专题05 图形的轴对称（期中考试重难点专题训练）2026-2027学年八年级上学期数学（人教版）
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内容正文：
专题05 图形的轴对称（期中重难点复习）
【新教材人教版八年级上册】
题型归纳
【题型1 轴对称图形的识别】 1
【题型2 根据成轴对称图形的特征进行求解】 4
【题型3 轴对称中的光线反射问题 】 15
【题型4 折叠问题】 20
【题型5 线段垂直平分线的性质】 30
【题型6 线段垂直平分线的判定】 40
【题型7 写出命题的逆命题】 44
【题型8 作已知线段的垂直平分线】 46
【题型9 作垂线(尺规作图)】 52
【题型10 求对称轴条数】 57
【题型1 】
1．甲骨文是迄今为止我国发现的年代最早的成熟文字系统，下列甲骨文中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：不是轴对称图形，不符合题意；
不是轴对称图形，不符合题意；
不是轴对称图形，不符合题意；
是轴对称图形，符合题意．
2．下列四个图形中，是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
3．下列图形中，轴对称图形有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断各图形即可．
【详解】解：第一个图形沿竖直中线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形；
第二个图形沿横中线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形；
第三个图形是中心对称图形，沿任何直线折叠后无法重合，不是轴对称图形；
第四个图形沿竖直中线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形；
∴轴对称图形有3个．
4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、“夙”：找不到一条直线，使直线两旁的部分完全重合，不是轴对称图形；
B、“兴”：找不到一条直线，使直线两旁的部分完全重合，不是轴对称图形；
C、“昧”：找不到一条直线，使直线两旁的部分完全重合，不是轴对称图形；
D、“旦”：存在竖直中线，沿这条直线折叠后左右两部分可完全重合，是轴对称图形．
5．下列四个图形中是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：根据轴对称的定义可得，第一个图形和第四个图形为轴对称图形，则四个图形中是轴对称图形的有个．
6．如图，嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子．棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方形棋子的位置用表示．嘉嘉将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是______________．
【答案】
【分析】先根据题意建立直角坐标系，再利用轴对称图形的性质找到放置的点的位置，再写出坐标即可．
【详解】由棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方子的位置用表示，
如图，建立直角坐标系，
要使所有棋子构成一个轴对称图形，则嘉嘉放圆形棋子的位置是点，
由图可知点．
7．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 _______ 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ．
【答案】A
【分析】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
根据轴对称图形的定义判断白方落子的位置即可．
【详解】解：根据轴对称的性质可知：当白方落子于点A时，可以构成轴对称图形，
故答案为：A．
【题型2 】
8．在直角坐标平面内，已知点，如果该点关于直线的对称点的坐标为，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据轴对称的性质求出的中点横坐标为，再根据中点坐标公式求解即可．
【详解】解：∵点关于直线的对称点的坐标为，
∴的中点横坐标为，
∴
解得．
9．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称的性质：对应线段相等，对应点的连线被对称轴垂直平分，对各选项进行判断．
【详解】解：∵与关于直线对称，
∴，故A选项正确；
∵对应点的连线被对称轴垂直平分，
∴，且，故B、D选项正确；
与不一定平行，故C选项错误，
所以，不一定正确的是C．
10．如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对称的性质得到，结合周长的计算即可求解．
【详解】解：∵、分别是P关于、的对称点，
∴，
∵的周长，
∴的周长 ．
11．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7
【答案】B
【分析】利用轴对称性质，得出线段相等关系，进而通过线段的和差计算出的长度．
【详解】解：∵点关于的对称点是，
∴垂直平分，
∴
∵点关于的对称点是，
∴垂直平分，
∴
∵，
∴
∴
12．如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当三角形的面积是，时，的最小值等于__________．
【答案】
【分析】在上取一点，使，可证，根据全等三角形的性质可知，过点作，根据垂线段最短可得，利用三角形的面积公式求出的值即为的最小值．
【详解】解：如下图所示，在上取一点，使，
平分，
，
在和中，
，
，
，
过点作，则，
三角形的面积是，，
，
，
，
的最小值是．
13．如图，在四边形中，，，点、分别为、上的动点，连接、、，当的周长最小时，的度数为________°．
【答案】
54
【分析】利用对称点法求周长最小值：分别作点关于、的对称点、，连接，其与、的交点即为周长最小时的、，结合已知，利用对称性质与三角形内角和推导得出的度数．
【详解】解： 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，
这条线段与、的交点就是周长最小时对应的、点，
此时的周长==，为最短值．
根据轴对称的性质：，．
在中，，
因此．
．
14．与的位置如图所示，，点与点关于对称，点与点关于对称，点与点关于对称，连接、、，延长交于点．若的面积是，则的面积是________．
【答案】1
【分析】证明，可得，，，即可推出，再利用三角形面积公式即可解答．
【详解】解：如图，
点与点关于对称，点与点关于对称，
，，
，
，
，，
，
点与点关于对称，
，，
，
，
，即，
．
15．如图，点是外的一点，点与关于对称，点与关于对称，直线分别交，于点，，若，．
(1)求线段，的长；
(2)求线段的长．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由点与关于对称可得出，结合的长度可求出的长度；
（2）由点与关于对称可得出，再根据即可求出线段的长．
【详解】（1）解：，关于对称，
，
，
．
（2）解：，关于对称，
，
．
16．在平面直角坐标系中，点的坐标为．
(1)若点在第二象限，求的取值范围．
(2)若将点向下平移6个单位得到点，此时两点关于轴对称，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
【分析】（1）第二象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列出一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围．
（2）根据平移规则写出点坐标，再利用关于轴对称的点的坐标特征列方程求出，回代算出点坐标．
【详解】（1）解：点在第二象限，
，
解得，
解得，
；
（2）解：点向下平移个单位得到点，点的坐标为，
，即，
，关于轴对称，点的坐标为，
，
解得，
把代入得
，，
∴点的坐标为．
17．综合实践：
(1)如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？
①猜想：在中，如果，则___________（填写“”“”或“”）；
②验证：可以通过作___________图形，构造___________，将不等关系转化为___________关系，运用角的性质来进行证明．（填写正确答案的选项即可）
A．全等三角形； B．对称； C．等腰三角形； D．相等； E．从特殊到一般．
(2)如图2，在中，，平分交于点，连接．判断与的大小关系，并证明；
(3)如图3，在中，，的角平分线交于点，若，请求出的值，并写出解答过程．
【答案】(1)①；②B，C，D
(2)解：，理由如下：
如图，延长到点，使，连接，则，
∵平分，
在和中，
，
；
(3)解：如图，在上截取，连接，作于点于点，
∵的角平分线交于点，
，
，
在和中，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
∵，于点于点，
，
，
∴的值为．
【分析】本题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角、三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键．
（1）① 根据题意，进行猜测结果；
② 根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理进行验证即可；
（2）延长到点，使，连接，则，根据三角形的三边关系得出，证明，得出对应边相等，然后等量代换即可；
（3）在上截取，连接，根据三角形的内角和定理及角平分线的性质得出，证明，得出对应边和对应角相等，根据三角形边和面积的关系得出，作于点于点，根据角平分线的性质定理得出，然后根据三角形面积和边的关系即可求解．
【详解】（1）解：① 如图，作的角平分线交于点，作与关于所在直线对称，点的对应点是，
∵平分，，
∴与关于所在直线对称，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
故有如果，则；
②由①的求解思路可知可以通过作对称图形，构造等腰三角形，将不等关系转化为相等关系，运用角的性质来进行证明．
故答案为：B，C，D；
（2）略
（3）略
【题型3 】
18．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反射规律得出，利用平角定义求出，再根据平行线性质求出，最后利用平角定义及反射规律求出．
【详解】解：由题意，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意，得，
∵，
∴，
∴．
19．如图，弹性小球从点D出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时，落脚点为I；第2次碰到长方形的边时落脚点为；如此运动下去，则第2026次落脚点为（ ）
A．D B．E1 C．I D．V
【答案】B
【分析】根据图形找出小球的循环规律，然后求解．
【详解】解：如图，
小球第1次碰到矩形的边时，落脚点为I，第2次碰到矩形的边时落脚点为，第3次落脚点为Q，第4次落脚点为V，第5次落脚点为，第6次落脚点为M，第7次落脚点为，第8次落脚点为D，…，
∴每8次循环1次，
∵，
∴第2026次落脚点为．
20．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______．
【答案】
【分析】根据平行线的性质和反射的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
根据题意可得，，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．根据以下素材，完成下面项目．
项目任务单：《光的镜面反射》
项目
项目内容
图形
素材
光线照射到平面镜上会发生光的反射现象．根据光学规律：反射光线与镜面所成的锐角，和入射光线与镜面所成的锐角大小相等，例如：在图中，有．
完成项目：
(1)项目1：如图，已知有两个平面镜镜面与镜面，入射光线先后经镜面，形成反射，记反射光线分别为，．
①若，求的度数．
②若，，，求，之间的数量关系．
(2)项目2：如图3，现有三个平面镜，，，入射光线先后经镜面，，反射，反射光线依次为，，，且满足．
①若，，求的度数．
②求，，的数量关系．
【答案】(1)①；②
(2)①；②
【分析】（1）①根据光的反射规律得，结合平角的定义即可解答；
②由反射规律得，， 结合平行线的性质即可解答；
（2）①由反射规律得，， 结合平角的定义即可求出，， 过点作，根据和平行线的性质得出即可求解；
②设，，由反射规律得，， 则，，同①可得，再表示出，即可解答；
【详解】（1）解：①根据光的反射规律得：，
∵，
∴；
②由反射规律得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
整理得；
（2）解：①由反射规律得：，，
∴，，
过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
②设，，
由反射规律得：，，
∴，，
过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
∵，，
∴（或等价形式等也正确）．
【题型4 折叠问题】
22．如图，将一张长方形纸片分别沿和翻折，点C的对应点为，点B的对应点恰好落在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用折叠性质得出角相等，结合平角定义及点共线条件求解．
【详解】解：由折叠性质可知 ，，
点落在上，
，
.，
，
．
23．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别在边、上，将沿着折叠压平使与重合，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由折叠的性质得，，再由平角的定义得，，再根据三角形内角和定理得，代入即可求解．
【详解】解：由折叠可知，，，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
则．
24．如图，将长方形纸片沿折叠，点，的对应点分别是，，交于点，再将四边形沿折叠，点，的对应点分别是，，交于，给出下列结论：；；若，则；．上述正确的结论有（）个
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】设，利用平行线性质和折叠性质表示出、、、、、等角，逐一验证结论即可．
【详解】解：设，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴，
∵点、、在同一直线上，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
若，则，解得或，题目未给出的具体度数，故结论不一定正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，故结论正确；
若，即，
∴，，
∴，
∴，
∴，故结论正确；
∵是的外角，
∴，即，故结论正确；
综上所述，正确的结论有，共个．
25．如图，将长方形纸片，（，，）沿折痕折叠，点，的对应点分别为，，线段交线段于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，过作，证明，结合折叠可得，，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵长方形纸片沿折痕折叠，点的对应点分别为，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
26．如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与、边分别相交于点、，当为直角三角形时，的度数为________．
【答案】或
【分析】由三角形内角和定理可得，再分两种情况：当，当时，分别结合折叠的性质与三角形内角和定理计算即可得出结果．
【详解】解：∵在三角形纸片中，，，
∴，
∵为直角三角形，
①当时，
则，
由折叠的性质可得，
∴，
②当时，
由折叠的性质可得，
∴，
综上所述，的度数为或．
27．如图，点，点，点分别在，，上，将长方形按，翻折，线段的对应边恰好落在折痕上，点的对应点落在长方形外，与交于点，与交于点，已知，则________．
【答案】
【分析】利用三角形外角的性质求出，利用平行线的性质求出，根据折叠可求出，进而求出，再利用折叠求出，问题随之得解．
【详解】，
．
，
．
折叠得到，
，
，
折叠得到，
，
．
28．如图，在中，，在内有一点，将向外翻折至，其中为其对称轴，过点，分别作，的垂线，垂足为，，，，已知，，那么________．
【答案】21
【分析】连接，，根据折叠有，根据，列式计算即可．
【详解】如图，连接，，
将向外翻折至，
，
．
∵过点，分别作，的垂线，垂足为，，，，
∴，，，，
∴
，
．
29．如图，在中，，，D是边上的一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的一边时，求的度数．
【答案】或
【分析】分两种情况：和，分别画出示意图，讨论求解即可．
【详解】解：如图所示，当时，则，
∵，
∴，
由折叠的性质可得；
如图所示，当时，则，
由折叠的性质可得，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或．
30．在中，延长到，使，在上方，右侧一点，且，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)若，将沿直线翻折得到，连接交于．
i）如图2，若，求证：为的中点；
ii）如图3，交于点G，若，求．
【答案】(1)证明：在中，，
，
，
又，
，
在和中，
；
(2)i）证明：如图所示，连接，
，
，，
，
，
由翻折可知，
，
，
是的中线，
为的中点；
ii）
【分析】（1）根据三角形内角和定理可证，利用可证结论成立；
（2）i）连接，由可证，，根据平行线的性质可证，由翻折可知，从而可证，根据等腰三角形的三线合一定理可证结论成立；
ii）连接，延长、交于点，可证，根据全等三角形的性质可知，由（1）可知，根据全等三角形的性质可知，，利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】（1）略
（2）i）略
ii）解：如图所示，连接，延长、交于点，
设，
，
，
由翻折可知，
，，
，
在和中，
，
，，
由（1）可知，
，，
，，
，，
，
，
即，
解得：，
，，
．
【题型5 】
31．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，，
，
垂直平分，
．
32．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接．若，则的周长为（ ）
A．12 B．14 C．19 D．26
【答案】C
【分析】根据尺规作图得出垂直平分线段，然后根据线段垂直平分线的性质求解．
【详解】解：由尺规作图可知，垂直平分线段，
∴，
∴，
∴．
33．学完全等三角形后，兴趣小组到湖边测量池塘两端、的距离，三位同学分别设计了如下方案．甲：如图①，在空地上取一个能直接到达和的点，连接并延长到，使；连接并延长到，使；最后测出的长即为、的距离．乙：如图②，过点作，在上取点，使；再过点作，使、、三点在同一条直线上；最后测出的长即为、的距离．丙：如图③，连接并延长到，使，连接，测出的长即为、的距离．
以上三位同学所设计的方案中，可行的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙
C．乙和丙 D．三人的方案都可行
【答案】A
【分析】在前两个图中分别根据全等三角形的判定方法证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得证；第三个图形添加时可说明，而题目没有给出这一条件，则可判断丙的说法错误．
【详解】解：在和中，
，
，
，故甲的方案可行；
，
，
，
，
在和中，
，
，
，故乙的方案可行；
当时，
，
而题目没有给出这一条件，故丙的方案不可行；
综上可知，甲和乙的方案都可行.
34．如图，的边的垂直平分线交于点E，若，，则的周长为__________．
【答案】
7
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，将的周长转化为进行计算.
【详解】解：∵是的垂直平分线
∴
∴的周长
∵，
∴的周长
35．如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接，与分别相交于点E，F，连接． 若，则的周长为______ ；若，则的度数为_______．
【答案】 8 /度
【分析】根据对称得到，，，，即可得到的周长为，，代入求值即可求解．
【详解】解：连接，
∵点M是点P关于的对称点，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
∵，
∴的周长为；
∵，
∴，
∴
∴．
36．如图，在中，，，垂直平分，交边于点D，交边于点E，在线段上有一动点P，连接，，则的周长最小值为_________．
【答案】14
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，然后等量代换求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，
∴的周长
∴当点B，P，C三点共线时，的周长取得最小值，最小值为14．
37．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接．过点A作于点E，恰有．若，求的周长．
【答案】16
【分析】由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，，然后根据周长公式求解即可．
【详解】解：由题意可得，垂直且平分，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴.
38．如图，在中，点在边的垂直平分线上，于点，，交的延长线于点，连接，，，且．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，证明得到，再证明得到，据此可得答案；
（2）由全等三角形的性质得到，根据线段的和差关系推出，进而得到，解之即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点在边的垂直平分线上，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
39．如图，在长方形中，，，．延长到，使，连接，可知．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．（）
(1)当点在边上时，________（用含的代数式表示）；
(2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值；
(3)连结或，在整个运动过程中，当与全等时，求的值；
(4)当点到两边距离相等时（点不与顶点重合），直接写出的值．
【答案】(1)
(2)2或8
(3)或
(4)或或
【分析】（1）根据题意可得，即可求解；
（2）分两种情况：当点在边上时，当点在边上时，即可求解；
（3）分两种情况，结合全等三角形的性质解答即可；
（4）分三种情况解答即可．
【详解】（1）解：当点在边上时，，
∴；
（2）解：当点在边上时，此时点P为的中点，即，
∴，
∴；
当点在边上时，此时点P的运动路程为，
在长方形中，∵点在的垂直平分线上，
∴点P也在边的垂直平分线上，
∴，
∴，
此时；
综上所述，的值为2或8；
（3）解：如图，当点在边上时，
∵，
∴当时，，
此时，
解得：；
如图，当点在边上时，
∵，
∴当时，，
此时，
解得：；
综上所述，t的值为或；
（4）解：若点P到边的距离相等，此时点P在的平分线上，
当点P在边上时，如图，过点P作于点F，则，此时，
∵，
∴，
∴，
解得：；
当点P在边上时，如图，过点P作交的延长线于点G，于点H，则，，此时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
当点P在上，且时，如图，过点P作于点K，则，
此时点P到的距离为，
∵，即，
∴点P到的距离为，
此时点P到，的距离相等，满足题意；
综上所述，t的值为或或．
【题型6 】
40．如图，在中，，，，，平分，如果M、N分别为、上的动点，那么的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．4.8
【答案】A
【分析】过点作于点，延长交于点，过点作于点，过点作于点，连接，，证明，可得，，利用面积可得，由，，可得垂直平分，可得的最小值为，由N为上的动点，可得当，即点与点重合时，取得最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点，过点作于点，过点作于点，连接，，
∵平分， ，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
当且仅当、、共线时，等号成立，此时的最小值为，
∵N为上的动点，
∴当，即点与点重合时，取得最小值，最小值为，
∴的最小值为．
41．如图所示，已知是的平分线，，点在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质与判定，证明，可得，，进而可得垂直平分，则，即可求解．
【详解】解：∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，即平分；故①③正确，
又∵，
∴垂直平分，故④正确，
∵在上，
∴，故②正确，
故①②③④正确．
42．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______．
【答案】16
【分析】根据垂直平分线的性质，得到，求出，推导出是的垂直平分线，，得到，进而求出的周长即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵垂直于点，且为的中点，
∴是的垂直平分线，，
∴，
∴的周长是．
43．如图，的两条高与交于点，．
(1)求证：；
(2)连接，试说明：是的垂直平分线．
【答案】(1)证明：∵的两条高与交于点，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)证明：如图，延长交于点F，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线．
【分析】（1）证明，即可得到；
（2）延长交于点F，证明，，即可得到是的垂直平分线．
【详解】（1）略
（2）略
44．如图，，，，求证：是的垂直平分线．
【答案】证明：在和中，
，
．
，
点O在的垂直平分线上，
又，
∴点E在的垂直平分线上．
是的垂直平分线．
【分析】根据证明，可得，再结合即可证明是的垂直平分线．
【详解】略
【题型7 】
45．下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．全等三角形的面积相等
C．若，则 D．如果，那么
【答案】C
【分析】互换各命题的条件与结论得到逆命题，再判断真假．
【详解】解：A．逆命题为如果，那么，是假命题．
B．逆命题为面积相等的三角形是全等三角形，是假命题．
C．逆命题为若，则，是真命题．
D．逆命题为如果，那么，是假命题．
46．下列命题：
①线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等；
②全等三角形的周长相等；
③在同一个三角形中，大边对大角；
④同旁内角互补，两直线平行；
其逆命题为真命题的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【分析】先写出每个命题的逆命题，再根据初中几何定理判断逆命题的真假，即可得到结果．
【详解】解：①原命题：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等；逆命题：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；该逆命题为真命题；
②原命题：全等三角形的周长相等；逆命题：周长相等的三角形是全等三角形；举例：边长为，，的三角形和边长为，，的三角形周长都是，但二者不全等，因此该逆命题为假命题；
③原命题：在同一个三角形中，大边对大角；逆命题：在同一个三角形中，大角对大边；该逆命题为真命题；
④原命题：同旁内角互补，两直线平行；逆命题：两直线平行，同旁内角互补；该逆命题为真命题；
综上，逆命题为真命题的是①③④，
故选：A．
47．命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）．
【答案】 若，则 假
【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件与结论得到逆命题，再通过举反例判断逆命题的真假即可．
【详解】解：原命题若，则中，条件为，结论为．
交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则．
取反例，当，时，满足，但，说明逆命题不成立，因此逆命题是假命题．
48．以下结论中：①命题一定有逆命题，②真命题一定是定理，③真命题的逆命题一定是真命题，④假命题的逆命题一定是假命题．正确的结论共有__________个．
【答案】1
【分析】本题主要考查了命题、逆命题及定理的概念，熟练掌握命题与逆命题的关系、定理的定义是解题的关键．逐一分析四个结论，结合命题、逆命题、定理的定义判断正误，统计正确结论的数量．
【详解】解：因为逆命题是交换原命题的条件和结论得到的，每个命题都有条件和结论，
所以命题一定有逆命题，故①正确．
因为定理是经过证明的真命题，但真命题不一定经过证明（如未被证明的真命题），
所以真命题不一定是定理，故②错误．
因为原命题“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，
所以真命题的逆命题不一定是真命题，故③错误．
因为原命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”是假命题，其逆命题“如果两个角是对顶角，那么它们相等”是真命题，
所以假命题的逆命题不一定是假命题，故④错误．
综上，正确的结论有1个．
故答案为：1．
49．已知命题“如果，那么．”
(1)写出此命题的条件和结论；
(2)写出此命题的逆命题．
【答案】(1)条件为：；结论为：
(2)如果，那么
【分析】（1）根据题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项解答；
（2）把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【详解】（1）解：条件为：；结论为：．
（2）解：如果，那么．
【题型8 】
50．如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于、，作直线，为的中点，为直线上任意一点．若面积为，且长度的最小值为，则长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】先由作图得出是的垂直平分线，得到，转化，确定最小值为，再结合等腰三角形三线合一与三角形面积公式求出．
【详解】解：如图，连接，，
∵由作图可知，直线是线段的垂直平分线，
∴．
∴．
∵两点之间线段最短，
∴当、、三点共线时，最小，最小值为．
∵的最小值为，
∴．
∵，为中点，
∴．
∵，
∴．
∴．
51．如图，在中，按如下步骤作图：
①分别以，为圆心，大于为半径画弧，分别交于点，；
②作直线，与边交于点；
③连接．，，则的周长是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】由题意可知垂直平分，依据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得，再由即可求解．
【详解】解：由作图可知，垂直平分，
，
，，
．
52．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接交于点，若，，则的周长为________．
【答案】25
【分析】根据圆的半径相等可得，根据题目描述识别出是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质得到，从而将的周长转化为进行求解．
【详解】解：∵以点为圆心，的长为半径作弧交于点，
∴．
∵分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接，
∴是线段的垂直平分线，
∵点在上，
∴，
∴的周长．
53．如图，小红分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于点；又分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于点，连接，，若的面积为2，则的面积是_______．
【答案】8
【分析】先根据作图得出点D为的中点，点E为的中点，再根据三角形的中线求面积即可．
【详解】解：根据作图可知：点D为的中点，点E为的中点，
∵点E为的中点，
∴，
∵点D为的中点，
∴．
54．如图，分别画出中，边上的中线，以及角平分线．（尺规作图，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，线段，线段即为所求．
【分析】作边上的中线的操作如下：分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两侧的两个点． 连接两交点得到直线，该直线与的交点即为的中点E． 连接点B与点E，即为所求的边上的中线． 作的角平分线的操作如下 以点C为圆心，任意适当长度为半径画弧，分别交、于两个点． 分别以这两个交点为圆心，大于两交点间距离的长为半径画弧，两弧在的内部交于一点． 连接点C与该内部交点，所得射线与的交点即为点D． 即为所求的的角平分线．
【详解】略
55．如图，在中，．
(1)尺规作图：在边上求作一点D，连接，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求的周长．
【答案】(1)如图，即为所求；
(2)8
【分析】（1）作出线段的垂直平分线与的交点即为点，根据线段的垂直平分线的性质即可得到；
（2）由结合，可得，再根据三角形的周长公式求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵，由（1）知
∴
∵，
∴的周长．
56．在学习线段垂直平分线和尺规作图后，为带领同学们深挖几何背后的道理，老师设计了一项趣味探究任务：在中，点为边上一点，连接．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若为的角平分线，试说明．
请根据下列解题思路完成填空：
为线段的垂直平分线，
，
为的角平分线，
①，
在和中，
，
③，
EF为线段BD的垂直平分线，
④，
．
【答案】(1)
(2)①；②；③；④
【分析】由角平分线、线段垂直平分线的性质，得到线段相等关系，再通过角边角全等判定完成三角形全等证明，最终通过等量代换得到要证明的结论．
【详解】（1）解：作图略．
（2）解：由角平分线的性质得到①；再通过角边角全等判定完成三角形全等证明，故②，③；由线段垂直平分线的性质得到④；最终通过等量代换得到要证明的结论．
【题型9 】
57．如图所示，已知（），用尺规在线段BC上确定一点P，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A．根据作图可知，，
，
不能说明，不符合题意；
B．根据作图可知，，
，
不能说明，不符合题意；
C．根据作图可知，，
，
不能说明，不符合题意；
D．根据作图可知，，
，符合题意．
58．如图，在中，，按以下步骤作图：① 以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，在分别以点、，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点② 以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，在分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6.5 C．7 D．8
【答案】C
【详解】解：由作图可知平分，，
，，
，
，
，
．
59．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交，于点D，E两点，则________．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【答案】
【分析】根据尺规作图的方法可知直线是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质即可得出结论．
【详解】解：由作图痕迹可知，直线是线段的垂直平分线，
∵点D在直线上，
∴．
60．如图，经过已知直线外一点，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线的垂线．
（1）以点为圆心、适当长（大于点到直线的距离）为半径作弧，交直线于、两点；
（2）分别以点、为圆心，相同长（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧相交于点；
（3）作直线，交于点，顺次连结、、、．
直线就是所要求作的垂线．
给出以下四个结论：①；②点与点关于直线对称；③若，则四边形的周长为；④四边形的面积为．
以上结论正确的序号为______．
【答案】①②③
【分析】根据作图可得是的垂直平分线，进而逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：根据作图可得，，，
∴是的垂直平分线
∴，故①正确，
，，
∴点与点关于直线对称；故②正确，
∵，
若，则四边形的周长为，故③正确，
∵，
∴四边形的面积为，故④不正确．
综上所述，正确的序号为①②③．
61．如图，是钝角三角形
(1)利用直尺和圆规作图(要求：保留作图痕迹，不写作法)：①在上求作一点 D，使得点D到点A、点B的距离相等；②连接，在上找一点E，使得点 E到、的距离相等：
(2)中， 若，在（1）所作的图形中，则的周长为 ；
(3)中，若，在（1）所作的图形中，则的度数为 ．
【答案】(1)
(2)14
(3)
【分析】（1）作的垂直平分线交于点，作的角平分线交于点；
（2）推出的周长等于即可解答；
（3）求得，即可推出，再利用角平分线的定义即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：∵点D到点A、点B的距离相等，
，
的周长；
（3）解：，
，
，
，
，
∵平分，
．
62．在古希腊，尺规作图（仅使用无刻度的直尺和圆规）被视为几何学的至高准则，它源于柏拉图学派对“纯粹”与“精确”的追求．欧几里得在《几何原本》中系统总结并严格规定了这一方法，使所有作图步骤都必须基于基本事实与已证定理．如图，已知，．请用尺规作图法在边上求作点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：根据题意，作图如下：
则点P即为所求．
【分析】根据同角的余角相等，只需过点A作于点P，即可得解．
【详解】解：根据基本作图，已知，得，
故，作图略．
63．如图，在中，平分．
(1)作出的边上的高（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求的度数；
【答案】(1)解：如图，即为所求；
(2)
【分析】（1）利用尺规作垂线的方法作图即可；
（2）根据角平分线的定义，三角形的内角和定理进行求解即可.
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴.
【题型10 】
64．下列图形中，有4条对称轴的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿着一条直线折叠直线两旁的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴，解答即可．
【详解】解：图形1，3，4中各有4条对称轴，图形2中有3条对称轴．
65．下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：选项A的图形有1条对称轴；
选项B的图形有5条对称轴；
选项C的图形有1条对称轴；
选项D的图形有3条对称轴．
对比可知B的对称轴条数最多．
66．如图，正五边形的对称轴条数为______条．
【答案】
5
【分析】正五边形的对称轴为其顶点与该顶点对边中点的连线所在的直线．
【详解】解：如图所示，正五边形有5条对称轴．
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专题05 图形的轴对称（期中重难点复习）
【新教材人教版八年级上册】
题型归纳
【题型1 轴对称图形的识别】 1
【题型2 根据成轴对称图形的特征进行求解】 3
【题型3 轴对称中的光线反射问题 】 6
【题型4 折叠问题】 8
【题型5 线段垂直平分线的性质】 11
【题型6 线段垂直平分线的判定】 14
【题型7 写出命题的逆命题】 15
【题型8 作已知线段的垂直平分线】 16
【题型9 作垂线(尺规作图)】 19
【题型10 求对称轴条数】 21
【题型1 】
1．甲骨文是迄今为止我国发现的年代最早的成熟文字系统，下列甲骨文中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列四个图形中，是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，轴对称图形有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列四个图形中是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子．棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方形棋子的位置用表示．嘉嘉将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是______________．
7．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 _______ 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ．
【题型2 】
8．在直角坐标平面内，已知点，如果该点关于直线的对称点的坐标为，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7
12．如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当三角形的面积是，时，的最小值等于__________．
13．如图，在四边形中，，，点、分别为、上的动点，连接、、，当的周长最小时，的度数为________°．
14．与的位置如图所示，，点与点关于对称，点与点关于对称，点与点关于对称，连接、、，延长交于点．若的面积是，则的面积是________．
15．如图，点是外的一点，点与关于对称，点与关于对称，直线分别交，于点，，若，．
(1)求线段，的长；
(2)求线段的长．
16．在平面直角坐标系中，点的坐标为．
(1)若点在第二象限，求的取值范围．
(2)若将点向下平移6个单位得到点，此时两点关于轴对称，求点的坐标．
17．综合实践：
(1)如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？
①猜想：在中，如果，则___________（填写“”“”或“”）；
②验证：可以通过作___________图形，构造___________，将不等关系转化为___________关系，运用角的性质来进行证明．（填写正确答案的选项即可）
A．全等三角形； B．对称； C．等腰三角形； D．相等； E．从特殊到一般．
(2)如图2，在中，，平分交于点，连接．判断与的大小关系，并证明；
(3)如图3，在中，，的角平分线交于点，若，请求出的值，并写出解答过程．
【题型3 】
18．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，弹性小球从点D出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时，落脚点为I；第2次碰到长方形的边时落脚点为；如此运动下去，则第2026次落脚点为（ ）
A．D B．E1 C．I D．V
20．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______．
21．根据以下素材，完成下面项目．
项目任务单：《光的镜面反射》
项目
项目内容
图形
素材
光线照射到平面镜上会发生光的反射现象．根据光学规律：反射光线与镜面所成的锐角，和入射光线与镜面所成的锐角大小相等，例如：在图中，有．
完成项目：
(1)项目1：如图，已知有两个平面镜镜面与镜面，入射光线先后经镜面，形成反射，记反射光线分别为，．
①若，求的度数．
②若，，，求，之间的数量关系．
(2)项目2：如图3，现有三个平面镜，，，入射光线先后经镜面，，反射，反射光线依次为，，，且满足．
①若，，求的度数．
②求，，的数量关系．
【题型4 折叠问题】
22．如图，将一张长方形纸片分别沿和翻折，点C的对应点为，点B的对应点恰好落在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别在边、上，将沿着折叠压平使与重合，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
24．如图，将长方形纸片沿折叠，点，的对应点分别是，，交于点，再将四边形沿折叠，点，的对应点分别是，，交于，给出下列结论：；；若，则；．上述正确的结论有（）个
A．个 B．个 C．个 D．个
25．如图，将长方形纸片，（，，）沿折痕折叠，点，的对应点分别为，，线段交线段于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
26．如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与、边分别相交于点、，当为直角三角形时，的度数为________．
27．如图，点，点，点分别在，，上，将长方形按，翻折，线段的对应边恰好落在折痕上，点的对应点落在长方形外，与交于点，与交于点，已知，则________．
28．如图，在中，，在内有一点，将向外翻折至，其中为其对称轴，过点，分别作，的垂线，垂足为，，，，已知，，那么________．
29．如图，在中，，，D是边上的一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的一边时，求的度数．
30．在中，延长到，使，在上方，右侧一点，且，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)若，将沿直线翻折得到，连接交于．
i）如图2，若，求证：为的中点；
ii）如图3，交于点G，若，求．
【题型5 】
31．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
32．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接．若，则的周长为（ ）
A．12 B．14 C．19 D．26
33．学完全等三角形后，兴趣小组到湖边测量池塘两端、的距离，三位同学分别设计了如下方案．甲：如图①，在空地上取一个能直接到达和的点，连接并延长到，使；连接并延长到，使；最后测出的长即为、的距离．乙：如图②，过点作，在上取点，使；再过点作，使、、三点在同一条直线上；最后测出的长即为、的距离．丙：如图③，连接并延长到，使，连接，测出的长即为、的距离．
以上三位同学所设计的方案中，可行的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．三人的方案都可行
34．如图，的边的垂直平分线交于点E，若，，则的周长为__________．
35．如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接，与分别相交于点E，F，连接． 若，则的周长为______ ；若，则的度数为_______．
36．如图，在中，，，垂直平分，交边于点D，交边于点E，在线段上有一动点P，连接，，则的周长最小值为_________．
37．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接．过点A作于点E，恰有．若，求的周长．
38．如图，在中，点在边的垂直平分线上，于点，，交的延长线于点，连接，，，且．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
39．如图，在长方形中，，，．延长到，使，连接，可知．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．（）
(1)当点在边上时，________（用含的代数式表示）；
(2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值；
(3)连结或，在整个运动过程中，当与全等时，求的值；
(4)当点到两边距离相等时（点不与顶点重合），直接写出的值．
【题型6 】
40．如图，在中，，，，，平分，如果M、N分别为、上的动点，那么的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．4.8
41．如图所示，已知是的平分线，，点在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
42．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______．
43．如图，的两条高与交于点，．
(1)求证：；
(2)连接，试说明：是的垂直平分线．
44．如图，，，，求证：是的垂直平分线．
【题型7 】
45．下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．全等三角形的面积相等
C．若，则 D．如果，那么
46．下列命题：
①线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等；
②全等三角形的周长相等；
③在同一个三角形中，大边对大角；
④同旁内角互补，两直线平行；
其逆命题为真命题的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
47．命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）．
48．以下结论中：①命题一定有逆命题，②真命题一定是定理，③真命题的逆命题一定是真命题，④假命题的逆命题一定是假命题．正确的结论共有__________个．
49．已知命题“如果，那么．”
(1)写出此命题的条件和结论；
(2)写出此命题的逆命题．
【题型8 】
50．如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于、，作直线，为的中点，为直线上任意一点．若面积为，且长度的最小值为，则长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
51．如图，在中，按如下步骤作图：
①分别以，为圆心，大于为半径画弧，分别交于点，；
②作直线，与边交于点；
③连接．，，则的周长是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
52．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接交于点，若，，则的周长为________．
53．如图，小红分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于点；又分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于点，连接，，若的面积为2，则的面积是_______．
54．如图，分别画出中，边上的中线，以及角平分线．（尺规作图，保留作图痕迹）
55．如图，在中，．
(1)尺规作图：在边上求作一点D，连接，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求的周长．
56．在学习线段垂直平分线和尺规作图后，为带领同学们深挖几何背后的道理，老师设计了一项趣味探究任务：在中，点为边上一点，连接．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若为的角平分线，试说明．
请根据下列解题思路完成填空：
为线段的垂直平分线，
，
为的角平分线，
①，
在和中，
，
③，
EF为线段BD的垂直平分线，
④，
．
【题型9 】
57．如图所示，已知（），用尺规在线段BC上确定一点P，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
58．如图，在中，，按以下步骤作图：① 以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，在分别以点、，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点② 以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，在分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6.5 C．7 D．8
59．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交，于点D，E两点，则________．（填“＞”，“＜”或“＝”）
60．如图，经过已知直线外一点，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线的垂线．
（1）以点为圆心、适当长（大于点到直线的距离）为半径作弧，交直线于、两点；
（2）分别以点、为圆心，相同长（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧相交于点；
（3）作直线，交于点，顺次连结、、、．
直线就是所要求作的垂线．
给出以下四个结论：①；②点与点关于直线对称；③若，则四边形的周长为；④四边形的面积为．
以上结论正确的序号为______．
61．如图，是钝角三角形
(1)利用直尺和圆规作图(要求：保留作图痕迹，不写作法)：①在上求作一点 D，使得点D到点A、点B的距离相等；②连接，在上找一点E，使得点 E到、的距离相等：
(2)中， 若，在（1）所作的图形中，则的周长为 ；
(3)中，若，在（1）所作的图形中，则的度数为 ．
62．在古希腊，尺规作图（仅使用无刻度的直尺和圆规）被视为几何学的至高准则，它源于柏拉图学派对“纯粹”与“精确”的追求．欧几里得在《几何原本》中系统总结并严格规定了这一方法，使所有作图步骤都必须基于基本事实与已证定理．如图，已知，．请用尺规作图法在边上求作点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
63．如图，在中，平分．
(1)作出的边上的高（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求的度数；
【题型10 】
64．下列图形中，有4条对称轴的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
65．下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
66．如图，正五边形的对称轴条数为______条．
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