精品解析：山东济南市槐萌区2026-2027学年第一学期八年级数学期中试题

2026~2027学年度第一学期期中质量检测八年级数学（2026.11） 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 25的平方根是 （ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是明确一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 首先回顾平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；根据定义，找出平方后等于25的数，即可确定25的平方根． 【详解】解：A、5的平方是25，但5只是25的一个正平方根，并非全部平方根，此选项不符合题意； B、，即的平方都等于25，符合平方根的定义，此选项符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，“云形”盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图案盖住的点在第二象限，第二象限的点的符号特征为，进行判断即可． 【详解】解：∵图案盖住的点在第二象限，且第二象限的点的符号特征为， ∴“云形”图案盖住的点的坐标可能是． 3. 下列图象中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意； B、对于任意的一个x，y有两个值与其对应，故不是的函数，故选项符合题意； C、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意； D、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意． 4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，6，8 C. 5，7，9 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，计算两个较小边长的平方和是否等于最大边长的平方，若相等则能构成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：A、，，，不能构成直角三角形； B、，，，不能构成直角三角形； C、，，，不能构成直角三角形； D、，，，能构成直角三角形． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则计算判断即可． 【详解】解：对于选项A，与不能合并，原计算错误； 对于选项B，，原计算错误； 对于选项C，，原计算正确； 对于选项D，，原计算错误． 6. 五子棋，亦称“连珠”，是棋类竞技项目之一．某对弈情况如图所示，若在棋盘上建立了平面直角坐标系，黑子M的位置是，白子①的位置是，则白子②的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点的坐标在实际中的应用，根据题意确定坐标系的原点的位置，进而求解即可． 【详解】解：∵黑子M的位置是，白子①的位置是， ∴如图，坐标系的原点如图： ∴白子②的坐标是， 故选：B． 7. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数轴得，，再利用实数的加减乘除运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，，，， 故选项A、B、C正确，不符合题意，选项D错误，符合题意． 8. 在函数中，若，且，则函数图象大概是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件判断 、 的符号，结合一次函数  的图象性质进行判断． 【详解】解：，  函数图象经过第二、四象限，故A、B不符合题意． ，，  ．     函数图象与  轴交于正半轴． ∴ C 符合题意，D不符合题意． 9. 我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则葛藤的最短长度是（ ） A. 20尺 B. 22尺 C. 25尺 D. 30尺 【答案】C 【解析】 【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化为下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【详解】解：如图所示， 在如图所示的直角三角形中， ∵尺，（尺）， ∴（尺）， 即葛藤的最短长度是25尺． 10. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，……，以此类推，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到每旋转6次是一个循环，点落在第三象限，且，过点作轴于点H，求出和，进而求解即可． 【详解】解：第一次旋转后，在第一象限，， 第二次旋转后，在第二象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第三象限，， 第五次旋转后，在第四象限，， 第六次旋转后，在x轴正半轴，， ……， 每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴， 而， 在第三象限，且， 如图，过点作轴于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 满足的整数x是_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据整数的平方值来确定两个无理数之间的整数值． 【详解】∵ 即， ∴满足的整数x只有2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了估计无理数的整数值，解题的关键是利用整数的平方数来确定无理数的取值范围． 12. 27的立方根为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 13. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据根式有意义的定义，得不等式，求解即可． 【详解】解：若要根式有意义， 则， 解得． 14. 已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且经过点，则_________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据平行直线的解析式的值相等确定的取值，再将已知点坐标代入解析式求解，最后计算的乘积 【详解】解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象平行． ∴． ∵该一次函数的图象经过点． ∴将，，代入解析式，得． 解得． ∴． 15. 如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．行驶过程中，两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图，当乙车出发追上甲车时，乙车行驶了________小时． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数图象和一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图像中的数据，得到，两城两城的距离，求得乙车的速度，甲车速度，再根据甲、乙两车行驶的路程相等列方程求解即可． 【详解】解：由图像可得，，两城两城相距千米． 乙车从城出发匀速行驶至城所需的时间为：（小时）， ∴乙车的速度为：（千米/小时）． 甲车从城出发匀速行驶至城所需的时间为小时， ∴甲车的速度为：（千米/小时）， 设乙车出发追上甲车时，乙车行驶了小时， ∴， 解得：， 即乙车出发追上甲车时，乙车行驶了小时， 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为_____． 【答案】4或##或4 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的定义分三种情况分别进行解答即可． 【详解】解：如图1所示：当时，过点作，则， 当时，， ∵，， ∴， 由翻折的性质，得， ， ， ， ； 如图2所示：当时，则； 当时， ∵，， 点、在的垂直平分线上， 垂直平分， 由折叠可知点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述，的长为4或． 故答案为：4或． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 18. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【小问1详解】 解： 因此或． 【小问2详解】 解： 因此或． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）画出； （2）在图中画出关于轴的对称图形； （3）求的面积． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3）6 【解析】 【分析】（1）在直角坐标系中描出点，，，再顺次连接即可； （2）利用关于轴对称图形的点的坐标特征是“横坐标相反，纵坐标不变”得到对应点的位置即可画出图形； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 20. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．求绳子的总长度．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． 21. 如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先根据直线的解析式求出点A的坐标，再根据三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：令， 解得， ， ， ， ． 22. 如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），，两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得，间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米， （1）求证：； （2）请你计算点，之间的距离． 【答案】（1）证明：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）点、之间的距离为18米 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得是直角三角形，且， 又∵米， ∴米， ∴米， 答：点、之间的距离为18米． 23. 小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到．已知两个商店的标价都是每本3元．甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的七折出售．乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折出售．设小明购买练习本的数量为x本，去甲商店收费实付元，去乙商店收费实付元． （1）分别写出两个商店的收费、（单位：元）与购买练习本的数量x（单位：本）之间的关系式．（写出自变量取值范围） （2）购买多少练习本时这两个商店的收费是一样的？ （3）小明现有72元，最多可买多少本练习本？ 【答案】（1） 甲商店：当且为整数时，；当且为整数时，； 乙商店：（且为整数） （2） 购买20本练习本时两个商店的收费一样 （3） 最多可买30本练习本 【解析】 【分析】（1）根据甲、乙商店的优惠规则，分情况推导收费与购买数量的关系式； （2）令两商店收费相等，分情况解方程得到收费相同时的购买数量； （3）分别计算72元在两个商店可购买的练习本数量，比较后得到最大值； 【小问1详解】 解：对于甲商店： 当购买数量不超过10本时，按原价收费， ∴（，为整数）； 当购买数量超过10本时，前10本按原价，超出部分按七折收费， ， 化简得（，为整数）， 对于乙商店，全部练习本按八五折收费， ∴（，为整数）； 【小问2详解】 解：分两种情况讨论：①当时，令， 即， 解得，不符合实际购买需求，舍去； ②当时，令， 即， 移项得， 解得，符合题意； 综上所述，购买20本练习本时两个商店的收费一样； 【小问3详解】 解：分别计算72元在两个商店可购买的练习本数量： ①若在乙商店购买：令， 即， 解得， ∵为整数， ∴最多可购买28本； ②若在甲商店购买：∵购买10本需花费元，， ∴购买数量超过10本， 令， 即， 解得，符合题意； ∵， ∴最多可买30本练习本， 答：最多可买30本练习本． 24. 教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． （1）如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______； （2）图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． （3）如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积． 【答案】（1） （2） 梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即． （3）96 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，利用面积法求出即可； （2）分别用梯形的面积公式和三个直角三角形面积求出梯形的面积，再根据两次求出的面积相等列出关系式，最后化简即可证明； （3）设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c，由题意及图形可知，，因为外轮廓周长为48，得，求得，在中，由勾股定理列等式求出x的值，即可解答 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c， 由题意及图形可知，为较短直角边，即， 因为外轮廓周长为48，且由4个全等的部分组成，每部分为斜边与较长直角边减6之和， 所以， 解得，即， 在中，由勾股定理得：， 代入数据得， 解得 所以该图案的面积为： 答：该"勾股风车"图案的面积为96 25. 【概念引入】轩轩同学和他的好朋友，在数学课的课外讨论时间中，探究得到一种新的函数：对于给定的一次函数（其中k、b为常数，且），把函数称为一次函数的友好函数． 例如：一次函数，它的友好函数为． 【理解运用】 （1）对于一次函数，它的友好函数的表达式为． （2）为了研究的友好函数的图象，轩轩同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … 根据表中的结果，在图中所给的坐标系中画出的友好函数的图象． （3）若点在的友好函数的图象上， ①当时，________________； ②当时，的取值范围为________________． 【拓展提升】 （4）已知直线的友好函数与的图象交于A、B两点（点A在点B的下方），点在轴上，当的面积为8时，求的值． 【答案】（1） （2）如图，函数图象即为所求． （3）①；② （4）3或 【解析】 【分析】（1）根据友好函数的定义即可求解； （2）先在直角坐标系中描出相应的点，再连线即可画出图象； （3）①令、，分别求出对应的值即可； ②根据（2）中的函数图象结合表格数据即可得出答案； （4）联立函数的解析式，分别求出点，的坐标，再根据的面积为8建立方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由定义可知，一次函数的友好函数的表达式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，． ②由图象可得，当时，取得最大值2， 当时，取得最小值， ∴当时，的取值范围为． 【小问4详解】 解：如图2，设直线与轴交于点， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵直线的友好函数与的图象交于A、B两点（点A在点B的下方）， ∴和， 解得和， ∴，， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， 解得，， ∴的值为3或． 26. 如图，直线分别与x轴、y轴交于点B和点A，直线分别与x轴、y轴交于点和点A． （1）求点B坐标及直线的表达式； （2）点P在线段上，过点P作x轴的垂线分别交直线和直线于点M、点N，若，求出点P的坐标； （3）是否存在等腰直角三角形，使直角顶点D在直线上，同时点E在直线上，如果存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；直线的表达式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先分别求出点A、B的坐标，再把点A和点C的坐标分别代入，即可求出直线的表达式； （2）设，则，，因此可得，根据，得，点P在线段上，即可求出点P的坐标； （3）设，，过点D作轴于点M，过点E作于点N，证明，则，列式，，解得，进而可得点D的坐标；过点D作轴于点P，过点E作的延长线于点Q，证明，则，列式，解得，进而可得点D的坐标． 【小问1详解】 解：把代入得：， 把代入得：，解得， ，， 把，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：设，则，， ， ， ， 解得或， ∵点P在线段上， ； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 直角顶点D在直线上，点E在直线上， 设，， 过点D作轴于点M，过点E作于点N， 若是等腰直角三角形，则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 解得：， 此时； 过点D作轴于点P，过点E作的延长线于点Q， 若是等腰直角三角形，则， ， ， 在和中， ， ， ， 解得， 此时； 综上所述，点D的坐标为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期期中质量检测八年级数学（2026.11） 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 25的平方根是 （ ） A. 5 B. C. D. 2. 如图，“云形”盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图象中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，6，8 C. 5，7，9 D. 6，8，10 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 五子棋，亦称“连珠”，是棋类竞技项目之一．某对弈情况如图所示，若在棋盘上建立了平面直角坐标系，黑子M的位置是，白子①的位置是，则白子②的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 在函数中，若，且，则函数图象大概是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则葛藤的最短长度是（ ） A. 20尺 B. 22尺 C. 25尺 D. 30尺 10. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，……，以此类推，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 满足的整数x是_____________． 12. 27的立方根为_____． 13. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 14. 已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且经过点，则_________． 15. 如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．行驶过程中，两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图，当乙车出发追上甲车时，乙车行驶了________小时． 16. 如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为_____． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）画出； （2）在图中画出关于轴的对称图形； （3）求的面积． 20. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．求绳子的总长度．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） 21. 如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 22. 如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），，两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得，间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米， （1）求证：； （2）请你计算点，之间的距离． 23. 小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到．已知两个商店的标价都是每本3元．甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的七折出售．乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折出售．设小明购买练习本的数量为x本，去甲商店收费实付元，去乙商店收费实付元． （1）分别写出两个商店的收费、（单位：元）与购买练习本的数量x（单位：本）之间的关系式．（写出自变量取值范围） （2）购买多少练习本时这两个商店的收费是一样的？ （3）小明现有72元，最多可买多少本练习本？ 24. 教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． （1）如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______； （2）图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． （3）如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积． 25. 【概念引入】轩轩同学和他的好朋友，在数学课的课外讨论时间中，探究得到一种新的函数：对于给定的一次函数（其中k、b为常数，且），把函数称为一次函数的友好函数． 例如：一次函数，它的友好函数为． 【理解运用】 （1）对于一次函数，它的友好函数的表达式为． （2）为了研究的友好函数的图象，轩轩同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … 根据表中的结果，在图中所给的坐标系中画出的友好函数的图象． （3）若点在的友好函数的图象上， ①当时，________________； ②当时，的取值范围为________________． 【拓展提升】 （4）已知直线的友好函数与的图象交于A、B两点（点A在点B的下方），点在轴上，当的面积为8时，求的值． 26. 如图，直线分别与x轴、y轴交于点B和点A，直线分别与x轴、y轴交于点和点A． （1）求点B坐标及直线的表达式； （2）点P在线段上，过点P作x轴的垂线分别交直线和直线于点M、点N，若，求出点P的坐标； （3）是否存在等腰直角三角形，使直角顶点D在直线上，同时点E在直线上，如果存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $