x的增大而增大， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数性质：图像为双曲线，当，图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小；当，图像分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大． 5. 如果将抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，那么所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得． 6. 关于抛物线图象的性质，下列说法错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴 C. 顶点坐标是 D. 与轴没有交点 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的解析式可求得开口方向、对称轴及顶点坐标，可判断A、B、C，令y=0计算相应的一元二次方程的解即可判断D，则可求得答案． 【详解】∵y=-（x+2）2+6， ∴抛物线开口向下、对称轴为x=-2、顶点坐标为（-2，6），故A、B、C说法是正确的； 在y=-（x+2）2+6中，令y=0可得-（x+2）2+6=0，解得x=-2±， ∴抛物线与x轴有交点， ∴选项D的说法是错误的， 故选：D． 【点睛】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h． 7. 如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图， 是的直径， ， 由图可得，， ． 8. 如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E．若，则的长为（　　） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图、勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．根据作图过程可得，根据勾股定理可得，再根据等面积法即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 由作图知， ， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，点E是平行四边形的边上一点，射线交延长线于点F，则下列比例式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，通过相似三角形的性质和平行线分线段成比例可得，，，即可得出结果． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ，故选项A正确，不符合题意； ， ，故选项B错误，符合题意； ， ， 四边形是平行四边形， ， ，故选项C正确，不符合题意； ， ， ，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，菱形的边长为3cm，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据拐点得到各个自变量范围内的函数解析式是解决本题的关键．易得点P运动的路程为，点Q运动的路程为．当时，点P在线段上，点Q在线段上，过点Q作于点E，求得的长度，然后根据面积公式可得y与x关系式；当点P在线段上时，，边上的高是和之间的距离为，根据面积公式可得y与x之间的关系式；当点Q在线段上时，，作出边上的高，利用三角形的面积公式可得y与x的关系式．然后根据各个函数解析式可得正确选项． 【详解】解：∵点P的速度是，点Q的速度为，运动时间为x（s）， ∴点P运动的路程为，点Q运动的路程为． ①当时，点P在线段上，点Q在线段上． 过点Q作于点E， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴此段函数图象为开口向上的二次函数图象，排除B； ②当时，点P在线段上，点Q在线段上． 过点C作于点F，则为中边上的高． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴此段函数图象为y随x的增大而增大的正比例函数图象，故排除A； ③当时，点P在线段上，点Q在线段上． 过点P作于点M． ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． ∴． 由题意得：． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴此段函数图象为开口向下的二次函数图象． 故选：D． 二．填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若反比例函数图象的一支在第三象限，则k的取值范围是 ________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象性质，解一元一次不等式，利用反比例函数的性质求解是解题的关键，解题时注意：当时，反比例函数图象位于第一、三象限，当时，反比例函数图象位于第二、四象限，根据反比例函数的性质列不等式求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数图象的一支在第三象限， ， 解得， 故答案为：． 12. 二次函数的对称轴为直线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数一般式的对称轴公式，结合已知对称轴的条件列方程求解的值． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，其中， ， ∴， 解得． 13. 定义一种新运算：，例如．则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题目给出的新运算规则，代入对应数值，按照有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得，， 将，代入， 得 ． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义可知，由面积为求出的值，再根据图像位于第二象限确定的符号． 【详解】解：设点的坐标为， ∵轴于点， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵图象位于第二象限， ∴， ∴． 15. 一个扇形的面积是，弧长为，则此扇形的圆心角度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形面积与弧长的关系求出扇形半径，再结合弧长公式计算圆心角度数． 【详解】解：∵扇形面积与弧长、半径的关系为，已知，， ∴代入得， 解得， 设扇形圆心角度数为，根据弧长公式， 将，代入得， ， 等式两边约去，整理得， 解得． 16. 一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星……，第12个图案有_____个五角星． 【答案】37 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律问题， 根据第1个图案有4个五角星，第2个图案有个五角星，第3个图案有个五角星，第4个图案有个五角星，可得数字变化的规律再根据规律解答即可. 【详解】解：第1个图案有4个五角星； 第2个图案有个五角星； 第3个图案有个五角星； 第4个图案有个五角星， 第12个图案有个五角星. 故答案为：37. 17. 某校决定从三名男生和一名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人．则选出的恰好为一男一女的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过列举法统计从4名同学中选2名的所有等可能结果，再统计其中恰好为一男一女的结果数量，两类结果的比值即为所求概率． 【详解】解：设三名男生分别为A、B、C，女生为D， 从4人中任选2人的所有等可能结果为，共6种， 其中恰好为一男一女的结果为，共3种， ∴ 选出的恰好为一男一女的概率为． 18. 已知抛物线y=与x轴相交时两交点间的线段长为4，则m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先令，则，设一元二次方程的两根分别为，，再根据根与系数的关系得出与的值，根据两交点间的线段长为4即可得出的值． 【详解】解：令，设一元二次方程的两根分别为，，则①，②， 抛物线与轴相交时两交点间的线段长为4， ， ，即， 把①②代入得，，解得． 【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键． 19. 正方形中，，点在直线上，且，连、交于，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】正方形边长为6，点在直线上，需分点在线段上、点在线段的延长线上两种位置，利用得到相似三角形，结合正方形对角线长度计算的长． 【详解】解：∵正方形中，，， ∴，对角线，且， 分两种情况讨论： 1．点在线段上时， ∵ ， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ； 2．点在线段的延长线上时， ∵， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 综上，的长度为或． 20. 如图，在矩形中，交于点，点在的延长线上，连接，，则下列结论：①；②；③若，，则；④若，，为边上一点，则的最小值为．其中正确的结论序号有________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】过作，由和平行线性质，得到平分，证，得到，再结合等角转化证明，判断①；对于②，通过角度关系发现与没有必然相等关系，无法推出；对于③，在中利用设参，结合得到线段比例，依次求出与高，计算三角形面积；对于④，由转化得到，复用③得到的线段比例求出各线段长；利用对称构造全等实现线段转化，结合两点之间线段最短确定最小值，最后用勾股定理求值． 【详解】解：①：如图，过点作于，设与交于点, 四边形是矩形， ，，， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，即，故①正确， ②：，与不一定相等， 与不一定相等， 与不一定相等，故②错误， ③： 若，，判断 由，， 设，则， ， ， 在中，由勾股定理： ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，即，解得， ，故③正确， ④： 若，，判断的最小值为 ，， ，即， ，和③条件一致， 由③知， 当时，，， ， 如图，延长至点，使，连接， ，，， ， ， ， 根据两点之间线段最短，当,,三点共线时，最小，最小值为的长， ， 在中， ， 的最小值为，故④正确， 综上，正确结论序号：①③④ 【点睛】本题属于矩形背景下几何多结论压轴题，综合矩形性质、全等三角形、相似三角形、直角三角形边角关系以及最短路径模型，解题关键是通过作垂线构造全等，得到，完成核心角度转化；后续利用相似得到固定线段比例，结合参数计算、轴对称转化线段求解最值，侧重考查倒角推理、相似计算以及几何模型识别能力． 三．解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简：； 【解析】 【分析】先将多项式进行因式分解，根据分式的加减乘除混合运算法则，先对括号里的进行通分，再将除法转化为乘法，约分化简即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，、均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）画，点在格点上； （2）连接，在上找一点，连接，使，并直接写出的值． 【答案】（1）如图，即为所求： （2）如图，点D即为所求，． 【解析】 【分析】（1）取格点C，连接、，利用勾股定理求得三边的长，证明为等腰直角三角形，可得； （2）由面积比可得取格点M，网格线上中点N，连接交于D，利用相似三角形的性质可得点D即为所求；过A作于F，利用等腰直角三角形的性质求得、，利用正切定义求解即可． 【小问1详解】 解：作图依据：，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴； 【小问2详解】 解：作图依据：∵，，， ∴， ∴， ∴，即； 过A作于F，如图， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，再据此求出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先求出C点坐标，再根据作答即可． 【小问1详解】 解：∵点、在反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， 即反比例函数解析式为，， ∵点、在一次函数的图象上， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 当时， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 24. 在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点、重合），点为的中点，连接、． （1）如图，求证：； （2）如图，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】（1）证明：连接，如图， ∵矩形， ∴，， ∵点为的中点， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）6、、、 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识． （1）连接，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，再证明，即可证明； （2）结合，可知线段的长也为整数，再结合可得的取值范围，进而可作答． 【小问1详解】 见答案 【小问2详解】 解：根据（1）中的证明可知：在中，， ∵线段的长为整数， ∴线段的长也为整数， ∵矩形， ∴， ∵点不与端点、重合， ∴， ∴， ∴在中，，为整数， 假设，则有：， ∴， ∵， ∴， ∵线段的长为整数， ∴的长度可以为5、6、7、8， ∴的长度可以为10、12、14、16， 根据，可知可以为：6、、、． 25. 挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”深得大家喜欢，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． （1）A型、B型挂面的单价分别是多少元？ （2）为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，求购买多少袋B种挂面时，所需费用最小，并求出最小的购买费用． 【答案】（1）A型挂面单价为20元，B型挂面单价为30元； （2）购买10袋B型挂面时所需费用最小，最小购买费用为900元． 【解析】 【分析】（1）设A型挂面的单价是x元，B型挂面的单价是y元，由题意列出方程组，求解即可； （2）设购买型挂面袋，总费用为w元，则购买A型挂面袋，根据题意列出关于的不等式组求出其取值范围，再表示出总费用为，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设A型挂面的单价是x元，B型挂面的单价是y元，由题意，得： ， 解得， ∴A型挂面的单价是20元，B型挂面的单价是30元； 【小问2详解】 解：设购买型挂面袋，总费用为w元，则购买A型挂面袋， 根据题意得： ， 解得：， 总费用为：， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为， ∴购买10袋B型挂面时所需费用最小，最小购买费用为900元． 26. 如图，内接于，连接，． （1）求证：； （2）如图，为弧上一点，连接交于点，连接交于点，，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图所示，连接、， 设的半径为，则， ∴， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵在中，圆周角与圆心角同对弧， ∴． （2）证明：如图所示，由（1）可得：， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵圆周角与圆心角同对弧， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵射线在内部， ∴， ∴， ∴，即平分， 在中，， 在中，， ∵且， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）连接、，设的半径为，则，在中利用勾股定理逆定理证明，再由圆周角与圆心角同对弧，即可得出； （2）在中，再由圆周角定理得出，进而得出，根据，得出，即平分，在中，，，所以，即可得出； （3）连接交与点，设的半径为，过点作交的延长线于点，过点作于点，连接，在中，，得出，，进而得出，在中，，得出，将代入的式子中，得：，将，代入，建立方程求出，在中得出，，进而在中求出， ，在中，，在中，，最后根据，，即可根据求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接交于点，设的半径为，由（2）可设， ∴， 由（2）可得：， ∴ 过点作交的延长线于点， ∴， ∴在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴ ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴由等腰三角形“三线合一”可得：，， 在中，， ∴， 将代入的式子中，得：， 将，代入得：， 整理得：， 设，原方程可化为：， ∴，解得：或（舍去）， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴在中，， ∴设， ∴， ∴， 过点作于点，连接， ∵， ∴在中，，， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 27. 如图，平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点、，交轴于点，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，为第三象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的长为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（2）的条件下，为上一点，连接交于点，，，为第二象限内一点，连接、、，若，，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点C的坐标，随即得到的值，再由正切的定义求出点A的坐标，代入抛物线解析式即可求得a的值，从而得解； （2）先设，再求出点B的坐标， 通过待定系数法求出直线的解析式，根据题意令，则，得到点D的坐标，从而求出的表达式，即可得解； （3）过点D作且，过点B作交的平行线于点Q，连接，先证得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质结合已知条件并通过倒角可推出是等腰直角三角形，再证明，根据（2）的结论得到，求出t的值，待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线解析式即可求得点P的坐标；过点M作轴交y轴于点G，作交延长线于点H，过点A作交于点N，过点N作于点K，设与x轴的交点为点R，通过倒角证得和是等腰三角形，再证明，通过勾股定理求得的值，继续利用已知条件通过三角形面积公式推导求得的值，然后利用相似三角形的判定与性质，勾股定理及三角形面积公式推导可得出点M的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可求得的值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于点C， 令，则， ∴，即， ∵， ∴，解得：， ∴， 将点代入抛物线解析式， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点P位于抛物线第三象限上， ∴设， 令，则， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点D为直线与y轴交点，且， ∴令，则， ∴， ∴， 即与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：如图，过点D作且，过点B作交的平行线于点Q，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（2）知，，则， ∴，解得：， ∴，即， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线解析式，得：， 解得：，， ∴， 过点M作轴交y轴于点G，作交延长线于点H，过点A作交于点N，过点N作于点K，设与x轴的交点为点R， ∵， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∵， ∴，解得：， ∴，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴，， ∴， 过点O作交于点J， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $