精品解析：上海市浦东新区 部分校2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026第一学期九年级数学学科期中学习素养调研卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 若是关于的二次函数，则的值为(　　) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据 是不为的常数是二次函数，可得答案． 【详解】解：若是关于的二次函数，则且．， 解得：或． 故选：C． 2. 下列两个图形中，一定相似的是（　　） A. 两个矩形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个菱形 D. 有一条边长是6厘米的两个等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形，如果两个多边形对应角相等，对应边成比例，这两个多边形是相似多边形，在判定两个多边形是否相似时，一定要对应角相等、对应边成比例同时成立，缺一不可． 【详解】解：A选项：两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例， 两个矩形不一定相似，故A选项不符合题意； B选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例， 两个等腰直角三角形一定相似，故B选项符合题意； C选项：两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等， 两个菱形不一定相似，故C选项不符合题意； D选项：有一条边长是6厘米的两个等腰三角形，这两个三角形的对应角不一定相等， 这两个三角形不一定相似，故D选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列函数中一定是二次函数的是（　　） A. y＝2x2+ B. y＝ax2+bx+c C. y＝3x﹣1 D. y＝2x（x﹣2）+1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析． 【详解】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项错误； B、当a＝0时，y＝ax2＋bx＋c不是二次函数，故此选项错误； C、是一次函数，故此选项错误； D、y＝2x（x﹣2）+1=2x2-4x+1是二次函数，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，解题关键是注意二次项系数不为0． 4. 下表是一个二次函数的自变量与函数值的4组对应值： … 1 2 4 … … 3 5 3 … 则下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向上 B. 函数图象与轴无交点 C. 函数的最大值为5 D. 当时，的值随值的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将，，代入函数解析式得：， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴函数图象的开口向下，故A错误，不符合题意； 令，则， ∵， ∴函数图象与轴有交点，故B错误，不符合题意； ∵， ∴函数的最大值为，故C错误，不符合题意； ∴当时，的值随值的增大而减小，故D正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，、相交于点O，点E、F分别在、上，且，如果，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例与相似三角形的判定与性质逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，而， ∴，故A不符合题意； ∵，而， ∴，故B符合题意； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； ∴，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键． 6. 定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为．若，则的值为（    ） A. B. 5或 C. D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与轴交点问题、一次函数与轴交点问题，读懂轴点函数的定义是解题的关键．根据题意，用表示出点、的坐标，代入，解出即可得到答案． 【详解】解：函数（为常数，）的图象与轴交于点 其轴点函数与轴的两个交点为、 或 解得：或 故选：D． 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分） 7. 如果，那么代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例关系和代数式的求值，通过比例关系变形代数式后代入求值，即可解题． 【详解】解：由 ，得 ． 所以 ． 故答案为 ． 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得到的新抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】原抛物线为顶点式，可直接得到原顶点坐标，根据点的平移规则计算新顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线是顶点式， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴将顶点向左平移2个单位，横坐标减2，得到横坐标为；再向上平移3个单位，纵坐标加3，得到纵坐标为； ∴新抛物线的顶点坐标是． 9. 已知，如果它们的面积比为，那么对应高的比为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质， 相似三角形的面积比等于相似比的平方，而对应高的比等于相似比． 【详解】解：∵，面积比为， ∴相似比为， ∴对应高的比为． 故答案为：． 10. 如图，已知，若，，则的值是_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 直接利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：∵直线，， ，即， 解得：， 故答案为：10． 11. 如果函数是关于的二次函数，那么的值是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，的指数，二次项系数，解方程后再排除系数为的解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴，，即， 解得：或， ∵和都满足， ∴或． 12. 如果抛物线与轴只有一个交点，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线与轴只有一个交点时，对应一元二次方程的判别式为，列方程求解即可． 【详解】解：∵是抛物线， ∴该函数为二次函数，可得． ∵抛物线与轴只有一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根，即， 解得． 13. 已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到与的关系，先求出的长度，再计算的长. 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 把代入得：， 解得， . 14. 抛物线顶点在直线上，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线方程即可求得的值． 【详解】解：对抛物线配方得：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵顶点在直线上， ∴将代入直线方程得：， 解得：． 15. 如图，，的面积是4，的面积是15，则的面积是________________． 【答案】25 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理得出线段比相等，结合三角形面积公式，将线段比转化为面积比，建立方程求解中间三角形面积，进而求得的面积． 【详解】解：设的面积为， 与等高， ，即， 与等高， ，即， ， ， ， 整理 得， 解得，（舍去）， ， ． 16. 如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线的性质，可知,进而可知,根据线段关系可知相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，，进而可转化出答案． 本题考查了相似三角形的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：在中， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则,, ,, , , , ∵， , , , , 在中，和等高， , , 故答案为：． 17. 如果顶点不同的两个二次函数的图像与轴有相同的两个交点，我们就把其中一个二次函数称为另一个的“牵手二次函数”．如果二次函数的图像顶点为，与轴的交点分别为、（点在点的左侧），它的一个“牵手二次函数”的顶点为，已知，，那么这个“牵手二次函数”的二次项系数是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】将原二次函数化为顶点式，确定顶点坐标与对称轴，根据长度求函数与x轴交点坐标，最后代入交点坐标求参数a的值，再设出“牵手二次函数”的顶点式，即可求出这个“牵手二次函数”的二次项系数． 【详解】， 可得顶点A的坐标为，函数对称轴为直线． 二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称， 已知，则两个交点到对称轴的距离均为， 因此左侧交点B的横坐标为，右侧交点D的横坐标为， 即，， 将点B代入原函数解析式，此时， ，即 ， 解得． 因为“牵手二次函数” 与轴的交点分别为、（点在点的左侧）， 所以“牵手二次函数”和原抛物线与轴交点完全相同，对称轴同样为， 设它的顶点式为，则顶点， 因为两个顶点横坐标都是，在同一条竖直线上， 所以两点距离， 若，解得， 此时C的坐标为， 把交点代入， 即，解得； 若，解得， 此时C的坐标为， 把交点代入， 即，解得． 所以这个“牵手二次函数”的二次项系数是或． 三、解答题：（本大题共7题，共82分，第18题8分；第19题，10分；第20-22题，12分一题；第24-25题，14分一题） 18. 已知，求 （1）的值； （2）若，求、、的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后代入进行求解即可； （2）由（1）可代入进行求解k的值，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由可设， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 19. 已知：抛物线的顶点为，且经过点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）抛物线上一点 E 的横坐标是 4，求的面积． 【答案】（1） 抛物线的函数解析式为 （2） 的面积为 【解析】 【分析】（1）设抛物线顶点式，代入点坐标求系数，即可得到解析式; （2）先求点坐标，再计算的长度与对应高的长度，进而求出三角形面积． 【小问1详解】  解： ∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为（）. 将代入解析式，得 ， 解得. ∴抛物线的函数解析式为， 即； 【小问2详解】 解：∵点在抛物线上，横坐标为 ∴将代入 得  ∴ ∵ ∴轴， 边上的高为 ∴． 20. 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 【答案】（1）且. （2）或. 【解析】 【分析】（1）由是二次函数解析式可得，再由二次函数的图像与轴有两个交点可得，即可求出的取值范围； （2）设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（），由和根与系数的关系即可求解． 【小问1详解】 解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数的图像与轴有两个交点， ∴，解得：， 综上：且． 【小问2详解】 解：设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（）， ∴，为（）的两个根， ∴，， ∵二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 21. 如图，在四边形中，对角线与交于点E，， （1）求证：； （2）如果，求的值． 【答案】（1） 证明：， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，（1）根据两组角对应相等的两三角形相似；（2）利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 22. 在中，点，分别在边，上，与交于，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）26 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练运用相似三角形的性质是解题关键． （1）证明，由相似三角形的性质即可获得答案； （2）过点作于点，交于点，结合，可设，，证明，由相似三角的性质可得，再证明，结合相似三角的性质即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图，过点作于点，交于点， ∵， ∴可设，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴和y轴分别交于A、B两点，抛物线的顶点为C（c，-4），联结AB、AC、BC． （1）求这条抛物线的表达式和c的值； （2）求△ABC的面积； （3）在y轴上找一个点M（点M不与点B重合），使得∠AMC＝90°，并将△AMC沿直线AC翻折，得到△ANC，求点N的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；c=1，（2）3；（3）（4，-3） 【解析】 【分析】（1）用对称轴公式求出c的值，代入即可求出抛物线解析式； （2）求出A、B两点坐标，利用面积和差求出三角形面积即可； （3）利用勾股定理求出点M坐标，再根据中点坐标公式求出点N的坐标即可． 【详解】（1）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3的对称轴为：直线， 所以，顶点横坐标c的值为1，顶点坐标为C（1，-4），代入抛物线解析式得，， 解得，， 抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）当x=0时，y＝﹣3，点B的坐标为（0，-3）； 当y=0时，0＝x2﹣2x﹣3，解得，，，点A的坐标为（3，0）； 联结OC， ； ； ； ； （3）设点M坐标为（0，m）， ， ，， ∵∠AMC＝90°， ∴，即， 解得，，（舍去）； ∴点M坐标为（0，-1）， 由翻折可知，MN⊥AC，MH＝HN， ∵，； ∴AM＝MC， ∴AH＝HC， ∴点H坐标为，即， 设点N坐标为（n，d）， 则， 解得，， 点N坐标为（4，-3）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，包括勾股定理，求解析式，对称点的坐标，解题关键是熟练运用二次函数知识进行计算求解，利用设坐标建立方程． 24. 如图1，在和中，，，，． （1）求证：； （2）已知点M为边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点E． ①如图2，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域； ②当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）证明： ， 与都是直角三角形 在中， ，， ， ， 在中，， ， ， ； （2）①，定义域：； ②10或12.5． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，再证，然后证，即可得出结论； （2）①证，得，则，然后证，得，即可得出结论； ②当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况，当时、当时，分别求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①，又 又 在中，， ，， ， 定义域：； ②当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况： 第一种：当时，则， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 即的长为10； 第二种：当时， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵是直角三角形， 同理可得， ∴， 所以，即， 则解得，， 综上所述：当是等腰三角形时，的长为10或12.5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026第一学期九年级数学学科期中学习素养调研卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 若是关于的二次函数，则的值为(　　) A. B. C. 或 D. 或 2. 下列两个图形中，一定相似的是（　　） A. 两个矩形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个菱形 D. 有一条边长是6厘米的两个等腰三角形 3. 下列函数中一定是二次函数的是（　　） A. y＝2x2+ B. y＝ax2+bx+c C. y＝3x﹣1 D. y＝2x（x﹣2）+1 4. 下表是一个二次函数的自变量与函数值的4组对应值： … 1 2 4 … … 3 5 3 … 则下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向上 B. 函数图象与轴无交点 C. 函数的最大值为5 D. 当时，的值随值的增大而减小 5. 如图，、相交于点O，点E、F分别在、上，且，如果，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为．若，则的值为（    ） A. B. 5或 C. D. 或3 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分） 7. 如果，那么代数式的值是______． 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得到的新抛物线的顶点坐标是__________． 9. 已知，如果它们的面积比为，那么对应高的比为_________． 10. 如图，已知，若，，则的值是_____． 11. 如果函数是关于的二次函数，那么的值是________． 12. 如果抛物线与轴只有一个交点，则的值是________． 13. 已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 14. 抛物线顶点在直线上，则的值为__________． 15. 如图，，的面积是4，的面积是15，则的面积是________________． 16. 如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 17. 如果顶点不同的两个二次函数的图像与轴有相同的两个交点，我们就把其中一个二次函数称为另一个的“牵手二次函数”．如果二次函数的图像顶点为，与轴的交点分别为、（点在点的左侧），它的一个“牵手二次函数”的顶点为，已知，，那么这个“牵手二次函数”的二次项系数是__________． 三、解答题：（本大题共7题，共82分，第18题8分；第19题，10分；第20-22题，12分一题；第24-25题，14分一题） 18. 已知，求 （1）的值； （2）若，求、、的值． 19. 已知：抛物线的顶点为，且经过点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）抛物线上一点 E 的横坐标是 4，求的面积． 20. 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 21. 如图，在四边形中，对角线与交于点E，， （1）求证：； （2）如果，求的值． 22. 在中，点，分别在边，上，与交于，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴和y轴分别交于A、B两点，抛物线的顶点为C（c，-4），联结AB、AC、BC． （1）求这条抛物线的表达式和c的值； （2）求△ABC的面积； （3）在y轴上找一个点M（点M不与点B重合），使得∠AMC＝90°，并将△AMC沿直线AC翻折，得到△ANC，求点N的坐标． 24. 如图1，在和中，，，，． （1）求证：； （2）已知点M为边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点E． ①如图2，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域； ②当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $