精品解析：四川省达州市万源市万源中学2026-2027学年高二上学期10月期中数学试题

高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知事件，满足，，，则（ ） A. 0.9 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.2 【答案】C 【解析】 【详解】由且，则. 2. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得 . 3. 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 4. 已知事件与事件互斥，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对立事件概率公式求出，再根据互斥事件的概率加法公式计算得出结果； 【详解】因为，所以， 因为事件与事件互斥，，所以 5. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意，所以点到直线的距离为： . 6. 近年来，阳泉市聚力打造“红色之城”，持续升级百团大战纪念馆等红色阵地，推出跨省研学路线，红色研学热度高涨，红色文旅品牌影响力稳步提升．经统计发现，游客选择百团大战纪念碑的概率为，选择中共创建第一城景区的概率为．两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记事件为游客选择百团大战纪念碑，事件为游客选择中共创建第一城景区，先由对立事件求得再根据随机事件的概率加法公式计算即得. 【详解】记事件为游客选择百团大战纪念碑，事件为游客选择中共创建第一城景区， 则事件为“两个景点都不选”，事件为“两个景点都选”. 由题意得，， ， 由得，， ∴. 7. 直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 8. 如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值，即可确定点位置，即可求解. 【详解】以为坐标原点，建系如图， 因为二面角的平面角大小为， 所以的轨迹是过点的一条直线， 又因为Q是四边形ABCD内部一点（包括边界）， 所以的轨迹是过点的一条线段， 设以的轨迹与轴的交点坐标为， 由题意可得, 所以, 因为平面，所以平面的一个法向量为, 设平面的法向量为， 所以令则 所以， 因为二面角的平面角大小为， 所以，解得， 所以当在线段BC上时，面积最大，最大值为， 所以面积的取值范围是， 故选:D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（ ） A. 至少一个红球；都是白球 B. 恰有一个红球；恰有一个白球 C. 至少有一个红球；至多有一个白球 D. 至多一个红球；都是红球 【答案】AD 【解析】 【分析】依据互斥事件、对立事件的定义，逐一判断各选项中两个事件的关系即可. 【详解】对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”对应两个白球， 二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故A正确； 对于B：“恰有一个红球”和“恰有一个白球”都对应一红一白，是同一事件，可同时发生，不互斥，故B错误； 对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至多一个白球”即白球数小于等于，也包含一红一白、两个红球， 二者是同一事件，可同时发生，不互斥，故C错误； 对于D：“至多一个红球”即红球数小于等于，包含一红一白、两个白球，“都是红球”对应两个红球， 二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故D正确. 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对立事件的概率可判断A；由即可判断B；根据题意可得，故相互独立，则、也独立，再由独立事件的乘法公式判断CD． 【详解】，，，故A正确； ，故B错误； ， 相互独立，则、也独立， ，故C正确； ，故D错误． 11. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. ，的夹角为钝角 B. 与向量同向的单位向量为 C. 在上的投影向量的长度为 D. 存在实数，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积，共线向量、单位向量的坐标表示，投影向量公式，垂直向量的坐标性质求解即可. 【详解】对于A，，所以，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，，， 所以与向量同向的单位向量为，故B正确； 对于C，在上的投影向量的长度为，故C正确； 对于D，， 若，则，，故D正确． 故选：BCD. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则实数________. 【答案】1 【解析】 【详解】因为向量，， 根据∥， 所以，得. 13. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是________． 【答案】 【解析】 【详解】同时掷这两枚骰子的试验有个基本事件，它们等可能， 其中朝上的面两数字之和为5的事件包含的基本事件有，共4个， 所以朝上的面两数字之和为5的概率. 14. 如图，四棱锥中，平面，，，，则到平面的距离是______. 【答案】## 【解析】 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面一个法向量为， 则，取，得， 所以到平面的距离为. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． （1）记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． （2）记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，因此． 【小问2详解】 对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ，，，，，，，，，，，，，，， 则，因为，所以， 所以． 16. 已知向量，. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1）3 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【小问1详解】 因为，， 所以， . 【小问2详解】 ， ， ， 所以与的夹角为； 【小问3详解】 ， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 18. 某商场开展促销活动，每消费满500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. （1）已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； （2）为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件A，“乙恰好获得一个二等奖”为事件B. ①求事件A发生的概率； ②判断事件A与B是否相互独立，并说明理由. 【答案】（1） （2）①；②事件与不相互独立；理由：因为，，，所以，所以事件与不相互独立. 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式，计算一等奖对应样本数占总样本数的比值即可. （2）①通过对立事件概率公式，用1减去两次均未获得一等奖的概率得到；②分别计算、、，验证是否满足独立事件判定条件即可。 【小问1详解】 记个红球分别为，个白球分别为，蓝球为. 一次性摸2个球的样本空间为，共个样本点. 获得一等奖的样本点有，共个样本点. 所以甲获得一等奖的概率为. 【小问2详解】 乙消费1000元，共获得2次独立的抽奖机会，单次抽奖获得一等奖的概率为. ①记“乙单次抽奖获得一等奖”为事件，则“乙单次抽奖未获得一等奖”为事件， 所以，，两次均未获得一等奖的概率为， 所以. ②先计算单次抽奖各事件的概率： 按原规则获得二等奖（摸出1红1蓝）的概率为； 摸出1白1蓝的概率为； 未摸到蓝球的概率为. 事件为“恰好获得1个二等奖”，包含三类互斥情况：第一次中二等奖、第二次未摸蓝球；第二次中二等奖、第一次未摸蓝球；两次均摸出1白1蓝（仅获得额外1个二等奖），所以. 事件为“至少获得1个一等奖，且恰好获得1个二等奖”，此时仅包含两类互斥情况：第一次中一等奖、第二次中二等奖；第一次中二等奖、第二次中一等奖， 所以. 所以， 因为，即， 所以事件与不相互独立. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，，，，是棱的中点，是棱上异于端点的一点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的正弦值； （3）若直线与平面所成角的大小为，求线段的长. 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为为的中点，所以且， 又因为，且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，由，求得，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，得到，求得平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，可得，又因为，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 因为，可得是的中点，可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的正弦值为. 【小问3详解】 解：设，其中， 因为，可得， 所以， 又因为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为直线与平面所成的角为，可得， 即，解得， 又因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知事件，满足，，，则（ ） A. 0.9 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.2 2. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知事件与事件互斥，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A. B. C. 3 D. 6. 近年来，阳泉市聚力打造“红色之城”，持续升级百团大战纪念馆等红色阵地，推出跨省研学路线，红色研学热度高涨，红色文旅品牌影响力稳步提升．经统计发现，游客选择百团大战纪念碑的概率为，选择中共创建第一城景区的概率为．两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（ ） A. 至少一个红球；都是白球 B. 恰有一个红球；恰有一个白球 C. 至少有一个红球；至多有一个白球 D. 至多一个红球；都是红球 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. ，的夹角为钝角 B. 与向量同向的单位向量为 C. 在上的投影向量的长度为 D. 存在实数，使得 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则实数________. 13. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是________． 14. 如图，四棱锥中，平面，，，，则到平面的距离是______. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． （1）记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． （2）记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 16. 已知向量，. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数的值. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 某商场开展促销活动，每消费满500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. （1）已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； （2）为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件A，“乙恰好获得一个二等奖”为事件B. ①求事件A发生的概率； ②判断事件A与B是否相互独立，并说明理由. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，，，，是棱的中点，是棱上异于端点的一点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的正弦值； （3）若直线与平面所成角的大小为，求线段的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $