21.3 一元二次方程的判别式（第1课时）教学设计 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

课程名称

一元二次方程的判别式

教师姓名

授课时长

40分钟

知识点来源

学科：数学　　年级：八年级　　教材版本：沪教版（五四制）八年级上册

课题：第21章　一元二次方程　21.3　一元二次方程的判别式（第1课时）

知识点描述

一般形式：一元二次方程（）。

根的判别式：式子叫做一元二次方程（）根的判别式，通常记作。

判别法则：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。

推导来源：用配方法解一般形式的一元二次方程，得，方程有无实数根取决于的符号。

应用：不解方程判断方程根的情况；已知方程根的情况，求方程中待定字母的取值或取值范围。

注意：使用判别式的前提是二次项系数，含字母系数的方程需先分类讨论。

教学目标（指向核心素养）

一、数学抽象

1.经历用配方法解一般形式一元二次方程的过程，从具体方程的求解中抽象出这一判别根的关键式子，形成根的判别式的概念。

2.能用符号语言表述根的情况与的符号之间的对应关系。

二、逻辑推理

1.经历“配方—讨论—归纳”的完整推理过程，理解判别式结论的由来，发展演绎推理能力。

2.能依据根的情况逆向推断字母参数的取值范围，体会分类讨论思想。

三、数学运算

1.能准确确定、、的值并正确计算，减少符号与运算错误。

2.能不解方程判断根的情况，提高运算的选择性与效率。

四、数学观念

1.体会“由运算结构预判结果”的理性精神，感受数学结论的确定性与普适性。

2.联系2026年校园科技节“数学挑战赛”等真实活动情境，增强用数学眼光观察生活的意识。

教学重点

根的判别式的概念；一元二次方程根的情况与的符号之间的关系及其运用。

教学难点

用配方法推导判别式的过程；含字母系数的方程中二次项系数前提的运用与分

类讨论。

适用对象

八年级学生（沪教版（五四制）八年级上册）

课型

（注：可选择如下选项，也可以补充填写）

■新授课　□复习课　□习题课　□实验课　□其他

教学用途

（注：可选择如下选项，也可以补充填写）

■课堂教学　□课前预习　□课后复习　□其他

设计思路

教材与学情：学生已掌握一元二次方程的概念及开平方法、配方法，本节在此基础上研究“不解方程预判根的情况”，是配方法的延续与深化。

设计主线：负数开方引发认知冲突，配方一般形式推导判别式，三种情况归纳，正向判断与逆向求参训练，全课40分钟。

难点突破：以“还能不能继续解”为引，让学生自己发现根的情况取决于的符号，再推广到一般形式。

反馈矫正：设计“不解方程判根”题组与含参变式，当堂检测前提与符号运算的掌握情况。

教 学 过 程

环节

内　容

设计意图

一、导入新课

（约4分钟）

【情境引入】2026年校园科技节“数学挑战赛”上，小明抽到一道“猜根”题：不解方程，你能说出有几个实数根吗？

【活动】学生尝试用配方法求解，配方后得。负数没有平方根，方程没有实数根。

【设问】不解方程，能否仅凭方程的系数预判根的情况？由此引出课题：一元二次方程的判别式。

从“猜根”游戏制造认知冲突，让学生体会预判根的情况的必要性，自然引出判别式课题。

二、新课教学（一）

（约10分钟）

1.用配方法解一般形式（）：移项、二次项系数化为1，配方可得：

2.讨论：方程左边是非负数，方程能否开平方，取决于分子的符号。

3.三种情况归纳：

当大于0时，两边开平方得，方程有两个不相等的实数根；

当等于0时，方程有两个相等的实数根；

当小于0时，负数不能开平方，方程没有实数根

由学生亲历“配方—讨论—归纳”的完整推理，理解判别式不是“背出来”而是“推出来”的，渗透分类讨论思想。