数列中的综合问题 课件-2027届高三数学一轮复习

数列中的综合问题 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 综合应用等差、等比、递推、求和知识解决数列综合问题； 2. 掌握数列与函数、不等式、数学归纳的交汇； 3. 提升“一题多解、多题一解”的建模能力。 【教学重点】 · 数列与函数、不等式的综合；存在性、最值、范围问题。 【教学难点】 · 综合情境中的模型提取与转化；证明与探究类问题的规范表述。 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 【新课标要求】 能在复杂情境中综合运用数列知识解决问题，体会数列作为“离散函数”的研究价值（选择性必修课程“数列”主题，学业质量水平三）。 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 【近五年考频考点】及备考建议 数列综合问题是新高考解答题高频压轴（5年约6考），强调跨模块交汇。 备考建议：以“基本量—性质—求和—放缩”为链；重视存在性、最值、范围三类探究题的通性通法。 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 第七单元 数列 进阶课09 数列中的综合问题5年6考 5 数列的综合问题往往作为压轴题出现于高考卷中,数列常与函数、不等式、集合 等知识点交汇命题，有时也以新定义、新性质和新构造的形式出现,因而难度较大. 等差、等比数列的交汇问题 典例1 已知公差不为0的等差数列满足，且，， 成等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）设，求数列的前项和 . 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 6 解析 （1）设等差数列的公差为 . 由，，， 成等比数列， 得 解得或 （舍去）， . （2）由 ， 得 ， ① ， ② 由，得 ， . 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 7 感悟提升 等差数列、等比数列综合问题的求解策略 （1）基本方法：求解等差数列、等比数列组成的综合问题,首先要根据数列的特征 设出基本量,然后根据题目特征利用通项公式、求和公式、数列的性质等建立方程 （组）,确定基本量. （2）基本思路：注意按照顺序使用基本公式、等差中项、等比中项，以及证明数列 为等差数列、等比数列的方法确定解题思路. 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 8 已知在正项等比数列中,,且,的等差中项为 . （1）求数列 的通项公式； （2）若，数列的前项为，数列满足， 为数列 的前项和，求 . 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 9 解析 （1）设等比数列的公比为 ， 由题意得解得 . （2）由（1）得 ， ， ， . 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 10 数列与其他知识的交汇问题 考向1 与函数的交汇 典例2 已知函数,记等差数列的前项和为 ,若 , ,则 ( ). A A. B. C.2 026 D.4 052 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 11 解析 因为,所以 是奇函数. 因为, , 所以 , 所以,所以 , 所以 . 故选A. 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 12 考向2 与不等式交汇 典例3 已知正项数列的前项和为,,且 . （1）求数列 的通项公式; （2）设,数列的前项和为,求证: . 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 13 解析 （1）当时, ,即 .由数列为正项数列可知, .又,所以数列{ }是首项为1,公差为1的等差数列, 即,则, . 当时,,当时, 成立,所以 . （2）由（1）可知,,则,当时, , ,成立, ,成立, 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 14 当时, . 综上可知, ,得证. 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 感悟提升 求解数列与函数、不等式的综合问题，关键在于通过函数关系寻找数列的递推 关系，求出数列的通项公式或前 项和公式，再利用数列或数列对应的函数解决最值、 范围问题，通过放缩进行不等式的证明. 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 16 1.已知数列的前项和为,,若对任意 恒成立,则实 数 的取值范围为( ). D A. B. C. D. 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 17 解析 令,得,当时,由得 ,因此数列 是以1为首项,为公比的等比数列,所以 . 由,得 . 当为奇数时,,化简得 , 令，易知是递增数列,故,所以 ; 当为偶数时, , 化简得 , 令，易知是递增数列,且当 时，,故 ,所以 . 综上,的取值范围为 .故选D. 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 18 2.已知正项数列的前项和为,,且 . （1）求数列 的通项公式; （2）设数列的前项和为,求证: . 解析 （1）因为,所以 , 又,所以.当时,,则有 . 由题意知,所以,所以数列 的奇数项与偶数项都是等差数列, 且公差都为4, 所以,,所以数列 是 首项为2,公差为2的等差数列,故 . 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 19 （2）因为 ,所以 . 又因为 ,所以 . 综上， . 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 20 新定义问题 典例4 （2024·新高考Ⅰ卷）设为正整数，数列，， ， 是公差不为0的 等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为 组，且每组 的4个数都能构成等差数列，则称数列，， ，是 可分数列. （1）写出所有的，，使数列，， ，是 可分数列. （2）当时，证明：数列，， ，是 可分数列. （3）从1，2， ，中一次任取两个数和，记数列，， ， 是可分数列的概率为，证明： . 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 21 解析 设数列，， ，的公差为， ， ， 则得到新数列的通项公式，然后对，， ， 进行相应的讨论即可. 换言之，设 ，此后的讨论均建立在该假设下进行. （1）此问相当于从1，2，3，4，5，6中取出两个数和 ，使得剩下四个数是 等差数列, 那么剩下四个数只可能是1，2，3，4或2，3，4，5或3，4，5，6. 所以所有可能的就是，， . 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 （2）由题意得，从数列1，2， ，中取出2和13后，剩余的 个数可以分 为以下两个部分，共 组，使得每组成等差数列： ①，4，7，，，6，9，，，8，11， ，共3组； ②，16，17，，，20，21，， ，，，， ， 共 组. （若，则忽略 ） 故数列1，2， ，是 可分数列. （3）定义集合，1，2， ，，5，9，13， ， ，，1，2， ，，6，10，14， ， . 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 下面证明，对，若下面两个命题同时成立，则数列1，2， ， 一定是 可分数列： 命题，或， ； 命题 . 第一种情况：如果，，且 . 此时设，，，，1，2， ， . 由可知，即，故 . 此时，由于从数列1，2， ，中取出和 后，剩余的 个数可以分为以下三个部分，共 组，使得每组成等差数列： ①，2，3，，，6，7，， ，，，，，共 组； 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 ②，，，，，， ， ， ，，，，，共 组； ③，，，，，， ， ， ，，，，，共 组. （若某一部分的组数为0，则忽略之） 故此时数列1，2， ，是 可分数列. 第二种情况：如果，，且 . 此时设，，，，1，2， ， . 由可知，即，故 . 由于，故，从而，所以 . 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 此时，由于从数列1，2， ，中取出和 后，剩余的 个数可以分为以下四个部分，共 组，使得每组成等差数列： ①，2，3，，，6，7，， ，，，，，共 组； ②，，，， ， ，， ，共2组； ③全体，，，，其中 ，4， ，，共 组； ④，，，，，， ， ， ，，，，，共 组. （若某一部分的组数为0，则忽略之） 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 这里对②和③进行解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含 个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数： ， ， ，，，， ， ， ，， ，，， ， ， . 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并集以后，将取遍 ， ， ，中除了五个集合，， ， ，，，， ， ， 中的十个元素以外的所有数. 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 而这十个数中，除了已经去掉的和 以外，剩余的八个数恰好就是②中 出现的八个数. 这就说明该分组方式满足要求，故此时数列1，2， ，是 可分数列. 至此，证明了：对 ，若前述命题1和命题2同时成立，则数列1， 2， ，一定是 可分数列. 然后来考虑这样的 的个数. 首先，由于 ，和各有个元素，故满足命题1的 总共有 个. 而如果，假设，，则可设， ，代入得 ,即，矛盾，所以， . 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 设，，，，1，2， ， ，则 ，即 . 所以可能的恰好就是，， ，，对应的 分别是 ，， ，，总共 个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有 个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为 . 当我们从1，2， ，中一次任取两个数和 时，总的选取方式的个数 为 . 而根据之前的结论，使得数列，， ，是可分数列的 至少有 个, 所以数列，， ，是可分数列的概率 一定满足 ,得证. 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 感悟提升 数列新定义问题的求解策略 （1）给出一个新的数列概念,或约定一种新的运算,或给出几个新模型来创设新问题 的情境,这要求在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实 现信息的迁移,达到灵活解题的目的. （2）遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的 要求“照章办事”,逐条分析、运算、验证,使问题得到解决. 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 30 （2024·北京卷）已知集合,,, ,且 为偶数}.给定数列,, ,和序列 :,, , ,其中 ,对数列进行如下变换:将的第,,, 项均 加1,其余项不变,得到的数列记作;将的第,,, 项均加1,其余项不变,得 到的数列记作;……;以此类推,得到数列,记为 . （1）给定数列,3,2,4,6,3,1,9和序列 :,,,写出 . （2）是否存在序列 ,使得为,,,,,, , ?若存在,写出一个 ;若不存在,说明理由. （3）若数列的各项均为正整数,且为偶数,求证:“存在序列 ,使得 的各项都相等”的充要条件为“ ”. 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 31 解析 （1） ,4,4,5,8,4,3,10. （2）不存在.理由如下: 若存在 ,则,与,的增加值之和应该相等,注意到,一共增加了8,而, 一 共增加了6,从而不存在符合题意的 . （3）必要性:因为存在序列 ,使得 , . 又每次进行变换时,,,,均增加1,所以经过 次变换后, ,可得 恒成立. 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 32 充分性:如果 ,且还有 , 那么,即 为常数列, 由于每次变换后均有 , 故我们只需证明可在某一步变换后有 . 设 , 从而 在每次变换后相当于在偶数个位置上加1,其余减1, 由,可得初始情况下,,, 同时为奇数或同 时为偶数. 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 不妨设为偶数,则为偶数,所以 为4的倍数,且在变换 后仍同时为奇数或同时为偶数,且和为4的倍数. 经过若干次变换后,不妨设达到最小值,且取的 最少, 不妨设成且 . 当时,①假设还有 . 若,则 , 若 ,则 , 总可使, 同时减少,与假设矛盾. ②假设,, , 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 若,,中有小于零的,设为 ,同（*）即可, 若,, 均大于或等于零,所有位置同时减2, 与假设矛盾. 当时,要么为0,要么为 , 由于 是4的倍数,只可能为以下几种及其轮换： . , . , . , . , 故均与假设矛盾,即 最小时为0, 即总能使得,即存在序列 ,使得 为常数列. 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 作业：完成数列中的综合问题限时练 进阶课09 数列中的综合问题 5年6考 THANKS 37 $