精品解析：云南昆明市第八中学长城红鑫校区2026-2027学年八年级10月学情自测数学试卷

2026—2027学年昆八中长城红鑫校区八年级10月月考数学 一．选择题（共15小题） 1. 篆书之美，在其线条如古玉凝脂般温润匀净，结体似青铜鼎彝般庄重对称，将汉字的古朴与秩序感刻进了千年文脉里．下列四个选项中的字分别“华、夏、儿、女”四字的篆体形式，其中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形； B．不是轴对称图形； C．不是轴对称图形； D．不是轴对称图形． 2. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的高是三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线、顶点到垂足之间的线段．根据三角形的高的定义逐项分析判断即可解答． 【详解】解：若线段是的高，则过点B，且垂直，垂足为D， D选项中线段表示中边上的高． A、 B、C选项中线段不能表示任何边上的高． 3. 已知，，则为（ ）． A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理及直角三角形定义，先由三角形内角和定理得到，进而由直角三角形的定义即可判定答案，熟记三角形内角和定理及直角三角形定义是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，， 由三角形内角和定理可得， 为直角三角形， 故选：C． 4. 如图，是的一个外角，若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算． 【详解】解：，， ． 故选：B． 5. 如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质． 由全等三角形的性质推出，，求出，即可得到的长． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：C． 6. 用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定与性质，结合作图得又因为，故，即可作答． 【详解】解：观察作图过程得 ∵， ∴， ∴， 故选：A， 7. 如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（ ） A. 三角形三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条中线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三个内角的角平分线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据规划一个公交车站到三座商场的距离相等，以及到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点，即可作答． 【详解】解：∵要规划一个公交车站到三座商场的距离相等， ∴该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点（到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）， 故选：A 8. 如图，射线平分，点在上，过点作于点，若，则点到的距离是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：B． 9. 若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为（ ） A. 5 B. 2 C. 2或5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论腰长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，进而确定腰长． 【详解】解：当腰长为时，三边长为， ∵， ∴不能构成三角形，舍去； 当腰长为时，三边长为， ∵， ∴能构成三角形． 10. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定求解即可． 【详解】解：A、由，，，根据证明，说法正确，故不符合题意； B、由，，，根据证明，说法正确，故不符合题意； C、由，，，根据证明，说法正确，故不符合题意； D、，，，不能判定，故选项D符合题意． 11. 如图所示，在中，为边上的中线，若，，则的周长比周长多（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义以及周长的计算方法． 根据三角形的周长的计算方法得到的周长和的周长的差就是与的差． 【详解】解：∵是中边上的中线， ∴， ∴ ． 故选：D 12. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，，再利用三角形外角性质求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 13. 如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等角对等边，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，得到，同理得到，进而得到的周长等于，即可． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴的周长； 故选D． 14. 如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．由折叠的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义．根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：C． 二．填空题（共4小题） 16. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴的点的坐标规律．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，直接写出答案即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为： 17. 一个三角形的三边为3、5、，另一个三角形的三边为、3、6，若这两个三角形全等，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应边相等分别求出x、y，计算即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴x=6，y=5， ∴x-y=6-5=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 18. 如图，已知所在直线是的对称轴，点E、F是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积的值是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形的面积等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质可得，易得阴影部分的面积等于三角形ABC面积的一半，据此即可解答． 【详解】解：∵关于直线成轴对称， ∴， ∵E，F是上的两点， ∴与关于直线成轴对称， ∴ ∵， ∴． 故答案为：12． 19. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分成若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．瑞士数学家欧拉向德国-俄国数学家哥德巴赫提出一个n边形的三角剖分有多少种不同方法的问题，并归纳得到n边形的不同三角剖分方法数（）公式．后来数学家发现并证明：当时，，已知，请你利用上述公式计算五边形的三角剖分方法数_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了多边形对角线问题，代数式求值．利用递推公式 和已知，逐步计算和即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，，故， ∴当时，； 故答案为：5． 三．解答题（共8小题） 20. 如图，，平分，求证：． 【答案】 证明：平分， ， 在和中 ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理和性质、以及角平分线的定义，由三角形全等的判定定理可知，再由三角形全等的性质得即可． 【详解】略 21. 在中，比大，比大， 求中各角的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理列方程解决即可． 【详解】解：设，则， ， 解得：， ，，． 22. 在如图的房屋人字梁架中，斜梁米，立柱垂直于横梁于点，且顶角，求立柱的长． 【答案】4米 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理得出，最后根据含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直于点， ∴， ∴ （米）． 23. 已知的各顶点坐标分别为，，， （1）画出； （2）画出关于y轴对称的，并写出坐标； （3）请在x轴上找到一个点P，使得P点到点B、点A的距离的和最短． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）如图，即为所求作的三角形， （3）如图， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标系中描点，轴对称坐标，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）根据点，点，点，在平面直角坐标系中描点，然后连线即可； （2）作点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后再顺次连接即可； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求作的点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的坐标为； 【小问3详解】 解：作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求作的点． 连接，根据轴对称可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 24. 如图，在在中，是边上的高，． （1）求的度数： （2）若是的角平分线，交于点F，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义： （1）根据三角形内角和定理，可得，再根据三角形高的定义，则由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义，可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 25. 如图，在中，是的垂直平分线，于点，且为的中点． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：是的垂直平分线， ． ，为的中点， 是的垂直平分线． ． ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换即可证明； （2）将的周长转化为，等量代换即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为的中点， ． 由（1）得，，， ． 26. 如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到，再根据平行线得到，，则，即可证明； （2）根据三合一得到，结合三角形内角和定理以及等边对等角即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如上图：∵， ∴ ∴ ∵ ∴， 由（1）可知， ∴． 27. 发现问题 小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 初步探索 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 总结方法 在利用中线解决几何问题时，当题中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 问题解决 （1）如图1，与的位置关系是　 ；的取值范围是　 　 ； 问题应用 （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系； 拓展延伸 （3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】（1）； （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）证明，得到，则可得到；由三角形的三边关系可得，则，即； （2）延长到点，使得，连接．证明，得到，．再证明，可得； （3）延长到点H，使得，连接．同理可证明，得到．证明，推出，，设，则，，则可得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解：延长到，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由三角形的三边关系可得， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长到点，使得，连接． ∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长到点H，使得，连接． 同理可证明， ∴，． ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴． ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年昆八中长城红鑫校区八年级10月月考数学 一．选择题（共15小题） 1. 篆书之美，在其线条如古玉凝脂般温润匀净，结体似青铜鼎彝般庄重对称，将汉字的古朴与秩序感刻进了千年文脉里．下列四个选项中的字分别“华、夏、儿、女”四字的篆体形式，其中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则为（ ）． A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都不对 4. 如图，是的一个外角，若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（ ） A. 三角形三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条中线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三个内角的角平分线的交点 8. 如图，射线平分，点在上，过点作于点，若，则点到的距离是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为（ ） A. 5 B. 2 C. 2或5 D. 3 10. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，在中，为边上的中线，若，，则的周长比周长多（ ） A. B. C. D. 12. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 13. 如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 14. 如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是（    ） A. B. C. D. 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 二．填空题（共4小题） 16. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 17. 一个三角形的三边为3、5、，另一个三角形的三边为、3、6，若这两个三角形全等，则__________． 18. 如图，已知所在直线是的对称轴，点E、F是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积的值是______． 19. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分成若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．瑞士数学家欧拉向德国-俄国数学家哥德巴赫提出一个n边形的三角剖分有多少种不同方法的问题，并归纳得到n边形的不同三角剖分方法数（）公式．后来数学家发现并证明：当时，，已知，请你利用上述公式计算五边形的三角剖分方法数_____． 三．解答题（共8小题） 20. 如图，，平分，求证：． 21. 在中，比大，比大， 求中各角的度数． 22. 在如图的房屋人字梁架中，斜梁米，立柱垂直于横梁于点，且顶角，求立柱的长． 23. 已知的各顶点坐标分别为，，， （1）画出； （2）画出关于y轴对称的，并写出坐标； （3）请在x轴上找到一个点P，使得P点到点B、点A的距离的和最短． 24. 如图，在在中，是边上的高，． （1）求的度数： （2）若是的角平分线，交于点F，求的度数． 25. 如图，在中，是的垂直平分线，于点，且为的中点． （1）求证：； （2）若，求的周长． 26. 如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的度数． 27. 发现问题 小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 初步探索 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 总结方法 在利用中线解决几何问题时，当题中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 问题解决 （1）如图1，与的位置关系是　 ；的取值范围是　 　 ； 问题应用 （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系； 拓展延伸 （3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $