微专题：椭圆中的范围与最值问题 讲义-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：椭圆中的范围与最值问题 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题安排在“椭圆的简单几何性质”与“直线与椭圆的位置关系”之后，属椭圆模块的收尾。此前五讲各处理一个具体模型：焦点三角形、焦半径、离心率的范围、中点弦、到定直线的距离。五讲的求最值各有专法，学生手里因此攒下五六种套路，却缺一条把套路串起来的线索。本讲给的就是这条线索——把椭圆上的一个自由点交给一个参数，范围问题随即退化为求一元函数在闭区间上的值域，余下的只是选变量与定端点。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，本考点以三种形式出现：选填题求线性组合、距离或面积的最值，数值常带一个根号；解答题以“求取值范围”设问，判分点在于是否写明变量范围与等号成立的位置；另有以数量积、距离平方为外壳的题，须先作对称化，再落回同一个二次函数。 第二部分　记·模型与结论 一、一个参数管住整条曲线 椭圆 上的点统一写成 ， 取遍 。坐标、到定点的距离、到定直线的距离，到此都成了 的闭式，求范围即求值域。 设点法里的 与这里的 ，说的是同一件事，只是记法不同：求一段范围用 省事，求一个具体的点才回到 。两者混用，先算出的往往是 ，再回代成坐标。 二、线性组合的振幅 目标量形如 时，代入参数式得 ，辅助角公式把它并成一项正弦，振幅取 ，值域是 。 振幅是否带根号，只取决于 是不是完全平方。挑椭圆时先算这一个数，比事后改答案省力； 恰为平方数的组合不多，遇到就留着，别在同一讲里反复用。 三、消元之后的变量范围不能丢 目标量含 时，由方程解出 代入，得到一个关于 的二次函数，但 只在 上取值。顶点落在区间内取顶点值，落在区间外取端点的函数值，两种情形的结论不同。 顶点横坐标是 （目标量写成 时），与 比一次大小即可判定。这一步写进解题过程，比先算出数值再回头核对更可靠——漏掉它的稿子，最大值往往大于实际可达值。 四、分式型回到斜率 形如 的目标量，是以 为定点的直线斜率。设 与椭圆联立，判别式非负给出 的闭区间；判别式恒正时斜率取遍实数。 判别式恒正，说明定点落在椭圆内部：过内点的直线必与椭圆交于两点，斜率自然不受限制。定点在长轴延长线上且在椭圆外时，才得到一段真正的闭区间。先判定定点位置，能省掉一整页运算。 五、数量积与距离平方先作对称化 取长轴两端点 、，设 ，则 ，而 在椭圆上的范围是 ，于是数量积的范围是 ，即 。 同一手法给出 ，范围是 。两个目标量都归结为 的范围，既不必设斜率，也不必联立——前提是 、 关于原点对称，换成短轴端点或任意两点，展开后的 项就消不掉。 第三部分　破·典型题型 题型一　参数化：把点交给一个角 【解题技巧】目标量是 的线性组合时，直接代 ，振幅一步写出，不必设斜率，也不必设点求轨迹。判断振幅是否带根号，只看 是不是平方数；不是，就留着根号，别为凑整数去换一个怪椭圆。 【典例1-1】（2025 年 11 月·江苏省南京市鼓楼区高二上学期期中质量检测第 13 题改编） 已知椭圆 ， 为椭圆上任意一点，求 的最大值与最小值。 【变式1-1】 条件同典例1-1， 为坐标原点，求 的取值范围。 【变式1-2】 已知椭圆 ， 为椭圆上任意一点，求 的取值范围。 题型二　消元配方：先定变量范围，再谈顶点 【解题技巧】目标量含 时，用 消元，得到关于 的二次函数。此后须写出 ：顶点在区间内取顶点值，在区间外取端点的函数值。漏写范围，最大值就会大于实际可达值。 【典例2-1】（2025 年 4 月·浙江省温州市瓯海区高二下学期期中联考第 15 题改编） 已知椭圆 ， 为椭圆上一点，求 的取值范围。 【变式2-1】 条件同典例2-1，求 的取值范围。 【变式2-2】 已知椭圆 ， 为椭圆上一点，求 的取值范围。 题型三　分式型：把范围问题换回斜率 【解题技巧】 是以 为定点的直线斜率。设 与椭圆联立，判别式非负给出 的闭区间；判别式恒正时斜率取遍实数，对应定点落在椭圆内部。先判定定点位置，可以直接决定走哪条路。 【典例3-1】（2026 年 1 月·广东省佛山市南海区高三上学期期末质量检测第 8 题改编） 已知椭圆 ，， 为椭圆上一点，求直线 斜率的取值范围。 【变式3-1】 条件同典例3-1，求 的取值范围。 【变式3-2】 已知椭圆 ，， 为椭圆上一点，求直线 斜率的取值范围。 题型四　数量积与距离平方：先对称化再谈范围 【解题技巧】长轴两端点 、 关于原点对称， 展开后只剩 ， 只剩 。两个目标量都归结为 的范围，而它在椭圆上是 。不必设斜率，也不必联立。 【典例4-1】（2025 年 9 月·湖北省武汉市武昌区高三起点质量检测第 11 题改编） 已知椭圆 的左、右顶点分别为 、， 为椭圆上一点，求 的取值范围。 【变式4-1】 条件同典例4-1，求 的取值范围。 【变式4-2】 已知椭圆 的左、右顶点分别为 、， 为椭圆上一点，求 的取值范围。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知椭圆 ， 为椭圆上一点，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．（单选）已知椭圆 上一点 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（单选）已知椭圆 ， 为椭圆上一点，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．（单选）已知椭圆 ， 为坐标原点， 为椭圆上一点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（填空）已知椭圆 ， 为椭圆上一点，则 的最大值为______。 6．（多选）已知椭圆 ， 为坐标原点， 为椭圆上一点，则下列说法正确的是（　　） A．点 的横坐标的取值范围是 B． 的最大值为 C． 的最大值为 D．椭圆上存在点 ，使 7．（解答）已知椭圆 ， 为坐标原点， 为椭圆上一点。（1）求 的取值范围；（2）求 的最大值与最小值。 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）已知椭圆 ，， 为椭圆上一点，则直线 斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．（单选）椭圆 的左、右顶点为 、， 在椭圆上，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（多选）已知椭圆 ， 为坐标原点， 为椭圆上一点，则下列说法正确的是（　　） A．椭圆的离心率为 B． 的取值范围是 C． 的最大值为 D．椭圆上存在点 ，使 11．（填空）已知椭圆 ，， 为椭圆上一点，则 的取值范围是______。 12．（解答）已知椭圆 的左、右顶点分别为 、， 为坐标原点， 为椭圆上一点。（1）求 的取值范围；（2）求 的取值范围；（3）设 ，直线 的斜率为 ，求 的取值范围。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：椭圆中的范围与最值问题 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题安排在“椭圆的简单几何性质”与“直线与椭圆的位置关系”之后，属椭圆模块的收尾。此前五讲各处理一个具体模型：焦点三角形、焦半径、离心率的范围、中点弦、到定直线的距离。五讲的求最值各有专法，学生手里因此攒下五六种套路，却缺一条把套路串起来的线索。本讲给的就是这条线索——把椭圆上的一个自由点交给一个参数，范围问题随即退化为求一元函数在闭区间上的值域，余下的只是选变量与定端点。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，本考点以三种形式出现：选填题求线性组合、距离或面积的最值，数值常带一个根号；解答题以“求取值范围”设问，判分点在于是否写明变量范围与等号成立的位置；另有以数量积、距离平方为外壳的题，须先作对称化，再落回同一个二次函数。 第二部分　记·模型与结论 一、一个参数管住整条曲线 椭圆 上的点统一写成 ， 取遍 。坐标、到定点的距离、到定直线的距离，到此都成了 的闭式，求范围即求值域。 设点法里的 与这里的 ，说的是同一件事，只是记法不同：求一段范围用 省事，求一个具体的点才回到 。两者混用，先算出的往往是 ，再回代成坐标。 二、线性组合的振幅 目标量形如 时，代入参数式得 ，辅助角公式把它并成一项正弦，振幅取 ，值域是 。 振幅是否带根号，只取决于 是不是完全平方。挑椭圆时先算这一个数，比事后改答案省力； 恰为平方数的组合不多，遇到就留着，别在同一讲里反复用。 三、消元之后的变量范围不能丢 目标量含 时，由方程解出 代入，得到一个关于 的二次函数，但 只在 上取值。顶点落在区间内取顶点值，落在区间外取端点的函数值，两种情形的结论不同。 顶点横坐标是 （目标量写成 时），与 比一次大小即可判定。这一步写进解题过程，比先算出数值再回头核对更可靠——漏掉它的稿子，最大值往往大于实际可达值。 四、分式型回到斜率 形如 的目标量，是以 为定点的直线斜率。设 与椭圆联立，判别式非负给出 的闭区间；判别式恒正时斜率取遍实数。 判别式恒正，说明定点落在椭圆内部：过内点的直线必与椭圆交于两点，斜率自然不受限制。定点在长轴延长线上且在椭圆外时，才得到一段真正的闭区间。先判定定点位置，能省掉一整页运算。 五、数量积与距离平方先作对称化 取长轴两端点 、，设 ，则 ，而 在椭圆上的范围是 ，于是数量积的范围是 ，即 。 同一手法给出 ，范围是 。两个目标量都归结为 的范围，既不必设斜率，也不必联立——前提是 、 关于原点对称，换成短轴端点或任意两点，展开后的 项就消不掉。 第三部分　破·典型题型 题型一　参数化：把点交给一个角 【解题技巧】目标量是 的线性组合时，直接代 ，振幅一步写出，不必设斜率，也不必设点求轨迹。判断振幅是否带根号，只看 是不是平方数；不是，就留着根号，别为凑整数去换一个怪椭圆。 【教学提醒】板演分两行写：第一行只写参数式与代入结果，第二行才用辅助角公式并出振幅。学生的错处集中在第一行到第二行的衔接，把振幅写成 的最多。变式1-1 交由学生独立完成，讲评只核对 的系数与端点取值。 【典例1-1】（2025 年 11 月·江苏省南京市鼓楼区高二上学期期中质量检测第 13 题改编） 已知椭圆 ， 为椭圆上任意一点，求 的最大值与最小值。 解析：设 ，则 。 因 取遍 ，故 的最大值为 ，最小值为 。 取等位置： 时取最大值，此时 ； 时取最小值， 为关于原点对称的点。 参考答案：最大值 ，最小值 【学情易错提醒】振幅写成 是最高频的错误：漏掉了平方， 比真值 大出近四成，而选项里往往正好设了 。 【变式1-1】 条件同典例1-1， 为坐标原点，求 的取值范围。 解析：。 ，故 ，即 。 两端分别对应短轴端点与长轴端点，与“椭圆上点到中心距离介于半短轴与半长轴之间”一致。 参考答案：（即 ） 【变式1-2】 已知椭圆 ， 为椭圆上任意一点，求 的取值范围。 解析：设 ，则 。 故 。 振幅 ，两个系数与半轴的乘积相等，正弦项因此被并成一项。 参考答案： 题型二　消元配方：先定变量范围，再谈顶点 【解题技巧】目标量含 时，用 消元，得到关于 的二次函数。此后须写出 ：顶点在区间内取顶点值，在区间外取端点的函数值。漏写范围，最大值就会大于实际可达值。 【教学提醒】本组三题的顶点横坐标依次是 、、，都落在区间内，讲评时把三个顶点与区间端点并排写在黑板上，让学生自己判断取哪一个。基础第 2 题与培优第 11 题属顶点落在区间外的情形，留作课后对照，两题都不必求导。 【典例2-1】（2025 年 4 月·浙江省温州市瓯海区高二下学期期中联考第 15 题改编） 已知椭圆 ， 为椭圆上一点，求 的取值范围。 解析：由方程得 ，代入得 。 定义域为 ，顶点 落在区间内，故最大值为 ，此时 ，即 。 端点处： 时值为 ， 时值为 ，故最小值为 ，在短轴下端点取到。 参考答案： 【学情易错提醒】把最大值算成 的不少：直接代 、，忽略 并非该抛物线的顶点。 处的值确实是 ，但它比 小，属于区间内部的一个普通点。 【变式2-1】 条件同典例2-1，求 的取值范围。 解析：，定义域仍是 。 顶点 在区间内，最大值 ，此时 。 端点： 得 ， 得 ，故最小值为 。 参考答案： 【变式2-2】 已知椭圆 ， 为椭圆上一点，求 的取值范围。 解析：由方程得 ，代入得 ，定义域 。 顶点在区间内，最大值 ，此时 ，即 。 端点： 得 ， 得 ，最小值为 。目标量与变式2-1 相同而椭圆不同，两端之差由 与 这对半轴决定。 参考答案： 题型三　分式型：把范围问题换回斜率 【解题技巧】 是以 为定点的直线斜率。设 与椭圆联立，判别式非负给出 的闭区间；判别式恒正时斜率取遍实数，对应定点落在椭圆内部。先判定定点位置，可以直接决定走哪条路。 【教学提醒】板演只写“设 一联立一写 ”三行，解不等式交给学生。三题化简后都得到只含 的一次式，若出现 项，通常是直线方程设错或椭圆参数代错，当场停下核对，比事后返工省时。变式3-1 换回距离，与本组前两题形成“斜率—距离”的对照。 【典例3-1】（2026 年 1 月·广东省佛山市南海区高三上学期期末质量检测第 8 题改编） 已知椭圆 ，， 为椭圆上一点，求直线 斜率的取值范围。 解析：设直线 的斜率为 ，方程为 。代入椭圆方程得 。 直线与椭圆有公共点，故 ，解得 。 所以 。取等时 ，切点为 ，此时直线与椭圆相切。 参考答案： 【学情易错提醒】把 展开时留住 项，是最常见的卡点。化简的关键在于 与 恰好相消，写的时候把两项并列，相消处不跳步，后面才不会误以为要解四次不等式。 【变式3-1】 条件同典例3-1，求 的取值范围。 解析：，定义域 。 顶点 落在区间之外，函数在 上单调递减，故 时取最小值 ， 时取最大值 。 所以 。最小值 出现在右顶点，恰为 与定点横坐标之差 。 参考答案： 【变式3-2】 已知椭圆 ，， 为椭圆上一点，求直线 斜率的取值范围。 解析：设 ，代入椭圆方程得 。 ，解得 。 所以 。与典例3-1 相比，定点到中心的距离由 变为 ，半轴由 变为 ，区间宽度随之收窄。 参考答案： 题型四　数量积与距离平方：先对称化再谈范围 【解题技巧】长轴两端点 、 关于原点对称， 展开后只剩 ， 只剩 。两个目标量都归结为 的范围，而它在椭圆上是 。不必设斜率，也不必联立。 【教学提醒】先把两个端点写成 、，再让一名学生把 展开到底，其余人同时算，写完对答案。展开后若还剩 项，说明端点取成了短轴端点或任意两点，正好借这一处复习“对称化”的前提。 【典例4-1】（2025 年 9 月·湖北省武汉市武昌区高三起点质量检测第 11 题改编） 已知椭圆 的左、右顶点分别为 、， 为椭圆上一点，求 的取值范围。 解析：由题设 、，设 ，则 ，。 。椭圆上 ，故数量积属于 。 两端的位置： 时取 ， 在短轴端点； 时取 ， 与 或 重合。 参考答案： 【学情易错提醒】把范围写成 的，是把 当成了最终答案，漏掉减 这一步；写成 的，则是把两个端点代入 时点序颠倒，符号整体反了。 【变式4-1】 条件同典例4-1，求 的取值范围。 解析：。 由 得 。 这一式的几何含义是：两个平方和只与 到中心的距离有关，与 的方位无关。 参考答案： 【变式4-2】 已知椭圆 的左、右顶点分别为 、， 为椭圆上一点，求 的取值范围。 解析：同法展开得 。 椭圆上 ，故数量积属于 ，下界仍为 。 与典例4-1 对照：两题的 都是 ，下界相同，而上界都是 （短轴端点处取到）。 参考答案： 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知椭圆 ， 为椭圆上一点，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 解析：设 ，则 。 振幅 ，故最大值为 。 参考答案：A 2．（单选）已知椭圆 上一点 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解析：由方程得 ，代入得 ，定义域 。 顶点 在区间内，最大值 ；端点 得 ， 得 ，故最小值为 。 参考答案：A 3．（单选）已知椭圆 ， 为椭圆上一点，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 解析：设 ，则 。 振幅 ，故最大值为 。 参考答案：B 4．（单选）已知椭圆 ， 为坐标原点， 为椭圆上一点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解析：，在椭圆上取值于 ，故 。 两端分别是短轴端点与长轴端点，与 、 对应。 参考答案：B 5．（填空）已知椭圆 ， 为椭圆上一点，则 的最大值为______。 解析：设 ，则 。 振幅 ，故最大值为 。 参考答案： 6．（多选）已知椭圆 ， 为坐标原点， 为椭圆上一点，则下列说法正确的是（　　） A．点 的横坐标的取值范围是 B． 的最大值为 C． 的最大值为 D．椭圆上存在点 ，使 解析：A 由 直接得到，正确。 B ，最大值在长轴端点取到，正确。 C ，振幅 ，最大值为 而非 ，错误。 D 的振幅为 ，故不存在这样的点，错误。 参考答案：AB 7．（解答）已知椭圆 ， 为坐标原点， 为椭圆上一点。（1）求 的取值范围；（2）求 的最大值与最小值。 解析：（1）设 ，则 ，故取值范围是 。 （2），故最大值为 ，最小值为 。 两问的取等位置不同：第（1）问在长、短轴端点，第（2）问在 与 处，后者不以坐标形式出现。 参考答案：（1）；（2）最大值 ，最小值 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）已知椭圆 ，， 为椭圆上一点，则直线 斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解析：设 ，代入椭圆方程得 。 ，解得 。 所以 。 参考答案：A 9．（单选）椭圆 的左、右顶点为 、， 在椭圆上，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解析：，而 。 故取值范围是 ，下界为 ，其中 。 参考答案：B 10．（多选）已知椭圆 ， 为坐标原点， 为椭圆上一点，则下列说法正确的是（　　） A．椭圆的离心率为 B． 的取值范围是 C． 的最大值为 D．椭圆上存在点 ，使 解析：A ，，，故 ，正确。 B ，正确。 C ，振幅 ，正确。 D 的最大值为 ，故不存在这样的点，错误。 参考答案：ABC 11．（填空）已知椭圆 ，， 为椭圆上一点，则 的取值范围是______。 解析：，定义域 。 顶点 落在区间之外，函数在 上单调递增。 故 时 ， 时 ，即 。 参考答案： 12．（解答）已知椭圆 的左、右顶点分别为 、， 为坐标原点， 为椭圆上一点。（1）求 的取值范围；（2）求 的取值范围；（3）设 ，直线 的斜率为 ，求 的取值范围。 解析：（1）设 ，则 ，取值范围是 。 （2），故取值范围是 。 （3）设直线 的方程为 ，代入椭圆方程得 。 由 得 ，即 。 参考答案：（1）；（2）；（3） 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $