精品解析：广东汕尾市陆丰市碣石中学分校区2026-2027学年上学期九年级第1次教学质量检测 数学试卷 （10月）

碣石中学分校区2024级九上第1次教学质量检测 数学试卷 说明： 1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号．姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用错笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效，考生务必保持答题卡的整洁． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. ， C. ， D. 3. 若抛物线的开口下，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 当时，y有最大值5 D. 当时，y随x的增大而减小 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为25万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形为菱形，且，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若抛物线经过点，则______． 12. 如果函数是二次函数，那么m的值为_____． 13. 抛物线的顶点坐标是______． 14. 已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，则2m2﹣4m＝_____． 15. 如图，2条直线相交最多有1个交点，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点……，若n条直线两两相交最多有45个交点，则n的值是______． 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 17. 有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有25台电脑感染． （1）求每轮传播中平均一台电脑感染几台电脑； （2）若病毒得不到控制，三轮传播后，被感染的电脑是否超过100台？ 18. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当该方程有一个根为3，求的值及方程的另一根． 四、解答题（二）：木大题共3个小题，每个题9分，共27分． 19. 【问题背景】配方法、公式法和因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次是解一元二次方程的基本思路，此外还可以用换元法来研究某些特殊方程． （1）【实例解析】已知实数m，n满足，将“”看作一个整体，令，则原方程可化为．可得＝______．＝______．即的值为______． （2）【举一反三】若实数m，n满足．则的值为______． （3）【解决问题】解方程：． 20. 如图，已知函数与抛物线相交于点． （1）求a与b的值； （2）若点在函数的图象上，抛物线的顶点是C，求的面积． 21. 已知关于x的一元二次方程的两个根为m，n （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若m，n分别为菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5，求k的值． （3）若m，n分别为菱形的两条对角线的长，且菱形的边长为，则k的值是______． 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 为了培养学生劳动能力，落实五育并举，某学校准备开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地在综合实践课上，数学兴趣小组利用所学知识来解决这一问题，实践报告如下： 活动课题 设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、皮尺、篱笆 活动过程 【了解场地】用皮尺测出墙的长为，墙的前面是一片空旷的场地． 【设计图纸】如图，用篱笆围成一个矩形实验田，中间用篱笆隔成三个小矩形，分别作为三个年级的实践基地，在边上给每个小矩形区域各留一个宽的门． 【准备材料】篱笆总长为，三个门不用篱笆． 设，，矩形的面积为，请你帮兴趣小组解决以下问题： （1）与的函数解析式______，与的函数解析式______． （2）若矩形实验田的面积为，求矩形实验田的边长； （3）当长为多少时，实验田的面积最大？最大面积是多少？ 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）=______．抛物线顶点的坐标是______． （2）在轴下方的抛物线上是否存在点，使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上求点，使得是以为直角边的直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 碣石中学分校区2024级九上第1次教学质量检测 数学试卷 说明： 1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号．姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用错笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效，考生务必保持答题卡的整洁． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断时先确认方程是否为整式方程，再结合未知数个数与最高次数逐一验证． 【详解】解：A选项整理得，是一元一次方程，不符合要求． B选项含有、两个未知数，不符合要求． C选项是整式方程，只含一个未知数，且未知数最高次数为2，符合要求． D选项分母中含有未知数，不是整式方程，不符合要求． 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴，， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 3. 若抛物线的开口下，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 故选项A符合题意， 故选：A ． 4. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 5. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点的坐标可分别代入抛物线解析式，可求得相应的函数值，可比较其大小． 【详解】∵点(−1,y1)，(2,y2)，(−3,y3)都在函数y=x2的图象上， ∴y1=(−1)2=1，y2=22=4，y3=(−3)2=9， ∴y1<y2<y3， 故答案选A. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象上点的坐标特征. 6. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线y=5x2先向右平移2个单位得到解析式：y=5（x-2）2， 再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=5（x-2）2+3． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 7. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 当时，y有最大值5 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴，图象开口向下，A正确，不符合题意， ∴对称轴是直线，B正确，不符合题意， ∴顶点坐标为，当时，有最大值，C正确，不符合题意， ∴当时，随的增大而增大，D错误，符合题意． 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为25万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则4月份的售价为万元，五月份的销售额为万元，据此列出方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x， 由题意得，， 故选：B． 9. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据函数的图象和函数的图象判断a的符号是否一致即可得解． 【详解】解：A、由函数的图象知，由函数的图象与y轴交于正半轴知，即，矛盾，不相符； B、由函数的图象知，由函数的图象知，矛盾，不相符； C、由函数的图象知，由函数的图象知，相符； D、由函数的图象知，由函数的图象与y轴交于负半轴知，即，矛盾，不相符． 10. 二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形为菱形，且，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设菱形的边长为x，的交点为M，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，函数图象与点的关系，解答即可． 【详解】解：设菱形的边长为x，的交点为M， 则，，， ， ， 是等边三角形， ， ， 故点C的坐标为， 根据题意，点C在函数图象上， 故， 解得或（不符合要求，舍弃）， 故点C的坐标为． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若抛物线经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】已知抛物线经过点，将点的横、纵坐标代入解析式，建立关于的方程即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴将，代入，得， 解得． 12. 如果函数是二次函数，那么m的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据形如“，其中a，b，c是常数的函数，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，且， 解得：． 故答案为： 13. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】题干给出的抛物线解析式为顶点式，直接对照顶点式的参数对应规则即可求解． 【详解】解：初中阶段二次函数的顶点式为（），该形式下抛物线的顶点坐标为， 将题目给出的解析式变形为标准顶点式：， 对比标准顶点式可得，． 因此该抛物线的顶点坐标为． 14. 已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，则2m2﹣4m＝_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据方程的根的定义，将代入方程得，仔细观察可以发现，要求的代数式分解因式可变形为，将方程二次项与一次项整体代入即可解答. 【详解】解：将代入方程可得， ， . 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和代数求值，运用整体代入的数学思想可以方便解答。 15. 如图，2条直线相交最多有1个交点，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点……，若n条直线两两相交最多有45个交点，则n的值是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了若干条直线两两相交的交点个数．根据题意可得n条直线两两相交最多有个交点，即可求解． 【详解】解：2条直线相交最多有个交点， 3条直线两两相交最多有个交点， 4条直线两两相交最多有个交点， ……， 由此发现，n条直线两两相交最多有个交点， ∵n条直线两两相交最多有45个交点， ∴， 解得：， 即n的值是10． 故答案为：10 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则． 17. 有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有25台电脑感染． （1）求每轮传播中平均一台电脑感染几台电脑； （2）若病毒得不到控制，三轮传播后，被感染的电脑是否超过100台？ 【答案】（1）每轮传播中平均一台电脑感染4台电脑 （2）三轮传播后，被感染的电脑超过100台 【解析】 【分析】（1）设每轮传播中平均一台电脑感染x台电脑，根据题意，得，解答即可； （2）根据题意，三轮传播后，感染病毒的电脑数为：，比较大小解答即可． 【小问1详解】 解：设每轮传播中平均一台电脑感染x台电脑， 根据题意，得， ， 解得或（电脑数量不能为负数，舍去） 故， 故每轮传播中平均一台电脑感染4台电脑； 【小问2详解】 解：根据题意，三轮传播后，感染病毒的电脑数为：（台）， ， 故三轮传播后，被感染的电脑超过100台． 18. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当该方程有一个根为3，求的值及方程的另一根． 【答案】（1） （2）的值为9，方程的另一根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况、根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意，利用判别式列出不等式，求解的取值范围即可； （2）设方程的两个实数根为、，根据一元二次方程根与系数的关系得，，结合方程有一个根为 3 ，代入数据计算即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ∴的取值范围为． 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根为、， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 由题意得，， ， ， 解得：， ∴综上所述，的值为9，方程的另一根为． 四、解答题（二）：木大题共3个小题，每个题9分，共27分． 19. 【问题背景】配方法、公式法和因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次是解一元二次方程的基本思路，此外还可以用换元法来研究某些特殊方程． （1）【实例解析】已知实数m，n满足，将“”看作一个整体，令，则原方程可化为．可得＝______．＝______．即的值为______． （2）【举一反三】若实数m，n满足．则的值为______． （3）【解决问题】解方程：． 【答案】（1）；5；或5 （2）3； （3） 【解析】 【分析】（1）令，先解出关于y的方程，进而即可求解； （2）令，先解出关于y的方程，进而即可求解； （3）令，先解出关于y的方程，进而即可求解． 【小问1详解】 解：令，则原方程可化为， 解得：， ∴或5； 【小问2详解】 解：令，则原方程可化为， 解得：， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：令，则原方程可化为， 解得：， ∴，解得： 20. 如图，已知函数与抛物线相交于点． （1）求a与b的值； （2）若点在函数的图象上，抛物线的顶点是C，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标求得，再代入抛物线中求得； （2）先求得，，结合点A的坐标，根据矩形的面积减去三个三角形面积即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：； 【小问2详解】 过作轴的垂线，过点分别作两坐标轴的垂线，如图， ∵点在函数的图象上， ∴，得， ∴点， ∵抛物线的顶点是C， ∴点， ∵点A的坐标为， ∴的面积是：． 【点睛】本题考查了求一次函数自变量或函数值，面积问题(二次函数综合)，待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 21. 已知关于x的一元二次方程的两个根为m，n （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若m，n分别为菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5，求k的值． （3）若m，n分别为菱形的两条对角线的长，且菱形的边长为，则k的值是______． 【答案】（1）证明：对于一元二次方程， 判别式． ， ，即． 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根的要求是； （2）菱形的面积公式是对角线乘积的一半，再结合韦达定理即可解决； （3）结合勾股定理和韦达定理即可解决． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：关于x的一元二次方程的两个根为m，n， ， m，n分别为菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5， ， ，即， ． 【小问3详解】 解：关于x的一元二次方程的两个根为m，n， ， m，n分别为菱形的两条对角线的长，且菱形的边长为， ， 整理得，， ， 解得． ， ． 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 为了培养学生劳动能力，落实五育并举，某学校准备开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地在综合实践课上，数学兴趣小组利用所学知识来解决这一问题，实践报告如下： 活动课题 设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、皮尺、篱笆 活动过程 【了解场地】用皮尺测出墙的长为，墙的前面是一片空旷的场地． 【设计图纸】如图，用篱笆围成一个矩形实验田，中间用篱笆隔成三个小矩形，分别作为三个年级的实践基地，在边上给每个小矩形区域各留一个宽的门． 【准备材料】篱笆总长为，三个门不用篱笆． 设，，矩形的面积为，请你帮兴趣小组解决以下问题： （1）与的函数解析式______，与的函数解析式______． （2）若矩形实验田的面积为，求矩形实验田的边长； （3）当长为多少时，实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2）矩形实验田的边长分别为， （3）当时，面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】（1）根据篱笆总长结合处宽的门，列出等式得到与的关系式，再由矩形面积公式得到与的函数解析式； （2）将面积代入函数解析式，解一元二次方程，结合墙长的限制条件舍去不符合题意的解，求出边长； （3）把面积函数化为顶点式，根据二次函数开口方向和自变量取值范围，求出面积最大值以及对应的长． 【小问1详解】 解：由题意可得， ． ， ． 【小问2详解】 解：中，当时，， 解得：，． 墙长为，即， 舍去， ． 当时，， ， 答：矩形实验田的边长分别为，． 【小问3详解】 解：，， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 当时，取得最大值，， ， 当时，面积最大，最大面积为． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）=______．抛物线顶点的坐标是______． （2）在轴下方的抛物线上是否存在点，使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上求点，使得是以为直角边的直角三角形． 【答案】（1）， （2）存在点，使四边形的面积最大， （3）或 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入抛物线解析式求出，再将抛物线解析式化为顶点式，得到顶点的坐标； （2）先求出、两点坐标，设点横坐标，用割补法表示四边形的面积，构造二次函数，利用二次函数性质求面积最大时的坐标； （3）先证明，分，两种情况，时，设交轴于点，时，设交轴于点，求出、的坐标，用待定系数法求直线解析式，联立抛物线方程求得点坐标． 【小问1详解】 解：在上， ， 解得． ． 顶点． 【小问2详解】 解：如图，连接， ，令， ， 解得， ，． 设，， ， ，对称轴， 当时，面积最大．此时， ． 【小问3详解】 解：， ． ， ． 当时，设直线交轴于点， ，， ． ， 为等腰直角三角形， ． ． 设直线解析式：， 代入，，得 ， 解得， 直线解析式：． 联立， ， 解得，． 当时，对应点，舍去； 当时，， ． ②当时，设直线交轴于点，如图， ，， ． ， 为等腰直角三角形， ． ． 设直线解析式：， 代入，，得 ， 解得， 直线解析式：． 联立， ， 解得． 当时，对应点，舍去； 当时，， ． 综上，点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $