4.4一次函数的应用（第三课时---涉及两个一次函数图象的类型）课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

第四章 一次函数 4.4 一次函数的应用 （第三课时） 北师大版初中数学 八年级上册 1 学习目标 1.历经对两个一次函数图象的观察，理解图象与坐标轴的交点、两个函数图象的交点坐标的计算及实际意义，理解两个函数对应的参数、函数值的比较；（重点） 2.利用图象比较函数值大小的过程，能解决简单的实际决策问题；（重点） 3.提升从图象获取信息并解决实际问题的能力，发展几何直观与应用意识.（难点） 2 温故知新 1.从一次函数图象可获得哪些信息? y x x y （1)由一次函数的图象可确定k 和 b 的符号； (2)理解横、纵轴及点的坐标分别表示的的实际意义,　 理解K、b的实际意义　； （3）可直接观察出:x与y 的对应值； （4）由待定系数法确定一次函数的图象的解析式； 3 温故知新 2.一次函数与一元一次方程的关系： 已知一次函数y=kx+b图象如图. 根据图象可知， ①方程kx+b=0的解是图象与 轴交点的 ； ②方程kx+b=m的解是图象与 交点的 ； ③方程kx+b=nx的解是图象与 交点的 ； y x x 横坐标 直线y=m 横坐标 直线y=nx 横坐标 y=m y=nx 4 情景引入 全球首次“人机共跑”半程马拉松于2025年4月19日在北京完赛，经过2时40分42秒的奔跑，机器人“天工Ultra”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程s(m)和赛跑时间t(min)之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题：(1)这一次是 　 米赛跑,机器人 ____ 先到达终点； (2)机器人甲的平均速度是 _____ m/min, 800 甲 100 先到几分钟？ （3）请你描述一下机器人乙全程的赛跑过程； 比赛前2min，乙的平均速度是150m/min, 第2min时发生故障停滞，维修用3分钟， 到第5min重返比赛，速度是125m/min， 第9min到达终点. 情景引入 全球首次“人机共跑”半程马拉松于2025年4月19日在北京完赛，经过2时40分42秒的奔跑，机器人“天工Ultra”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程s(m)和赛跑时间t(min)之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： （5）你能表示甲、乙两个图象的路程s和时间t的关系式吗？ （4）甲、乙两图象的交点表示什么意义？ 甲、乙两机器人在第3分钟到达同一位置，即途中相遇； 甲的路程s与时间t的函数关系为s=100t 乙的路程s与时间t的函数关系为 你会求吗？ 探究新知 你从图象中还能获取哪些信息？ 1.上升线表示函数值随自变量的增大而增大； 下降线表示函数值随自变量的增大而减小； 水平线表示函数值不随自变量的变化而变化. 2.直线倾斜程度大，表示函数值随自变量变化迅速，即变化的速度大； 直线倾斜程度小，表示函数值随自变量变化缓慢，即变化的速度小. 7 探究新知 探究.如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系， 反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，根据图象填空： x(吨) y(元) O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 销售收入 销售成本 (1)当销售量为2吨时， 销售收入＝　　　　元， 2000 销售成本＝　　　　元， 3000 (2)当销售成本为5000元时， 销售收入＝　　　　元， 6000 横轴和纵轴分别表示什么意义？ 探究新知 探究.如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系， 反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，根据图象填空： x(吨) y(元) O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 销售收入 销售成本 (3)直线l1与直线l2的交点的 坐标是 ， 它表示的意义是 ， ； （4，,4000） 当销售量等于4t时 销售收入等于销售成本 探究新知 探究.如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系， 反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，根据图象填空： x(吨) y(元) O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 销售收入 销售成本 (4) 当销售量 时， 该公司盈利(收入大于成本)， 此时图象的特征是 ； 当销售量 时， 该公司亏损(收入小于成本)， 此时图象的特征是 ； 大于4 t 直线l1在直线l2上方的部分 小于4 t 直线l1在直线l2下方的部分 探究新知 探究.如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系， 反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，根据图象填空： x(吨) y(元) O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 销售收入 销售成本 请同学们独立写出表达式的解答步骤 (5)l1对应的函数表达式 是　　　　　　　　， l2对应的函数表达式 是　　　　　　　　． y1=1000x y2=500x+2000 y=1000x y=500x+2000 （6）方程组 的解是 ； 它的实际意义是 。 l1与l2的交点的横纵坐标 探究新知 探究2.某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量y(升)与摩托车行驶路程x(千米)之间的关系如图： 0 500 x/千米 y/升10 (1)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ (2)摩托车每千米消耗多少升汽油? 500km 0.02升 12 探究新知 探究2.某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量y(升)与摩托车行驶路程x(千米)之间的关系如图： 0 500 x/千米 y/升10 (3)求y与x 的函数关系式； 解：设直线的解析式为y=kx+b 把（0,10）和（500,0）代入 得b=10，500k+b=0， ∴k=-0.02 ∴y=-0.02x+10, 13 探究新知 探究2.某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量y(升)与摩托车行驶路程x(千米)之间的关系如图： 0 500 x/千米 y/升10 （2）油箱中的剩余油量小于1升时将自动报警.行驶多少千米后,摩托车将自动报警? ∵y=-0.02x+10, 当y=1时，x=450, 答： 行驶450千米后摩托 车将自动报警 14 探究新知 探究2.某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量y(升)与摩托车行驶路程x(千米)之间的关系如图： 0 400 x/千米 y/升10 （3）①若摩托车油箱的剩余油量y（升）和摩托车行驶路程x（千米）之间的关系如图所示，请描述这是什么情形？ 8 摩托车在距离出发地400千米处的加油站加油 此时油箱中余油2升，加油6升 ∵y=-0.02x+10, 当x=400时，y=2, 15 探究新知 探究2.某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量y(升)与摩托车行驶路程x(千米)之间的关系如图： 0 400 x/千米 y/升10 （3）①若摩托车油箱的剩余油量y（升）和摩托车行驶路程x（千米）之间的关系如图所示，请描述这是什么情况？ 8 ②加油前后摩托车耗油量不变.若乙地与加油站之间还有300千米,要到达乙地所加的油是否够用?说明理由。 答：够用 理由：设加油后直线的解析式为y’=0.02x+b 把（400,8）代入 得b=16，∴y=-0.02x+16 当x=700时，y=-0.02x+16=2＞0 ∴油箱中的油够用 16 探究2.某边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防部门迅速派出快艇B从海岸出发追赶(如图1)．图2中l1、l2分别表示快艇B、可疑船只A相对于海岸的距离s(海里)与追赶时间t(分)之间的关系，根据图象回答问题： 典例讲解 (1)求l2的函数表达式； (2)当A逃离海岸12海里时进入公海，B将无法对其进行检查，照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？请说明理由． C D 点C、D分别表示什么意义？ 从图象上看，快艇能否追上可疑船只？ l1、l2的速度分别是多少？ l1、l2的倾斜程度有什么实际意义吗？ 6.某边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防部门迅速派出快艇B从海岸出发追赶(如图1)．图2中l1、l2分别表示快艇B、可疑船只A相对于海岸的距离s(海里)与追赶时间t(分)之间的关系，根据图象回答问题： 典例讲解 (1)求l2的函数表达式； 解：(1)设l2的函数表达式为s=kt+b, 把点(0，5)，(10，7)代入得 ∴ ，解得 ， 即l2的函数表达式为s=0.2t+5； 6.某边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防部门迅速派出快艇B从海岸出发追赶(如图1)．图2中l1、l2分别表示快艇B、可疑船只A相对于海岸的距离s(海里)与追赶时间t(分)之间的关系，根据图象回答问题： 典例讲解 (2)当A逃离海岸12海里时进入公海，B将无法对其进行检查，照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？请说明理由． (2)B能在A逃入公海前将其拦截， 理由：设l1的函数表达式为s=k’t, 把t=10，s=5代入得k’=0.5， ∴l1为s=0.5 t, 由0.5t=0.2t+5，得t= 此时s=＜12 ∴B能在A逃入公海前将其拦截． l1、l2能相交吗？交点表示什么意义？ 6.某边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防部门迅速派出快艇B从海岸出发追赶(如图1)．图2中l1、l2分别表示快艇B、可疑船只A相对于海岸的距离s(海里)与追赶时间t(分)之间的关系，根据图象回答问题： 典例讲解 (2)当A逃离海岸12海里时进入公海，B将无法对其进行检查，照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？请说明理由． 方法二、B能在A逃入公海前将其拦截， 理由：由图可得， 快艇B的速度为5÷10=0.5(海里/分)， 12÷0.5=24(分钟)， 将s=12代入s=0.2t+5得：12=0.2t+5， 解得t=35， ∵24＜35，∴B能在A逃入公海前将其拦截． 快艇和可疑船只距离海岸12海里分别用多长时间？ 典例讲解 例2 如图，是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图4-12中l₁，l₂分别表示甲、乙两人到观景台1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系。假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： 典例讲解 例2 如图，是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图4-12中l₁，l₂分别表示甲、乙两人到观景台1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系。假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： 假设两人的速度保持不变，回答下列问题 （1）哪条直线表示甲到观景台1路程 与追赶时间的关系？ 解：（1）当t = 0时，甲到观景台1的路程为0m，即s = 0，故l₁表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系 典例讲解 例2 如图，是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图4-12中l₁，l₂分别表示甲、乙两人到观景台1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系。假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： （2）甲、乙两人的速度哪个快？ （2）t从0增加到20时，l1上点的纵坐标增加了1000，l2上点的纵坐标增加了600，即20 min内，甲行走了1000 m，乙行走了600 m，所以甲的速度快。 或（2）从图象可以看出，l₁比l₂倾斜程度更陡，所以甲的速度快。 （3）30 min内甲能否追上乙？ 例2 如图，是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图4-12中l₁，l₂分别表示甲、乙两人到观景台1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系。假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： 典例讲解 延长l₁，l₂，从图象可以看出t=30时对应点 在下方，说明30min甲没有追上乙。 通过计算函数表达式，你能解决这个问题吗？ 关系式中的k、b分别表示什么意义？ 例2 如图，是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图4-12中l₁，l₂分别表示甲、乙两人到观景台1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系。假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： 典例讲解 （4）到达观景台3后道路分岔，甲能否追上乙？ 到达观景台3，交点纵坐标小于 800+1300=2100（m),这说明甲能够在 到达观景台3前能够追上乙 例2 如图，是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图4-12中l₁，l₂分别表示甲、乙两人到观景台1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系。假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： 典例讲解 （5）甲追上乙的时间是多少？此时甲、乙分别走了多少米？ 在图象上如何体现的？ 易得：甲速度50m/min,乙速度30m/min, 甲追上乙应该多走800m, 所以追及时间=800÷（50-30）=40(min) 此时甲走40×50=2000（m) 乙走了40×30=1200（m) 两图像的交点处表示甲追上乙 例2 如图，是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图4-12中l₁，l₂分别表示甲、乙两人到观景台1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系。假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： 典例讲解 （5）甲追上乙的时间是多少？ 此时甲、乙分别走了多少米？ 甲速度50m/min,乙速度30m/min, 甲追上乙应该多走800m, 所以追及时间=800÷（50-30）=40(min) 此时甲走40×50=2000（m) 乙走了40×30=1200（m) 同步练习 1.随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x(s)，聪聪和慧慧行走的路程分别为y1(cm)，y2(cm)，y1，y2与x的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是( ____ )____ A.客人距离厨房门口450cm B.慧慧比聪聪晚出发15s C.聪聪的速度为10cm/s D.从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为140cm D 解：A．∵C，D点的纵坐标均为450， ∴客人距离厨房门口450cm,选项A不符合题意； B．∵当x=0时，聪聪出发，当x=15时，慧慧出发， ∴慧慧比聪聪晚出发15s,选项B不符合题意； C．∵慧慧提速前的速度为30÷(17-15)=15(cm/s)， ∴慧慧提速后的速度为15×2=30(cm/s)， ∴m的值为17+(450-30)÷30=31(s)， D．当x=15时，聪聪和慧慧之间的距离为10×15=150(cm)， 当x=31时，聪聪和慧慧之间的距离为450-310=140(cm)∵150＞140， ∴聪聪和慧慧之间距离的最大值为150cm,选项D符合题意． 解：A．∵C，D点的纵坐标均为450， ∴客人距离厨房门口450cm,选项A不符合题意； B．∵当x=0时，聪聪出发，当x=15时，慧慧出发， ∴慧慧比聪聪晚出发15s,选项B不符合题意； C．∵慧慧提速前的速度为30÷(17-15)=15(cm/s)， ∴慧慧提速后的速度为15×2=30(cm/s)， ∴m的值为17+(450-30)÷30=31(s)， ∴点A的坐标为(31，310)， ∴聪聪的速度为310÷31=10(cm/s)，选项C不符合题意 1.随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x(s)，聪聪和慧慧行走的路程分别为y1(cm)，y2(cm)，y1，y2与x的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是( ____ ) 2.“龟兔赛跑”的故事大家都听过吧！数学课上，老师给同学们讲了一个她自己编的“龟兔赛跑”的故事，小聪根据老师讲的故事画出了如图所示的图象．根据图象回答下列问题： (1)你认为l1和l2两条线中的哪一条是描述乌龟的？哪一条是描述兔子的？说说你的理由． (2)乌龟和兔子在比赛途中相遇了几次？ (3)请你用自己的语言把老师讲的故事复述出来． 同步练习 3.小丽驾驶电动汽车从家前往景点游玩，行驶一段路程后停车充电，然后继续行驶，直至到达景点．汽车充电前、充电后都以80km/h的速度匀速行驶，且每小时的耗电量均相同．出发后，汽车剩余电量Q(单位：kW•h)与行驶路程s(单位：km)的关系如图所示． (1)汽车行驶 ____ h后停车充电； (2)求线段AB所表示的Q与s之间的函数表达式； (3)汽车在充电前、充电后的两段行驶过程中，剩余电量不超过50kW•h的总时长为 _____ h. 3 同步练习 Q=-0.25s+140(240≤s≤440)； 1.5 解：(1)由图象可知，汽车行驶240km后停车充电，已知行驶速度为80km/h, 行驶时间=路程/速度= =3h, 答：汽车行驶3h后停车充电； (2)设线段AB的函数表达式为Q=ks+b(k≠0)， 由图象得：A(240，80)，B(440，30)， 代入得： ，解得： 因此，线段AB的函数表达式为： Q=-0.25s+140(240≤s≤440)； (3)①充电前(0≤s≤240)： 设充电前的函数表达式为Q=k1s+100 将点(240，40)代入：40=240k1+100， 解得：k1=-0.25， 即Q=-0.25s+100， 当Q=50，则：50=-0.25s+100 解得：s=200km, 电量不超过50kW•h的路程为240-200=40km, 对应时间：t1= =0.5h, ②充电后(240≤s≤440)：线段AB的表达式为Q=-0.25s+140， 当Q=50：50=-0.25s+140，解得：s=360km, 电量不超过50kW•h的路程为440-360=80km, 对应时间：t2= =1h, 总时长：t=t1+t2=0.5+1=1.5h, 答：剩余电量不超过50kW•h的总时长为1.5h, 4.一辆汽车出发向加油站行驶，加油后在加油站休息了一段时间，然后前往目的地．汽车油箱油量y(L)与时间x(h)的函数关系式图象如图所示． (1)汽车从出发到加油站行驶了 ____ 小时，在加油站加了 ____ 升汽油； (2)求汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量y与时间x的函数关系式； (3)若目的地距离加油站200km,汽车的行驶速度为80km/h,且汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同，求汽车到达目的地时，油箱的剩余油量． 同步练习 3 35 (2)y=-10x+45(0≤x≤3)； (3)由(2)可知：汽车去往加油站时的耗油速度是10升/小时， ∴汽车去往目的地时的耗油速度是10升/小时， ∴50-10× =25(升)． 答：汽车到达目的地时，油箱的剩余油量为25升． 5.已知A，B两地相距100千米，甲、乙两车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先出发，途中停车休息一段时间，然后以原来的速度继续前进，两车离B地的距离y(千米)与甲车出发时间x(小时)的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)甲车行驶过程中的速度是 ____ 千米/时，途中停车休息的时间为 _____ 小时； (2)求甲车停车休息一段时间后到达B地的过程中y与x的函数关系式；(不需写出自变量的取值范围)； (3)甲车出发多少小时两车恰好相距15千米？ 50 0.5 同步练习 （2）y=-50x+125； (2)1+0.5=1.5， 设甲休息后y=kx+b(k≠0)，将(1.5，50)和(2，50)代入解析式， 得 ，解得： ， ∴y=-50x+125； (3)设乙路程与时间的关系式为y1=k′x+b′，将(1，0)和(5，100)代入得： ，解得： ， ∴y1=25x-25， 当x=1.5时，y=25x×1.5-25=12.5，此时两车相距50-12.5=37.5千米， 故相距15km时间段为1.5h～25h之间， 依题意得，(-50x+125)-(25x-25)=±15， 解得，x= 或 ， 故甲出发 小时或 小时两车相距15km. 5.已知A，B两地相距100千米，甲、乙两车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先出发，途中停车休息一段时间，然后以原来的速度继续前进，两车离B地的距离y(千米)与甲车出发时间x(小时)的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：(3)甲车出发多少小时两车恰好相距15千米？ 同步练习 通过这节课的学习，你有什么收获？ 1、知识方面：掌握通过一次函数的图象获取相关的信息； 弄清坐标轴、图象的关键点、倾斜程度、相对位置等等所表示的意义 3、数学能力：初步体会方程与函数的关系，增强识图能力，应用能力。 2、数学思维：①数形结合，函数与方程的思想 ②学会将实际问题抽象为一次函数模型，用函数思想分析变量关 系，解决生活中的简单实际问题. 课堂小结 感谢你的观看 37 $