专题06 等腰三角形（期中重难点复习）2026-2027学年人教版八年级上学期数学期中考试重难点专题训练
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内容正文：
专题06 等腰三角形（期中重难点复习）
【新教材人教版八年级上册】
题型归纳
【题型1 等边对等角】 1
【题型2 三线合一】 10
【题型3 根据等角对等边证明边相等】 15
【题型4 根据等角对等边求边长】 22
【题型5 含30度角的直角三角形】 25
【题型6 格点图中画等腰三角形】 31
【题型7 等腰三角形的性质和判定】 34
【题型8 等边三角形的判定和性质】 61
【题型9 最短路径问题】 74
【题型1 】
1．如图，在中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，，再结合三角形外角的定义和性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
2．已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，则可得到，等量代换得到，本选项正确；③导角证明，即可得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案；⑤根据现有条件无法证明．
【详解】解：①∵，
∴，即，
又∵，
，
∴，本选项正确；
②∵在中，，，
∴，
，
∵，
，
∴，本选项正确；
③∵，
∴，
∴，本选项正确；
④∵，
，故此选项正确，
⑤根据现有条件无法证明，故此选项错误．
故正确的个．
3．春游有着悠久的历史，其源自远古农耕祭祀的迎春习俗，《尚书·大传》曰：“春，万物之出也．”小明和家人到公园踏春，为了将撑起后的帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳（），从前面看到的平面图形如图所示．已知，现测得，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形外角的性质求出的度数，再结合等腰三角形的性质及三角形外角性质求解．
【详解】解：，
，
是的外角 ，
．
，
．
是的外角 ，
．
．
4．如图，在中，，，，则的度数是______．
【答案】
【分析】根据三角形的内角和，求出，根据，求出，再根据等边对等角，三角形的内角和，即可求出．
【详解】解：∵是直角三角形且，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
5．如图，中，，D在边上，E在上，且，连接并延长交于点F，连接、相交于点G，若，则下列说法中：①；②；③；④若，，，M，N分别为线段，上的点，则的最小值为3，其中结论正确的是__________．（填序号）
【答案】①②③
【分析】设 ，则，利用等腰三角形性质和三角形内角和定理表示出相关角度，证明为等腰三角形判断①；利用外角性质和角度代换证明②；利用全等说明同位角相等证明③；利用轴对称性质和垂线段最短计算最小值判断④．
【详解】解：设 ，则 ，
，
，
，
，
．
，
．
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，故②正确；
延长至点，使，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
平分，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
连接，过点作于点，
，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的最小值为，
错误；
综上所述，正确的结论是①②③．
6．如图，在等腰中，，腰的垂直平分线交底边于点，垂足为点．求的度数．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质可得的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴．
7．如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，且直线，交于点．
(1)求证：点在的垂直平分线上；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明：如图所示，连接，
∵，分别是边，的垂直平分线，且直线，交于点，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上；
(2)
【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，再由线段垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质推出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵，分别是边，的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
8．如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明：∵，是斜边上的高，
∴，
∴，，
∵的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
(2)
【分析】（1）由和高得到，，再根据角平分线得到，即可得到，则，即可得到是等腰三角形；
（2）由，得到，则，根据求出，最后根据三角形内角和计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
由（1）得，
∴，
∴．
【题型2 】
9．如图，等腰中，，为的中点，连接，，为上任意两点，连接，，，，已知，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目问阴影面积，而 、 的位置不确定，说明结果与 、 无关．由等腰三角形的“三线合一”得 ，；三块阴影分别以 、、 为底，三个高都是 ，三条底首尾相接恰为 ，相加即可．
【详解】解：∵ ， 为 的中点，
∴ ，．
∴ 点 、 到直线 的距离都是 ．
∴ ，
，
．
∴
．
10．如图，在中，，于点，平分，交于点，于点，且交于点．若，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】由三线合一定理得到，，证明，则可证明，得到，则．
【详解】解：∵在中，，于点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
11．如图，在中，，于点，于点，于点，若，则的值为_____．
【答案】
【分析】利用三线合一性质得到，然后根据列式求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴．
12．如图，为的边上一点，且，平分，与相交于点，．若，，则的长为_________________．
【答案】1
【分析】由等腰三角形的性质得，再由，可得，则，即可求解．
【详解】解：平分，，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴．
13．如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P为直线上一动点，求的周长的最小值．
【答案】周长的最小值为7
【分析】连接，根据等腰三角形的三线合一性质可得，然后根据三角形的面积公式列方程，求得，再根据线段垂直平分线的性质证明，可得，即可求出周长的最小值．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，
的面积为12，
，
，
，
垂直平分，
，
为直线上一动点，
，
，
的周长的最小值为7．
14．综合实践
(1)【操作应用】实践小组用四根木条钉成“筝形”仪器，如图所示，其中，，相邻两根木条的连接处是可以转动的．连接，求证：平分；
(2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形”仪器检测教室门框是否水平，如图，在仪器上的点处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点，紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由．
【答案】(1)证明：在和中，
，
，
平分．
(2)实践小组的判断对；理由如下∶
是的平分线，，
，
是铅锤线，
是水平的，
门框是水平的，
实践小组的判断对．
【分析】（1）根据已知条件说明，由此得到角相等即可证明；
（2）根据等腰三角形三线合一即可说明，从而说明实践小组的判断对．
【题型3 】
15．如图，在中，，利用尺规作图，分别以点A和点C为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点G和H，作直线交于点E，交于点D，连接．则以下说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可知是的垂直平分线，由此即可一一判断．
【详解】解：由作图步骤及已知条件可知，是的垂直平分线，
∴，，，故选项A、B正确；
∴是等腰三角形，
∴，，
∴，
故选项D正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
无法证明，故选项C错误．
16．如图，在中，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点G，交于点H．下面说法正确的是（ ）
①的面积的面积；
②；
③；
④．
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．③
【答案】C
【分析】根据三角形中线性质判断①，利用同角的余角相等及角平分线定义判断②，通过计算角度证明等腰三角形判断③，根据已知条件无法推导④．
【详解】解：∵是边的中线，
∴，
∴，，
∴，故①正确；
∵，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故②错误；
∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
无法推出，即无法推出，故④错误；
综上所述，正确的结论是①③．
17．如图，在中，平分，平分，经过点与，相交于点，，且，若，，则的周长为_______________．
【答案】
18
【分析】利用角平分线的定义和平行线的性质，证得和，从而得出和，将的周长转化为求解．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴的周长
，
∵，
∴的周长．
18．如图：中，，D，E分别在，上，且，，若，，则__________．
【答案】
【分析】在线段上作交于点，设，根据三角形内角和定理以及外角定理，表示出相关角，然后根据等角对等边得出，，然后求出相关线段的长度，最后利用加减法求出线段长度．
【详解】解：如图所示，在线段上作交于点，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
又∵，
得，
∴．
19．如图，在中，，，的平分线交于点．
(1)作线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点（尺规作图，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，已知，求的度数和的长．
【答案】(1)如图所示，线段的垂直平分线即为所求；
(2)，
【分析】（1）按要求完成尺规作图；
（2）利用三角形内角和与角平分线定义求角度；由作图知是线段的垂直平分线，求得，再证明，据此求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：，，
．
平分，
．
；
∵，
，
．
，，
在中，．
．
由作图可知垂直平分，
，，
，
在中，．
20．在中，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，在内部作，与边相交于点．
(1)如图1，当时，________（度），________（度）；
(2)如图2，若，证明：；
(3)在点的运动过程中，当的形状是等腰三角形时，请直接写出的度数．
【答案】(1)，
(2)证明：，
，
，
，
，，，
，
在和中，
，
；
(3)或
【分析】（1）利用平角求，再用三角形外角的性质算出；
（2）先由等角对等边得到，结合条件得到，再利用外角推导，用证明两个三角形全等；
（3）分三种情况讨论等腰，舍去点D与点B重合的情况，得到或．
【详解】（1）解：，，
，
，
；
（2）略
（3）解：，
，
当时，，
，此时，点和点重合，不符合题意；
当时，，
，
；
当时，，
，
，
综上所述，当的形状是等腰三角形时，的度数为或．
【题型4 】
21．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为t（s），当与全等时，则点Q的运动速度为（ ）．
A．或1 B．1或2 C．或 D．1或
【答案】D
【分析】根据运动可知：，则，分、、三种情况讨论即可作答．
【详解】解：根据运动可知：，则，
当时，，，
∴，即，
∴，
此时点Q的运动速度为：；
当时，，，
∵，
∴，即，
此时点Q的运动速度为：；
当时，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
此时点Q的运动速度为：；
综上：点Q的运动速度为或者．
22．如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为________．
【答案】
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，求出的长，同理可证明，据此可得答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证明．
23．如图，在中，是边上的一点，的垂直平分线经过点，与相交于点．
(1)求的度数；
(2)若，则的周长为___________．
【答案】(1)
(2)13
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，结合已知条件得出答案即可；
（2）根据三角形内角和定理得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
【题型5 】
24．如图，在中，，，，则线段的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【详解】解：在中，，，
，
，
．
25．如图，直线，垂足为O，点A是射线上一个动点（不与点O重合），以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，点A、B在运动过程中，线段的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】过点C作于点E，于点G，于点H，连接，根据角平分线的性质以及判定可得点C在的角平分线上运动，过点F作于点，则当点C与点重合时，线段取得最小值，最小值为的长，再由直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图，过点C作于点E，于点G，于点H，连接，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴点C在的角平分线上运动，
过点F作于点，则当点C与点重合时，线段取得最小值，最小值为的长，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即线段的最小值是2．
26．如图，在中，，，，则___________．（用含a，b的代数式表示）
【答案】
【分析】过点C作交的延长线于点D，在含角直角三角形中，可求得，利用面积公式即可求解．
【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
27．如图，在等腰中，，，于点，点是延长线上的一点，点是线段上一点，，下列结论：
①；
②点在的垂直平分线上；
③；
④．其中正确的结论是______．
【答案】①②④
【分析】利用等腰三角形三线合一性质可判断①；连接，利用线段垂直平分线性质及等量代换可证明，再根据线段垂直平分线的判定可判断②；利用等边对等角可证，再根据三角形内角和定理可判断③；过点作于，于，利用角平分线性质可得，可证，，，再根据线段的和差关系可判断④，综上即可求解．
【详解】解：∵，， ，
∴，，故①正确；
连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上， 故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵点是延长线上的一点，
∴，
∴， 故③错误；
过点作于，于，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵在延长线上，在上，
∴，
∵在上，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
28．如图，在中，平分交于点D，交于点E，，垂足为F．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数；
(3)在（2）的条件下，若，求的长．
【答案】(1)证明：∵，
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵平分，
∴，
∴，
∴
(2)
(3)2
【分析】（1）由平行线和角平分线的性质证明即可；
（2）由三角形内角和定理可求得，根据角平分线条件可求，所以；
（3）利用直角三角形的性质可求．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴；
∴．
（3）解：∵，
∴
∵，，
∴．
29．如图，是的角平分线，，是，的高，连接，交于点O．
(1)试说明：垂直平分．
(2)，，，，求的长．
【答案】(1)证明：是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
，
∴点D在线段的垂直平分线上，
，
∴点A在线段的垂直平分线上，
垂直平分；
(2)的长为10
【分析】（1）首先根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，进而证明结论；
（2）设，由（1）知，根据三角形面积公式解得的值，进而可得，然后根据“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”，即可获得答案．
【详解】（1）略
（2）解：设，由（1）知，
，
，即，
整理可得，解得，
，
在中，，，
．
答：的长为10．
【题型6 】
30．如图，，两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点应该有（ ）个
A．7 B．8 C．9 D．1
【答案】B
【分析】分为等腰三角形的底边和为等腰三角形的一条腰两种情况讨论即可．
【详解】解：如图所示：
①为等腰三角形的底边，符合条件的点C有个；
②为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有个；
故符合条件的点C共有个．
31．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图在的网格中，点的坐标为，点的坐标为，为第一象限内的整点，若连接不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标为_______．
【答案】，，，，
【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，坐标与图形的变化，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
由不共线的三点构成轴对称图形，则是等腰三角形，再根据两圆一中垂可解决问题．
【详解】解：依题意，由不共线的三点构成轴对称图形，
∴是等腰三角形，
则以为圆心，以为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的点；
或以为圆心，以为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的点；
或以为底边，作其垂直平分线，与网格顶点相交，即为满足条件的点；
如图，共有符合要求的点坐标为：，，，，，
故答案为：，，，，
32．如图，方格纸中每一个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程）
(1)在图1中，，作以为腰的等腰三角形，使点在格点上；
(2)在图2中，在上确定一点，使得；
(3)已知，，，直接写出（2）中的长．
【答案】(1)如图，即为所求：
(2)如图，点即为所求：
(3)
【分析】（1）取点向右5个单位长度处的格点即为点，连接、即可；
（2）取点向右1个单位长度，向上4个单位长度处的格点，连接，与的交点即为点；
（3）由可得，利用等面积法求出．
【详解】（1）略
（2）解：如图，
由图可知，，，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
又∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
【题型7 】
33．如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据题中条件判定，再利用全等三角形性质及等腰直角三角形的性质逐一判断选项．
【详解】解：选项A、，
，即，
在和中，
，
，
故A选项正确，不符合题意；
选项B、，
，
，
，
在中，，
，即，
故B选项正确，不符合题意；
选项C、，
，
在中，，，
是等腰直角三角形，
，
故C选项错误，符合题意；
选项D、，，
，
故D选项正确，不符合题意．
34．在中，，，将按如图所示的方式依次折叠：
有下列四个结论：
①平分；
②；
③；
④的周长等于的长，其中正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据折叠的性质得到全等三角形，从而得出对应边相等、对应角相等，结合等腰直角三角形的性质，通过角度计算和线段代换逐条判断结论的正确性．
【详解】解：由折叠的性质可知，
∴，即平分，故①准确；
∵
∴，
由折叠可知，，，
∴，
在中，，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴
在中，
∵，
∴，故②错误，
在中，，
∵，
∴，故③准确；
∵的周长，
∴的周长，
∵，
∴的周长，故④正确，
综上所述，正确结论是①③④．
35．如图，在中，，，垂足为D，已知，，则______．
【答案】16
【分析】延长至点E，使得，则，由三角形外角的性质得到，从而，因此，再由等腰三角形的“三线合一”求解即可．
【详解】解：延长至点E，使得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
36．如图，、分别是的外角的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等；④．则正确的有________．
【答案】①③④
【分析】过点分别向、、作垂线，利用角平分线的性质，说明这三条垂线段相等，从而说明①③正确；而缺乏足够的条件说明；由，，，即可判断④．
【详解】解：如图，作，，，
∵、分别是的外角、的平分线，
∴，，
∴，
∴点P在的平分线上，
∴①正确，③正确；
∵、分别是的外角、的平分线，
∴，，
∵没有条件说明，
∴没有条件说明，
∴缺乏足够的条件说明，即缺乏足够的条件说明②正确；
∵，
∴
，
∴④正确；
综上：正确的有①③④．
37．如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接．判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】，理由如下：
，
始终保持与相等，
，
∵是线段的垂直平分线，
，
∴，
∴，
∴，即．
【分析】由得，由等腰三角形和线段垂直平分线的性质可得，进而即可求解．
【详解】略
38．已知：是的角平分线，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，点在上，连接并延长交于点，交的延长线于点，且，连接．求证：．
【答案】(1)证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)证明：由（1）可得，
∴，
∴，
∵是的角平分线，且，
∴垂直平分，，
如图，连接，
则，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵交的延长线于点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【分析】（1）由角平分线的定义可得，由垂线的定义可得，再证明即可；
（2）由（1）可得，则，由等腰三角形的性质可得垂直平分，，连接，则，先证明，得出，再证明即可．
【详解】（1）略；
（2）略．
39．已知中，于点，于点，交于点．
(1)如图，若，请直接写出的度数；
(2)如图，若，求证：；
(3)如图，在（2）的条件下，在上取点，使，在上取点，使，连接，若的面积为，求的长．
【答案】(1)
(2)证明：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
(3)
【分析】（1）根据同角的余角相等即可得到；
（2）根据等角的余角相等可得，继而根据可证，继而得到；
（3）过点作于点，过点作于点，连接，通过证明是等腰直角三角形，继而根据证明，得到，，通过证明，得到，，从而得到，解得．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）略；
（3）解：如图，过点作于点，过点作于点，连接，
由（2）可知，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：（舍去负值）．
【题型8 】
40．如图，是等边三角形，，分别交于点D，E，则的形状是（ ）
A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】B
【分析】由等边三角形的性质得到，则由平行线的性质可推出，故是等边三角形．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
41．如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质求出边长，作点关于的对称点，连接交于点，连接，利用两点之间线段最短可知即为的最小值，再证明是等边三角形即可求解．
【详解】解：是等边三角形，是边上的高，，
，，平分，
作点关于的对称点，连接交于点，连接，
在上，，，
，
即有最小值，为，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形 ，
，
的最小值为．
42．如图，为面积为的等边的中线，点F在过点C且垂直于的直线上运动，连接，以为边在的左侧作等边，则点E恰好始终落在上，连接，当最小时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作点D关于直线对称的点，连接，得到，证明，，在同一直线上，证明，得到，根据等边面积为6求出，再根据，即可求出的面积．
【详解】解：如图所示，作点D关于直线对称的点，连接，
则,
∴,
由对称性知，且 ，
故，
∴为等边三角形，得，
∵D为中点，
∴，
∴为等腰三角形，
又∵，
∴，
∵共线，
∴，
在中，，
∵，
∴，即点F在线段的垂直平分线上，
∵是等边三角形，是中线，
∴垂直平分，
∴点必在直线，则，，在同一直线上，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为等边的中线，
∴，，
∵等边面积为6，
∴，
∴，
∵，
∴．
43．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点，连接的延长线交于点，若，则的长为__________．
【答案】4
【分析】由作图痕迹可得，判定为等边三角形，求出和的度数，进而利用直角三角形两锐角互余及角的和差关系证得，得出即可求解.
【详解】解：由作图痕迹可得，，
，
为等边三角形，
，
，
，，
，
．
44．如图，已知和均为等边三角形，且B、C、D三点共线，连接和，在和上截取，连接、、，则①平分；②；③；④是等边三角形，以上说法正确的是______（填写正确语句的序号）．
【答案】①②④
【分析】由等边三角形的性质得到，求出，即可判断①．根据即可判断②；证明得到，再证，得到，，推出即可判断④；结合的长是等边的边长，的长度取决于点M的位置，即可判断③．
【详解】解：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
∵B、C、D三点共线，
∴，
∴平分，故①正确．
∵，
∴，故②正确．
∵和均为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，故④正确．
的长是等边的边长，的长度取决于点M的位置，不一定等于，故③错误．
综上所述，说法正确的是①②④．
45．如图，在中，点、分别在边、上，过点作，，．点在上，且．给出以下结论：①；②；③若，则；④．其中一定成立的有________ ．
【答案】②③④
【分析】通过已知条件证明三角形全等，进而得出线段和角的关系即可．
【详解】解：在上取一点，使得，
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，，故④正确；
∵，
∴．
∴，即，
∴，故②正确，
若，
∴，为等边三角形，，不一定成立，故①错误；
若，
∴，
又∵，
∴，故③正确．
故答案为：②③④．
46．如图，在中，D是的中点，于点E，于点F，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明：是中点，
．
，
．
在和中
．
(2)
【分析】（1）利用中点得到，结合垂直条件得到直角三角形，用证明，证得；
（2）由角度关系推出是等边三角形，得到，再在中利用直角三角形性质求出．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得，
又，
，
是等边三角形．
，
是中点，
，
∵，
．
在中，角所对直角边等于斜边的一半，
．
47．问题解决
是等边三角形，点D是直线上一点（不与A，C重合），点E在 射线上（不与B，C重合），且，连接，探究与的数量关系．
(1)【特例探究】从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点D在边的中点时，请你直接写出线段与的数量关系________________；
(2)【数学思考】如图2，当点D是边上任意一点时（不是中点），同学们讨论发现结论依然成立．小颖的思路是通过作，然后证明和全等，进而得到结论．请你依据小颖的思路写出完整的证明过程；
(3)类比延伸：【拓展应用】如图3，是等边三角形，点M在边上，点D在的延长线上，与的平分线所在的直线相交于点N，请写出的数量关系并证明．
【答案】(1)
(2)证明：如图2，过点D作，交于点F，
∵是等边三角形，
∴，
，
∴是等边三角形，
∴，
，
，
，
，
，
又∵，
．
在和中，
，
，
∴；
(3)结论：，
证明：过M作交于F，
∵是等边三角形，
∴同理可得是等边三角形，
∴，
，
，
∵在中，，
，
平分，
∴，
，
∴，
在与中，
，
，
，
．
【分析】（1）根据等边三角形的性质结合等角对等边即可得到与的数量关系；
（2）添加辅助线，结合等边三角形的性质证明 和全等，由此可证明；
（3）添加辅助线，证明 与全等，由此可得 ，再由边的关系证明即可．
【详解】（1）解：，
∵是等边三角形，点D在边的中点，
∴ ，，且平分，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴；
（2）略
（3）略
48．已知是等边三角形，点D是所在直线左侧的一动点，且在边的上方．
(1)如图1，平分，连接， ．求证：；
(2)如图2，若，点G是延长线上一点，连接交于点E．
①求的度数；
②若点E为的中点，，探究线段之间的数量关系．
【答案】(1)证明：∵是等边三角形，平分，
∴，是的中线，且，
即垂直平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，即；
(2)①；②
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得垂直平分，可证明，即可求证；
（2）①在上取点F，使，连接，证明，可得到为等边三角形，即可解答；
②在上取点F，使，连接，在上取点H，使，连接，证明，可得，，从而得到，再结合，为等边三角形，可得，从而得到，进而得到，可得到，从而得到，即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：①如图，在上取点F，使，连接，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
②如图，在上取点F，使，连接，在上取点H，使，连接，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
由①得：，为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵．
【题型9 】
49．如图，点在直线同侧，在直线上取一点，使得最小，对点的位置叙述正确的是（ ）
A．作线段的垂直平分线与直线的交点，即为点
B．过点作直线的垂线，垂足即为点
C．作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点，即为点
D．连接并延长与直线的交点，即为点
【答案】C
【分析】要使最短，根据“两点之间线段最短”可知：作点关于直线的对称点，连接交直线于点即可．
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接
∴直线垂直平分，
∴，
∵，
∴此时的值最小，最小值为线段的长，
则点即为所作．
50．如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为，则牧马人所走最短的放牧总路程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别作点关于草地所在直线的对称点、关于河流所在直线的对称点，因为对称点到对应直线上任意点的距离与原点到该点的距离相等，所以总路程可转化为到草地上的点、再到河流上的点、再到的路径长度，再根据两点之间线段最短，可知最短总路程为线段的长度，再根据三角形三边关系判断其范围即可．
【详解】如图所示，作点关于草地所在直线的对称点、关于河流所在直线的对称点，
∴，，
∴根据三角形三边关系可得，
∴．
∴只有符合题意
51．如图，已知，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．当将军走过的路程最短时，则__________．
【答案】70
【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，此时，路程最短；通过对称性得出为等腰三角形且顶角为，进而求出底角；最后利用对称性将底角转化为和，求和即可得到．
【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，如下图：
此时，路程最短，
由对称性质可知，，．
，
，
，
∵，
，
由对称性质可知，，
，，
．
52．如图所示，中，，M、N分别为上动点，且，连接，当最小时，________．
【答案】1
【分析】过点B在下方作，且，连接证明，则，得到当三点共线时，的值最小，证明，则，得到，即可得到答案．
【详解】解：过点B在下方作，且，连接
∵
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴
当三点共线时，的值最小，
此时，在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
53．如图，的顶点坐标分别为，，．
(1)作图：画出关于轴对称的．
(2)填空：写出以下各点的坐标：__________，__________，__________．
(3)作图：在轴上确定点的位置，使得的值最小．
【答案】(1)解：如图，为所求；
(2)2，3；3，0；1，
(3)如图，点P为所求；
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）由图可直接得出点，，的坐标；
（3）连接与轴交点即为点；
【详解】（1）略
（2）解：由图可得，各点坐标为，，．
（3）解：连接与轴交点为点，此时由对称可得，则，
∴当点在上时的值最小．
54．数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课．
【活动一】情境再现，明晰原理
示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他所走路程的和最短？
作法是：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短．
示例2：如图③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠，使得到村庄的距离最短．可过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力．
(1)示例1中所包含的数学原理是（ ）；示例2中所包含的数学原理是（ ）．
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
【活动二】感悟方法，尝试应用
如图④，在等边三角形中，是的中线．
(2)直接写出与的数量关系________．
(3)若，为边的中点，为上一点．当的值最小时，在图④上标注点的位置，并求出的最小值．
【活动三】迁移拓展，综合应用
(4)如图（5），在中，，，点在斜边上，且，是的角平分线，，分别为，上一点，请直接写出的最小值．
【答案】(1)A；B
(2)
(3)如图①，点即为所求．
的最小值为4
(4)的最小值为
【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”求解即可；
（2）根据三线合一得到，，即可得到；
（3）连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可；
（4）在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可．
【详解】（1）解：示例1中所包含的数学原理是两点之间，线段最短；示例2中所包含的数学原理是垂线段最短．
（2）解：∵在等边三角形中，是的中线
∴，
∴；
（3）解：如图所示，连接交于点F，连接，
∵点为上一点
∴
∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度
∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点，
∴
（4）解：如图所示，在上取点使，，连接
∵是的角平分线
∴
∵
∴
∴
∴
∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度
∴当时，最小
∵
∴
∴
∵
∴，
∴的最小值为．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质，轴对称的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
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专题06 等腰三角形（期中重难点复习）
【新教材人教版八年级上册】
题型归纳
【题型1 等边对等角】 1
【题型2 三线合一】 4
【题型3 根据等角对等边证明边相等】 5
【题型4 根据等角对等边求边长】 7
【题型5 含30度角的直角三角形】 8
【题型6 格点图中画等腰三角形】 10
【题型7 等腰三角形的性质和判定】 11
【题型8 等边三角形的判定和性质】 18
【题型9 最短路径问题】 21
【题型1 】
1．如图，在中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．春游有着悠久的历史，其源自远古农耕祭祀的迎春习俗，《尚书·大传》曰：“春，万物之出也．”小明和家人到公园踏春，为了将撑起后的帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳（），从前面看到的平面图形如图所示．已知，现测得，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，则的度数是______．
5．如图，中，，D在边上，E在上，且，连接并延长交于点F，连接、相交于点G，若，则下列说法中：①；②；③；④若，，，M，N分别为线段，上的点，则的最小值为3，其中结论正确的是__________．（填序号）
6．如图，在等腰中，，腰的垂直平分线交底边于点，垂足为点．求的度数．
7．如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，且直线，交于点．
(1)求证：点在的垂直平分线上；
(2)若，求的度数．
8．如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的度数．
【题型2 】
9．如图，等腰中，，为的中点，连接，，为上任意两点，连接，，，，已知，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，于点，平分，交于点，于点，且交于点．若，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．如图，在中，，于点，于点，于点，若，则的值为_____．
12．如图，为的边上一点，且，平分，与相交于点，．若，，则的长为_________________．
13．如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P为直线上一动点，求的周长的最小值．
14．综合实践
(1)【操作应用】实践小组用四根木条钉成“筝形”仪器，如图所示，其中，，相邻两根木条的连接处是可以转动的．连接，求证：平分；
(2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形”仪器检测教室门框是否水平，如图，在仪器上的点处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点，紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由．
【题型3 】
15．如图，在中，，利用尺规作图，分别以点A和点C为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点G和H，作直线交于点E，交于点D，连接．则以下说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
16．如图，在中，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点G，交于点H．下面说法正确的是（ ）
①的面积的面积；
②；
③；
④．
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．③
17．如图，在中，平分，平分，经过点与，相交于点，，且，若，，则的周长为_______________．
18．如图：中，，D，E分别在，上，且，，若，，则__________．
19．如图，在中，，，的平分线交于点．
(1)作线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点（尺规作图，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，已知，求的度数和的长．
20．在中，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，在内部作，与边相交于点．
(1)如图1，当时，________（度），________（度）；
(2)如图2，若，证明：；
(3)在点的运动过程中，当的形状是等腰三角形时，请直接写出的度数．
【题型4 】
21．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为t（s），当与全等时，则点Q的运动速度为（ ）．
A．或1 B．1或2 C．或 D．1或
22．如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为________．
23．如图，在中，是边上的一点，的垂直平分线经过点，与相交于点．
(1)求的度数；
(2)若，则的周长为___________．
【题型5 】
24．如图，在中，，，，则线段的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
25．如图，直线，垂足为O，点A是射线上一个动点（不与点O重合），以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，点A、B在运动过程中，线段的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
26．如图，在中，，，，则___________．（用含a，b的代数式表示）
27．如图，在等腰中，，，于点，点是延长线上的一点，点是线段上一点，，下列结论：
①；
②点在的垂直平分线上；
③；
④．其中正确的结论是______．
28．如图，在中，平分交于点D，交于点E，，垂足为F．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数；
(3)在（2）的条件下，若，求的长．
29．如图，是的角平分线，，是，的高，连接，交于点O．
(1)试说明：垂直平分．
(2)，，，，求的长．
【题型6 】
30．如图，，两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点应该有（ ）个
A．7 B．8 C．9 D．1
31．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图在的网格中，点的坐标为，点的坐标为，为第一象限内的整点，若连接不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标为_______．
32．如图，方格纸中每一个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程）
(1)在图1中，，作以为腰的等腰三角形，使点在格点上；
(2)在图2中，在上确定一点，使得；
(3)已知，，，直接写出（2）中的长．
【题型7 】
33．如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
34．在中，，，将按如图所示的方式依次折叠：
有下列四个结论：
①平分；
②；
③；
④的周长等于的长，其中正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
35．如图，在中，，，垂足为D，已知，，则______．
36．如图，、分别是的外角的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等；④．则正确的有________．
37．如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接．判断与的位置关系，并说明理由．
38．已知：是的角平分线，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，点在上，连接并延长交于点，交的延长线于点，且，连接．求证：．
39．已知中，于点，于点，交于点．
(1)如图，若，请直接写出的度数；
(2)如图，若，求证：；
(3)如图，在（2）的条件下，在上取点，使，在上取点，使，连接，若的面积为，求的长．
【题型8 】
40．如图，是等边三角形，，分别交于点D，E，则的形状是（ ）
A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
41．如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
42．如图，为面积为的等边的中线，点F在过点C且垂直于的直线上运动，连接，以为边在的左侧作等边，则点E恰好始终落在上，连接，当最小时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
43．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点，连接的延长线交于点，若，则的长为__________．
44．如图，已知和均为等边三角形，且B、C、D三点共线，连接和，在和上截取，连接、、，则①平分；②；③；④是等边三角形，以上说法正确的是______（填写正确语句的序号）．
45．如图，在中，点、分别在边、上，过点作，，．点在上，且．给出以下结论：①；②；③若，则；④．其中一定成立的有________ ．
46．如图，在中，D是的中点，于点E，于点F，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
47．问题解决
是等边三角形，点D是直线上一点（不与A，C重合），点E在 射线上（不与B，C重合），且，连接，探究与的数量关系．
(1)【特例探究】从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点D在边的中点时，请你直接写出线段与的数量关系________________；
(2)【数学思考】如图2，当点D是边上任意一点时（不是中点），同学们讨论发现结论依然成立．小颖的思路是通过作，然后证明和全等，进而得到结论．请你依据小颖的思路写出完整的证明过程；
(3)类比延伸：【拓展应用】如图3，是等边三角形，点M在边上，点D在的延长线上，与的平分线所在的直线相交于点N，请写出的数量关系并证明．
48．已知是等边三角形，点D是所在直线左侧的一动点，且在边的上方．
(1)如图1，平分，连接， ．求证：；
(2)如图2，若，点G是延长线上一点，连接交于点E．
①求的度数；
②若点E为的中点，，探究线段之间的数量关系．
【题型9 】
49．如图，点在直线同侧，在直线上取一点，使得最小，对点的位置叙述正确的是（ ）
A．作线段的垂直平分线与直线的交点，即为点
B．过点作直线的垂线，垂足即为点
C．作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点，即为点
D．连接并延长与直线的交点，即为点
50．如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为，则牧马人所走最短的放牧总路程可能是（ ）
A． B． C． D．
51．如图，已知，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．当将军走过的路程最短时，则__________．
52．如图所示，中，，M、N分别为上动点，且，连接，当最小时，________．
53．如图，的顶点坐标分别为，，．
(1)作图：画出关于轴对称的．
(2)填空：写出以下各点的坐标：__________，__________，__________．
(3)作图：在轴上确定点的位置，使得的值最小．
54．数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课．
【活动一】情境再现，明晰原理
示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他所走路程的和最短？
作法是：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短．
示例2：如图③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠，使得到村庄的距离最短．可过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力．
(1)示例1中所包含的数学原理是（ ）；示例2中所包含的数学原理是（ ）．
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
【活动二】感悟方法，尝试应用
如图④，在等边三角形中，是的中线．
(2)直接写出与的数量关系________．
(3)若，为边的中点，为上一点．当的值最小时，在图④上标注点的位置，并求出的最小值．
【活动三】迁移拓展，综合应用
(4)如图（5），在中，，，点在斜边上，且，是的角平分线，，分别为，上一点，请直接写出的最小值．
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