专题25.3 实际与探索（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级下册

专题25.3 实际与探索 教学目标 1.能根据实际问题中的等量关系列出二次函数关系式。 2.会用配方法或公式法求二次函数的最值，解决实际问题。 3.掌握建立坐标系解决抛物线形实际问题的方法。 4.体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型，培养建模与应用能力。 教学重难点 1.重点 （1）根据实际问题列二次函数关系式 （2）求二次函数的最值并解决实际问题 （3）抛物线形实际问题的建模 2.难点 （1）正确分析实际问题中的等量关系 （2）确定自变量的实际取值范围 （3）抛物线形问题中建立合适的坐标系 知识点01：二次函数实际问题的常见类型 类型 背景 建模要点 销售问题 售价、销量、利润 利润＝ ，设售价（降价）为自变量 拱桥、隧道、拱门 抛物线形桥梁、隧道、门洞 喷水、投球、跳跃 抛物线形轨迹 设落点、轨迹为抛物线，由顶点、经过点求解析式 行程问题 运动时间、距离 由速度、时间关系列二次函数，求最大距离或最值 增长率问题 连续增长（降低） 模型 ，求最大值或比较 图形面积、动点 几何图形、动态点 用边长、线段表示面积或长度，列二次函数求最值 【即学即练】 1．一位运动员掷出铅球，铅球离地高度（单位：米）关于水平距离（单位：米）的函数表达式为，此运动员这一掷的成绩是（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 知识点02：利用二次函数解决抛物线形实际问题 1.建立平面直角坐标系：以抛物线的对称轴为y轴、顶点为原点（或其他适当位置）建立坐标系，使抛物线解析式尽量简单。 2.设解析式：根据顶点坐标设顶点式 ，或根据与x轴交点设交点式，再代入已知点求系数。 3.求关键量：由解析式求最高点（顶点）、与坐标轴交点对应的宽度、高度等，解决实际问题。 【即学即练】 1．如图，在体育测试中，小明掷出的实心球的飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系可以近似地看成抛物线，则小明本次投掷实心球的成绩为（     ） A．8米 B．9米 C．10米 D．12米 知识点03：利用二次函数解决利润与几何面积最值 1.利润问题：用" "列式，求售价（或降价）取何值时利润最大。 2.面积问题：用几何公式（矩形、三角形、圆等）列面积关于边长的二次函数，求最大面积及对应边长。 3.注意：结果须在自变量的实际取值范围内，且符合题意（如边长、售价为正等）。 【即学即练】 1．某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． (1)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ (2)若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价多少元？ 题型01 增长率问题 按连续增长（降低）模型列式，求最值或解方程。 【典例1】. （26-27九年级上·福建福州·阶段检测）某工厂一月份生产汽车200辆，为满足市场需求，计划在二、三月份连续提高产量，若二、三月份的增产率均为，三月份的产量为，则与的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·天津·阶段检测）某商品价格是元，准备进行两次降价，若每次降价百分率都是，两次降价后价格（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则与之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27九年级上·全国·课后作业）某市为打造“绿色城市”，积极投入资金实施园林绿化工程．已知去年投入资金1500万元，计划从今年起，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x．写出明年将投入的资金量y（单位：万元）关于每年增加的百分率x的函数解析式． 【变式3】. （26-27九年级上·山东济南·阶段检测）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 题型02 销售利润问题 用"每件利润×销售量＝总利润"列二次函数，求售价（降价）取何值时利润最大。 【典例2】. （26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，商品单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，商场每天销售这种商品的利润是y元． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)每件商品降价多少元时，商场每天销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 【变式1】. （26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出212件，如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖8件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． (1)当售价为55元时，月销售利润是________元； (2)求关于的函数解析式，每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月销售利润是多少？ (3)每件商品的售价定为____时，每个月的利润为3360元． 【变式2】. （25-26九年级上·云南德宏·期末）云南的德昂族酸茶非常独特且极具代表性，它已在2022年作为“中国传统制茶技艺及其相关习俗”的重要组成部分被列入人类非物质文化遗产．某商家利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件30元的德昂酸茶，若销售单价为36元，则每天可卖出88件，为提高利润，欲对该德昂酸茶进行涨价销售，经调查发现：每涨价1元，每天要少卖出2件，按单价不低于成本价，且不高于60元销售． (1)求该德昂酸茶每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)销售单价定为多少元时，才能使商家销售该德昂酸茶每天获得的利润（元）最大，最大利润是多少元？ 【变式3】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）某商店销售一种进价为50元的商品，当售价为80元时，每天可售出20件．市场调查显示，售价每降低1元，每天销量就增加2件．设售价降低x元（），每天的利润为y元． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)当售价降低多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 题型03 图形面积最值问题 用几何面积公式列面积关于边长的二次函数，求最大面积及对应边长，注意边长取值。 【典例3】. （26-27九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）矩形花园一面靠墙，另外三面用长为的铁丝围成，如果要使花园的面积最大，则这个花园的最大面积是______． 【变式1】. （26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）琪琪在装裱店装了一幅周长为米的矩形油画，装裱费为每平方米元． (1)若该油画的装裱费为元，求该矩形油画的宽； (2)求该油画装裱费的最高值． 【变式2】. （26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，有长为米的篱笆，一面利用院墙围成一个外形为矩形的花园，花园中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的最大长度为米，院墙的一边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数解析式； (2)能围成面积比平方米更大的花园吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【变式3】. （26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，要修建一个中间设有一道隔墙的矩形菜园，菜园一边靠墙，墙长18米，菜园另三边和中间隔墙共用33米长的篱笆搭建．为方便进出，在下方两个小矩形的边上各预留一个1.5米宽的门，门的位置不使用篱笆，设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示________，求面积S与x的函数关系式； (2)求当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 题型04 拱桥、拱门问题 建立适当坐标系，设顶点式或交点式求抛物线解析式，由解析式求高度、宽度等。 【典例4】. （26-27九年级上·广西南宁·期中）如图是抛物线形拱桥的示意图，桥拱在水面的跨度约为20米，以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线解析式是，则桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为______米． 【变式1】. （26-27九年级上·天津河东·阶段检测）赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少，有下列结论： 水面宽度； 拱桥的最大高度是； 若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条； 其中，正确结论是______．（填序号） 【变式2】. （26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图所示，二次函数的顶点坐标为，矩形的顶点B，C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A在点D的左侧． (1)求二次函数的解析式； (2)设点A的坐标为，试求矩形的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； (3)是否存在这样的矩形，使它的周长为9？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由． 【变式3】. （26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为米，拱顶距水面米．拱桥的截面如图，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是米．为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于．设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点坐标为，如果能且最多只能悬挂个灯笼，的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型05 隧道问题 由隧道截面为抛物线形，建立坐标系求解析式，判断车辆、物体能否通过（比较高度、宽度）。 【典例5】. （26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，某隧道口的横截面是抛物线一部分，已知单行车道路宽为3米，最高点离地面的距离为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该部分抛物线的函数解析式，并写出的取值范围； (2)有一辆宽2.4米，高3.1米（货物最高处与地面AB的距离）的货车能否通过此隧道? 【变式1】. （2026·陕西西安·三模）如图1是某海洋馆时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作由抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小晨以为原点，建立如图2的平面直角坐标系．抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)为保障观赏效果，工人师傅搭建一木板对玻璃隧道进行清洁，与的夹角为，已知工人师傅（身高忽略不计，视为点）能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度2.3米处．若工人师傅从点沿木板向上走4米到达点处，他能刷到正上方的玻璃隧道吗？请通过计算说明． 【变式2】. （2026·陕西西安·二模）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． (1)求抛物线的函数表达式； (2)一辆货运汽车载一个长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【变式3】. （2026·广西南宁·一模）【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 题型06 喷水问题 把喷水轨迹看作抛物线，由顶点与经过点求解析式，求落点距离、最高点等。 【典例6】. （26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）某市周末夜晚的音乐喷泉表演吸引了大量市民前往观赏．如图，以喷头所在处为原点、水平方向为轴建立平面直角坐标系，水柱的竖直高度（米）与水柱离喷头的水平距离（米）满足． (1)水柱的最大高度是多少米？ (2)水柱落地点到喷头的水平距离是多少米？ 【变式1】. （2026·甘肃平凉·模拟预测）景区喷泉水柱如图建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 【变式2】. （2026·辽宁铁岭·二模）根据以下素材，探索完成任务． 修改设计方案使喷泉造型更加美观 素材1 某公司办公楼前欲设计一个圆形喷水池，最初的设计方案如图1所示，在喷水池的中心O处竖直安装一个喷水管，P处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线落下，喷出水流的运动路线可以看作抛物线的一部分． 素材2 如图2，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，测得高度为3米的P处有一个喷水孔．为使喷泉造型更加美观，对方案进行修改：使图1中喷泉喷出水流形成以为对称轴的两个对称的抛物线．当喷出的水流最高为4米时，水流与的水平距离为2米． 问题解决： (1)任务1：求y轴右侧抛物线的表达式． (2)任务2：安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线形水流移动时，保持对称轴及形状不变），当水管的高度增加米时，水流离喷水池中心O的最远水平距离为多少米？ 【变式3】. （2026·河北保定·模拟预测）某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图1），喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方处．喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内，以水池中心O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上）．经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为，之后落回水面上的C点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求音乐喷泉水池的半径的长； (3)公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为时，视觉效果最好． ①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点的坐标为，请求出n与m的函数关系式； ②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比．原方案的最高点高度为，新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同．请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍？ 题型07 投球、跳跃问题 把运动轨迹看作抛物线，由起落点、最高点设解析式，求飞行距离、最高高度等。 【典例7】. （26-27九年级上·四川南充·阶段检测）掷实心球是南充中考体育考试体能选测项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化．明明利用摄影系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 竖直高度 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是_________米，实心球在空中的最大高度是_________米； (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 【变式1】. （26-27九年级上·北京西城·阶段检测）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． 已知，九年级一名男生进行了两次训练． (1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 5 6 7 9 竖直高度y/m 2 5 根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的二次函数关系； (2)第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为，第二次训练实心球落地的水平距离为，则______（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【变式2】. （26-27九年级上·江西新余·阶段检测）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球方式的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． (1)在图2所建的平面直角坐标系中，求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 (2)网前吊球的落点到球网的距离_____m； (3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙在能接到球的情况下拍面距离球网的最大水平距离． 【变式3】. （2025·河南郑州·一模）跳 台滑雪是 一 项极具挑战性和观赏性的运动项目，被 形容为“勇敢者的游戏” ．跳台滑雪的技术动作包括助滑、起跳、空中飞行和着陆，要求运动员在高速下落 的过程中完成一系列高难度动作，展现出优美的姿态和极佳的平衡能力，其中在空中飞行过程呈现优美 的抛物线形．如图 ，为着陆坡，为跳台，且点D为起跳点，点B为运动员空中飞行后的着陆点（点A，B，C，D 在同一竖直平面内，且点C，D在同一竖直方向上） ． 以点A 所在的水平线为x轴 ， 所 在 的 直 线 为y轴，建立平面直角坐标系（1个单位长度为1m），已 知 点B到跳台的水平距离为．起跳后在距跳台水平距离15m处达到最大高度58.5 m． (1)求此运动员空中飞行路线所在抛物线的表达式． (2)求在空中飞行时，运动员到着陆坡的最大竖直距离． 题型08 图表（图象）信息问题 从图象或表格中读取点的坐标、变化规律，代入求二次函数解析式，再求解。 【典例8】. （26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）为了探究某飞机某次着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间的关系，测得几组数据如表： 滑行时间 滑行距离 (1)根据上述数据，在平面直角坐标系中描出表格中对应的点，并判断此次滑行的距离与滑行时间满足的是________函数关系（填“一次”或“二次”）； (2)求与的函数关系式； (3)飞机着陆后滑行________能停下来，此时滑行的距离是________． 【变式1】. （26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，（单位：克）． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x（分钟） 0 5 … （克） 7 … （克） 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，，并用光滑曲线连接，大致画出函数，的图像； (2)进一步探究发现，场景A的图像是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图像是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式； (3)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克，有效时间越长，且在同一时刻剩余质量越高，效果越好，在上述实验中，比较该化学试剂在两种场景下，哪种效果更好，并说明理由． 【变式2】. （26-27九年级上·广东广州·阶段检测）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下部分数据： x/米 0 0.2 0.4 0.6 1 1.4 1.6 1.8 … y/米 0.24 0.33 0.4 0.45 0.49 0.45 0.4 0.33 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)①试根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映乒乓球与桌面的高度和与端点A的水平距离的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； ②求出当乒乓球落在桌面时，其落点与端点A的水平距离是多少米？ (3)当乒乓球落在桌面上弹起后，已知y与x之间满足．且球网高度为米，球桌长米．乒乓球弹起后，是否有机会在某个击球点可以将球沿直线扣杀到端点A？请说明理由． 【变式3】. （26-27九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小石站在距篮圈中心水平距离处的点练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是（单位：）时，球心距离地面的竖直高度是（单位：）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： (1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 竖直高度 ①由表中数据可知，小张第一次练习投篮的出手高度是______，球运行过程中的最高高度是______． ②结合表中数据，求与满足的函数解析式； ③小石第一次投篮练习能否投进，请说明理由； (2)第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次最高点的正上方．如果小石在进行第二次训练时，在他正前方米处的教练准备起跳拦截，教练起跳后伸直手臂手尖离地的最大高度是米，那么教练能否成功拦截小石这次投篮？请说明理由．（篮球半径忽略不计） 题型09 动点问题 设动点运动时间为t（或坐标），用线段长表示面积、长度等量，列二次函数求最值，注意取值范围。 【典例9】. （26-27九年级上·山东德州·阶段检测）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合），如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式；写出自变量x的取值范围； (2)当四边形的面积等于时，求x的值． 【变式1】. （26-27九年级上·内蒙古兴安·阶段检测）如图，在矩形中，，点从点出发，沿边向点以/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点以/秒的速度移动．如果、两点分别到达两点后就停止移动，回答下列问题： (1)运动开始后第几秒时，的面积等于 ？ (2)设运动开始后第秒时，五边形的面积为 ，写出与的函数关系式及自变量的取值范围；并求出当为何值时，的值最小． 【变式2】. （26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： （用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请求出此时的值与最大面积；若不存在，请说明理由． 【变式3】. （26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒． (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由 (4)在运动过程中，四边形的面积有最_____值，最值为_________ 一、单选题 1．最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．小亮爸爸想用长为米的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为米，面积为平方米，则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 3．如图，用总长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地墙足够长，设为米，围成的矩形菜地的面积为平方米，则与之间的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．用长的篱笆一面靠墙围成一个矩形菜园，设与墙垂直的边长为，则菜园面积___________． 5．“科教兴国，强国有我”，金园实验中学在第三届科技节活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度（）与飞行时间（）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为______． 6．某商店销售一种商品，已知销售这种商品每天所获利润y（元）与销售单价x（元）满足关系式．若想获得最大利润，销售单价x应为________元． 三、解答题 7．某水果店销售一种进口水果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下水果店决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现希望每天获得最大利润，那么每千克应涨价多少元? 8．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为米的篱笆围成．已知墙长为米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． (1)若平行于墙的一边长不小于米， ①求面积与的函数关系式，并求出自变量的取值范围； ②这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； (2)当这个苗圃园的面积不小于平方米时，直接写出的取值范围________． 9．飞机“水门礼”（寓意“接风洗尘”），如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分，如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米，若两辆消防车同时后退米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 1．某商店试销一种文创产品，经市场调查发现：当售价定为元/件时，月销售量为件，且与之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知该产品的成本为元/件． (1)求与之间的函数关系式； (2)设月销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求出售价定为多少时月销售利润最大，最大利润是多少元； (3)若物价部门规定该产品售价不得高于元/件，且商店要求月销售利润不低于元，求售价的取值范围． 2．如图是新能源汽车充电站遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)一辆观光车需要充电，如图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 3．【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长米、宽米的长方形菜地，如图，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图，在地块中间修建一个长为米，宽为米的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 (1)方案一中，求小路的面积； (2)方案二中，若设道路的宽为米，求菜地面积（单位：）关于的函数表达式； (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧米内（含米）的菜地．在方案二中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，请直接写出道路宽度（单位：米）的取值范围． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.3 实际与探索 教学目标 1.能根据实际问题中的等量关系列出二次函数关系式。 2.会用配方法或公式法求二次函数的最值，解决实际问题。 3.掌握建立坐标系解决抛物线形实际问题的方法。 4.体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型，培养建模与应用能力。 教学重难点 1.重点 （1）根据实际问题列二次函数关系式 （2）求二次函数的最值并解决实际问题 （3）抛物线形实际问题的建模 2.难点 （1）正确分析实际问题中的等量关系 （2）确定自变量的实际取值范围 （3）抛物线形问题中建立合适的坐标系 知识点01：二次函数实际问题的常见类型 类型 背景 建模要点 销售问题 售价、销量、利润 利润＝每件利润×销量，设售价（降价）为自变量 拱桥、隧道、拱门 抛物线形桥梁、隧道、门洞 喷水、投球、跳跃 抛物线形轨迹 设落点、轨迹为抛物线，由顶点、经过点求解析式 行程问题 运动时间、距离 由速度、时间关系列二次函数，求最大距离或最值 增长率问题 连续增长（降低） 模型，求最大值或比较 图形面积、动点 几何图形、动态点 用边长、线段表示面积或长度，列二次函数求最值 【即学即练】 1．一位运动员掷出铅球，铅球离地高度（单位：米）关于水平距离（单位：米）的函数表达式为，此运动员这一掷的成绩是（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】A 【分析】掷铅球的成绩为铅球落地时的水平距离，需求解时的正根． 【详解】解：当铅球落地时，， 代入函数表达式，得， 两边同乘，得， 因式分解，得， 解得，， ∵水平距离为正数， ∴舍去，即成绩为9米． 知识点02：利用二次函数解决抛物线形实际问题 1.建立平面直角坐标系：以抛物线的对称轴为y轴、顶点为原点（或其他适当位置）建立坐标系，使抛物线解析式尽量简单。 2.设解析式：根据顶点坐标设顶点式，或根据与x轴交点设交点式，再代入已知点求系数。 3.求关键量：由解析式求最高点（顶点）、与坐标轴交点对应的宽度、高度等，解决实际问题。 【即学即练】 1．如图，在体育测试中，小明掷出的实心球的飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系可以近似地看成抛物线，则小明本次投掷实心球的成绩为（     ） A．8米 B．9米 C．10米 D．12米 【答案】A 【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）； 故小明本次投掷实心球的成绩为8米． 知识点03：利用二次函数解决利润与几何面积最值 1.利润问题：用"每件利润×销售量＝总利润"列式，求售价（或降价）取何值时利润最大。 2.面积问题：用几何公式（矩形、三角形、圆等）列面积关于边长的二次函数，求最大面积及对应边长。 3.注意：结果须在自变量的实际取值范围内，且符合题意（如边长、售价为正等）。 【即学即练】 1．某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． (1)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ (2)若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价多少元？ 【答案】(1) 当每双鞋子降价元时，每天可获得最大利润，最大利润为元． (2) 每双鞋子应降价元． 【分析】（1）设降价金额为自变量，根据总利润的等量关系列出二次函数，利用二次函数顶点性质求最值； （2）根据给定利润列一元二次方程，结合“让顾客尽可能多得实惠”的条件选取较大的解． 【详解】（1）解：设每双鞋子降价元，每天获得的总利润为元， 由题意得，每双鞋子的利润为元，每天的销售量为双， 总利润 （）， 整理得 ， ∵ ， ∴ 当时，取得最大值， 将代入得 （元）； 答：当每双鞋子降价元时，每天可获得最大利润，最大利润为元． （2）解：令，则 ， 整理得 ， 解得 ，， ∵ 要让顾客尽可能多得实惠， ∴ 选择较大的降价幅度，即． 答：每双鞋子应降价元． 题型01 增长率问题 按连续增长（降低）模型列式，求最值或解方程。 【典例1】. （26-27九年级上·福建福州·阶段检测）某工厂一月份生产汽车200辆，为满足市场需求，计划在二、三月份连续提高产量，若二、三月份的增产率均为，三月份的产量为，则与的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一月份生产汽车200辆，二、三月份的增产率均为，三月份的产量为， ∴二月份的产量为， ∴三月份的产量为， ∴与的函数解析式为． 【变式1】. （26-27九年级上·天津·阶段检测）某商品价格是元，准备进行两次降价，若每次降价百分率都是，两次降价后价格（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则与之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】每次降价的基数为上一次降价后的价格，据此推导两次降价后的价格表达式． 【详解】解：商品原价为元，第一次降价百分率为， 第一次降价后的价格为元， 第二次降价百分率仍为，降价基数为第一次降价后的价格， 两次降价后的价格． 【变式2】. （26-27九年级上·全国·课后作业）某市为打造“绿色城市”，积极投入资金实施园林绿化工程．已知去年投入资金1500万元，计划从今年起，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x．写出明年将投入的资金量y（单位：万元）关于每年增加的百分率x的函数解析式． 【答案】 【详解】解：∵去年一年投入资金1500万元，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x， ∴明年将投入的资金量． 【变式3】. （26-27九年级上·山东济南·阶段检测）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 【答案】(1)含的代数式为，二次函数一般形式为 (2)该市参加健身运动人数的年平均增长率为 【分析】（1）初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则满足等量关系，再化为一般式即可； （2）令，则，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x， 由题意得：2023年参加健身运动的人数， ∴二次函数一般形式为 （2）解：由题意得：，则， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该市参加健身运动人数的年平均增长率为． 题型02 销售利润问题 用"每件利润×销售量＝总利润"列二次函数，求售价（降价）取何值时利润最大。 【典例2】. （26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，商品单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，商场每天销售这种商品的利润是y元． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)每件商品降价多少元时，商场每天销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件商品降价20元时，商场每天销售这种商品的利润最大，最大利润是1800元 【分析】（1）根据题意，得降价后每件商品的实际利润为元，实际的销售量为件，根据总利润=每件的利润乘以销售的总件数，解答即可． （2）根据题意，得，利用二次函数的性质 解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得降价后每件商品的实际利润为元，实际的销售量为件， 故， 且， 故． （2）解：根据题意，得 ， ， 故y有最大值，当时，函数取得最大值，且最大值为1800元． 故每件商品降价20元时，商场每天销售这种商品的利润最大，最大利润是1800元． 【变式1】. （26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出212件，如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖8件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． (1)当售价为55元时，月销售利润是________元； (2)求关于的函数解析式，每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月销售利润是多少？ (3)每件商品的售价定为____时，每个月的利润为3360元． 【答案】(1) (2)函数解析式为（，且为正整数）；每件商品的售价定为元时，每个月可获得最大利润，最大月销售利润为元． (3)元 【分析】（1）根据售价计算出上涨金额和单件利润，进而得出月销量，最后根据“月销售利润单件利润月销量”求出结果． （2）设上涨金额为未知数，表示出单件利润和月销量，根据“月销售利润y单件利润月销量”建立函数关系式，然后根据题意确定的取值范围，最后将函数关系式化为顶点式来求最大利润． （3）将代入（2）求出的函数解析式中，解方程得出上涨金额的可能取值，根据的取值范围确定最终取值，进而得出此时的售价． 【详解】（1）解：原售价为元，现售价为元，则上涨金额（元）， 单件利润为（元）， 销量减少量（件），现月销量（件）， 月销售利润（元）； （2）解：设每件商品的售价上涨元，则：单件利润元，月销量（件）． 由题意知，售价不能高于元，即，解得， ∵为正整数， ∴． 根据题意可得： ； ∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值， ∵，为正整数，，， ∴是距离对称轴最近的整数， ∴当时，取得最大值，（元）， 此时售价为（元）， 即每件商品的售价定为元时，每个月可获得最大利润，最大月销售利润为元． （3）解：令，即， 整理得， 即， 解得，， ∵为正整数， ∴不合题意，舍去， ∴，此时售价为（元）． 【变式2】. （25-26九年级上·云南德宏·期末）云南的德昂族酸茶非常独特且极具代表性，它已在2022年作为“中国传统制茶技艺及其相关习俗”的重要组成部分被列入人类非物质文化遗产．某商家利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件30元的德昂酸茶，若销售单价为36元，则每天可卖出88件，为提高利润，欲对该德昂酸茶进行涨价销售，经调查发现：每涨价1元，每天要少卖出2件，按单价不低于成本价，且不高于60元销售． (1)求该德昂酸茶每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)销售单价定为多少元时，才能使商家销售该德昂酸茶每天获得的利润（元）最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) 函数关系式为，自变量的取值范围是 (2) 销售单价定为55元时，每天获得的利润最大，最大利润为1250元 【分析】 （1）根据涨价时单价与销量的变化关系推导一次函数关系式，结合涨价要求与售价限制确定自变量范围； （2）根据利润的等量关系列出二次函数解析式，结合二次函数的性质求最大值； 【详解】（1）解：∵销售单价为36元时，每天可卖出88件，每涨价1元，每天少卖出2件， ∴当销售单价为x元时，销售量，化简得， ∵商家进行涨价销售，故， 又∵销售单价不低于成本价30元，且不高于60元， ∴自变量的取值范围是； （2）解：∵每件德昂酸茶的成本为30元，销售单价为x元， ∴每件的利润为元， ∵每天的销售量为y件， ∴每天的总利润， 将代入上式，得 ， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下，w有最大值， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为1250元， 答：销售单价定为55元时，商家销售该德昂酸茶每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 【变式3】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）某商店销售一种进价为50元的商品，当售价为80元时，每天可售出20件．市场调查显示，售价每降低1元，每天销量就增加2件．设售价降低x元（），每天的利润为y元． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)当售价降低多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)售价降低10元时，每天利润最大，最大利润为800元 【分析】（1）根据题意，由总利润等于销售量乘以单件利润，可得出y与x的函数关系式； （2）将y与x的函数关系式转换为顶点式，即可得出最大利润和所对应的售价． 【详解】（1）解：降价x元后，每件利润为元，每天销量为件， ∴． （2）解：． ∵，， ∴当时，y取得最大值800． 答：售价降低10元时，每天利润最大，最大利润为800元． 题型03 图形面积最值问题 用几何面积公式列面积关于边长的二次函数，求最大面积及对应边长，注意边长取值。 【典例3】. （26-27九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）矩形花园一面靠墙，另外三面用长为的铁丝围成，如果要使花园的面积最大，则这个花园的最大面积是______． 【答案】 【分析】设垂直于墙的边长为 ，表示出平行于墙的边长，构建面积与边长的二次函数关系，利用配方法求最值． 【详解】解：设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为 ， 设花园的面积为 ， 根据题意得： ， 整理得：， 配方得：， ∵， ∴ 当 时，有最大值，最大值为 ， 即这个花园的最大面积是． 故答案为：． 【变式1】. （26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）琪琪在装裱店装了一幅周长为米的矩形油画，装裱费为每平方米元． (1)若该油画的装裱费为元，求该矩形油画的宽； (2)求该油画装裱费的最高值． 【答案】(1)该矩形油画的宽为米； (2)该油画装裱费的最高值为元． 【分析】由装裱费求出矩形面积为平方米，设矩形油画的宽为米，则长为米，列出方程，然后解方程并结合实际意义取舍根得到宽； 设矩形油画的宽为米，面积为平方米，则长为米，所以，然后通过二次函数的性质求面积最大值，进而计算最高装裱费． 【详解】（1）解：由题意得矩形油画的面积为（平方米）， ∵矩形周长为米， ∴长与宽的和为（米）， 设矩形油画的宽为米，则长为米， ∴， 整理得， 解得，， ∵宽需小于长，即， ∴， 答：该矩形油画的宽为米； （2）解：设矩形油画的宽为米，面积为平方米，则长为米， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为（平方米）， 此时最高装裱费为（元）， 答：该油画装裱费的最高值为元． 【变式2】. （26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，有长为米的篱笆，一面利用院墙围成一个外形为矩形的花园，花园中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的最大长度为米，院墙的一边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数解析式； (2)能围成面积比平方米更大的花园吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)（） (2)不能，理由： ∵， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，在对称轴右侧，随增大而减小， ∴取最小值时，取得最大值，即， ∴当时，， ∴不能围成面积比平方米更大的花园． 【分析】（1）根据为米，得到为米，利用院墙的最大长度为米，得到的取值范围，根据矩形的面积计算公式列式即可得到答案； （2）将与的二次函数的解析式转化为顶点式，继而根据二次函数的图象和性质得到取值范围的的最值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为米， ∴为米， ∵院墙的最大长度为米， ∴，解得：， ∴（）； （2）略． 【变式3】. （26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，要修建一个中间设有一道隔墙的矩形菜园，菜园一边靠墙，墙长18米，菜园另三边和中间隔墙共用33米长的篱笆搭建．为方便进出，在下方两个小矩形的边上各预留一个1.5米宽的门，门的位置不使用篱笆，设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示________，求面积S与x的函数关系式； (2)求当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，取最大值，最大值为108 【分析】（1）根据篱笆总长列方程：三条竖直段（、中间隔墙、）各长米，水平段扣除两个1.5米宽的门后使用篱笆，总长33米，由此表示，再用矩形面积公式得与的关系． （2）将关于的二次函数配方为顶点式，结合确定的取值范围，在范围内求最大值． 【详解】（1）解：篱笆用于、、中间隔墙和（扣除两个门）， ， ， ． （2）解：， 墙长18米，， ，解得， 又， ，解得， ， ，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值108． 题型04 拱桥、拱门问题 建立适当坐标系，设顶点式或交点式求抛物线解析式，由解析式求高度、宽度等。 【典例4】. （26-27九年级上·广西南宁·期中）如图是抛物线形拱桥的示意图，桥拱在水面的跨度约为20米，以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线解析式是，则桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为______米． 【答案】20 【分析】先读出顶点坐标，根据水面倒影是关于轴对称求出倒影点坐标，再计算两点距离． 【详解】解：由抛物线解析式，可得顶点的坐标为． 水面为轴，点在水中的倒影是点关于轴的对称点， 坐标为． 与之间的距离为（米）． 【变式1】. （26-27九年级上·天津河东·阶段检测）赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少，有下列结论： 水面宽度； 拱桥的最大高度是； 若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条； 其中，正确结论是______．（填序号） 【答案】 【分析】令求出的值判断；将解析式配方成顶点式判断；令求出的值计算安全宽度，结合赛道宽度判断． 【详解】解：令，则， ∴，， ∴，故正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故正确； ∵龙舟最高处距离水面，安全距离至少， ∴龙舟通过时桥拱高度至少为， 令，则， 整理得， 解得，， ∴安全通行的水平宽度为， ∵每条赛道宽度为， ∴最多可设计赛道，取整数为条，故结论错误； 综上所述，正确结论是． 【变式2】. （26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图所示，二次函数的顶点坐标为，矩形的顶点B，C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A在点D的左侧． (1)求二次函数的解析式； (2)设点A的坐标为，试求矩形的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； (3)是否存在这样的矩形，使它的周长为9？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由如下： 令， 可得， ， 所以不存在这样的矩形，使它的周长为9． 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得点的坐标，即可表示出矩形的周长p关于自变量x的函数解析式； （3）利用根的判别式即可解答． 【详解】（1）解：把代入， 可得， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：A、D在抛物线上，点A在点D的左侧， ， 矩形在抛物线与x轴所围成的图形内， ， 抛物线的对称轴为轴， ， ， ， 令， 解得，， ； （3）略 【变式3】. （26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为米，拱顶距水面米．拱桥的截面如图，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是米．为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于．设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点坐标为，如果能且最多只能悬挂个灯笼，的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据桥下水面宽度为米，拱顶距水面米，可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据抛物线的解析式求出第个灯笼和第个灯笼的纵坐标即为的取值范围． 【详解】解：桥下水面宽度为米，拱顶距水面米， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 拱顶到的距离是米， 悬挂了个灯笼， 拱顶的左、右各悬挂个灯笼， 设每个灯笼之间的水平距离为， 最左侧灯笼的坐标为， 则有，， ， 若在左侧再加一个灯笼，则这个灯笼的横坐标为， 第个灯笼的纵坐标为， 拱顶到的距离是米， 点的纵坐标为， 又灯笼的长度为米， 悬挂点的纵坐标最低为， 由题意可知， 整理可得：， 解得：或， 解得：或， ， ， 当时，可得：， 当时，可得：， ． 题型05 隧道问题 由隧道截面为抛物线形，建立坐标系求解析式，判断车辆、物体能否通过（比较高度、宽度）。 【典例5】. （26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，某隧道口的横截面是抛物线一部分，已知单行车道路宽为3米，最高点离地面的距离为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该部分抛物线的函数解析式，并写出的取值范围； (2)有一辆宽2.4米，高3.1米（货物最高处与地面AB的距离）的货车能否通过此隧道? 【答案】(1)解析式为，的取值范围是 (2)货车不能够通过此隧道 【分析】（1）先得出点A、B的坐标，设所求函数的解析式为，代入坐标即可求出解析式，再根据点A、B的坐标的横坐标确定出的取值范围，即可求解； （2）当时，求出y的值，再根据的值与车的高度作比较，即可作答． 【详解】（1）解：∵，抛物线的对称轴为轴， ∴，， 设所求函数的解析式为， 由题意，得函数图象经过点， ， 所求的二次函数的解析式为，的取值范围是； （2）解：当车宽2.4米时，即当时，， ， 货车不能够通过此隧道． 【变式1】. （2026·陕西西安·三模）如图1是某海洋馆时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作由抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小晨以为原点，建立如图2的平面直角坐标系．抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)为保障观赏效果，工人师傅搭建一木板对玻璃隧道进行清洁，与的夹角为，已知工人师傅（身高忽略不计，视为点）能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度2.3米处．若工人师傅从点沿木板向上走4米到达点处，他能刷到正上方的玻璃隧道吗？请通过计算说明． 【答案】(1) (2) 解：他能刷到正上方的玻璃隧道，理由如下： 如图，过点M作轴于点N，交抛物线于点E 根据题意得，， ∴ ∴ ∴将代入 ∴ ∴ ∴他能刷到正上方的玻璃隧道． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）如图，过点M作轴于点N，交抛物线于点E，首先求出，，然后求出，得到，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 设抛物线解析式为， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）略 【变式2】. （2026·陕西西安·二模）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． (1)求抛物线的函数表达式； (2)一辆货运汽车载一个长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】(1) (2)这辆货车能安全通过 【分析】（1）根据题意可得点B和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出函数值为6时x的值，再比较较小的x的值加上4与的大小即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得， 将代入，得，解得 抛物线的表达式为； （2）解：中，当时，， 解得或， ∵， ∴这辆货车能安全通过． 【变式3】. （2026·广西南宁·一模）【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【答案】(1)1.55米 (2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： (3)3.5米 【分析】（1）过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为()，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米)，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴（米）． （2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为()， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴． （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米)， ∵涉及安全问题， ∴（米）． 题型06 喷水问题 把喷水轨迹看作抛物线，由顶点与经过点求解析式，求落点距离、最高点等。 【典例6】. （26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）某市周末夜晚的音乐喷泉表演吸引了大量市民前往观赏．如图，以喷头所在处为原点、水平方向为轴建立平面直角坐标系，水柱的竖直高度（米）与水柱离喷头的水平距离（米）满足． (1)水柱的最大高度是多少米？ (2)水柱落地点到喷头的水平距离是多少米？ 【答案】(1)水柱的最大高度是4米 (2)水柱落地点到喷头的水平距离是4米 【分析】（1）先化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可； （2）令，解方程求得x值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，y取得最大值，最大值为4， 答：水柱的最大高度是4米； （2）解：令，解方程得，（舍去）， 答：水柱落地点到喷头的水平距离是4米． 【变式1】. （2026·甘肃平凉·模拟预测）景区喷泉水柱如图建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 【答案】米 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形通道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵通道宽为2米， ∴，即， ∵通道顶部到水柱的竖直距离均不小于2米， ∴，即， 即当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴通道顶端到地面的最大高度为（米）． 【变式2】. （2026·辽宁铁岭·二模）根据以下素材，探索完成任务． 修改设计方案使喷泉造型更加美观 素材1 某公司办公楼前欲设计一个圆形喷水池，最初的设计方案如图1所示，在喷水池的中心O处竖直安装一个喷水管，P处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线落下，喷出水流的运动路线可以看作抛物线的一部分． 素材2 如图2，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，测得高度为3米的P处有一个喷水孔．为使喷泉造型更加美观，对方案进行修改：使图1中喷泉喷出水流形成以为对称轴的两个对称的抛物线．当喷出的水流最高为4米时，水流与的水平距离为2米． 问题解决： (1)任务1：求y轴右侧抛物线的表达式． (2)任务2：安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线形水流移动时，保持对称轴及形状不变），当水管的高度增加米时，水流离喷水池中心O的最远水平距离为多少米？ 【答案】(1) (2)水流离喷水池中心O的最远水平距离为6.4米． 【分析】（1）根据题意设顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）设移动后的抛物线为，将点代入求出的值，再求出时的自变量取值，即可得解． 【详解】（1）解：任务1：当时，y的最大值为4，即y轴右侧抛物线的顶点坐标为， 设y轴右侧抛物线的表达式为， 当时，， ， 解得 ∴y轴右侧抛物线的表达式为； （2）解：任务2：∵抛物线形水流移动时，保持对称轴及形状不变， ∴可设移动后的抛物线为， ∵此时点P的坐标为， ∴， 解得, , 当时，， 解得： （不合题意，舍去）， ∴水流离喷水池中心O的最远水平距离为6.4米． 【变式3】. （2026·河北保定·模拟预测）某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图1），喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方处．喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内，以水池中心O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上）．经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为，之后落回水面上的C点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求音乐喷泉水池的半径的长； (3)公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为时，视觉效果最好． ①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点的坐标为，请求出n与m的函数关系式； ②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比．原方案的最高点高度为，新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同．请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍？ 【答案】(1) (2) (3)①（且）；②倍 【分析】（1）由题意，抛物线的顶点坐标为，且过点，运用待定系数法求解即可； （2）令，代入解析式求一元二次方程即可； （3）①设新抛物线的表达式为，运用待定系数法即可求解； ②由题意得，代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的表达式为， 将代入表达式，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：令，则， 解得，（舍）， 故音乐喷泉的水池半径的长为． （3）解：①设新抛物线的表达式为， 将，代入得 解得（且）． ②由题意得， ∴， ∵喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比， ∴功率比为， 故新方案功率是原方案的倍． 题型07 投球、跳跃问题 把运动轨迹看作抛物线，由起落点、最高点设解析式，求飞行距离、最高高度等。 【典例7】. （26-27九年级上·四川南充·阶段检测）掷实心球是南充中考体育考试体能选测项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化．明明利用摄影系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 竖直高度 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是_________米，实心球在空中的最大高度是_________米； (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)明明在此次考试中得到满分，理由如下： 把代入，得， 解得，（不合题意，舍去）， 即实心球从起点到落地点的水平距离为米， ∵， ∴明明在此次考试中得到满分． 【分析】（）根据图表解答即可； （）由（）可知抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）把代入函数解析式求出的值，进而与满分成绩比较即可． 【详解】（1）解：由表可知：时，，   ∴明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米，   ∵当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为直线，   ∵抛物线开口向下， ∴当时，实心球在空中取得最大高度，   又∵当时，，   ∴实心球在空中的最大高度是米； （2）解：由（）知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）略 【变式1】. （26-27九年级上·北京西城·阶段检测）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． 已知，九年级一名男生进行了两次训练． (1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 5 6 7 9 竖直高度y/m 2 5 根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的二次函数关系； (2)第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为，第二次训练实心球落地的水平距离为，则______（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】(1)最大高度为，； (2)． 【分析】（1）观察数据发现函数关于对称，顶点为，用待定系数法求二次函数关系式． （2）分别令求出两次训练实心球落地时的水平距离，比较大小． 【详解】（1）解：观察表格数据，当和时值相同，当和时值相同， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 实心球竖直高度的最大值为， 设， 将代入得：， 解得：， ． （2）解：第一次训练，令： ， ， ， ， ， 第二次训练，令： ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 【变式2】. （26-27九年级上·江西新余·阶段检测）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球方式的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． (1)在图2所建的平面直角坐标系中，求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 (2)网前吊球的落点到球网的距离_____m； (3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙在能接到球的情况下拍面距离球网的最大水平距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设抛物线解析式为，根据题意求出点A，D的坐标，代入解析式求解即可； （2）把代入抛物线解析式，求出的长，即可求解； （3）把代入抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ， ， ，， ， ， ， 把，代入函数解析式得， 解得， ； （2）解：把代入抛物线解析式得， 解得，， ， ； （3）解：把代入抛物线解析式得， 解得，， 乙站在球网右侧， ， 羽毛球离地高度不小于，且， ， ， 即乙在能接到球的情况下拍面距离球网的最大水平距离． 【变式3】. （2025·河南郑州·一模）跳 台滑雪是 一 项极具挑战性和观赏性的运动项目，被 形容为“勇敢者的游戏” ．跳台滑雪的技术动作包括助滑、起跳、空中飞行和着陆，要求运动员在高速下落 的过程中完成一系列高难度动作，展现出优美的姿态和极佳的平衡能力，其中在空中飞行过程呈现优美 的抛物线形．如图 ，为着陆坡，为跳台，且点D为起跳点，点B为运动员空中飞行后的着陆点（点A，B，C，D 在同一竖直平面内，且点C，D在同一竖直方向上） ． 以点A 所在的水平线为x轴 ， 所 在 的 直 线 为y轴，建立平面直角坐标系（1个单位长度为1m），已 知 点B到跳台的水平距离为．起跳后在距跳台水平距离15m处达到最大高度58.5 m． (1)求此运动员空中飞行路线所在抛物线的表达式． (2)求在空中飞行时，运动员到着陆坡的最大竖直距离． 【答案】(1) (2)最大竖直距离为18 m 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意得：，则，可得抛物线的顶点为，再设顶点式求解即可； （2）先求出，求出直线的表达式为，设运动员空中飞行时到着陆坡的竖直距离为，则，再求最值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∵起跳后在距跳台水平距离15m处达到最大高度58.5m， ∴抛物线的顶点为， ∴设运动员空中飞行路线所在抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知，， 当时，， ∴ ， 设直线的表达式为， 将分别代入， 得： 解得： 故直线的表达式为， 设运动员空中飞行时到着陆坡的竖直距离为， 则， ∵ ∴当时，h最大，最大值为18， 答：在空中飞行时，运动员到着陆坡的最大竖直距离为18 m． 题型08 图表（图象）信息问题 从图象或表格中读取点的坐标、变化规律，代入求二次函数解析式，再求解。 【典例8】. （26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）为了探究某飞机某次着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间的关系，测得几组数据如表： 滑行时间 滑行距离 (1)根据上述数据，在平面直角坐标系中描出表格中对应的点，并判断此次滑行的距离与滑行时间满足的是________函数关系（填“一次”或“二次”）； (2)求与的函数关系式； (3)飞机着陆后滑行________能停下来，此时滑行的距离是________． 【答案】(1)如图所示， 二次 (2) (3)； 【分析】（1）利用描点法画出函数图象，得出抛物线； （2）利用待定系数法求解； （3）利用二次函数顶点式进行求解． 【详解】（1）解：略； （2）解：设二次函数的解析式为（）， 将代入解析式得， ， 解得， ∴； （3）解：当飞机滑行最远时，为二次函数的最大值，即为抛物线的顶点纵坐标， ∵， ∴顶点坐标为， ∴飞机着陆后滑行能停下来，此时滑行的距离是． 【变式1】. （26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，（单位：克）． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x（分钟） 0 5 … （克） 7 … （克） 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，，并用光滑曲线连接，大致画出函数，的图像； (2)进一步探究发现，场景A的图像是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图像是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式； (3)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克，有效时间越长，且在同一时刻剩余质量越高，效果越好，在上述实验中，比较该化学试剂在两种场景下，哪种效果更好，并说明理由． 【答案】(1)函数，的大致图像如下： (2)场景A满足的函数关系式为，场景B满足的函数关系式为 (3)该化学试剂在A场景下效果更好，理由如下： 令得，解得或（舍去）， 令得，解得， ，当时，， 两种场景有效时长相同，但同一时刻场景A剩余质量更高， 该化学试剂在A场景下效果更好． 【分析】（1）根据表格的数据在平面直角坐标系中依次描出点、，再分别用光滑曲线顺次连接对应点，画出函数，的大致图像； （2）场景A是二次函数，把表格里两组点坐标代入解析式，列二元一次方程组求出b，c，得到关系式；场景B是一次函数，代入一组点坐标求出a，得到关系式； （3）别令、，解方程求出两种场景下试剂降到最低有效质量克对应的时间，对比得到二者有效时长相等，再比较范围内同一时刻和的大小，结合“同一时刻剩余质量越高效果越好”的条件，判断场景A效果更好． 【详解】（1）略 （2）解：过点和， ，解得， ， 过点， ，解得， ， 综上所述，场景A满足的函数关系式为，场景B满足的函数关系式为； （3）略 【变式2】. （26-27九年级上·广东广州·阶段检测）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下部分数据： x/米 0 0.2 0.4 0.6 1 1.4 1.6 1.8 … y/米 0.24 0.33 0.4 0.45 0.49 0.45 0.4 0.33 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)①试根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映乒乓球与桌面的高度和与端点A的水平距离的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； ②求出当乒乓球落在桌面时，其落点与端点A的水平距离是多少米？ (3)当乒乓球落在桌面上弹起后，已知y与x之间满足．且球网高度为米，球桌长米．乒乓球弹起后，是否有机会在某个击球点可以将球沿直线扣杀到端点A？请说明理由． 【答案】(1)如图即为所求； (2)①；②2.4； (3)有机会，理由如下： ∵球网高度为0.14米，球桌长米， ∴球网顶端的坐标为， 设点和球网顶端所在直线的表达式为， 将代入得，， 解得， ∴， 将和联立得，， 解得，， ∴直线和抛物线有交点， ∴有机会在某个击球点可以将球沿直线扣杀到端点A． 【分析】（1）根据表格中的坐标描点即可； （2）①观察表格数据发现y是x的二次函数，然后设出顶点式，利用待定系数法求解；②将代入表达式求解即可； （3）先求出扣杀直线的解析式，然后与抛物线联立求解判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：①由表格得，y是x的二次函数，当和时，y的值相等， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∴设， 将代入得， 解得 ∴； ②当时， 解得，（舍去） ∴当乒乓球落在桌面时，其落点与端点A的水平距离是2.4米； （3）略 【变式3】. （26-27九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小石站在距篮圈中心水平距离处的点练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是（单位：）时，球心距离地面的竖直高度是（单位：）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： (1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 竖直高度 ①由表中数据可知，小张第一次练习投篮的出手高度是______，球运行过程中的最高高度是______． ②结合表中数据，求与满足的函数解析式； ③小石第一次投篮练习能否投进，请说明理由； (2)第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次最高点的正上方．如果小石在进行第二次训练时，在他正前方米处的教练准备起跳拦截，教练起跳后伸直手臂手尖离地的最大高度是米，那么教练能否成功拦截小石这次投篮？请说明理由．（篮球半径忽略不计） 【答案】(1)①；； ②或； ③答：不能投进，理由如下： 当时， ， ∴小石第一次投篮练习不能投进； (2)答：教练不能成功拦截小石这次投篮，理由如下： 由题意得：第二次训练的抛物线形状与第一次相同，对称轴相同， 设第二次训练的抛物线解析式为：， 当时， ， 解得：， 即：第二次训练的抛物线解析式为：， 当时， ， ∴教练不能成功拦截小石这次投篮. 【分析】（1）①根据表格即可得出结论； ②根据表格数据用待定系数法求出解析式即可； ③把代入解析式求出值，然后再与比较即可得出结论； （2）由题意得：第二次训练的抛物线形状与第一次相同，对称轴相同，用待定系数法求解析式，把代入求出值，然后再与比较即可得出结论. 【详解】（1）①解：由表格可知：当时，；的最大值是， ∴小石第一次练习投篮的出手高度是 ，球运行过程中的最高高度是 ． ②由表格可知：抛物线的顶点， 设与满足的函数解析式为：， ∵在抛物线上， ∴，解得：， 即：； ③见答案（略） （2）见答案（略） 题型09 动点问题 设动点运动时间为t（或坐标），用线段长表示面积、长度等量，列二次函数求最值，注意取值范围。 【典例9】. （26-27九年级上·山东德州·阶段检测）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合），如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式；写出自变量x的取值范围； (2)当四边形的面积等于时，求x的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据，的长度以及点P和点Q的速度求出x的取值范围，再根据代入计算即可得出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意得，因式分解法解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：，，故， 设运动的时间为，则，， ∴， ∴ ， 即． （2）解：根据题意：， 整理得：， 解得：，， 即当四边形的面积等于时， x的值为或． 【变式1】. （26-27九年级上·内蒙古兴安·阶段检测）如图，在矩形中，，点从点出发，沿边向点以/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点以/秒的速度移动．如果、两点分别到达两点后就停止移动，回答下列问题： (1)运动开始后第几秒时，的面积等于 ？ (2)设运动开始后第秒时，五边形的面积为 ，写出与的函数关系式及自变量的取值范围；并求出当为何值时，的值最小． 【答案】(1)运动开始后第或秒时，的面积等于 (2)，当时，最小值为． 【分析】（1）设运动时间为秒，可将，表示出来，再由三角形的面积公式列出关于的方程求解即可； （2）根据五边形的面积等于矩形减去，用表示，再通过配方法求得的最小值． 【详解】（1）解：设运动开始后第秒时，的面积等于 ． 则有，， 由得， ， 当时，，即， 解得或，符合题意， 即运动开始后第或秒时，的面积等于 ． （2）解：五边形的面积等于矩形的面积减去， ， 配方得， 当时，最小值为． 【变式2】. （26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： （用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请求出此时的值与最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)存在，当时，的面积最大，则． 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴, ∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴， ∴； （2）解：根据勾股定理可得， ∴ 解得：或， ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题可得：， ∵， ∴当时，的面积最大，则． 【变式3】. （26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒． (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由 (4)在运动过程中，四边形的面积有最_____值，最值为_________ 【答案】(1)， (2)当运动时间为或运动时间为时，的长度等于 (3)存在，时间为2秒时，四边形的面积等于面积的 (4)小，15 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，，，结合已知解答即可； （2）根据勾股定理，列式计算即可； （3）根据列式计算即可； （4）求出四边形的面积的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． ∴，， ∴； （2）解：∵， ， ， ∴， 整理，得， 解得， 当运动时间为或运动时间为时，的长度等于． （3）解：∵， ，， ∴， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， 故当运动时间为2秒时，四边形的面积等于面积的． （4）解： ， 可知当时，四边形的面积有最小值，最小值为15． 一、单选题 1．最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是掌握增长率的公式． 已知初始值、年均增长率和增长年数、最终量，利用增长率模型公式即可求解． 【详解】解：由题意，年的市场规模为亿美元，年均增长率为，经过2024年和2025年共两年的增长． 第一年（年）：市场规模增长到． 第二年（年）：在第一年的基础上再增长，即． 因此，年的市场规模与年均增长率的函数关系为， 对应选项C． 其他选项中，A未包含初始值，B和D的表达式不符合增长率模型公式，故排除． 故选：C． 2．小亮爸爸想用长为米的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为米，面积为平方米，则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据栅栏总长表示出平行于墙的一边长，利用矩形面积公式列出函数关系式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为米， ∵栅栏总长为米，且一边靠墙， ∴与墙平行的一边长为米， ∴． 3．如图，用总长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地墙足够长，设为米，围成的矩形菜地的面积为平方米，则与之间的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设长方形的为米，则宽可表示为米，再根据长方形的面积公式写出与之间的函数表达式即可． 【详解】解：根据题意设为米，则米，且， ∴ 即与之间的函数表达式为 故选C． 二、填空题 4．用长的篱笆一面靠墙围成一个矩形菜园，设与墙垂直的边长为，则菜园面积___________． 【答案】/ 【详解】解：根据题意得 ． 5．“科教兴国，强国有我”，金园实验中学在第三届科技节活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度（）与飞行时间（）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为______． 【答案】或 【分析】令，将函数值代入与的关系式中解一元二次方程，求出自变量的值即可． 【详解】解：令，则， 整理得，， 因式分解得，， 解得，． 当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为或． 6．某商店销售一种商品，已知销售这种商品每天所获利润y（元）与销售单价x（元）满足关系式．若想获得最大利润，销售单价x应为________元． 【答案】 15 【分析】已知利润是的二次函数，二次项系数为负，函数开口向下，最大利润对应二次函数的顶点，计算顶点横坐标即可得到结果． 【详解】解：展开函数关系式得 ∵该函数是二次函数，二次项系数 ∴抛物线开口向下，函数有最大值，最大值在顶点处取得 ∵二次函数顶点的横坐标为，此处， ∴ 即获得最大利润时销售单价为15元． 三、解答题 7．某水果店销售一种进口水果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下水果店决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现希望每天获得最大利润，那么每千克应涨价多少元? 【答案】(1)每次下降的百分率为 (2)每千克应涨价元 【分析】（1）根据连续两次降价的售价等量关系列一元二次方程，结合实际意义求解； （2）根据“总利润=每千克利润×日销售量”列出二次函数关系式，结合自变量取值范围求最大值对应的涨价值． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为（）， 根据题意可得，， 则， 即， 可得或（不符合题意，舍去）， 故每次下降的百分率为． （2）解：设每千克涨价元，每天的总利润为元， 则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克， 则，， 解得， 每天的销售利润为，即， 配方得， ， 当时，取得最大值， 故每千克应涨价元． 8．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为米的篱笆围成．已知墙长为米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． (1)若平行于墙的一边长不小于米， ①求面积与的函数关系式，并求出自变量的取值范围； ②这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； (2)当这个苗圃园的面积不小于平方米时，直接写出的取值范围________． 【答案】(1)①， ②这个苗圃园的面积有最大值和最小值，最大值为平方米，最小值为88平方米 (2) 【分析】（1）①根据矩形的面积公式求出解析式，再根据限定条件求出自变量的取值范围即可； ②根据二次函数的性质作答即可； （2）求出时x的值，再根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：①设苗圃园的面积为y， ∴ ， ∵，且， 解得：， ∴， ②∵， ∴苗圃园的面积y有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时平方米； ∵ 当时，平方米； （2）解：当时， 解得：， ∵， ∴时，， ∵， ∴当这个苗圃园的面积不小于平方米时，． 9．飞机“水门礼”（寓意“接风洗尘”），如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分，如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米，若两辆消防车同时后退米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 【答案】消防车后退米后两条水柱相遇点距地面米 【分析】根据题干的平面直角坐标系，结合条件求出点、的坐标，设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点、的坐标代入解析式求出解析式，再利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可得答案. 【详解】解：如图， 设经过点A，B，H的抛物线的解析式为， 根据题意得，，将其代入得：，解得：， ， 经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的， 经过点，的抛物线的顶点为， 经过点，的抛物线的解析式为， 将代入，得，， 消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米. 1．某商店试销一种文创产品，经市场调查发现：当售价定为元/件时，月销售量为件，且与之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知该产品的成本为元/件． (1)求与之间的函数关系式； (2)设月销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求出售价定为多少时月销售利润最大，最大利润是多少元； (3)若物价部门规定该产品售价不得高于元/件，且商店要求月销售利润不低于元，求售价的取值范围． 【答案】(1) (2)，售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是400元 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可得函数关系式，再得出的取值范围即可； （2）根据利润（每件的售价每件的成本）月销售量可得与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求最大值即可； （3）先求出的取值范围，再根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将点，代入得：， 解得， ∴， ∵该产品的成本为元/件， ∴，即， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由题意得： ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为400， 答：与之间的函数关系式为，售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是400元； （3）解：∵该产品的成本为元/件，物价部门规定该产品售价不得高于元/件， ∴， ∵二次函数图象的开口向下，对称轴为直线， ∴在内，随的增大而增大， 将代入得：， 解得或， ∵商店要求月销售利润不低于元，即， ∴． 2．如图是新能源汽车充电站遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)一辆观光车需要充电，如图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 【答案】(1)； (2)观光车可以完全停进遮阳棚正下方； (3) 的最大值为米． 【分析】第问已知顶点优先用顶点式求解析式； 第问已知纵坐标求对应横坐标，比较水平可利用长度与车长判断能否停进； 第问构造竖直方向线段关于的二次函数，利用顶点求最值． 【详解】（1）解：由题意，顶点． 设顶点式，顶点为： 把代入： ∴，即． （2）解：车最高点离地，令： 在到顶点这一段，取． 该位置向右可利用的水平长度为． ， ∴观光车可以完全停进遮阳棚正下方． （3）解：设直线的函数解析式为． 将点代入中， 得， 点在抛物线上，在直线上，轴： 设,则 时，取得最大值： 答：的最大值为米． 【点睛】本题是二次函数实际应用题，考查建模能力与三类常见设问．已知顶点坐标，优先设顶点式求解析式；竖直方向线段的长度，等于上方点纵坐标减下方点纵坐标，构造差函数；二次函数最值：开口向下，在对称轴处取最大值；计算时注意先求对称轴再代入． 3．【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长米、宽米的长方形菜地，如图，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图，在地块中间修建一个长为米，宽为米的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 (1)方案一中，求小路的面积； (2)方案二中，若设道路的宽为米，求菜地面积（单位：）关于的函数表达式； (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧米内（含米）的菜地．在方案二中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，请直接写出道路宽度（单位：米）的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据小路面积等于总面积减去菜地面积，即可求解； （2）设道路的宽为米，根据长方形面积公式，列出函数关系式，即可求解； （3）先列出关于x的不等式组，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 （2）解：设道路的宽为米，根据题意得： ， 即菜地面积关于的函数表达式； （3）解：根据题意得：， 解得． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $