上海市曹杨中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

2026学年第一学期高二数学期中试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 一、填空题（本大题共12小题，16每题4分，712每题5分，共54分) 1.若球的半径为5，平面α与球心的距璃为3，则平面α截球所得的小例半径为 2.已知笈数2满足z=i(2-i),则jz=一 3.正四棱柱的底而边长为10，侧积为40，则这个棱柱的体积为 C B 4.用斜二测画法画出水平放置的△ABC的直观图△A'B'C如图所示，己知 第4题图 AC'=1,B'C=3,则AB边的实际长度为 5.已知非梦向楚a、6满足日=2，且(a-)1万，则a与i的夹角为 6.已知底面圆的半径为3，母线长为8的圆柱，AB是该圆柱的一条母线，一蜘蛛从A绕圆柱一周爬到B, 则该蜘蛛爬行的最短路程为 7.设直线l与平面a斜交于点A,动点B∈a且不与A重合，若直线l与平面a所成 角为工，则直线AB与直线！所成角的取值范围是 6 B.如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形ABC,将剩余部分绕着 B 直径AB所在直线旋转一周得到-·个几何体，则该几何体的体积为 第8题图 9.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30m,则圆台的高为 D 10.在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,BC⊥CD,，若点A,B,C, 均在球O的表面上，且AB=BC=CD=I,则球O的体积为 B 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点M是AD中点，动 点P在底面ABCD内（不包括边界），使四面体ABMP体积为 2 ，则CP的 B 3 第11题图 最小值是 12,已知正三棱锥A-BCD的底面△BCD的边长为4，直线AC与平面BCD所成角的余孩值为 ，动 3 点M在以BC为直径的球面上，且直线CD⊥平面MAB,则点M的轨迹长为 二、选择题（本题满分18分，13、14每小题满分4分，15、16每小题满分5分) 13.已知两个体积分别为/，V,的几何体夹在两个平行平面之间，任意-~个平行于这两个平面的平面截这 两个几何体，裁得的哉面面积分别为S,S2,则“Y=V2“是“S=S2"的（)条件 第1页，共4页 A.充分不必要 B.必要不充分 C充要 D.既不充分也不必要 14.已知：、P是两个不间的平面，m、n是两条不间的直线，则下列命题正确的是（) A.若mCa,nCa,m∥B,n∥B,则a∥B B。若a⊥B,mca,则mLB C.若m⊥a,m∥B,则a⊥B D.若m∥n,mc,则n∥a 15.已知圆维的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径 的取值集合为() A.{22 B.(0,22 c.(0,4) D.[22,4) 16.如图，正方体ABCD-ABC"D'的棱长为1，E,F分别是棱AA,CC D' 的中点，过直线EF的平面分别与棱BB,DD'交于点M,N,设BM=x, A 给出下列三个结论：①四边形MENF一定力菱形：②若四边形MENF的 面积为S=(x),x∈(0，)，则f(x)有最太值：③若四棱锥A-MENF D 的体积为'=g(x),x∈(0.5,1)，则g(x)为常值函数.其中正确结论有 第16题图 多少个？() A.0 B.1 C.2 D.3 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数y=f()=3 Bsino08x-V5eos2x+5 2 国xe呀引 求y=f(x)的值域： (2)在△4BC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知f(B)=V3,a=2,b=√斤，求△ABC的面 积. 第2页，共4页 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图，在四梭锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=√5 (1)若AD//平iPBC,证期：AD⊥PB: (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥一一缴 瞒，其四个面均为直角三角形，找出并证明本题图中的一个鳌膈，然后计算 它的体积和表面积， D 19.（本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆 D 柱和一个圆锥组合而成（如图).已知一木制陀螺模型内接于一表面积为 16πcm2的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的项点S在 该球的球面上， (1)若圆柱的高为2cm,求该陀螺的体积及表面积： (2)规定陀螺圆锥的顶点5到例柱中离它远的上底面DC距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最 大此时陀螺的高是多少呢？ 20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，D/IBC,∠ABC=90°，且刚面PAD⊥ 底面iABCD,O是AD的中点，2AB=2BC=AD=PA=PD (1)已知N是PD的中点，求证：PA//平面CON (2)求证：AC⊥平面OB; (3)当AB=2时，在校P(C上是否存在一点M,使得三棱锥P-ABM的 体积为 5,若存布，清求北兴的值，者不存布，诗说明理虫。 21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。 若定义在R上的函数y=∫(x)和y=g(x)分别存在导函数f(x)和g'(x)且对任意x均有 ∫'(x)之g'(x),则称函数y=(x)是函数y=g(x)的“导控函数”.我们将满足方程f(x)=B'(x)的x称 为”导控点” (1)试问函数y=x是否为函数y=six的"导控函数"？ (2)若函数y=子+8x+1是函数y=号r+x+ec的导控菡数，且函数y=r+bx+x是函数 y=4x2的导控函数”，求出所有的“导控点"： (3)若p(x)=e*+ke×,函数y=q(x)为偶函数，函数y=p(x)是函数y=g(x)的”导控函数"，求证： ”k=1“的充要条件是“存在常数c使得p(x)-g(x)=c恒成立。"