专题25.2 二次函数的图像与性质（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年华东师大版九年级数学下册
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精品
内容正文：
简一数理 初中专题讲义
专题25.2 二次函数的图像和性质
（新教材华东师大版）
知识点一、二次函数的图像与性质 2
知识点二、二次函数的图象变换 3
知识点三、二次函数与各项系数之间的关系 4
【题型1 的图像和性质】 5
【题型2 的图像和性质】 7
【题型3 的图像和性质】 9
【题型4 的图像和性质】 11
【题型5 把化为顶点式】 13
【题型6 画的图像】 15
【题型7 的图像和性质】 19
【题型8 的最值】 21
【题型9 二次函数图像与各项系数符号的关系】 25
【题型10 根据二次函数图像判断式子符号】 28
【题型11 一次函数、二次函数综合判断】 30
【题型12 反比例函数、二次函数综合判断】 33
【题型13 两个二次函数图像综合判断】 37
【题型14 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 39
【题型15 根据二次函数的对称性求函数值】 40
【题型16 根据二次函数的对称性求最短路径】 43
【题型17 二次函数图像的平移】 48
【题型18 待定系数法求二次函数解析式】 49
【探究式学习】 53
【课后检测】 60
【复盘笔记】 69
知识点一、二次函数的图像与性质
图像特征
二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式
图像
a>0
a<0
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h
x=
顶点坐标
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)
(，)
最值
a>0
开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；
a<0
开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
【小结】二次函数最小值(或最大值)为顶点式中的k或一般式中的..
增
减
性
a>0
在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
a<0
在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
易错
抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围.
知识点二、二次函数的图象变换
1）二次函数的平移变换
平移方式（n＞0)
一般式y=ax2+bx+c
顶点式y＝a(x–h) 2＋k
平移口诀
向左平移n个单位
y=a(x+n)2+b(x+n)+c
y=a(x-h+n) 2+k
左加
向右平移n个单位
y=a(x-n)2+b(x-n)+c
y=a(x-h-n)2+k
右减
向上平移n个单位
y=ax2+bx+c+n
y=a(x-h)2+k+n
上加
向下平移n个单位
y=ax2+bx+c-n
y=a(x-h)2+k-n
下减
补充：
① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.
② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位.
③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.
④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同.
⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，仅改变对称轴的位置，不改变函数的增减性规律，仅增减区间的位置随对称轴平移。
2）二次函数图象的对称变换
变换方式
变换后
口诀
关于x轴对称
x不变，y变-y
关于y轴对称
y不变，x变-x
关于原点对称
x变-x，y变-y
知识点三、二次函数与各项系数之间的关系
① 二次函数的图像与a，b，c的关系
字母
字母的符号
图像特征
备注
a
a>0
开口向上
a的正负决定开口方向，
a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)．
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴是y轴，即=0
左同右异中间0
a，b同号
对称轴在y轴左侧，即
a，b异号
对称轴在y轴右侧，即
c
c=0
图像过原点
c决定了抛物线与y轴交点的位置．
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
与x轴有两个交点
的正负决定抛物线与x轴交点个数
与x轴有唯一交点
与x轴没有交点
【补充】
1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同；
2）由a的符号与对称轴x=的位置共同确定b的符号；
【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负.
【题型1 的图像和性质】
【例1】若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二次函数图象关于y轴对称的性质求解．
【详解】解：∵二次函数的图象关于y轴对称，
∴点关于y轴的对称点必在该函数图象上；
∵点关于y轴的对称点为，
∴该图象必经过点．
【变式1-1】对于二次函数和，有以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是轴；③当时，都是随着的增大而增大；④它们的开口大小都是一样的．其中，正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】两个函数均为的形式，可根据的符号、绝对值及该形式二次函数的对称轴、增减性规律判断各说法正误．
【详解】解：对于，
∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线（即轴），当时，随的增大而增大；
对于，
∵，
∴图象开口向下，对称轴为直线（即轴），当时，随的增大而减小；
①图象开口向下，故①错误；
②两个函数的对称轴均为轴，故②正确；
③当时，的随增大而减小，故③错误；
④两个函数的，开口大小一样，故④正确．
综上，正确的说法共2个．
【变式1-2】如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（ ）
A．16 B．8 C．14 D．9
【答案】A
【分析】利用抛物线和长方形的轴对称性，将轴左侧的阴影部分对称变换到轴右侧，发现阴影部分面积之和等于轴右侧长方形的面积.
【详解】解：二次函数的图象关于轴对称，长方形的顶点、在轴上，、在图象上，
长方形关于轴对称，
点的横坐标为，
点的横坐标为，当时，，
点的坐标为，
，，
根据对称性，轴左侧阴影部分的面积等于轴右侧抛物线与轴、围成的空白部分的面积，
阴影部分的面积之和等于矩形（即轴右侧长方形部分）的面积，
.
【变式1-3】若是关于x的二次函数，且开口向上，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．0
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义，自变量的最高次数为2且二次项系数不为0，结合开口向上的条件列方程与不等式求解．
【详解】解：∵是关于的二次函数，
∴，且，
解得，且，
∵抛物线开口向上，
∴，
解得，
∴．
【题型2 的图像和性质】
【例2】已知函数图象经过点，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
∵ 开口向上时，点到对称轴的距离越大，函数值越大，
∴ .
【变式2-1】下列函数中，当时，随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数、反比例函数及二次函数的性质，逐一判断，即可得出答案．
【详解】解：∵中，，
∴随的增大而增大，故A选项不符合题意，
∵中，，
∴当时，随的增大而增大，故B选项不符合题意.
∵二次函数中，，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，故C选项符合题意，
∵二次函数中，，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，故D选项不符合题意．
【变式2-2】已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线有最低点，得出，再解不等式即可．
【详解】解：∵抛物线有最低点，则二次函数图象开口向上，
∴，
解得：．
【变式2-3】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数与二次函数的图象结合选项的图象依次判断即可．
【详解】解：A、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，由直线可知，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，而抛物线开口向下，与二次函数矛盾，错误；
C、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，由直线可知，正确；
D、由图可知直线与y轴交于负半轴，这与一次函数矛盾，错误．
【题型3 的图像和性质】
【例3】若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由点在上得到，依次把四个选项中点的横坐标代入计算函数值，验证得到横坐标为时函数值等于，确定在抛物线上．
【详解】解：∵ 点在抛物线上，
∴ ．
∵抛物线可以看作是抛物线向右平移 1 个单位得到，函数平移规律为左加右减．
将各选项坐标代入验证：
选项：把代入右边：，
∵ ，
∴ ，
∴ 点满足解析式．
选项：把代入右边：，
∵ 不一定等于，
∴ 该点不一定在抛物线上．
选项：把代入右边：，
∵ 不一定等于，
∴ 该点不一定在抛物线上．
选项：把代入右边：，
∵ 不一定等于，
∴ 该点不一定在抛物线上．
故选：．
【变式3-1】关于二次函数，以下说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线
B．顶点坐标是
C．可以由抛物线向右平移2个单位长度得到
D．当时，y随x的增大而增大．
【答案】D
【详解】解：二次函数为顶点式，对应，，.
对称轴为直线，顶点坐标为，故A、B错误.
将抛物线向右平移2个单位长度，得，与题中函数不符，故C错误.
∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，故D正确.
【变式3-2】，，是抛物线上三点，，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别求出函数值，再判断函数值大小即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，，
∵，
∴．
【变式3-3】下列函数中，当时，随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】一次函数由一次项系数判断增减性，二次函数结合开口方向、对称轴与的位置关系判断增减性．
【详解】解：∵一次函数的一次项系数为，
∴随的增大而增大，故选项A不符合题意．
∵二次函数的二次项系数为，
∴ 抛物线开口向下，
又∵对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵满足，故选项B符合题意．
∵二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，故选项C不符合题意．
∵二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，故选项D不符合题意．
【题型4 的图像和性质】
【例4】已知二次函数，当时，该函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将二次函数配方为顶点式，确定开口方向与对称轴，结合x的取值范围，通过比较区间端点到对称轴的距离确定最大值位置，代入计算即可．
【详解】解：．
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线．
在范围内，
∵点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
，
∴当时，函数取得最大值，
此时．
【变式4-1】已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是
C．方程有两个不相等的实数根 D．当时，随增大而减小
【答案】C
【分析】由抛物线顶点式确定开口方向、对称轴，结合方程根的判定与二次函数的增减性，判断各选项即可．
【详解】解：∵ 抛物线解析式为，
∴ ，抛物线开口向下，对称轴为直线，故选项、均错误，不符合题意；
令，
整理得，
∵ ，
∴ 方程有两个不相等的实数根，故选项正确，符合题意；
∵ 抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴ 当时，随增大而增大，
又∵ ，
∴ 当时，随增大而增大，故选项错误，不符合题意．
【变式4-2】已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可以结合二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的水平距离来判断函数值大小．
【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线，
抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为；
，
．
【变式4-3】已知抛物线经过三点，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线的顶点式确定抛物线的开口方向和对称轴，通过比较三点到对称轴的距离判断函数值大小．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线．
∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为．
∵，
∴，即．
【题型5 把化为顶点式】
【例5】抛物线向右平移2个单位长度后，与y轴相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将抛物线用配方法配为顶点式，然后确定抛物线向右平移个单位后的函数表达式，再令，即可求出值．
【详解】解：∵，
∴将抛物线向右平移2个单位后，解析式为，
令，得，即．
【变式5-1】如下是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（ ）
解：
……①
……②
∴抛物线的顶点坐标为……③
A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错
C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错
【答案】B
【详解】解：
抛物线的顶点坐标为．
题目步骤①中，减去的未乘括号外的系数3，过程从①开始出错．
【变式5-2】已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴当时，取得最大值；
∵当时，；当时，，
∵，
∴的最小值为．
∴的取值范围是．
【变式5-3】已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质求解最大值即可．
【详解】解：将配方得，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵ ，，，
∴ 时函数取得最大值，
代入得．
【题型6 画的图像】
【例6】如图是一张千斤顶的实物图，图2为其示意图，四边形是菱形，边长固定不变，可通过调节的长度改变千斤顶的高度．设的长度为，千斤顶的高为，与之间的函数关系如图3所示，下列结论错误的是（ ）
A．菱形的边长为
B．自变量的取值范围为
C．与之间的函数图象是抛物线的一部分
D．的最小值为
【答案】C
【分析】利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理建立与的数量关系，结合函数图象读取关键点坐标逐一判断．
【详解】解：A、设菱形边长为，由菱形对角线互相垂直平分可知，
即．
由图3可知，当时，，
代入得，
解得，
故A正确．
B、由图3可知，的取值范围为，
故B正确．
C、由可知，，图象不是抛物线，
故C错误．
D、当时，取得最小值，
，
解得，
故D正确．
故答案为C．
【变式6-1】已知二次函数．
(1)填写表格，并在所给的平面直角坐标系中描点，画出该函数图象；
…
0
1
2
3
…
…
5
0
…
(2)将抛物线如何平移可得到抛物线？
【答案】(1)补表如下：
…
0
1
2
3
…
…
5
0
0
…
画图如下：
(2)向左平移1个单位，再向上平移4个单位
【分析】（1）先补充列表，然后描点、连线即可完成作图；
（2）先把化成顶点式，然后根据平移规律求解即可.
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
补充表格和画图见答案；
（2）解：∵，
∴抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到抛物线.
【变式6-2】已知二次函数．并回答以下问题：
(1)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
(2)当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据列表、描点、画出图象的方法，解答即可；
（2）直接观察图象，即可．
【详解】（1）解：列表如下：
x
0
1
2
y
5
0
0
5
描点，并画出函数图象略；
（2）解：观察图象得：当时，函数值的取值范围为．
【变式6-3】已知，二次函数的y与x的部分对应值如下表．根据题意完成下列问题：
x
0
1
m
3
y
0
1
0
注：．
(1)________；
(2)根据上表描点画出函数图象；
(3)请直接写出该函数图象的顶点坐标是________；
(4)结合图象，请直接写出，当时，y的取值范围是________．
【答案】(1)2
(2)解：如图所示；
(3)
(4)
【分析】（1）由表中数据可知当时，，所以将代入函数解析式求解即可；
（2）将表格中的坐标在平面直角坐标系中描点、连线即可；
（3）图中最高点为顶点，即得答案；
（4）当时，找到图中最高点与最低点对应的纵坐标，即可求得答案．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
；
（2）略
（3）解：由图可知，该函数图象的顶点坐标是；
（4）解：由图可知，当时，y的取值范围是．
【题型7 的图像和性质】
【例7】已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将各点横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，比较大小即可．
【详解】解：将代入，得，
同理，得，.
，
．
【变式7-1】若二次函数的图象经过点、和，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先确定二次函数的对称轴与开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小．
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴为直线，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大，
∴点到对称轴的距离为．点到对称轴的距离为．点到对称轴的距离为．
∵，
∴．
【变式7-2】已知是抛物线上的点，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】A
【分析】已知两点在抛物线上，可将横坐标分别代入解析式求出、的表达式，再比较大小．
【详解】解：将代入，得
，
将代入，得
，
∵ ，
∴ ．
【变式7-3】已知抛物线与轴交于点，，其中，抛物线与轴交于点，，其中，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将代入第二个抛物线的解析式，判断对应函数值的符号，结合开口向下的抛物线的函数值与横坐标位置的关系推导大小．
【详解】解：∵是抛物线与轴的交点横坐标，
∴，
将代入， 得，
∵抛物线开口向下，且与轴交于， ，
∴当时，的取值范围是，
∴，
同理可得，
又∵，
∴．
【题型8 的最值】
【例8】已知二次函数（，为常数）．当时，的最大值为7；当时，的最大值为3，则的值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两个取值范围的最大值大小关系，从而判断对称轴位置，进而求解b，c的值．
【详解】解：二次函数开口向下，对称轴为直线．
∵当时的最大值为7，当时的最大值3，
∴函数的顶点在的范围内，即，．
∵当时，函数图象在对称轴左侧，该范围内最大值在处取得，
∴时，．
∵顶点处的最大值为7，
∴，
∴．
将代入，得，
解得（负值舍去），
∴．
【变式8-1】二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，则下列说法正确的是（ ）
x
…
…
y
…
10
4
0
0
…
A．抛物线开口向下 B．函数最小值是
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【详解】解：由表格可知，和时，的值均为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵时，时，时，越靠近，值越小，
∴抛物线开口向上，A错误；
∵抛物线开口向上，顶点为最低点，顶点在对称轴上，
∴顶点纵坐标小于，函数最小值不是，B错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小.
∵时，所有均满足，
∴当时，随的增大而减小，C正确；
∵当时，随的增大而减小，
∴当时，不是始终随的增大而增大，D错误．
【变式8-2】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④；⑤．其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口向下，与轴交于正半轴可得，根据对称轴可得，则可得①错误；将点代入函数的解析式即可得②正确；根据二次函数的对称性可得③错误；根据二次函数的最值可得④正确；根据二次函数的对称性可得抛物线经过点，据此可得⑤正确．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，即，
∴，则说法①错误；
由函数图象可知，当时，，
将代入得：，即，则说法②正确；
∵，是抛物线上的两点，且，
∴点，关于抛物线的对称轴对称，
∴，则说法③错误；
当时，，
由二次函数的图象可知，当时，取得最大值，最大值为，
∴，则说法④正确；
∵抛物线经过点，且其对称轴为直线，
∴抛物线经过点，
∴，则说法⑤正确；
综上，正确的结论是②④⑤．
【变式8-3】如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的是（）
A．
B．
C．对任意实数t，总成立
D．若点，在抛物线上，，则
【答案】B
【分析】根据图象获取顶点坐标及与轴交点范围，利用二次函数性质逐一判断选项．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则．
顶点的坐标为，
对称轴为直线，即，
，即，故A错误；
设抛物线的解析式为．
令，得，即抛物线与轴的交点坐标为．
由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方，
，
解得，故B正确；
根据图象得：当时，取得最大值为，
∴对任意实数，，
，当时取等号，故C错误；
对称轴为，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为．
抛物线开口向下，，
点离对称轴更远，即，
解得，故D错误．
【题型9 二次函数图像与各项系数符号的关系】
【例9】如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，在图象上，则
【答案】B
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点情况，结合二次函数性质逐项判断即可．
【详解】解：A、由图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
∴，，
∵，抛物线的对称轴位于轴左侧，
∴，
，故A错误，该选项不符合题意；
B、抛物线的对称轴为直线，即，
，
∴，故B正确，该选项符合题意；
C、抛物线对称轴为，且过点，根据对称性，抛物线与轴的另一个交点为，
当 时，，故C错误，该选项不符合题意；
D、，，
点与关于对称轴对称，
，故D错误，该选项不符合题意．
【变式9-1】如图是二次函数的图象，则，的值可能为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点判断的符号．
【详解】解：根据题图可知，抛物线的对称轴在轴右侧，则，
解得，
抛物线与轴的交点在轴上方，
可得，
故选项满足题意．
【变式9-2】如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（）
A．
B．
C．当时，随的增大而减小
D．当时，
【答案】B
【详解】解：由图象开口向下得；顶点横坐标为2，即，得，则， B正确；
由图象与轴交于点得，所以，A错误；
抛物线开口向下，对称轴右侧随的增大而减小，C正确；
时图象在轴下方，，D正确．
【变式9-3】二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线开口朝上确定的符号；抛物线与y轴的正半轴有一个交点可确定的符号；再根据抛物线的对称轴处在y轴的右侧，结合的符号，可以确定的符号，问题随之得解．
【详解】解：∵抛物线开口朝上，
∴，
∵抛物线与y轴的正半轴有一个交点，
∴，
根据抛物线的图象可知，抛物线的对称轴处在y轴的右侧，
∴对称轴，
∵，
∴，
∵，，，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，即D选项符合题意．
【题型10 根据二次函数图像判断式子符号】
【例10】如图是二次函数(a，b是常数)的图象，则关于反比例函数的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限 D．图象在第一、三象限
【答案】C
【详解】解：根据二次函数(a，b是常数)的图象知，，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，
观察四个选项，只有选项C符合题意．
【变式10-1】已知抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点在x轴下方，且与y轴交于正半轴．下列结论：①；②；③若点和都在抛物线上，则；④当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由抛物线对称轴公式得，结合开口方向、顶点位置、函数增减性逐一判断各结论．
【详解】解：由题意得，对称轴为直线，，顶点在轴下方，
∵，
∴，即，故①正确；
当时，为顶点纵坐标，
∵顶点在轴下方，
∴，故②正确；
∵点关于对称轴的对称点为，
又∵抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大，，
∴，故③错误；
∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，故④正确．
综上，正确结论是①②④，共3个．
【变式10-2】某过原点的抛物线如图所示，有以下四个结论，其中正确的有（ ）个
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据开口朝向可以确定a的符号，再根据抛物线经过原点，可得，根据对称轴确定a、b的数量关系，再逐项判断即可．
【详解】解：抛物线开口朝下，即有，
抛物线经过原点，即，则，
由图可知抛物线的对称轴为：，即，
∴，
∴，即①正确；
∵，，
∴，即②错误；
∵，，
∴，即③正确；
∵，，
∴，即④错误；
即正确的有2个．
【变式10-3】如图，抛物线的对称轴是直线，则以下四个结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题围绕二次函数的图像和性质，结合开口方向、对称轴、特殊点的函数值逐一判断选项正误．
【详解】解：A选项：抛物线开口向下，对称轴，抛物线与轴交于正半轴，
，，，
，
，选项错误；
B选项：由移项得且，故，选项错误；
C选项：对称轴，
与时的函数值相等，
由抛物线图像得，当时，，
当，，选项正确；
D选项：由抛物线图像得，当，，
将代入得，化简得，选项错误．
【题型11 一次函数、二次函数综合判断】
【例11】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】观察选项可知二次函数可以从开口方向以及与轴的交点考虑，一次函数可以从直线所经过的象限考虑；如选项， 当，时，的开口向上，对称轴为轴，经过第一、三象限，此选项不符合；同理再分析其他情况即可．
【详解】解：当的开口向上，对称轴为轴时， ， ，经过第一、三象限，A选项不符合；
当的开口向上，对称轴在y轴左侧时，，，经过第一、二、三象限，B选项不符合；
当的开口向上，对称轴在轴右侧时，，，经过第一、三、四象限，C选项符合；
当的开口向上，对称轴在轴左侧时，，，经过第一、二、三象限，D选项不符合．
【变式11-1】二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题的核心是利用参数的符号同时约束二次函数和一次函数的图象特征，对各选项逐一判断即可．
【详解】A选项：二次函数图象开口向上，说明，但与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求；
B选项：二次函数图象开口向上，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求；
C选项：二次函数图象开口向下，说明，一次函数图象经过第二、三、四象限，与轴交点纵坐标为负，对应，符合要求；
D选项：二次函数图象开口向下，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为正，对应，不符合要求；
故选：C．
【变式11-2】在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据 的符号判断直线经过的象限及抛物线开口方向、对称轴位置，逐一排查选项．
【详解】解： 由二次函数 可知对称轴为直线 ．
选项A中：抛物线开口向下，
，
对称轴 ，应在 轴右侧，与图象矛盾．
选项B中：抛物线开口向上，
，
∵对称轴为直线 ，
对称轴应在 轴左侧，与图象矛盾．
选项C中： 抛物线开口向下，
，
直线 应随 增大而减小，与图象矛盾．
选项D中： 抛物线开口向上，
，
对称轴 ，且直线 随 增大而增大，与 轴交点 在负半轴，与图象相符．
故选：．
【变式11-3】在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】解：∵二次函数为，
∴顶点为，即交于y轴，且抛物线开口向上，
A、由抛物线可知，图象顶点与y轴交在负半轴，
∴
∴，
又∵，
∴直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误；
B、抛物线开口应朝上，故此选项错误；
C、由抛物线可知，图象顶点与y轴交在负半轴，
∴，
∵又∵，
∴直线图象应过一、二、三象限，故此选项正确；
D、由抛物线可知，图象顶点与y轴交在负半轴，
∴，
∵又∵，
∴直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误．
【题型12 反比例函数、二次函数综合判断】
【例12】二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】二次函数的开口方向由的符号决定，函数过原点，对称轴为；反比例函数比例系数是，位于第一、第三象限，位于第二、第四象限，结合两个函数特征逐项分析即可．
【详解】解：选项，抛物线开口向上，，反比例函数位于第二、第四象限，说明，即，二者矛盾，故选项错误；
选项，抛物线开口向下，，反比例函数位于第二、第四象限，说明，即，当时，二次函数的对称轴，应在轴右侧，图中抛物线在轴左侧，故选项错误；
选项，抛物线开口向上，，反比例函数位于第一、第三象限，说明，即，当时，二次函数的对称轴，在轴左侧，图中所表示函数图象符合所有条件，故选项正确；
选项，抛物线开口向下，，反比例函数位于第一、第三象限，说明，即，二者矛盾，故选项错误．
【变式12-1】反比例函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分和时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可．
【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，符合题意的是选项A；
当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，选项都不符合题意．
【变式12-2】已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图像判断的符号，求出与的正负，再判断正比例函数，反比例函数经过的象限，筛选选项．
【详解】解：由二次函数的图象可知，，，，
，
．
当时，，即，
正比例函数的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象位于第二、四象限．
【变式12-3】在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴位置确定、的符号，进而判断的符号，结合反比例函数的图象性质进行排除．
【详解】解：对于二次函数，当时，故图象必过原点．
A选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴右侧，即，
∵，
∴，
此时，反比例函数的图象位于第一、三象限，符合题意；
B选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴左侧，即，
∵，
∴，
此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意；
C选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴左侧，即，
∵，
∴，
此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意；
D选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴右侧，即，
∵，
∴，
此时，反比例函数图象应位于第一、三象限，不符题意．
【题型13 两个二次函数图像综合判断】
【例13】已知抛物线和，下列关于这两个抛物线的说法中不正确的是（ ）
A．这两个抛物线的开口方向不同 B．这两个抛物线的对称轴相同
C．这两个抛物线的顶点相同 D．这两个抛物线关于轴对称
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：抛物线的开口向上，抛物线的开口向下，故选项A正确；
抛物线和的对称轴均为轴，故选项B正确，两个图像的开口大小不一样，不对称，选项D错误；
抛物线和的顶点均为，故选项C正确；
故选项D符合题意．
【变式13-1】如图是三个二次函数的图象，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：取，代入三个函数表达式得：三个函数值分别为，
由图象可知：直线与三个函数图象的交点纵坐标从上到下依次为，
故
【变式13-2】下列关于二次函数（m为常数）的结论：
①该函数的图象与函数图象形状相同；
②该函数的图象一定经过点；
③当时，y随x的增大而减小；
④该函数的图象的顶点在函数的图象上，
其中所有正确的结论序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】利用二次函数顶点式的核心性质，逐一验证各结论．
【详解】解：∵二次函数与的二次项系数均为，
∴两函数图象形状相同，结论①正确；
将代入，得，
∴该函数图象一定经过点，结论②正确；
∵该抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵的值不确定，
∴当时，不一定随的增大而减小，结论③错误；
该函数的顶点坐标为，
将代入，得，
∴该函数的顶点在的图象上，结论④正确；
综上，正确结论为①②④．
【变式13-3】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象的位置关系是________．
【答案】关于x轴对称
【分析】根据二次函数的性质求解即可.
【详解】解：∵函数与，
而，
∴两个二次函数的图象形状相同，顶点都为原点，对称轴为轴，开口方向相反，
∴函数与的图象关于x轴对称.
【题型14 已知抛物线上对称的两点求对称轴】
【例14】已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．15
【答案】A
【分析】由两点纵坐标相同可知对应函数值相等，代入解析式列方程即可求解．
【详解】解：∵抛物线经过和两点，
∴，
整理得，
解得．
【变式14-1】若二次函数的图象经过点、，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】由两点横坐标互为相反数、纵坐标相同的特征，得二次函数对称轴为y轴，结合二次项系数不为0求解．
【详解】解：∵二次函数图象过点与，
∴其对称轴为直线，即对称轴为y轴，
∴，
∴，
解得或，
∴．
【变式14-2】点和都在抛物线上，且，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可得抛物线的对称轴为直线，再由 与 纵坐标相等，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵ 与 纵坐标相等，
∴，
∴．
【变式14-3】下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
m
3
2
…
下列各选项中，正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小
C．顶点坐标为 D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用表格中函数值相等的两点求出抛物线对称轴，再结合二次函数性质判断各选项．
【详解】解：由和时，
得二次函数对称轴为直线；
∵时，时，
∴ 抛物线开口向下，选项不符合题意；
∵ 抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴ 当时，随增大而增大，时随增大而减小，
∴选项不符合题意；
∵ 对称轴为直线，时，
∴ 顶点坐标为，选项不符合题意；
∵与关于直线对称，
∴ 对应函数值相等，即，选项符合题意．
【题型15 根据二次函数的对称性求函数值】
【例15】点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】根据抛物线开口向上，对称轴为直线，结合点到对称轴的距离的大小可得结论.
【详解】解：，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴点到对称轴的距离满足，
∵，
∴点到对称轴的距离满足，
∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，
∴.
【变式15-1】若点和在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】先求二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较两点到对称轴的距离判断与的大小．
【详解】解：二次函数的对称轴为.
∵ ，
∴ 抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为.
∵ ，
∴ ．
【变式15-2】如果三点、、在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上和对称轴，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线.
∴当时，随的增大而增大.
∵关于对称轴的对称点为，且，
∴，即．
【变式15-3】如图，二次函数的图象（未画出）与x轴交于，B两点，下列说法错误的是（ ）
A． B．图象的对称轴为直线
C．点B的坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】根据二次函数顶点式确定对称轴和顶点，结合图象开口方向及对称性逐一判断即可．
【详解】解：由二次函数解析式可知，图象的对称轴为直线，顶点坐标为，故选项B说法正确；
顶点在轴上方，且图象与轴交于、两点，
抛物线开口向下，即，故选项A说法正确；
抛物线对称轴为直线，点坐标为，
点与点关于直线对称，
设点坐标为，则，
解得，
点的坐标为，故选项C说法正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，m
选项D说法错误，符合题意．
【题型16 根据二次函数的对称性求最短路径】
【例16】如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，
∵，令，
即，
解得：，
∴,
令，解得，
∴，
∵点是对称轴上的一个动点，
∴，
∵
∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键．
【变式16-1】如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），给出以下结论：①；②且，则；③若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则；④的最小值是其中说法正确的有______．（填写正确结论的序号）
【答案】①③④
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等；①先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，即可判断①；根据对称性得出，即可判断②，根据二次函数的性质得出最大值为，即可判断③；取，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，即可判断④．
【详解】解：点是抛物线与轴交点，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
，
，
抛物线解析式为，
抛物线对称轴为直线，
令，则，
解得或，
点的坐标为，
∴，故①正确；
∵且，
设，则关于对称，
∴，故②错误，
∵时，函数有最大值为，
若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则纵坐标为，
∴
即，故③正确
取，连接，，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
点，关于直线对称，
，
，
当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，
，
四边形的最小值为．故④正确
故答案为：①③④．
【变式16-2】已知关于x的二次函数的图象，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)在图1中作点B关于对称轴对称的点P；
(2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点Q，使的周长最短．
【答案】(1)如图中，点P即为所求
(2)如图中，点Q即为所求
【分析】（1）根据对称性，连接交对称轴于点，连接并延长交抛物线于点即可；
（2）根据对称性，的周长为，当三点共线时，的周长最短，故连接交对称轴于点，即可.
【详解】（1）略
（2）略
【变式16-3】如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，，最小值为．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．
本题中，点与点关于抛物线的对称轴对称，根据“两点之间，线段最短”可知，抛物线的对称轴与直线的交点就是的值最小时点的位置，先求出直线的解析式，再求出点的坐标．
【详解】假设存在点，使得的值最小．
∵点与点关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图，
∵，
∴．
令，则，解得，，∴，，
令可得，，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为：，
又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式，
得到：，
∴，
又∵，
∴，
即的最小值为．
【题型17 二次函数图像的平移】
【例17】将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则所得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：抛物线向右平移2个单位长度，得，再向上平移3个单位长度，得．
【变式17-1】把抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：将向左平移2个单位，得，
再向下平移1个单位，得，
展开整理得．
【变式17-2】将某抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到新抛物线，则原抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用抛物线平移的可逆性，将新抛物线反向平移即可求得原抛物线解析式．
【详解】解：原抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得，
将向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度可得原抛物线，
向右平移3个单位长度后解析式为，
再向上平移2个单位长度后解析式为．
【变式17-3】如图，已知正方形中，，，，，有一抛物线向上平移个单位（）与正方形的边（包括四个顶点）有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先得出平移后的解析式，分别将正方形的临界顶点坐标代入求出的值，从而确定取值范围．
【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，设平移后的解析式为，
当抛物线经过点时，取得最小值，即，
解得；
当抛物线经过点时，取得最大值，即，
解得；
的取值范围是．
【题型18 待定系数法求二次函数解析式】
【例18】如图，已知抛物线经过点，，与轴交于点，为上的一个动点，有以下结论：
①抛物线的对称轴为直线；
②函数的最大值为；
③；
④的最小值为．
正确的结论为（ ）
A．①②④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】①由抛物线经过点，，可得对称轴；②用待定系数法求出抛物线的函数关系式，再求其最大值即可；③求出，和，由勾股逆定理即可得到是直角；④当时，取最小值，根据等面积法求得即可．
【详解】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线对称轴为直线，故①正确；
设抛物线关系式为：，
∵抛物线与轴交于点，
∴，
∴，
∴抛物线关系式为：，
∵，
∴抛物线开口向下，当时，有最大值，故②错误．
∵，，，
∴，，，
∵，
∴是直角三角形，且，故③正确；
当时，取最小值，
此时根据三角形的面积可得，
∴，
解得：，
∴的最小值为，故④正确；
故正确的有：①③④．
【变式18-1】在空气，水分，温度，养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．当时，随的增大而减小 B．当时，
C．当时，有最大值 D．当时，
【答案】C
【分析】利用抛物线上纵坐标相同的两个点找对称轴，对称轴处就是二次函数的最大值点，再逐一判断每个选项的因果描述是否符合图像．
【详解】
A：是二次函数部分，图像先升后降，随的增大先增大后减小，A错误；
B：，时回到，不是，B错误；
C：由图可知，、，对称轴时，有最大值，C正确；
D：在一次函数段和二次函数段都存在，所以结果必有两个，D错误．
【变式18-2】已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表，
x
……
0
3
5
……
y
……
0
……
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当时，的值随的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断即可．
【详解】解：将代入，得．
将，代入解析式，得．
解得．
∴二次函数解析式为．
∵，
∴图象开口向下，A错误．
图象的对称轴是直线，D正确．
∵开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，B错误．
∵抛物线顶点坐标为，开口向下，与轴交于和，
∴当时，，图象经过第一、三、四象限，C错误．
【变式18-3】已知二次函数的图象经过，两点，则该二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：将，代入，
得，解得，
∴该二次函数的解析式为．
【探究式学习】
1．同学们，你们还记得“上*下*，左*右*”这个口诀吗？这个口诀描述的是函数图象平移时解析式的变化规律，此口诀适用于任意函数．
(1)把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线_______________．
(2)请利用所学完成以下探究：
（I）请借助下表，在图1所给的平面直角坐标系中画出函数的图象．
x
…
0
1
2
3
…
…
3
2
1
0
1
2
3
…
（II）请在图2所给的平面直角坐标系中画出函数的图象（无需列表），并结合图象解答下列问题．
①若恒成立，则a的取值范围是________；
②若，则x的取值范围是________；
③我们知道，对于二次函数：当时，y随x的增大而减小，这时我们说：“当时，函数单调递减”；
当时，y随x的增大而增大，这时我们说：“当时，函数单调递增”．
现给出“当时，函数单调递增”的证明：
证明：设点、在函数的图象上，且，则：
∵，
∴，，
∴，
∴，
即当时，，
∴当时，函数单调递增．
请证明：函数，当时，单调递减．
【答案】(1)
(2)（Ⅰ）画图如下，
（Ⅱ）画图如下，
①；②或；
③证明：当时，，
∴，
∴，
设点、在该段函数图象上，且，则：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当时，，
∴当时，函数单调递减．
【分析】（1）利用二次函数平移口诀“左加右减，上加下减”直接写出平移后的解析式即可；
（2）（Ⅰ）根据表格里给出的，对应坐标，在坐标系描点，再用直线依次连接即可画出的图象；（Ⅱ）将函数向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到，据此画出函数图象即可；①即函数中函数值，观察图象找到函数最小值，只要a小于等于该最小值，不等式恒成立；②在图象上确定y在0到2之间对应的x的取值，直接读出x取值范围；③先根据判断，去掉绝对值符号，化简函数表达式；仿照题目示例，设取值内两个自变量，作差，判断差的正负，比较，大小，证明随着x增大，y减小，即可完成单调递减证明．
【详解】（1）略
（2）解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）①即函数中函数值，如图，
由函数图象可知，的最低点纵坐标为，即函数最小值是，
要使恒成立，则a不能超过这个最小值，
∴；
②即函数中函数值满足，如图，
由函数图象可知，当时，或，
∴若，则x的取值范围是或；
③略
2．如图，二次函数图像的对称轴为直线，其图象过点与x轴交于另一点B，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式，写出顶点坐标；
(2)动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿的，边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接，将沿翻折，若点B恰好落在抛物线上的处，试求t的值及点的坐标；
(3)在（2）的条件下，Q为的中点，试探究x轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，试说明理由．
【答案】(1)，
(2)，
(3)存在，点坐标为，．
【分析】（1）由抛物线对称轴为，并过点，可求出、，从而求出抛物线解析式和顶点坐标．
（2）由A，B，C坐标可得出，再由，推出是正三角形，翻折后，推出，从而得到，把代入即可求解．
（3）分情况讨论点在轴的存在性．
【详解】（1）解：由题意得，
解得．
二次函数的解析式为．
配方得，
顶点坐标为．
（2）解：如图，
由题意知，
令，得
，
解得，
点坐标为，
令，得，
∴点坐标为，
在中，，，
则,
，
又，
是正三角形．
∵动点，从出发，速度为每秒2个单位长度，
，
点在上，坐标为，
点在上，由几何关系可知的坐标为，即．
将沿翻折后，点是关于的对称点，
∴，，
∴，
∴,
的纵坐标与相同，为，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，
．
点在抛物线上，
，
化简，得，
，
．
时，，，
．
（3）解：由（2）的结论可知，在中，，
当时，为的中点，为的中点，
∵，，
∴
在中，，
是直角三角形，， ，．
当在轴上时，过作交轴于点．
，
．
．
解得，
∴，则；
过作轴于，
，，
．
，解得，
∴，则；
在轴的其它位置时，不可能为直角三角形，不可能与相似；
综上所述：轴上存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，点坐标为，．
【课后检测】
1．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为
C．当时，随的增大而增大 D．抛物线与轴没有交点
【答案】C
【分析】根据二次项系数为可判断A；根据顶点式得到顶点坐标可判断B；根据对称轴可得增减性，可判断C；将代入表达式得到，可判断D．
【详解】解：A、∵的二次项系数为
∴抛物线的开口向上，故A错误；
B、抛物线的顶点坐标为，故B错误；
C、∵对称轴为直线，抛物线的开口向上，
∴当时，随的增大而增大，故C正确；
D、当时，
∴抛物线与轴交于点，故D错误．
2．将二次函数的图象向右平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：将二次函数的图象向右平移1个单位长度，得．
3．下列抛物线中，对称轴为直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、的对称轴为直线，故A选项符合题意；
B、C中与的对称轴均为直线，故B、C选项不符合题意；
D 的对称轴为直线，故D选项不符合题意；
故选：A．
4．抛物线不具有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是轴
C．顶点坐标为 D．函数有最小值
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为，属于型，且，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，无最小值，对称轴是轴，顶点坐标为，
故D符合题意．
5．下列抛物线中，抛物线的开口最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】抛物线开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越大，开口越小．
【详解】解：各选项二次项系数的绝对值分别为，，，，
∵ ，
∴ 抛物线的开口最小．
6．已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过直接计算各点的函数值，再比较大小即可．
【详解】解：将代入，得，
将代入，得，
将代入，得，
∵，
．
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别，熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质是解题关键．根据图像分别判断二次函数解析式中的符合以及一次函数解析式中的符号，判断是否一致，即可获得答案．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意．
8．二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据二次函数的开口方向与对称轴，判断区间内最小值对应的自变量取值，代入解析式求解．
【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴在范围内，离对称轴越远的点函数值越小，
∵，
∴当时，取最小值，代入得
，
解得．
9．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：将、、分别代入，得，，，
∵，
∴.
10．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、二次函数开口向上，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、二、三象限，则，；b矛盾，故选项A不符合题意；
B、二次函数开口向上，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、三、四象限，则，；故选项B符合题意；
C、二次函数开口向下，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、二、三象限，则，；a矛盾，故选项C不符合题意；
D、二次函数开口向下，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、三、四象限，则，；a矛盾，故选项D不符合题意．
11．已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：；；．其中正确的有______．（填序号）
【答案】
【分析】根据时的函数值判断的符号，从而判断；根据抛物线开口方向确定的符号，对称轴位置确定的符号，从而判断；根据与轴交点确定的符号，从而判断．
【详解】解：∵当时，图象在轴下方，
∴，即，故结论正确；
∵抛物线对称轴在轴左侧，
∴，
由图象可知，抛物线开口向下，
∴，
∴，故结论错误；
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
∴，故结论正确；
综上所述，正确的结论是．
12．已知抛物线，当时，函数的最大值为____________．
【答案】
【分析】将二次函数配方为顶点式，结合开口方向与给定的自变量取值范围，比较区间端点的函数值即可得到最大值
【详解】解：∵，
∴二次项系数为，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处取得函数最小值，
∵自变量取值范围为，
∴计算区间端点的函数值：
当时，，
当时，，
∴该区间内函数的最大值为．
13．已知点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是____________________．（用“<”连接）
【答案】
【分析】将两点的横坐标代入二次函数解析式，计算得到对应函数值，比较大小即可．
【详解】解：将代入二次函数，得：
，
将代入二次函数，得：
，
两个函数值表达式中常数相同，且，
，即．
14．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有________（填序号）
①；②；③；④当时，．
【答案】
①②③
【分析】二次函数图象开口向下，，函数有最大值；与y轴交于正半轴，；二次函数图象具有对称性，对称轴为；逐个分析判断即可．
【详解】解：由图象可知：，，，
，
，故①正确；
，
，故②正确；
当时，取最大值，
当时，，
，故③正确；
1到的距离为2，到的距离为2，根据二次函数图象的对称性可知，时，，
当时，，故④错误．
15．已知抛物线经过和两点，则的值为________．
【答案】
【分析】抛物线上纵坐标相等的两点关于抛物线的对称轴对称，可先计算对称轴位置，再结合抛物线对称轴公式建立等式求解参数．
【详解】解：∵ 点和在抛物线上，且两点纵坐标相等，
∴ 对称轴为直线，
对于抛物线，其对称轴为直线，
∴，解得．
16．已知二次函数的图象经过点．
(1)求a的值；
(2)若点在该函数的图象上，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入求解即可；
（2）得到，然后将代入即可求解．
【详解】（1）解：将代入得，
∴；
（2）解：∵
∴
将代入得，．
17．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，点的坐标为．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)连接，求直线对应的函数表达式；
(3)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，并求出的最小值及点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)最小值为，．
【分析】（1）把点代入抛物线解析式，求出参数的值，即可得到抛物线的函数表达式．
（2）先求出点坐标，结合得到点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式．
（3）利用抛物线的对称性，点、关于对称轴对称，连接，与对称轴的交点即为点，此时最小，先求出对称轴，联立对称轴与直线解析式求出点坐标，再用勾股定理求出长度，也就是的最小值．
【详解】（1）解：在抛物线上，
，
解得，
抛物线解析式为．
（2）解：在中，令，得，
，
，
，
，
由图像知在轴负半轴，
，
设直线解析式为，
，
把代入，
，
，
直线解析式为．
（3）解：如图，连接、、，
，
对称轴直线：，
点关于对称轴对称，
，
，
当三点共线时，最小，最小值为，
，
，
把代入，
，
，
最小值为，点．
18．已知筝形的对角线，的长度为整数值，且满足 设的长为，四边形的面积为，试求为多少时，有最大值，并求出的最大值
【答案】当时，面积取最大值为
【分析】设，则，根据题意列出面积S与x的函数关系式，化为顶点式即可求解．
【详解】解：设，则
根据题意得：筝形面积
当时，均为整数，面积取最大值．
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简一数理 初中专题讲义
专题25.2 二次函数的图像和性质
（新教材华东师大版）
知识点一、二次函数的图像与性质 2
知识点二、二次函数的图象变换 3
知识点三、二次函数与各项系数之间的关系 4
【题型1 的图像和性质】 5
【题型2 的图像和性质】 5
【题型3 的图像和性质】 6
【题型4 的图像和性质】 6
【题型5 把化为顶点式】 7
【题型6 画的图像】 8
【题型7 的图像和性质】 10
【题型8 的最值】 11
【题型9 二次函数图像与各项系数符号的关系】 12
【题型10 根据二次函数图像判断式子符号】 13
【题型11 一次函数、二次函数综合判断】 14
【题型12 反比例函数、二次函数综合判断】 15
【题型13 两个二次函数图像综合判断】 17
【题型14 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 17
【题型15 根据二次函数的对称性求函数值】 18
【题型16 根据二次函数的对称性求最短路径】 19
【题型17 二次函数图像的平移】 21
【题型18 待定系数法求二次函数解析式】 21
【探究式学习】 23
【课后检测】 26
【复盘笔记】 30
知识点一、二次函数的图像与性质
图像特征
二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式
图像
a>0
a<0
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h
x=
顶点坐标
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)
(，)
最值
a>0
开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；
a<0
开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
【小结】二次函数最小值(或最大值)为顶点式中的k或一般式中的..
增
减
性
a>0
在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
a<0
在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
易错
抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围.
知识点二、二次函数的图象变换
1）二次函数的平移变换
平移方式（n＞0)
一般式y=ax2+bx+c
顶点式y＝a(x–h) 2＋k
平移口诀
向左平移n个单位
y=a(x+n)2+b(x+n)+c
y=a(x-h+n) 2+k
左加
向右平移n个单位
y=a(x-n)2+b(x-n)+c
y=a(x-h-n)2+k
右减
向上平移n个单位
y=ax2+bx+c+n
y=a(x-h)2+k+n
上加
向下平移n个单位
y=ax2+bx+c-n
y=a(x-h)2+k-n
下减
补充：
① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.
② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位.
③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.
④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同.
⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，仅改变对称轴的位置，不改变函数的增减性规律，仅增减区间的位置随对称轴平移。
2）二次函数图象的对称变换
变换方式
变换后
口诀
关于x轴对称
x不变，y变-y
关于y轴对称
y不变，x变-x
关于原点对称
x变-x，y变-y
知识点三、二次函数与各项系数之间的关系
① 二次函数的图像与a，b，c的关系
字母
字母的符号
图像特征
备注
a
a>0
开口向上
a的正负决定开口方向，
a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)．
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴是y轴，即=0
左同右异中间0
a，b同号
对称轴在y轴左侧，即
a，b异号
对称轴在y轴右侧，即
c
c=0
图像过原点
c决定了抛物线与y轴交点的位置．
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
与x轴有两个交点
的正负决定抛物线与x轴交点个数
与x轴有唯一交点
与x轴没有交点
【补充】
1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同；
2）由a的符号与对称轴x=的位置共同确定b的符号；
【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负.
【题型1 的图像和性质】
【例1】若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】对于二次函数和，有以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是轴；③当时，都是随着的增大而增大；④它们的开口大小都是一样的．其中，正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（ ）
A．16 B．8 C．14 D．9
【变式1-3】若是关于x的二次函数，且开口向上，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．0
【题型2 的图像和性质】
【例2】已知函数图象经过点，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】下列函数中，当时，随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 的图像和性质】
【例3】若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】关于二次函数，以下说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线
B．顶点坐标是
C．可以由抛物线向右平移2个单位长度得到
D．当时，y随x的增大而增大．
【变式3-2】，，是抛物线上三点，，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】下列函数中，当时，随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 的图像和性质】
【例4】已知二次函数，当时，该函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是
C．方程有两个不相等的实数根 D．当时，随增大而减小
【变式4-2】已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】已知抛物线经过三点，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【题型5 把化为顶点式】
【例5】抛物线向右平移2个单位长度后，与y轴相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】如下是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（ ）
解：
……①
……②
∴抛物线的顶点坐标为……③
A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错
C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错
【变式5-2】已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【题型6 画的图像】
【例6】如图是一张千斤顶的实物图，图2为其示意图，四边形是菱形，边长固定不变，可通过调节的长度改变千斤顶的高度．设的长度为，千斤顶的高为，与之间的函数关系如图3所示，下列结论错误的是（ ）
A．菱形的边长为
B．自变量的取值范围为
C．与之间的函数图象是抛物线的一部分
D．的最小值为
【变式6-1】已知二次函数．
(1)填写表格，并在所给的平面直角坐标系中描点，画出该函数图象；
…
0
1
2
3
…
…
5
0
…
(2)将抛物线如何平移可得到抛物线？
【变式6-2】已知二次函数．并回答以下问题：
(1)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
(2)当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围；
【变式6-3】已知，二次函数的y与x的部分对应值如下表．根据题意完成下列问题：
x
0
1
m
3
y
0
1
0
注：．
(1)________；
(2)根据上表描点画出函数图象；
(3)请直接写出该函数图象的顶点坐标是________；
(4)结合图象，请直接写出，当时，y的取值范围是________．
【题型7 的图像和性质】
【例7】已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】若二次函数的图象经过点、和，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】已知是抛物线上的点，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
【变式7-3】已知抛物线与轴交于点，，其中，抛物线与轴交于点，，其中，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【题型8 的最值】
【例8】已知二次函数（，为常数）．当时，的最大值为7；当时，的最大值为3，则的值为（）
A． B． C． D．
【变式8-1】二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，则下列说法正确的是（ ）
x
…
…
y
…
10
4
0
0
…
A．抛物线开口向下 B．函数最小值是
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大
【变式8-2】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④；⑤．其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④
【变式8-3】如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的是（）
A．
B．
C．对任意实数t，总成立
D．若点，在抛物线上，，则
【题型9 二次函数图像与各项系数符号的关系】
【例9】如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，在图象上，则
【变式9-1】如图是二次函数的图象，则，的值可能为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式9-2】如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（）
A．
B．
C．当时，随的增大而减小
D．当时，
【变式9-3】二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题型10 根据二次函数图像判断式子符号】
【例10】如图是二次函数(a，b是常数)的图象，则关于反比例函数的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限 D．图象在第一、三象限
【变式10-1】已知抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点在x轴下方，且与y轴交于正半轴．下列结论：①；②；③若点和都在抛物线上，则；④当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式10-2】某过原点的抛物线如图所示，有以下四个结论，其中正确的有（ ）个
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式10-3】如图，抛物线的对称轴是直线，则以下四个结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型11 一次函数、二次函数综合判断】
【例11】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式11-1】二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式11-3】在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【题型12 反比例函数、二次函数综合判断】
【例12】二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】反比例函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-3】在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题型13 两个二次函数图像综合判断】
【例13】已知抛物线和，下列关于这两个抛物线的说法中不正确的是（ ）
A．这两个抛物线的开口方向不同 B．这两个抛物线的对称轴相同
C．这两个抛物线的顶点相同 D．这两个抛物线关于轴对称
【变式13-1】如图是三个二次函数的图象，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式13-2】下列关于二次函数（m为常数）的结论：
①该函数的图象与函数图象形状相同；
②该函数的图象一定经过点；
③当时，y随x的增大而减小；
④该函数的图象的顶点在函数的图象上，
其中所有正确的结论序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【变式13-3】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象的位置关系是________．
【题型14 已知抛物线上对称的两点求对称轴】
【例14】已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．15
【变式14-1】若二次函数的图象经过点、，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【变式14-2】点和都在抛物线上，且，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【变式14-3】下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
m
3
2
…
下列各选项中，正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小
C．顶点坐标为 D．
【题型15 根据二次函数的对称性求函数值】
【例15】点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式15-1】若点和在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式15-2】如果三点、、在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式15-3】如图，二次函数的图象（未画出）与x轴交于，B两点，下列说法错误的是（ ）
A． B．图象的对称轴为直线
C．点B的坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
【题型16 根据二次函数的对称性求最短路径】
【例16】如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式16-1】如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），给出以下结论：①；②且，则；③若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则；④的最小值是其中说法正确的有______．（填写正确结论的序号）
【变式16-2】已知关于x的二次函数的图象，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)在图1中作点B关于对称轴对称的点P；
(2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点Q，使的周长最短．
【变式16-3】如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由．
【题型17 二次函数图像的平移】
【例17】将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则所得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-1】把抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-2】将某抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到新抛物线，则原抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-3】如图，已知正方形中，，，，，有一抛物线向上平移个单位（）与正方形的边（包括四个顶点）有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型18 待定系数法求二次函数解析式】
【例18】如图，已知抛物线经过点，，与轴交于点，为上的一个动点，有以下结论：
①抛物线的对称轴为直线；
②函数的最大值为；
③；
④的最小值为．
正确的结论为（ ）
A．①②④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【变式18-1】在空气，水分，温度，养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．当时，随的增大而减小 B．当时，
C．当时，有最大值 D．当时，
【变式18-2】已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表，
x
……
0
3
5
……
y
……
0
……
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当时，的值随的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线
【变式18-3】已知二次函数的图象经过，两点，则该二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【探究式学习】
1．同学们，你们还记得“上*下*，左*右*”这个口诀吗？这个口诀描述的是函数图象平移时解析式的变化规律，此口诀适用于任意函数．
(1)把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线_______________．
(2)请利用所学完成以下探究：
（I）请借助下表，在图1所给的平面直角坐标系中画出函数的图象．
x
…
0
1
2
3
…
…
3
2
1
0
1
2
3
…
（II）请在图2所给的平面直角坐标系中画出函数的图象（无需列表），并结合图象解答下列问题．
①若恒成立，则a的取值范围是________；
②若，则x的取值范围是________；
③我们知道，对于二次函数：当时，y随x的增大而减小，这时我们说：“当时，函数单调递减”；
当时，y随x的增大而增大，这时我们说：“当时，函数单调递增”．
现给出“当时，函数单调递增”的证明：
证明：设点、在函数的图象上，且，则：
∵，
∴，，
∴，
∴，
即当时，，
∴当时，函数单调递增．
请证明：函数，当时，单调递减．
2．如图，二次函数图像的对称轴为直线，其图象过点与x轴交于另一点B，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式，写出顶点坐标；
(2)动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿的，边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接，将沿翻折，若点B恰好落在抛物线上的处，试求t的值及点的坐标；
(3)在（2）的条件下，Q为的中点，试探究x轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，试说明理由．
【课后检测】
1．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为
C．当时，随的增大而增大 D．抛物线与轴没有交点
2．将二次函数的图象向右平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列抛物线中，对称轴为直线的是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线不具有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是轴
C．顶点坐标为 D．函数有最小值
5．下列抛物线中，抛物线的开口最小的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（ ）
A． B． C． D．2
9．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：；；．其中正确的有______．（填序号）
12．已知抛物线，当时，函数的最大值为____________．
13．已知点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是____________________．（用“<”连接）
14．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有________（填序号）
①；②；③；④当时，．
15．已知抛物线经过和两点，则的值为________．
16．已知二次函数的图象经过点．
(1)求a的值；
(2)若点在该函数的图象上，求m的值．
17．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，点的坐标为．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)连接，求直线对应的函数表达式；
(3)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，并求出的最小值及点的坐标．
18．已知筝形的对角线，的长度为整数值，且满足 设的长为，四边形的面积为，试求为多少时，有最大值，并求出的最大值
【复盘笔记】
“化繁为简，一通百通”
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