1.4用一元二次方程解决问题（第1课时）教学设计 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第1章《一元二次方程》教学设计

1.4 用一元二次方程解决问题

第1课时  传播问题

一、课标要求

在《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段“方程与不等式”主题中，要求学生“能根据具体问题中的数量关系列出方程”，“会用一元二次方程解决简单的实际问题”，并强调在解决实际问题的过程中感悟方程模型的思想方法，发展模型观念与应用意识。本课时要求学生经历“实际问题—一元二次方程模型—求解—检验—作答”的完整建模过程，能从传播、比赛等真实情境中抽象出数量关系，正确列出一元二次方程并求解，能根据具体问题的实际意义讨论方程的根，检验结果的合理性，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。

二、教材分析与教学策略

1.教材分析：本节是初中数学苏科版九年级上册第1章《一元二次方程》的最后一节，是在学生学习了一元二次方程的概念、直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法以及根与系数的关系之后，系统学习运用方程解决实际问题的内容。依据课程标准，本节按问题类型划分为三个课时，本节课为第1课时，以教材“传播”问题为核心载体。传播问题中“两轮传播后的总人数”呈平方结构，既可直接调用直接开平方法求解，又是对一元一次方程应用的延续与提升，还为第2课时增长率问题、第3课时面积问题等后续内容提供模型示范，在章内起到承上启下的作用。

2.教学策略：本课以2026年校园科技节的真实情境为主线，采用“情境创设—自主探究—合作交流—变式提升”的教学策略。先借助“转发视频”的计数活动让学生直观感受传播的裂变规律，再引导学生用含未知数的代数式表示两轮后的患病总人数，自主构建方程模型；求解之后组织学生讨论根的取舍，体会“检验”的实际意义；随后通过足球邀请赛、APP内测邀请等变式问题与传播问题进行对比辨析，帮助学生区分“平方结构”与“取半结构”两类模型，发展模型观念、运算能力与应用意识。

三、学情分析

1.知识层面：

学生已经掌握了一元二次方程的概念及其四种解法，并积累了运用一元一次方程解决实际问题的经验，初步熟悉“审、设、列、解、验、答”的解题步骤，具备学习本课的知识基础。

2.能力层面：

九年级学生已具备一定的观察、归纳与合作交流能力，能够在教师引导下完成列表枚举、寻找数量关系等活动，但独立从实际问题中抽象出等量关系的能力仍存在差异，需要借助列表递推等活动降低思维坡度。

3.认知障碍点：

学生容易把“两轮传染后的患病总人数”误解为“第二轮新增患病人数”，混淆“总数”与“新增数”；此外，对求得的两根缺乏检验意识，容易忽略负根不符合实际意义而应舍去，这也是本课需要重点突破的地方。

四、教学目标和素养目标

依据课标要求，制定本课时的教学目标和素养目标如下：

（1）能从传播问题中抽象出数量关系，正确列出一元二次方程并求解，能根据实际意义检验根的合理性，体会方程模型思想，发展模型观念。

（2）经历“列表枚举—发现规律—代数表达—建立方程”的探究过程，感悟由特殊到一般的思想方法，发展推理能力与运算能力。

（3）在真实情境的探究与交流中感受数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣，养成严谨求实、有据可依的科学态度，发展应用意识与创新意识。

五、教学重、难点

重点：从传播问题中找出等量关系，正确列出一元二次方程并求解。

难点：正确表示第二轮新增患病人数，理解“两轮传染后的患病总人数”的含义，并根据实际意义对方程的根进行检验与取舍。

六、教学设计思路

本课按照“情境导入—探究建模—变式巩固—当堂检测—小结作业”的流程展开：以2026年校园科技节短视频的转发情境引入，让学生经历由特殊到一般的抽象过程；以教材“传播”问题为核心探究载体，引导学生通过列表枚举发现传播规律，用含未知数的代数式表示两轮后的患病总人数，构建两轮传播的平方型方程模型；再以足球邀请赛、APP内测邀请等变式问题巩固模型，辨析“裂变型”与“组合型”数量关系的异同；通过当堂检测反馈目标达成情况，最后归纳“审、设、列、解、验、答”的建模步骤并分层布置作业。全程以模型观念核心素养为主线，突出“找等量关系”与“检验根的实际意义”两个关键教学节点。

七、教学过程

教学环节一、创设真实情境，引入新课

教师活动	学生活动	设计意图及学科素养
【情境引入】2026年校园科技节上，一段人形机器人演示视频在我校网络平台首发。李老师第一时间把视频转发给3名同学，这3名同学每人又各自转发给3名同学。	【提问】经过这两轮转发，一共有多少名同学看到了这段视频？如果每轮每人转发的人数不确定，又该如何表示两轮后观看的总人数？	以2026年校园科技节的真实情境引入，让学生经历由特殊到一般的抽象过程，唤醒用字母表示数的经验，自然引出本课要研究的传播问题，激发学习兴趣，发展抽象能力。
【引导枚举】请同学们算一算：第一轮转发后有多少人观看？第二轮后又新	【计算、回答】第一轮转发后，观看人数为1+3=4（人）；第二轮转	通过具体的枚举计算，让学生直观感受传播的裂变规律，为下一步用

增了多少人？	发中又新增3×3=9（人），观看总人数为1+3+9=13（人）。	字母表示、建立方程模型做好铺垫。
【过渡】若每轮每人转发的同学人数不确定，总人数将随这个人数变化。今天我们就来研究这类传播问题，看看一元二次方程如何刻画它。（板书课题）	【明确任务】明确本课要研究的问题类型，做好探究准备。	由具体的数过渡到未知的量，引发认知冲突，点明课题，渗透模型观念。

教学环节二、合作探究，建构传播问题的方程模型

教师活动	学生活动	设计意图及学科素养
【呈现问题】（教材“传播”问题）有一人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了x个人，经过两轮传染后共有121人患了流感。	【提问】第一轮传染后共有多少人患流感？第二轮传染中新增多少人患病？	直接呈现教材核心问题，引导学生用含x的代数式表示每一轮的患病人数，通过列表递推突破“总数”与“新增数”的认知难点，发展推理能力。
【引导列表】请按轮次整理：第一轮传染后患病的人数、第二轮传染中新增患病的人数分别是什么？	【列表分析】第一轮传染后，共有(1+x)人患流感；第二轮传染中，这(1+x)名患者每人又传染x个人，新增患病人数为x(1+x)人。	通过列表递推，把裂变过程逐轮外推，帮助学生区分“总数”与“新增数”，发展推理能力。
【追问】两轮传染后患流感的总人数应如何表示？由此可以列出怎样的方程？	【列方程】两轮后的患病总人数为(1+x)+x(1+x)，所以可列方程 。	经历“列表枚举—发现规律—代数表达—建立方程”的建模过程，突出本课重点，发展模型观念。
【引导求解】怎样解这个方程？解出的两个根都符合实际意义吗？	【求解、检验】用直接开平方法，得1+x=±11，即 。因为每轮传染的人数不能为负数，所以 不符合实际意义，舍去，取x=10。	巩固直接开平方法，落实“根据实际意义检验根”的课标要求，培养严谨求实的科学态度。

【例题解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。由题意，第一轮传染后有(1+x)人患流感，第二轮传染中新增x(1+x)人患流感，两轮传染后共有121人患流感，可列方程

整理，得